2020-2021学年湖南省邵东县第一中学高一上学期第一次月考数学试题
湖南省邵东县第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试题
湖南省邵东县第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试题满分：120分 时量：120分一．单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合}4,3,2{=A ，}5,2{=B ，则=⋂B A ( )A. {5}B. {1,2,5}C.{2}D.∅ 2．下列命题正确的是（ ）．A 、一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B 、两条异面直线不能同时平行于一个平面C 、直线倾斜角的取值范围是：（0°，180°]D 、两条异面直线所成的角的取值范围是：(0°，90°]3．已知幂函数y=f(x)的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是 ( )A 、y=x 2B 、1()2x y = C 、12y x = D 、y=2x4．在正方体D C B A ABCD ''''-中，二面角C AB C --'的大小是 ( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 5．直线3x+4y-3=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：( )A 、相离;B 、相交;C 、 相切;D 、无法判定. 6．下列运算中正确的是( )A 3π=-B 、3128843()m m n n-=C 、 9log 819=D 、lg lglg xy xy z z =7．已知10<<a ，函数)(log x y a y a x -==与的图象只可能是（ ）8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是( )A ．3πB ．23πC ．26πD ．3π9．已知球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是π36cm 2，则球心到截面圆圆心的距离是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 810.若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≤1，lg x ，x ＞1，则f(f(10))＝()．A ．lg 101B ．2C ．1D ．0二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是____.12. 在空间直角坐标系O-xyz 中，点（1,2,3）关于原点的对称点坐标为__________. 13.过点)2,4(-P 且与直线l :072=--y x 平行的直线方程为_________.14. 已知圆C 过A （5,1），B （1,3）两点，且圆心在x 轴上，则圆C 的方程为_________.15.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x ，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m的取值范围是_________.三、解答题(本大题共5小题，共60分)16．（本小题满分12分）已知集合A={x|a ≤x ≤a+2}，B={x|x<-1或x>5} (1) 若a=0, 求A∩B . (2) 若A∪B＝B ，求a 的取值范围.17.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别是AB 和PC 的中点． (1)求证： AB ⊥平面PAD ； (2)求证： EF//平面PAD ．18.（本小题满分12分）函数f (x )＝x ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)利用单调性的定义证明：函数f (x )在(0,1)上是增函数．19.（本小题满分12分）已知圆C:012822=+-+y y x 与直线l:02=++a y ax (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交与A,B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.20.（本小题满分12分）FEDCBAP已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．2020年下学期学业水平检测试题高一数学参考答案一、选择题：CDCB B BDDDB 二、填空题：11. 1 12. 12题 答案是 {x|﹣1＜x ＜1} 13. 0102=+-y x14. 15. (0,1) 三、解答题：16. (1) Φ ………… 6分(2) 要使A∪B＝B ，即A 是B 的子集，则需满足215a a +<->或， 解得3或5-<>a a ，即a 的取值范围是{}3或5-<>a a a ……12分 17. 证明 略 18. (1) y=21xx+ …………6分(2)证明设0＜x 1＜x 2＜1，则1212122212()(1)()()(1)(1)x x x x f x f x x x ---=++ 因为0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1-x 1x 2＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（0，1）上单调递增． 19. （1）因l1⊥ l2互相垂直，所以 (2-a)(2a+2)-2(2-a)=0 得：a=0或a=2 l1的方程是：x-y=0或y-3=0(2) 由l1方程得：2x-2y-a(x-3)=0所以直线l1恒过P （3，3） 直线l1与线段AB 有公共点,则直线l1的斜率k 满足:-1≤k ≤2 20. (1)由1010x x >⎧⎨>⎩－，＋，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(4分)(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (8分)(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，21t <22t ， 所以lgt 1＋(21t －1)<lgt 2＋(22t －1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． (12分) 说明本次共修改4个题，分别是： 5 题，答案是 B12题 答案是 {x|﹣1＜x ＜1} 14题 答案是 ①，②, ④ 19题 答案是（1）因l1⊥ l2互相垂直，所以 (2-a)(2a+2)-2(2-a)=0 得：a=0或a=2l1的方程是：x-y=0或y-3=0(2) 由l1方程得：2x-2y-a(x-3)=0所以直线l1恒过P（3，3）直线l1与线段AB有公共点,则直线l1的斜率k满足:-1≤k≤2。
2020-2021学年湖南省邵阳市邵东县第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省邵阳市邵东县第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知U =Z ，A ={1，3，5，7，9}，B ={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{7，9}D ．{2，4}【答案】D【分析】图中的含义是集合B 中去掉A 中所含有的元素，结合选项可求解 【详解】图中阴影部分表示的集合是(){}U2,4A B =.故选：D【点睛】本题考查由维恩图判断具体集合，交集与补集的混合运算，属于基础题 2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．命题“对任意x A ∈，2x B ∈”的否定为（ ）．A ．对于任意x A ∈，2xB ∉ B ．对于任意x A ∉，2x B ∉C ．存在x A ∉，2x B ∈D ．存在x A ∈，2x B ∉ 【答案】D【分析】由全称命题的否定是特称命题可得选项.【详解】命题“对任意x A ∈，2x B ∈”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x A ∈，2x B ∉”，故选D ．【点睛】本题考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．设,R a b ∈，则“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1a =-，3b =，满足4a b +≤，但不满足“2a ≤且2b ≤”；所以“4a b +≤”不是“2a ≤且2b ≤”的充分条件；若2a ≤且2b ≤，则4a b +≤显然成立；所以“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要条件；因此，“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要而不充分条件. 故选：B .【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型. 4．设0,0,22a b a b >>+=，则11a b+的最小值为（ ）A ．32B ．3C ．32D 3【答案】A【分析】由22a b +=得()1212a b +=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为0,0,22a b a b >>+=， 所以()1212a b +=，200b aa b>>,所以()(11111121233222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即(2a =-，2b =-故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a -<<【答案】C【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】由于不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立. 当0a =时，可得0x ->，解得0x <，不合乎题意；当0a ≠时，则20140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 因此，实数a 的取值范围为12a >. 故选：C ．【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数()f x 的定义域为[0,2]，则(2)()1f xg x x =-的定义域为（ ） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4【答案】C【分析】由题意结合复合函数的定义域可得10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，即可得解.【详解】函数()f x 的定义域是[0,2]， 要使函数(2)()1f xg x x =-有意义，需使(2)f x 有意义且10x -≠ ， 所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，解得01x ≤<.所以()g x 的定义域为[)0,1. 故选：C.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．已知函数2221()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【分析】函数()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2ty =，222t x x =-+复合而成，因为1()2ty =单调递减，由复合函数的单调性可知，只需求出222t x x =-+的减区间即可.【详解】该函数定义域为R ，()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2t y =，222t x x =-+复合而成，1()2t y =在R 单调递减，2222(1)1t x x x =-+=-+的单调递减区间为(,1]-∞，∴由复合函数的单调性判定知，函数()f x 的单调递增区间为(,1]-∞.故选A.【点睛】本题考查了复合函数的单调性问题。
2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。
湖南省邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题Word版含答案
邵东一中2021年下学期高一第一次月考数学试题一、单项选择题(此题共8小题，每题4分，共32分〕1．设集合A ＝{x|－1<x<4}，集合B ＝{x|x<5}，那么( )A ．A ∈B B ．A ⊆BC ．B ∈AD ．B ⊆A2.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},M ＝{1,2,3},N ＝{3,4,5}那么 (∁U M )∩(∁U N )=( )A{2,3,4,5} B{1,2,4,5,6}C{1,2,6} D{6}3．以下命题中，p 是q 的充分条件的是( )A ．P:0≠ab , q:0≠aB ．P:022≥+b a , q:00≥≥b a 且C ．P:12>x , q:1>xD ．P:b a >, q: b a >4．“022=+y x 〞是“xy=0〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.命题p:∀x>0，总有x ＋1>1那么p ⌝为〔〕A ∃x 0≤,使得11≤+xB ∃x 0>,使得11≤+xC ∀x 0>,总有11≤+xD ∀x 0≤,总有11≤+x<a<1,0<b<1,b a ≠,以下各式中最大的是〔 〕A 22b a +B ab 2C ab 2D b a +7. 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，求k 的取值范围〔 〕A (-3,0] B[-3,0) C[-3,0] D(-3,0)8. 定义集合运算：A*B={z|z=(x+y)(x -y),x ∈A,y ∈B }设A ＝{3,2}, B ＝{1,2}那么集合A*B 的真子集个数为〔 〕A 8B 7C 16D 15 二、多项选择题(此题共4小题，每题4分，共16分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，局部选对的得2分，有选错的得0分)9．下面四个说法中错误的选项是( )A ．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}B ．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}C ．方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}D ．0与{0}表示同一个集合10．设全集为U ，在以下选项中，是B ⊆A 的充要条件的为( )A ．A ∪B ＝A B ．(∁U A )∩B ＝∅C ．(∁U A )⊆(∁U B )D ．A ∪(∁U B )＝U11．a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，那么a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．912．假设a >0，b >0，且a ＋b ＝4，那么以下不等式恒成立的是( )0)2)(1(>--x mx 的解集为{x|21<<x m }，那么m 的取值范围是 02)1(22=-+-+m x m x 三、解答题(此题共6题，共56分〕17.(8分)A ＝{x |0232=+-x x }，B ＝{x |05)1(222=-+-+a x a x }．(1)假设A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)假设A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．18.(8分)p ：∃x ∈R ，使0242=+-x mx 为假命题〔1〕求m 的取值集合B (2)A ＝{x|3a<x<a+2}为非空集合，假设x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围19(10分)0122≥++ax ax 恒成立，解关于x 的不等式022<+--a a x x20.(10分)x>0,y>0且2x+8y -xy=0求：〔1〕xy 的最小值 〔2〕x+y 的最小值21(10分)某厂家举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量〔即该产品的年产量〕x 万件与年促销费用m(m ≥0)万元满足13+-=m k x 〔k 为常数〕，如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件。
湖南省邵东市邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．设，则“且”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题是假命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若且，则D ．若且，则3．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：，，则命题p 的否定：，B ．若集合中只有一个元素，则C ．若，，则D ．已知集合，且，满足条件的集合N 的个数为45．若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列说法正确的是（ ）A ．，对任意的，，这个对应是A 到B 的函数B ．若函数的定义域为，则函数的定义域为,x y ∈R 2x >3y >5x y +>0a b c d >>>>ab cd >22ac bc >a b >0a b >>0c <22c c a b >a b >11ab>0ab <1,44k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 1,84k N x x k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z M N =∅M N M= N MÜM NÜx ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤{}210A x ax x =++=14a =13x <<21y -<<-328x y <-<{}0,1M =N M ⊆()f x =()0,4[)0,4[]0,4(](),04,-∞+∞ *A B ==N x A ∈1x x →-()f x ()1,1-()21y f x =-()3,1-C ．和表示同一函数D ．函数的最小值是-17．在R 上定义运算：．已知时，存在x 使不等式成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数若对任意的，都有成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于x 的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．的解集是C ．D ．的解集是10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）A ．的定义域为RB ．的值域为C ．若，则xD ．的解集为11．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知命题p ：，，命题q ：，使得成立，若p 是真命题，q是假命题，则实数a 的取值范围是______．13．函数的单调递减区间为______．y =y =()[]()221,2f x x x x =+∈x y xy y ⊗=+12x ≤≤()()4a x a x -⊗+<{}22a a -<<{}12a a -<<{}32a a -<<{}12a a <<()f x =()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->[]1,8-3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2,4-5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++>{}24x x x <->或0a >0bx c +>{}4x x <-0a b c ++>20cx bx a -+<1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x ()f x ()f x (),4-∞()3f x =()1f x <()1,1-0a >0b >a b ab +=4a b +≥4ab ≤49a b +≥221223a b +≥[]1,2x ∀∈21x a +≥[]1,1x ∃∈-210x a +->()11g x x x =-+14．若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知全集，集合，，．（1）求集合；（2）若，求实数a 的取值范围．16．（15分）设函数．（1）若关于x 的不等式有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数x 的取值范围．17．（15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高5m ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x 米．（1）当前墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（学校选择报价更低的工程队），试求a 的取值范围．18．（17分）已知函数，．（1）求函数的值域；（2）试判断在区间，的单调性，并证明；（3）对，总，使成立，求实数m 的取值范围．19．（17分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x 的最大整数，如，．（1）求的解集和的解集．()2221x ax -<U =R {}2280A x x x =--<2313x B xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭{}11C x a x a =-≤<+()A B R ðB C B = ()()212f x ax a x a =+-+-()2f x ≥-()6f x ≥-[]1,1a ∈-2240m 115212000500a a x +⎛⎫++⎪⎝⎭()0a >()2121487f x x x -=-+()()1g x xf x =()f x ()g x [)2,+∞130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =[]y x =[]x []1.21=[]1.22-=-5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤（2）设方程的解集为A ，集合，若，求k 的取值范围．（3）若的解集为，求a 的范围．邵东一中2024年下学期高一第一次月考数学试卷答案一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】若且，由不等式的可加性得到，即则“且”是“”的充分条件，若不一定得到且，如，满足，但是，所以“且”不是“”的必要条件．故选：A 2．答案：A解析：对于A 项，取，，，，则，，所以，故A 选项错误；对于B 选项，若，有，则，B 选项正确；对于C 选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C 选项正确；对于D 选项，若且，则，所以，，D 选项正确．故选：A ．3．答案：D解析：由题意可知：，集合，因为代表所有的偶数，代表所有的整数，所以，即．故选：D ．4．答案：B解析：对于A ，由全称命题的否定知，命题p ：，，的否定为，，故A 正确；102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦{}22211150B x x kx k =-+≥A B =R [][]22210x x a --+≤{}03x x ≤<2x >3y >5x y +>2x >3y >5x y +>5x y +>2x >3y >10x =0y =2x y +>3y <2x >3y >5x y +>2a =1b =3c =-4d =-2ab =12cd =ab cd <22ac bc >20c >a b >0a b >>220a b >>22a b >0c <22c ca b>a b >11a b >110a bb a ab--=<0ab <122,,448k k M x x k x x k ⎧⎫⎧+⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z 12,,848k k N x x k x x k ⎧⎫⎧-⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ()22k k +∈Z ()2k k -∈Z M N ÜM N M = x ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤对于B ，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B 不正确；对于C ，因为，，所以，，则，故C 正确．对于D ，由，故集合N 的个数为，故D 正确．故选：B 5．答案：B （学法大视野课时作业p232页12题）解析：若的定义域是R ，则在R 恒成立，时，显然成立，时，只需，解得：，综上，m 的取值范围是，故选：B ．6．答案：C解析：对于A 选项，当时，故不符合函数定义，A 错误；对于B 选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B 错误；对于C 选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C 正确；对于D 选项，，函数在单调递增，则，，故D 错误．故选C ．7．答案：C解析：由，即为，当时，存在x 使不等式成立，等价于，由，可得时，取得最大值，且为6，所以，解得，故选C ．8．答案：B【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解．【详解】设，则，，{}210A x ax x =++=0a ={}1A x x ==-0140a a ≠⎧⎨∆=-=⎩14a =13x <<21y -<<-226x <<12y <-<328x y <-<N M ⊆224=()f x 2240mx mx ++>0m =0m ≠24160m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<[)0,41x =10x x B =-=∉()f x ()1,1-1211x -<-<01x <<()21f x -()0,1()()22211f x x x x =+=+-()f x []1,2x ∈()()min 13f x f ==()()4a x a x -⊗+<224a x a x -++<12x ≤≤224a a x x +<-+()22max4a a x x +<-+22115424x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭2x =24x x -+26a a +<32a -<<()0t t =>()()2222214411144441t k t kt t t kt t k f t t t t t t t t t-+++++--===+=+++++++++()0t >令，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，当，即时，函数y 在上单调递减，则，当，即时，，当，即时，函数y 在上单调递增，则，所以，当时，，，由于对任意的，都有成立，所以，，解得，当时，，显然符合题意，当时，，，由题意知，，解得，，综上可得，k 的取值范围为，故选：B ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案：ABD （学法大视野课时作业p227页第4题）【分析】由题意可得的两个根为-2和4，且，则有，，表示出b ，c ，再逐个分析判断即可．【详解】因为关于x 的不等式的解集为，所以的两个根为-2和4，且，41u t t =++11k y u-=+0t >4115u t t =++≥+=2t =10k ->1k >[)5,+∞41,5k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦10k -=1k ={}1y ∈10k -<1k <[)5,+∞4,15k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1k >()()122825k f x f x +<+≤()3415k f x +<≤()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->425k +≤16k <≤1k =()()()1231f x f x f x ===1k <()()122825k f x f x +≤+<()3415k f x +≤<2815k +≤312k -≤<3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++=0a >24b a -+=-24ca-⨯=20ax bx c ++>{}24x x x <->或20ax bx c ++=0a >所以，得，，所以A 正确，对于B ，因为，，所以可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以B 正确，对于C ，因为，所以，所以C 错误，对于D ，因为，，所以可化为，因为，所以，，得或，所以原不等式的解集为，所以D 正确，故选：ABD10．答案：BC （学法大视野课时作业p236页第11题）【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集．【详解】由题意知函数的定义域为，故A 错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B 正确；当时，，解得（舍去），当时，，解得，故C 正确；当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故D 错误．故选：BC ．【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解．11．答案：ACD解析：对A 、B ：因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故A 正确，B 错误；对C ：若，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C 正确，24b a -+=-24ca-⨯=2b a =-8c a =-2b a =-8c a =-0bx c +>280ax a -->0a >40x +<4x <-0bx c +>{}4x x <-()()2890a b c a a a a ++=+-+-=-<0a b c ++<2b a =-8c a =-20cx bx a -+<2820ax ax a -++<0a >28210x x -->()()21410x x -+>14x <-12x >1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()f x (),2-∞1x ≤-()f x (],1-∞12x -<<()f x [)0,4()f x (),4-∞1x ≤-23x +=1x =12x -<<23x =x =x =1x ≤-21x +<1x <-12x -<<21x <11x -<<()1f x <()(),11,1-∞-- 22a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭4a b +≥4ab ≥2a b ==a b ab +=111a b +=()11444559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a b b a =32b =3a =对D ：若，则，所以，由，，及，可知，则当，即，时，，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案：（学法大视野课时作业p214页第12题）【分析】根据p 是真命题可得，再分析当q 是真命题时，进而求得q 是假命题时a 的取值范围即可【详解】命题p ：，恒成立，若p 是真命题，则：，命题q ：，使得成立，若命题q 为真命题，则．所以命题q 是假命题时，，综上，参数a 的取值范围是：，即故答案为：13．答案：（填或或也可）【详解】．画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为．14．答案：【解析】【分析】先根据判别式确定a 的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a 的范围．【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有，a b ab +=111a b +=2222212123211a b b b b b ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭0a >0b >111a b +=101b <<113b =32a =3b =22321121321333b b ⎛⎫-+≥⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(],1-∞-()2min1a x ≤+()min 12121a x >-=-=-[]1,2x ∀∈21x a +≥()2min12a x ≤+=[]1,1x ∃∈-210x a +->()min 12121a x >-=-=-1a ≤-1a ≤-(],1a ∈-∞-(],1-∞-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()221,1111,1x x x g x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦925,49⎛⎤⎥⎝⎦()2221x ax -<()2221x ax -<()24410a x x --+<40a ->，并且，∴，∴，由求根公式得方程的解为，∵∴，即不等式的2个整数解必定为1和2，∴，解得；故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）；（2）．【解析】（1）先求出集合A ，B ，再根据补集定义求出，进一步根据交集运算求出；（2）由可知，分和两种情况讨论可求出．【详解】（1）∵，，∴，∴；（2）∵，∴，当，即时，，满足题意；当时，满足，解得，综上，实数?的取值范围是【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题．16．【解题思路】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；【解答过程】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，4a <()16440a ∆=-->0a >04a <<()24410a x x --+=1x ==2x =04a <<11142x <<()24410a x x --+<23≤<92549a <≤925,49⎛⎤⎥⎝⎦{}2034x x x x -<≤≤<或1a <()B R ð()A B R ðB C B = C B ⊆C =∅C ≠∅{}{}228024A x x x x x x =--<=-<<{}23100333x x B x x x x x x ⎧-⎫⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭{}3x B x x ≤=≥R 或ð(){}2034A x x x B =-<≤≤<R 或ðB C B = C B ⊆11a a -≥+0a ≤C =∅C ≠∅111013a aa a -<+⎧⎪->⎨⎪+≤⎩01a <<(),1-∞()210ax a x a +-+≥0a =0a ≠()210x x a x -++≥()2f x ≥-()210ax a x a +-+≥0a =0x ≥0a =当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数a 的取值范围是；另解：解题思路：将参数a 分离，，分别按，，三种情况结合基本不等式及不等式的性质求出函数的值域，（2）不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x 的取值范围是；17．答案：（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以，解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以．因为，0a >0x =()210ax a x a a +-+=>()210ax a x a +-+≥0a >0a <()21y ax a x a =+-+0y ≥()22114013a a a ∆=--≥⇔-≤≤10a -≤<1a ≥-[)1,-+∞21xa x x -≥-+0x >0x =0x <2min1x a x x -⎛⎫≥⎪-+⎝⎭()6f x ≥-[]1,1a ∈-[]1,1a ∀∈-()2140x x a x -+++≥210x x -+>()()214g a x x a x =-+++[]1,1a ∈-()10g -≥2230x x -++≥13x -≤≤[]1,3-036a <<2240m 240x0x >2401200525021505224000500324000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭2240m 240x0x >2401200400525021505224000500324000150024000y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15002400084000y ≥⨯+=当且仅当，即时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．18．解析：（1）令，则，∴，即则函数的值域为；（2）由（1）知，，则在区间是增函数分，证明如下：，且则∵，∴，，∴，则，即∴在区间是增函数（3）由（1）（2）知，则400x x=20x =1200115250032400012000500a x a x x +⎛⎫⎛⎫++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x >()2324481x x a x ++>+0x >()2341x a x+<+0x >0a >()()()()2241619916612111x x x x xx x +++++==+++≥+=+++911x x +=+2x =036a <<036a <<21t x =-()112x t =+()()()2211241417f t t t t t ==-++-++()()221110,24313f x x x x ⎛⎤==∈ ⎥-+⎝⎦-+()f x 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠()g x [)2,+∞[)12,2,x x ∀∈+∞12x x >()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=122x x >≥120x x ->124x x >120x x >1240x x ->()()120g x g x ->()()12g x g x >()g x [)2,+∞()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠当时，则，记集合当时，由（2）知在区间单调递增∴ 记集合∵对，总，使成立，∴，则，又∵，∴，∴则实数的取值范围是19．【分析】（1）由表示不超过实数x 的最大整数可得x 的范围；（2）根据高斯函数的定义求得集合A ，从而得出集合B 的可能情形，根据集合的情形求解．（3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得．【详解】（1）由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，∴，则，所以．所以的解集为．（2），则，，∴，（时）或（时），，则30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()221111,244313f x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦-+()99,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9,34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]2,x m ∈()g x []2,m ()42,2g x m m ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦42,2B m m ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =A B ⊆423m m +-≥2m >()()2540140m m m m -+≥⇔--≥4m ≥[)4,+∞[]x []()[]()110x a x a +---≤0a =0a >0a <[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z 5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<5522x -≤≤{}23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤532x ≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}34x x ≤<102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦1012x ≤-<1322x -<<13,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22125211153,2x kx k x k x k -+⇒==(][)12,,B x x =-∞+∞ 12x x ≤(][),,B x x =-∞+∞ 21x x <A B =R，解得，即k 的范围是．注：按，，分论讨论也可给分．（3）不等式，即，由方程可得或．①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得．综上所述，或．故a 的范围为．13322153222k k ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩1162k -≤≤11,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0k >0k =0k <[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<(][)2,11,2--。
2021学年湖南省邵阳市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知集合A={x|x2−2x=0}，B={0, 1, 2}，则A∩B=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2. 下列函数中，在区间(0, +∞)上为增函数的是（）A.y=√x+1B.y=(x−1)2C.y=2−xD.y=log0.5(x+1)3. 设集合p={x|x>1}，Q={x|x2−x>0}，则下列结论正确的是（）A.p=QB.p⊈QC.p⊆QD.Q⊆p4. 设全集U=R，集合A={x|x(x+3)<0}，B={x|x<−1}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|−3<x<−1}B.{x|−1≤x<0}C.{x|−3<x<0}D.{x|−1<x<0}5. 在集合{a, b, c, d}上定义两种运算如下：那么d⊗(a⊕c)=()A.aB.bC.cD.d6. 已知函数f(x)={x+2(x<0)x2(0≤x<2)1 2x(x≥2)，若f(x)=2，则x的值为（）A.±√2B.√2或4C.4D.±√2或47. 函数f(x)=√−x 2+x 的单调递增区间为（ ）A.[0, 1]B.(−∞, 12]C.[12, 1]D.[0, 12]8. 已知f(x)=ax 3+bx −4，若f(−2)=2，则f(2)=( )A.−2B.−4C.−6D.−109. 若函数y =x 2−2x −4的定义域为[0, m]，值域为[−5, −4]，则m 取值范围是（ ）A.[0, 1]B.(1, 2]C.[1, 2]D.[0, 2]10. 设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，则（ ）A.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D.f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)二、填空题（每小题5分，共25分）函数y =a x−1+1过定点________．函数y =a x 在区间[1, 2]上的最小值和最大值之和6，则a =________．已知f(x)是定义R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=x 2−2x +3，则f(3)=________．若函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在(−∞, 4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．用max {a, b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max {|x|, |x +2|}，则f(x)的最小值为________．三、解答题（12+12+12+13+13+13）已知集合A ＝{x|−2≤x ≤5}，B ＝{x|m −4≤x ≤3m +2}．（1）若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围；（2）求A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．已知函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)=(12x−1+12)⋅x．（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性；（3）求证：f(x)>0．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）（3）求当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？设函数f(x)是实数集R上的单调增函数，令F(x)=f(x)−f(2−x)．（1）求证：F(x)在R上是单调增函数；（2）若F(x1)+F(x2)>0，求证：x1+x2>2．y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−x2；（1）求x<0时，f(x)的解析式；（2）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a, b]时，g(x)=f(x)，且g(x)的值域为[1 b ，1a]若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2−2x=0}={0, 2}，B={0, 1, 2}，∴A∩B={0, 2}.故选C.2.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=√x+1在(−1, +∞)上是增函数，故满足条件，由于函数y=(x−1)2在(0, 1)上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2−x在(0, +∞)上是减函数，故不满足条件，(x+1)在(−1, +∞)上是减函数，故不满足条件.由于函数y=log0.5故选A.3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】首先化简Q={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，从而判断P、Q的关系．【解答】解：∵Q={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，又∵p={x|x>1}，∴p⊆Q．故选C．4.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A ∩(∁U B)，计算可得集合A 与∁U B ，对其求交集可得答案．【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A ∩(∁U B)， A ={x|x(x +3)<0}={x|−3<x <0}，B ={x|x <−1}，则∁U B ={x|x ≥−1}，则A ∩(∁U B)={x|−1≤x <0}，故选B ．5.【答案】A【考点】函数的求值【解析】由题意得a ⊕c =c ，得d ⊗(a ⊕c)d ⊗c =a ．【解答】解：由题意得a ⊕c =c ，∴ d ⊗(a ⊕c)=d ⊗c =a ．故选：A ．6.【答案】B【考点】函数的求值【解析】根据分段函数的标准讨论x ，分别在每一段解析式上解方程f(x)=2即可．【解答】解：当x <0时，f(x)=x +2=2，解得x =0（舍去）当0≤x <2时，f(x)=x 2=2，解得x =±√2（负值舍去）当x ≥2时，f(x)=12x =2，解得x =4 ∴ x =√2或4故选B ．7.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】令t =−x 2+x ≥0，求得函数f(x)的定义域，再由f(x)=√t ，可得本题即求函数t 在[0, 1]上的增区间．再利用二次函数的性质求得函数t 在[0, 1]上的增区间．【解答】解：令t =−x 2+x ≥0，求得0≤x ≤1，故函数f(x)的定义域为[0, 1]，且f(x)=√t ， 本题即求函数t =−(x −12)2+14在[0, 1]上的增区间．再利用二次函数的性质求得函数t =−(x −12)2+14在[0, 1]上的增区间为[0, 12]， 故选：D ．8.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】由于f(x)=ax 3+bx −4，可得f(−x)+f(x)=−8，即可得出．【解答】解：∵ f(x)=ax 3+bx −4，∴ f(−x)+f(x)=−ax 3−bx −4+ax 3+bx −4=−8，∵ f(−2)=2，∴ 2+f(2)=−8，解得f(2)=−10．故选：D ．9.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】首先把函数转化为：函数y =x 2−2x −4=(x −1)2−5，进一步当x =1时y =−5，当x =0或2是函数y =−4，则函数的定义域为[0, 2]，最后确定参数的范围．【解答】解：函数y =x 2−2x −4=(x −1)2−5当x =1时y =−5当x =0或2时，函数y =−4则函数的定义域为[0, 2]由于m 2−2m −4≤−4解得：0≤m ≤2所以求得：m 的范围为[1, 2]或[0, 1]进一步结合四个选项m 的范围为[1, 2]故选：C10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．【解答】解：∵ x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，∴ x 1>−x 2，x 2>−x 3，x 3>−x 1，又f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，∴f(x1)<f(−x2)=−f(x2)，f(x2)<f(−x3)=−f(x3)，f(x3)<f(−x1)=−f(x1)，∴f(x1)+f(x2)<0，f(x2)+f(x3)<0，f(x3)+f(x1)<0，∴三式相加整理得f(x1)+f(x2)+f(x3)<0故选B二、填空题（每小题5分，共25分）【答案】(1, 2)【考点】指数函数的单调性与特殊点幂函数的性质【解析】根据指数函数的性质即可确定函数过定点．【解答】解：∵函数f(x)=a x过定点(0, 1)，∴当x−1=0时，x=1，∴此时y=a x−1+1=1+1=2，故y=a x−1+1过定点(1, 2)．故答案为：(1, 2)．【答案】2【考点】指数函数单调性的应用【解析】分两种情况：(1)当a>1时，函数y=a x在区间[1, 2]上是增函数，所以y max=a2y min=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或−3（负值舍去）(2)0<a<1，函数y=a x在区间[1, 2]上是减函数，所以：y max=a y min=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或−3，因为0<a<1，所以都舍去【解答】解：(1)当a>1时，函数y=a x在区间[1, 2]上是增函数，所以y max=a2y min=a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或−3（负值舍去）；(2)0<a<1，函数y=a x在区间[1, 2]上是减函数，所以：y max=a y min=a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或−3，而0<a<1，故都舍去；故答案为：2．【答案】−18【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据当x<0时，f(x)=x2−2x+3，可得f(−3)．利用f(x)是定义R上的奇函数，可得f(3)=−f(−3)．【解答】解：∵当x<0时，f(x)=x2−2x+3，∴f(−3)=(−3)2−2×(−3)+3=18．∵f(x)是定义R上的奇函数，∴f(3)=−f(−3)=−18．故答案为：−18．【答案】a≤−3【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1−a≥4求出a的范围．【解答】解：二次函数的对称轴为：x=1−a∵函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数∴1−a≥4解得a≤−3故答案为：a≤−3．【答案】1【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先将f(x)写成分段函数，求出每一段上最小值，再求出f(x)在定义域R上的最小值；本题也可以图象来解，画出f(x)的图象，由图象可以得函数的最小值．【解答】解：f(x)={|x|，x≤−1，|x+2|，x>−1，∴当x≤−1时，f(x)≥1，当x>−1时，f(x)>1，∴当x=−1时，f(x)有最小值，且最小值为f(−1)=1．故答案为：1．三、解答题（12+12+12+13+13+13）【答案】∵集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}．若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得：m∈[1, 2]，即此时实数m的取值范围为[1, 2]；若A∩B＝B，则A⊇B，①当B＝⌀时，m−4>3m+2，解得m<−3，满足条件，②当B≠⌀时，若A⊇B，则−2≤m−4≤3m+2≤5，此时不等式组无解，综上所述此时实数m的取值范围为(−∞, −3)【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】（1）由集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}，若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得实数m的取值范围；（2）由集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}，若A∩B＝B，则A⊇B，分当B＝⌀时和当B≠⌀时，两种情况分别求出实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；【解答】∵集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}．若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得：m∈[1, 2]，即此时实数m的取值范围为[1, 2]；若A∩B＝B，则A⊇B，①当B＝⌀时，m−4>3m+2，解得m<−3，满足条件，②当B≠⌀时，若A⊇B，则−2≤m−4≤3m+2≤5，此时不等式组无解，综上所述此时实数m的取值范围为(−∞, −3)【答案】解：∵函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，即对于任意实数x，不等式mx2+6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，y=√8，适合；当m≠0时，则{m>0△=36m2−4m(m+8)≤0，解得0<m≤1．综上，m的范围为[0, 1]．【考点】函数的定义域及其求法【解析】把函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R转化为对于任意实数x，不等式mx2+ 6mx+m+8≥0恒成立，然后分m=0和m≠0分类求解实数m的取值范围．【解答】解：∵函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，即对于任意实数x，不等式mx2+6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，y=√8，适合；当m≠0时，则{m>0△=36m2−4m(m+8)≤0，解得0<m≤1．综上，m的范围为[0, 1]．【答案】解：（1）由2x−1≠0得x≠0，∴函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)（2）∵f(x)=(12x−1+12)⋅x=2x+12(2x−1)⋅x∴f(−x)=2−x+12(2−x−1)⋅(−x)=−x⋅12x+12(12x−1)=−x⋅1+2x2(1−2x)=2x+12(2x−1)⋅x=f(x)∴函数f(x)为定义域上的偶函数．（3）证明：当x>0时，2x>1∴2x−1>0，∴12x−1>0，∴(12x−1+12)⋅x>0∵f(x)为定义域上的偶函数∴当x<0时，f(x)>0∴f(x)>0成立【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数奇偶性的判断【解析】（1）由分母不能为零得2x−1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．（2）在（1）的基础上，只要再判断f(x)与f(−x)的关系即可，但要注意作适当的变形．（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x>0时，则有2x>1进而有2x−1>0，12x−1>0然后得到(12x−1+12)⋅x>0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．【解答】解：（1）由2x−1≠0得x≠0，∴函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)（2）∵f(x)=(12x−1+12)⋅x=2x+12(2x−1)⋅x∴f(−x)=2−x+12(2−x−1)⋅(−x)=−x⋅12x+12(12x−1)=−x⋅1+2x2(1−2x)=2x+12(2x−1)⋅x=f(x)∴函数f(x)为定义域上的偶函数．（3）证明：当x>0时，2x>1∴2x−1>0，∴12x−1>0，∴(12x−1+12)⋅x>0∵f(x)为定义域上的偶函数∴当x<0时，f(x)>0∴f(x)>0成立【答案】解：（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50∴P=f(x)={6062−x500<x≤100100<x≤500(x∈N)．（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当x=450时，L=5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元；（3）L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当0<x≤100，x∈N时，L max=20×100=2000元，当100<x≤500，x∈N时L=−x 250+22x=−150(x−550)2+6050当x=500时，L mzx=6000元综上，当x=500时，L mzx=6000元．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50即可得出；（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，根据服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本可得：L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)，把x=450代入即可得出．（3）利用（2）的解析式，分类讨论：当0<x≤100，x∈N时，利用一次函数的单调性可得此时的最大值；当100<x≤500，x∈N时，利用二次函数的单调性即可得出其最大值．【解答】解：（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50∴P=f(x)={6062−x500<x≤100100<x≤500(x∈N)．（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当x=450时，L=5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元；（3）L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当0<x≤100，x∈N时，L max=20×100=2000元，当100<x≤500，x∈N时L=−x 250+22x=−150(x−550)2+6050当x=500时，L mzx=6000元综上，当x=500时，L mzx=6000元．【答案】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则F(x1)−F(x2)=[f(x1)−f(2−x1)]−[f(x2)−f(2−x2)]=[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]；∵f(x)是实数集R上的增函数，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)<0，由x1<x2，得−x1>−x2，∴2−x1>2−x2，∴f(2−x1)>f(2−x2)，∴f(2−x2)−f(2−x1)<0，∴[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]<0；即F(x1)<F(x2)；∴F(x)是R上的增函数．（2）证明：∵F(x1)+F(x2)>0，∴F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)知，−F(x2)=−[f(x2)−f(2−x2)]=f(2−x2)−f(x2)=f(2−x2)−f[2−(2−x2)]=F(2−x2)，∴F(x1)>F(2−x2)；又F(x)是实数集R上的增函数，所以x1+>2−x2．，即x1+x2>2．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】（1）用单调性的定义来证明F(x)是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；（2）由F(x1)+F(x2)>0，得到F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)变形，得F(2−x2)，即F(x1)>−F(x2)>0，从而证出结论．【解答】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则F(x1)−F(x2)=[f(x1)−f(2−x1)]−[f(x2)−f(2−x2)]=[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]；∵f(x)是实数集R上的增函数，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)<0，由x1<x2，得−x1>−x2，∴2−x1>2−x2，∴f(2−x1)>f(2−x2)，∴f(2−x2)−f(2−x1)<0，∴[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]<0；即F(x1)<F(x2)；∴F(x)是R上的增函数．（2）证明：∵F(x1)+F(x2)>0，∴F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)知，−F(x2)=−[f(x2)−f(2−x2)]=f(2−x2)−f(x2)=f(2−x2)−f[2−(2−x2)]= F(2−x2)，∴F(x1)>F(2−x2)；又F(x)是实数集R上的增函数，所以x1+>2−x2．，即x1+x2>2．【答案】解：（1）设x<0，则−x>0于是f(−x)=−2x−x2，-------------------------又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)=2x+x2，即f(x)=2x+x2(x<0)，--- （2）分下述三种情况：①0<a<b≤1，那么1a>1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)，-------------------------②若0<a<1<b，此时若g(x)=f(x)，则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1，得a=1，这与0<a<1<b矛盾；-------------- ③若1≤a<b，因为x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)=2x−x2，于是有{1b=g(b)=−b2+2b 1a =g(a)=−a2+2a⇔{(a−1)(a2−a+1)=0(b−1)(b2−b−1)=0，考虑到1≤a<b，解得a=1,b=1+√52−−−−综上所述{a=1b=1+√52.−−−−−【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质【解析】（1）令x<0，则−x>0，由当x≥0时，f(x)=2x−x2，可得f(−x)的表达式，进而根据f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)，可得答案；（2）分0<a<b≤1，0<a<1<b和1≤a<b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．【解答】解：（1）设x<0，则−x>0于是f(−x)=−2x−x2，-------------------------又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)=2x+x2，即f(x)=2x+x2(x<0)，--- （2）分下述三种情况：①0<a<b≤1，那么1a>1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)，-------------------------②若0<a<1<b，此时若g(x)=f(x)，则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1，得a=1，这与0<a<1<b矛盾；-------------- ③若1≤a<b，因为x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)=2x−x2，于是有{1b=g(b)=−b2+2b 1a =g(a)=−a2+2a⇔{(a−1)(a2−a+1)=0(b−1)(b2−b−1)=0，考虑到1≤a<b，解得a=1,b=1+√52−−−−综上所述{a=1b=1+√52.−−−−−。
湖南省邵东县第一中学高一数学上学期第一次月考试题
湖南省邵东县第一中学高一数学上学期第一次月考试题数学时间:120分钟 总分120分一、选择题〔本大题包括12小题，每题4分，共48分。
以下各题四个选项中只要一个．．．．是最契合题意的。
〕1.以下各项中，不能组成集合的是 〔 〕A 一切的正数B 等于2的数C 接近0的数D 不等于0的偶数2. 集合A={1,2,3},B={x ∣x 2＜9}，那么A ∩B=〔 〕A {-2，-1,0,1,2,3} B{-2，-1,0,1,2,} C{1,2,3} D{1,2} 3.函数f 〔x+2〕＝x 2，那么f 〔x 〕等于〔 〕A.x 2+2 B.x 2-4x+4 C.x 2-2 D.x 2+4x+4 4.以下四个图像中〔如图1〕，属于函数图象的是〔 〕〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕图1A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)5.假设函数f(x)=ax 2+2x-3在区间〔-∞,4〕上单调递增，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A 〔-41，+∞〕 B [ -41，+∞〕 C [-41，0〕 D [-41，0] 6. y=f(x),x ∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),那么F(x)是〔 〕A 奇函数B 偶函数C 即奇又偶函数D 非奇非偶函数 7．设集合},316|{},,613|{z k k x x N z k k x x M ∈+==∈+==，那么M 、N 的关系为〔 〕A.N M ⊆B. N M =C. N M ⊇D. N M ∈8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0，那么f [f (－2) 的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－49．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( ) A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)10．函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的局部图象如图2所示，那么不等式xf (x )<0的解集是( )图2A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞) 11.假定f (x )=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A.B.C.D.12．f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，假定f x ≥g x ，f x ，假定f x <g x .那么F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13．满足{1}{1,2,3}A ⊆⊆的集合A 的个数为______________.14.函数f (x+3)的定义域为[-2,4),那么函数f (2x-3)的定义域为 . 15.函数f(x)=4x 2-kx-8在[5，20]上具有单调性，那么实数k 的范围是 . 16.函数y=f (x )+x 3为偶函数,且f (10)=10,假定函数g (x )=f (x )+6,那么g (-10)= .三、解答题(本大题共6小题,共56分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤) 17.(8分)集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)假定A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．18.(8分)函数f(x)=(1)求f(f(-1)).(2)假定f(x 0)>2,求x 0的取值范围.19〔8分〕.函数f(x)=x 2-2x+2 (1)求f(x)在区间[21，3]的最大值和最小值；〔2〕假定g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围.20.〔10分〕为增加空气污染，某市鼓舞居民用电(增加燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超越100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超越100度时，其中的100度仍按原规范收费，超越的局部按每度0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元．写出y 关于x 的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费状况如下：21．(10分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一局部. (1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (2)写出函数f (x )的值域和单调区间． 22．(12分)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求f (x )的解析式；(2)证明f (x )在(－1,1)上为增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.湖南省邵东一中2021年下学期高一年级第一次月考试题数学时间:120分钟 总分120分三、选择题〔本大题包括12小题，每题4分，共48分。
湖南省第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 0或3 B. 0或3C. 1或3D. 1或3【答案】B 【解析】 因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.2.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()()2,f x x g x x ==B. ()()()22,x xf xg x xx ==C. ()()()01,1f x g x x ==- D. ()()29,33x f x g x x x -==-+【答案】B 【解析】 【分析】对于同一函数问题，先判断函数定义域是否一致，再判断解析式是否一致，均一致时则为同一函数；也可以先判断值域是否一致，若不一致时，一定不为同一函数。
【详解】选项A ：()f x 值域为R ，()g x 值域为[)0+，∞，二者值域不同，故不为同一函数，故A 不满足；选项B ：()f x 定义域需满足0x x ≠⎧⎨≥⎩，即()0,x ∈+∞，()g x 的定义域为()0,∞+，二者定义域相同，对于解析式，()1x f x x ==，()1xg x x==，二者解析式相同，故B 满足；选项C ：()f x 定义域为R ，()g x 定义域需满足10x -≠，即{}|1x x x ∈≠，二者定义域不同，故C 不满足；选项D ：()f x 定义域需满足30x +≠，即{}|3x x x ∈≠-，()g x 定义域为R ，二者定义域不同，故D 不满足，综上，选B【点睛】本题考查同一函数问题，判断两函数是否为同一函数可以：①定义域与解析式均相同时，为同一函数；②当值域易于判断时，若值域不同，则不为同一函数。
湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
邵东一中2022年下学期高一第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合,A B ，下列四个表述中，正确的个数是（ ） ①若()∈⋃a A B ，则∈a A ； ①若()∈⋂a A B ，则()∈⋃a A B ； ①若⊆A B ，则⋃=A B B ； ①若⋃=A B A ，则⋂=A B B . A.1 B.2 C.3 D.42.设集合{31}∣=-<A xx m ，若1∈A 且2∉A ，则实数m 的取值范围是（ ） A.25<<m B.25≤<m C.25<≤m D.25≤≤m3.已知集合20,6∣-⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭x A xx Z x ，则集合A 中元素个数为（ ）A.3B.4C.5D.64.已知1>x ，则221+-x x 的最小值是（ ）A.2B.2C.D.25.若223>-x m 是14-<<x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A.{}33∣-mm B.{3∣-m m 或3}m C.{1∣-mm 或1}m D.{}11∣-m m 6.王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知0,0>>a b ，且141+=a b，则下列结论正确的是（ ） ①1>a①ab 的最小值为16①+a b 的最小值为8 ①191+-a b的最小值为2 A.①① B.①①① C.①①① D.①①8.关于x 的不等式22(1)-<ax x 恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.3423-<≤-a 或4332<≤a B.3423-<≤-a 或4332≤<aC.3423-≤<-a 或4332<≤aD.3423-≤<-a 或4332≤<a二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4.5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，本大题共4个小题，共20分.）9.下列命题中，是真命题的是（ ） A.2,2340∀∈-+>x x x R B.{}1,1,0,210∀∈-+>x x C.至少有一个实数x ，使20≤x D.两个无理数的和必是无理数10.下列选项中的两个集合相等的有（ ）.A.{}(){}2,,21,∣∣==∈==+∈P x x n n Q x x n n Z Z B.{}{}21,,21,∣∣++==-∈==+∈P xx n n Q x x n n N N C.{}21(1)0,,2∣∣⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭n P xx x Q x x n Z D.{}(){}1,,1∣∣==+==+P xy x Q x y y x 11.设全集+=U R，集合{∣==M xy 和{}22∣==+N y y x ，则下列结论正确的是（ ）A.{2}∣⋂=>M N x xB.{1}∣⋃=>M N xx C.()(){02}UU M N x x ⋃=<<∣ D.()(){01}UU M N x x ⋂=<<∣12.生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖(0,0>>a b ，且>a b ），若再添加c 克糖(0)>c （假设糖全部溶于水），则糖水会更甜，于是得出一个不等式+>+b c ba c a.下列说法一定正确的是（ ） A.若0,0>>>a b m ，则++b m a m 与ba大小关系不随m 的变化而变化 B.若0,0>>-<<a b b m ，则+<+b b ma a mC.若0,0>>>>a b c d ，则++<++b d b ca d a c D.若0,0>>ab ，则111+<+++++a b a ba b a b三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）13.已知{}{}2260,20∣∣=+-==++=A xx px B x x qx ，且(){}2A B ⋂=R，则+p q 的值等于__________.14.含有三个实数的集合既可表示成,,1⎧⎫⎨⎬⎩⎭b a a ，又可表示成{}2,,0+a a b ，则20222022-a b __________. 15.关于x 的方程221++=ax x 0至少有一个负的实根的充要条件是__________. 16.对任意正数,x y ，不等式333+≤++x yk x y x y恒成立，则实数k 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.甲､乙两位同学在求方程组232+=⎧⎨-=-⎩ax by cx y 的解集时，甲解得正确答案为()(){},1,1∣-x y ，乙因抄错了c 的值，解得答案为()(){},2,6∣x y ，求-a ac b的值. 18.已知,,a b c 均为正实数.（1）若3++=ab bc ca ，求证：3++≥a b c ； （2）若3++=a b ab ，求ab 的最大值. 19.在①⋃=A B A ，①()⋂=∅A B R，①()⋂=B A R R 三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.设集合(){}22120,()52∣⎧⎫--⎪⎪===+=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭x x A xB x x a x ，__________，求实数a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.某厂家拟在2021年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元()0≥m 满足4(1=-+kx k m 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入是8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816+xx元来计算）， （1）将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.已知命题{}:04,02∣∀∈≤≤≤<p x xx x a ，命题2:,20∃∈-+<q x x x a R . （1）若命题⌝p 和命题q 有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 22.（1）当[]2,3∈x 时，不等式210-+-ax x a 恒成立，求a 的取值范围 （2）解关于x 不等式()2325-+>-∈ax x ax a R答案一､单项选择题，1.答案：C解析：①因为()∈⋃a A B ，则∈a A 或∈a B 或∈⋂a A B ，故错误； ①因为()∈⋂a A B ，则∈a A 且∈a B ，则()∈⋃a A B ，故正确； ①因为⊆A B ，所以⋃=A B B ，故正确；①因为⋃=A B A ，所以⊆B A ，即⋂=A B B ，故正确2.【答案】C 因为集合{31}∣=-<A xx m ，而1∈A 且2∉A ， 311∴⨯-<m 且321⨯-≥m ，解得25<≤m .故选：C. 3.【答案】B 由206-≥-x x 得206-≤-x x ，解得26≤<x ， 所以{}20,{26,}2,3,4,56x A xx Z x x x Z x -⎧⎫=≥∈=≤<∈=⎨⎬-⎩⎭∣∣.故选：B 4.答案：A()2222121322221,10.111-++-++-++>∴->∴==---x x x x x x x x x x x x ()2(1)2133122,11-+-+==-++≥--x x x x x（当且仅当311-=-x x ，即1=x 㫝，等号成立） 5.答案：D解析：因为223>-x m 是14-<<x 的必要不充分条件，所以{14}xx -<<∣ {}223x x m >-∣， 所以2231--m ，解得11-m .故选D 6.答案：B由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件. 7.答案：C ①140,0,11,1>>=-∴a b a a b，故①正确；①14411,164+=≥∴≤∴≥ab a b ab （当且仅当2,8==a b 时成立），故①正确； ①()14459⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭b a a b a b a b a b （当且仅当3,6==a b 时成立），故①错误；①141,4+=∴=-b a a b b 代入191+-a b ，得19911214+=+-≥=-b a b b （当且仅当6=b 时成立），故①正确. 8.答案：B解析：不等式22(1)-<ax x 即不等式22(1)0--<ax x ，即不等式()()11110⎡⎤⎡⎤+---<⎣⎦⎣⎦a x a x 恰有2个整数解，()()110∴+->a a ，解得1>a 或1<-a .当1>a 时，不等式的解集为1111∣⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭xx a a ， 110,,212⎛⎫∈∴ ⎪+⎝⎭a 个整数解为1，2， 1231∴<≤-a ，即22133-<≤-a a ，解得4332≤<a ； 当1<-a 时，不等式的解集为1111∣⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭xx a a ， 11,0,212⎛⎫∈-∴ ⎪-⎝⎭a 个整数解为1,2--， 1321∴-≤<-+a ，即()()21131-+<≤-+a a ，解得3423-<≤-a .综上所述，实数a 的取值范围是3423-<≤-a 或4332≤<a 二､多项选择题9.答案：AC解析：对选项A ，因为Δ932230=-=-<，所以2,2340∀∈-+>x x x R 是真命题；对选项B ，当1=-x 时，210+<x ，故该命题为假命题；对选项C ，当0=x 时，20=x 成立，所以是真命题；对选项D (0=，所以是假命题.故选A C. 10.答案：AC 11.答案：CD因为{{}{}{}21,22∣∣∣∣===≥==+=≥M xy x x N y y x y y ，所以{}2∣⋂=≥M N x x ，{}1∣⋃=≥M N x x ，故A ，B 不正确；又{01}U M xx =<<∣， ()()()(){02},{02},{01}∣∣∣=<<⋃=<<⋂=<<UU U U U N y y M N x x M N x x ，故C ，D 正确.12.答案：ACD解析：对于A ，由题目中信息可知，若0,0>>>a b m ，则+>+b m ba m a，故A 正确； 对于()()()()()B,+-+-+-==+++b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m ，因为0,a b b m >>-<，所以0,0b a a m b m -<+>+>，故0+->+b b m a a m ，即+>+b b m a a m，故B 错误；对于C ，若0,0>>>>a b c d ，则0,0->+>+>c d a d b d ， 由题目中信息可知，++-+>++-+b d c d b d a d c d a d ，即++<++b d b c a d a c，故C 正确；对于D ，若0,0>>a b ，则110,110++>+>++>+>a b a a b b ，所以1111,1111<<++++++a b a a b b ，所以1111+<+++++++a b a b a b a b a b ，即111+<+++++a b a ba b a b，故D 正确.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.答案：143(){}22,2,2260R A B A p ⋂=∴∈∴+-=，解得1=p ，{}{}2602,3∣∴=+-==-A x x x ，又(){}2⋂=A B R ，23,3,(3)320∴-∉∴-∈∴--+=C B B q R ，解得111114,1333=+=+=q p q 14.答案：1由,,1⎧⎫⎨⎬⎩⎭b a a ，可得0,1≠≠a a （否则不满足集合中元素的互异性）. 所以210a a b a b a ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩或210a a a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩解得10a b =-⎧⎨=⎩或10=⎧⎨=⎩a b 经检验1,0=-=a b 满足题意.15.答案：1≤a（1）当0=a 时，原方程化为210+=x ，故102=-<x ，符合. （2）当0≠a 时，原方程2210++=ax x 为一元二次方程， 它有实根的充要条件为Δ0≥，即440-≥a ，所以1≤a . ①当0<a 时，2210++=ax x 至少有一个负实根恒成立. ①当01<≤a 时，2210++=ax x 至少有一个负实根，则202-<a，可得01<≤a . 综上，若方程2210++=ax x 至少有一个负的实根，则1≤a ， 反之，若1≤a ，则方程至少有一个负的实根.因此，关于x 的方程2210++=ax x 至少有一个负的实根的充要条件是1≤a . 16.令3,3=+=+A x y B x y ， 则()()113,388=-=-x A B y B A ，故3313333282⎛⎫+=-+≤= ⎪++⎝⎭x y B A x y x y A B ，=B 时等号成立，故333+++x y x y x y≥k . 四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.17.答案：74-=a ac b解析：将11=⎧⎨=-⎩x y 代入方程组，得232a b c -=⎧⎨+=-⎩①②将26=⎧⎨=⎩x y 代入2+=ax by ，得262+=a b ①. 联立①①①，解得71,,544==-=-a b c ，所以74-=a ac b 18.答案：证明：（1）2222222,2,2+≥+≥+≥a b ab b c bc c a ca ，三式相加可得222++≥++a b c ab bc ca ，()()2222()2222∴++=+++++≥+++++a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ()39=++=ab bc ca ，又,,a b c 均为正整数，3∴++≥a b c 成立.（2）3,3++=+≥∴≥+a b ab a b ab即230+≤1.1≤∴≤ab .即ab 的最大值为1.19.答案：若选①，由⋃=A B A ，得⊆B A .由题意，(){}21201,2⎧⎫--⎪⎪===⎨⎬⎪⎪⎩⎭x x A x， {}(){}222()522150∣∣=+=-=+++-=B x x a x x x a x a当集合=∅B 时，关于x 的方程()222150+++-=x a x a 没有实数根，()22Δ4(1)450∴=+--<a a ，解得3<-a ；当集合≠∅B 时，若集合B 中只有一个元素，则()22Δ4(1)450=+--=a a ，解得3=-a ，此时{}{}24402∣=-+==B xx x ，符合题意； 若集合B 中有两个元素，则{}22220,1,2,430,⎧+-==∴⎨++=⎩a a B a a 无解.综上可知，实数a 的取值范围为{}3∣≤-aa . 若选①，由()RA B ⋂=∅，得⊆B A . 若选①，由()RB A ⋂=R ，得⊆B A .同理，可得实数a 的取值范围为{}3∣≤-aa . 20.答案：（1）()163601=--≥+y m m m （2）3 解析：（1）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件，即当0=m 时，2=x ，将其代入41=-+kx m 中，求得：2=k 即241=-+x m ，所以()()816161.513601+=⨯--=--≥+x y x m m m x m （2）由（1）得：()163601=--≥+y m m m 即()1637137291⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦y m m当且仅当()1611=++m m ，即3=m 时，等号成立，故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大21.答案：（1）若命题{}:04,02∣∀∈≤≤≤<p x xx x a 为真命题，则24>a ，即2>a . 所以若⌝p 为真命题，则2≤a .若命题2:,20∃∈-+<q x x x a R 为真命题， 则2Δ(2)410=--⨯⨯>a ，即1<a . 若⌝q 为真命题，则1≥a .①当⌝p 为真，q 为假时，⌝q 为真，即2,1,≤⎧⎨≥⎩a a 所以12≤≤a ；①当⌝p 为假，q 为真时，p 为真，即2,1,>⎧⎨<⎩a a 无解，舍去. 综上所述，当命题⌝p 和命题q 有且只有一个为真命题时，a 的取值范围为{}12∣≤≤aa . （2）解法一：①当p 真q 假时，⌝q 为真，即2,1,>⎧⎨≥⎩a a 所以2>a ；①当p 假q 真时，⌝p 为真，即2,1,≤⎧⎨<⎩a a 所以1<a ；①当p 真q 真时，2,1,>⎧⎨<⎩a a 无解，舍去.综上所述，a 的取值范围为{1∣<aa 或2}>a . 解法二：考虑,p q 至少有一个为真命题的反面，即,p q 均为假命题，即⌝p 为真，且⌝q 为真，则2,1≤⎧⎨≥⎩a a 解得12≤≤a ，即{}12∣≤≤aa ， 故,p q 至少有一个为真命题时，a 的取值范围为{}12∣≤≤aa 的补集.故a 的取值范围为{1∣<aa 或2}>a . 22.（1）由题意不等式210-+-ax x a 化为()211--a x x ，当[]2,3∈x 时，[]11,2-∈x ，且[]13,4+∈x ， 所以原不等式可化为a 一恒成立，设()[]2,3-∈f x x ，则()f x 的最小值为()134=f ， 所以a 的取值范围是1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.解：（2）不等式2325-+>-ax x ax 可化为()2330+-->ax a x ，即()()130+->x ax ，①当0=a 时，原不等式的解集为{1}∣<-xx ； ①当0≠a 时，方程的两根为1-和3a； 当0>a 时，不等式的解集为{1∣<-xx 或3⎫>⎬⎭x a ； 当0<a 时， （i ）若31>-a ，即3<-a ，原不等式的解集为31∣⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭xx a ； （ii ）若31<-a ，即30-<<a ，原不等式的解集为31∣⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭xx a ； （iii ）若31=-a，即3=-a ，原不等式的解集为∅， 综上所得：当0=a 时，原不等式的解集为{1}∣<-xx ； 当0>a 时，不等式的解集为{1∣<-xx 或3⎫>⎬⎭x a ； 当3<-a 时，原不等式的解集为31∣⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭xx a ； 当30-<<a 时，原不等式的解集为31∣⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭x x a ； 当3=-a 时，原不等式的解集为∅.。
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020~2021学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<，则（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．B A ∈D ．B A ⊆ 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，则()()U U M N ⋂=（ ） A ．{}2,3,4,5 B ．{}1,2,4,5,6 C ．{}1,2,6 D ．{}63．下列命题中，p 是q 的充分条件的是（ ）A ．0:P ab ≠，0:q a ≠B ．220:a P b +≥，0:q a ≥且0b ≥C ．2:1P x >，:1q x >D ．:P a b >，q >4．已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．命题:0p x ∀>，总有11x +>，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃≤，使得11x +≤B ．0x ∃>，使得11x +≤C ．0x ∀>，总有11x +≤D ．0x ∀≤，总有11x +≤ 6．若01a <<，01b <<，且a b ，则下列代数式中最大的是（ ）A ．22a b +B ．+a bC ．2abD ．7．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为（ ） A ．(3,0)- B ．[3,0]- C ．(3,0]- D ．[3,0)-8．定义集合运算：{|()(),A B z z x y x y ⊗==+⨯-,}x A y B ∈∈，设A =，{B =，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．16D ．15二、多选题9．（多选）下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C ．方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}11，D ．0与{}0表示同一个集合10．（多选）设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的为（）A ．AB A ⋃=B ．()U A B =∅C ．()()U U A B ⊆D ．()U A B U =11．已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．912．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．228a b +≥B ．114ab ≥C 2≥D ．111a b +≤三、填空题13．已知0x >，则函数423y x x=--的最大值是__________． 14．若不等式()()120mx x -->的解集为12xx m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则m 的取值范围是________. 15．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是________．16．设正实数满足,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当z xy取最小值时，2x y z +-的最大值为 ．四、解答题17．已知{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+-+-=. （1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知:p x R ∃∈，使2420mx x -+=为假命题．（1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知2210ax ax ++≥恒成立，解关于x 的不等式220x x a a --+<.20．已知0x > ， 0y > ，280x y xy +-= .（1）求xy 的最小值；（2）求x y + 的最小值.21．某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（()0m ≥满足31x k m =-+）（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2004年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．已知一元二次函数()2f x ax bx c =++. （1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<； （2）若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求222b ac +的最大值.参考答案1．B【解析】【分析】根据集合的包含关系定义直接得答案.【详解】 解：集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<，则A B ⊆.故选：B【点睛】本题考查集合的包含关系，注意属于是表示元素与集合之间的关系，是基础题.2．D【解析】【分析】由集合的补集运算可得{}4,5,6U M =，{}1,2,6U N =，再由交集运算即可得解. 【详解】因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，所以{}4,5,6U M =，{}1,2,6U N =， 所以()(){}6UU M N ⋂=. 故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.3．A【解析】【分析】利用充分性的概念逐一判断即可.【详解】解：A ：0000a ab a b ≠⎧≠⇔⇒≠⎨≠⎩，故p 是q 的充分条件； B ：220a R a b b R∈⎧+≥⇔⇒⎨∈⎩0a ≥且0b ≥，故p 不是q 的充分条件； C ：211x x >⇔>或11x x <-⇒>，故p 不是q 的充分条件；D ：当a b >时，若0b a <<，则不能推出:q >p 不是q 的充分条件.故选：A.【点睛】本题考查充分性的判断，是基础题.4．A【解析】【分析】根据两个条件之间的推出关系可判断两者之间条件关系.【详解】若220x y +=，则0x y ==，则0xy =， 若0xy =，取0,1x y ==，此时2210x y +=≠，故“220x y +=”是“0xy =”的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件，此类问题可通过两者之间的推出关系来判断之间的条件关系，本题属于基础题．5．B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得出答案.【详解】解：命题:0p x ∀>，总有11x +>，则p ⌝为0x ∃>，使得11x +≤.故选：B本题考查全称命题的否定，是基础题.6．B【解析】【分析】利用基本不等式和差比较法，确定代数式中最大的选项.【详解】由01a <<，01b <<，且a b知222,a b ab a b +>+>所以最大值为A 、B 中的一个. ()()()222211a b a b a a b b a a b b +-+=-+-=-+-，由于10,1001,01,b a b a <<<<-<-<，所以()()110a a b b -+-<，所以22a b a b +<+，所以+a b 为四个代数式中最大的.故选：B【点睛】本小题主要考查基本不等式和差比较法比较大小，属于基础题.7．A【解析】【分析】由一元二次不等式，可知0k ≠，所以00k <⎧⎨∆<⎩，得到k 的范围. 【详解】 因为一元二次不等式23208kx kx +-<，对一切实数x 都成立， 所以00k <⎧⎨∆<⎩，即2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得030k k <⎧⎨-<<⎩ 所以k 的取值范围为30k -<<【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.8．B【解析】由题意A =，{B =，则A B ⊗有)))111,0,112,⨯=⨯==1= 四种结果，由集合中元素的互异性，则集合A B ⊗由3个元素，故集合A B ⊗的真子集个数为3217-=个，故选B9．CD【解析】【分析】根据集合中元素的特性以及集合与元素的区别逐项判断.【详解】10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7，故A 正确；由集合中元素的无序性知{}1,2,3和{}3,1,2表示同一集合，故B 正确；方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}1，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误.故选CD.【点睛】本题考查集合中元素的特性以及元素与集合的区别，难度较易.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.10．ABCD【解析】【分析】根据venn 图，可直接得出结果.【详解】由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD【点睛】本题主要考查充要条件，熟记充要条件的概念，以及集合的图示法即可，属于常考题型. 11．ABC【解析】【分析】首先设26y x x a =-+，根据题意得到2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a ，再解不等式组即可得到答案. 【详解】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 解得58a <≤，.又a Z ∈，故a 可以为6，7，8.故选：ABC【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 12．AB【解析】【分析】应用基本不等式进行检验．【详解】222()82a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；4a b +=≥4ab ≤，114ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，B 正确，C 错误，1141a b a b ab ab++==≥，D 错误． 故选AB ．【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式的形式：2a b +≥．13．2-【解析】【分析】 由函数423(0)y x x x =-->变形为42(3)y x x=-+，再由基本不等式求得43t x x =+≥42(3)2y x x=-+≤-，即可得到答案. 【详解】 ∵函数423(0)y x x x =--> ∴42(3)y x x =-+由基本不等式得43t x x =+≥43x x =，即x =时取等号.∴函数423(0)y x x x =-->的最大值是2-故答案为2-.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．{}0m m <【解析】【分析】 由一元二次不等式的解法可得012m m<⎧⎪⎨<⎪⎩，即可得解. 【详解】因为不等式()()120mx x -->的解集为12x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 所以012m m<⎧⎪⎨<⎪⎩，所以0m <， 所以m 的取值范围是{}0m m <. 故答案为：{}0m m <.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解求参数，考查了运算求解能力，属于基础题.15．(0,1)【解析】【分析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m 满足不等式组()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得0<m<1. 故答案为(0,1)【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.16．2试题分析：上式变形为2234z x xy y =-+，得22344331z x xy y x y xy xy y x -+==+-≥=，当且仅当2x y =时取等号．2222222[(2)64]24x y z y y y y y y y +-=+--+=-+，当1y =时取得最大值为2．考点：基本不等式、函数的最值17．（1）5a =-或1a =；（2）{}3a a >.【解析】【分析】（1）由交集的结果可得2B ∈，进而可得5a =-或1a =，代入验证即可得解；（2）转化条件为B A ⊆，按照B =∅、B 为单元素集及{}1,2B =讨论，即可得解.【详解】（1）由题意{}{}23201,2A x x x =-+==， {}2A B =，2B ∴∈，()244150a a +-+-=∴，解得5a =-或1a =，当5a =-时，{}{}2122002,10B x x x =-+==，{}2A B ⋂=，符合题意； 当1a =时，{}{}2402,2B x x =-==-，{}2A B ⋂=，符合题意； 5a ∴=-或1a =.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，①当B =∅时，()()2241452480a a a ∆=---=-<，解得3a >； ②当B 为单元素集时，2480a ∆=-=，解得3a =， 所以{}{}24402B x x x =++==-，不合题意； ③当{}1,2B =时，可得()201221125a a ∆>⎧⎪+=--⎨⎪⨯=-⎩，无解，不合题意；∴实数a 的取值范围为{}3a a >.本题考查了由集合的运算结果求参数，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于基础题. 18．（1）{}2B m m =>；（2）213aa ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数进行转化求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．【详解】（1）p 等价于2420mx x -+=无实根，当0m =时，012x =，有实根，不合题意； 当0m ≠时，由已知得16420m ∆=-⨯<，2m ∴>.{}2B m m ∴=>.（2）{}23A x a x a =+>>为非空集合，故23a a +>，1a ∴<若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ≠⊂成立，32a ∴≥， 此时213a ≤<时，故a 的取值范围为213a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键． 19．当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-；当12a =时，原不等式的解集为∅；当112a <≤时，原不等式的解集为{}x a x a -<<. 【解析】【分析】先根据恒成立分析出a 的范围，然后根据a 的范围分类讨论求解不等式解集.【详解】当0a =时，10≥，不等式恒成立；当0a ≠时，则20,440,a a a >⎧⎨∆=-≤⎩解得01a <≤. 综上，01a ≤≤.由220x x a a --+<得，()()10x a x a ---<⎡⎤⎣⎦.01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不等式无解； ③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<. 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-；当12a =时，原不等式的解集为∅；当112a <≤时，原不等式的解集为{}x a x a -<<. 【点睛】本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集，难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况，首先要思考是否需要对字母分类讨论，然后再考虑求不等式解集.20．(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为18.【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由28x y xy +=，变形得821x y+=，利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 试题解析：(1)由280x y xy +-= ，得821x y += ,又0x > ，0y >，故821x y =+≥=故64xy ≥，当且仅当821,82x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即164x y =⎧⎨=⎩时等号成立，∴()min 64xy = (2)由2280x y xy +-=,得821x y +=,则()82x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭28=101018x y y x ++≥+=.当且仅当821,28x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即126x y =⎧⎨=⎩时等号成立.∴()min 18x y +=【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．21．（1）16[(1)]29(0)1y m m m =-+++≥+；（2）21万元. 【解析】【分析】（1）由0m =时，1x =，解得2k =，得到每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元，进而列出函数的解析式；（2）由0m ≥时，结合基本不等式，求得16(1)81m m ++≥+，即可求解. 【详解】（1）由题意，当0m =时，1x =（万件），可得13k =-，解得2k =， 所以231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元， ∴2004年的利润()8161.581648x y x x m x m x +⎡⎤=⋅⨯-++=+-⎢⎥⎣⎦ 21648(3)[(1)]29,(0)11m m m m m =+--=-+++≥++. （2）因为0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+，所以82921y ≤-+=， 当且仅当1611m m =++时，即3m =（万元）时，max 21y =（万元）. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中正确理解题意，列出函数关系式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.22．(1) ()3,5x ∈-(2) 2-【解析】分析：(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得(),120b a c a a =-=-<，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得0∆≤，即得()204b a c a ≤≤-，因此()222224a c a b a c a c-≤++，再令1c t a =-化为对勾函数，利用基本不等式求最值. 详解：（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<∴0a <，34b b -+=-，()34c a -⨯= ∴(),120b a c a a =-=-<.故()222302150(0)bx ax c b ax ax a +-+<⇔-++<<从而22150x x --<，解得()3,5x ∈-.（2）∵()()2220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立， ∴()()()()22224004400b a a c b a b a ac a ∆=---≤>⇔+-≤>， ∴()204b a c a ≤≤-∴()2222224141c a c a b a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令1c t a =-，∵()240a c a b -≥≥ ∴1c c a a≥⇒≥，从而0t ≥， ∴()22222442211b t t a c t t t ≤=+++++，令()()24022t g t t t t =≥++. ①当0t =时，()00g =；②当0t >时，()4222g t t t=≤=++ ， ∴222b a c+的最大值为2. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.。
2021学年湖南邵东市高一数学上学期第一次月考试卷附答案解析
2021学年湖南邵东市高一数学上学期第一次月考试卷一、单选题1．设集合A ={x ，B ={x |x >-2}，则A ∪B =（ ） A ．(-2，-1)B ．(-2，-1]C ．(-4，+∞)D ．[-4，+∞)2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()21,11x f x g x x x -==+-B ．()()2f xg x ==C ．()(),f x x g x =D ．()()11,f x x g x =-=3．函数x y a =（0a >且1a ≠）与()1y a x =-的图象有可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．4．幂函数()f x kx α=过点()4,2，则k α+=（ ）A ．32B ．3C ．12D ．25．已知f (x )=221,23,2x x x x x -≥⎧⎨-+<⎩，则((1))(4)f f f +的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116．函数y = ） A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[)2,+∞D ．[]2,37．若1221,3333a t b t t ⎛⎫=-=+-<< ⎪⎝⎭，则19a b+的最小值为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．248．已知函数()1f x +为偶函数，当211x x >>时，()()()21210f x f x x x -⋅-<⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b >>二、多选题9．下列命题中，真命题的是（ ） A ．0a b +=的充要条件是1a b= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”D ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件10．具有性质：f (1x)=-f (x )的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．f (xB ．f (x )=x -1xC ．f (x )=x +1x D ．,01()0,11,1x x f x x x x ⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩11．下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A ．当0x <时，()()112x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，故0x <时，1x x +的最大值为2-；B ．当1x >时，21x x +≥-当且仅当21x x =-时取等号，解得1x =-或2，又由1x >，所以取2x =，故1x >时，21x x +-的最小值为22421+=-； C．由于222299444244x x x x +=++-≥=++，故2294x x ++的最小值是2；D ．x ，0y >，且42xy +=，由于24x y =+≥12，又112412x y +≥≥=，则x ，0y >，且42x y +=，11x y+的最小值为4．12．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是（ ）A ．函数()sgn y x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn 1xe =C ．函数()sgn xy e x =⋅-的值域为(),1-∞D ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =⋅三、填空题 13．设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________. 14．若m ，n 满足m 2+5m -3=0，n 2+5n -3=0，且m ≠n ，则11m n+的值为___________. 15．若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 16．给出以下四个命题：∪若集合A ={x ，y }，B ={0，x 2}，A =B ，则x =1，y =0；∪若函数f (x )的定义域为(-1，1)，则函数f (2x +1)的定义域为(-1，0)； ∪函数f (x )=1x的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞)；∪若f (x +y )=f (x )f (y )，且f （1）=1，则(2)(4)(2018)(2020)2020(1)(3)(2017)(2019)f f f f f f f f ++⋅⋅⋅++=. 其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号) 四、解答题17．设全集U =R ，集合{}28A x x =≤<，()(){}160B x x x =+-<. （1）求A B ，A B ;（2）若{}C x x a =≤，且U C C A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知二次函数()f x 满足()02f =，且()()123f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[)1,x ∈+∞时，求()h x 的最小值.19．已知2210ax ax ++≥恒成立． (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式220x x a a --+<. .20．定义在()(),00,∞-+∞上的函数()y f x =满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 在()0,∞+上是增函数．(1)求()1f -的值；(2)判断函数()y f x =的奇偶性并证明； (3)若()42f =，解不等式()()521f x f --≤．21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？22．已知函数f (x )=x +11x +，g (x )=ax +5-2a (a >0). （1）判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；（2）若对任意m ∪[0，1]，总存在m 0∪[0，1]，使得g (m 0)=f (m )成立，求实数a 的取值范围. 解析 1．D【解析】先化简集合A ，再利用并集的运算求解.【详解】因为集合A ={x {}|41x x -≤<-，B ={x |x >-2}，则A ∪B =[-4，+∞)，故选：D 2．C【分析】利用函数的定义判断.【详解】A. 函数()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()1g x x =+的定义域为R ，故不是同一函数；B. ()f x =R ，()2g x =的定义域为[0,)+∞，故不是同一函数；C. ()(),f x x g x x =的定义域都是R ，且解析式相同，故是同一函数；D. ()f x {}|1x x ≥，()g x ={|1x x ≥或1}x ≤-，故不是同一函数，故选：C 3．D【分析】分1a >和01a <<两种情况，根据指数函数和一次函数的图象与性质求解. 【详解】当1a >时，函数x y a =递增，恒过定点（0，1），()1y a x =-递减， 当01a <<时，函数x y a =递减，恒过定点（0，1），()1y a x =-递增，故选：D4．A【解析】根据幂函数可得1k =，代入()4,2得12α=，从而得解. 【详解】幂函数()f x kx α=过点()4,2，所以()1,442k f α===，解得12α=， 所以32k α+=.故选：A. 5．C【解析】根据分段函数f (x )=221,23,2x x x x x -≥⎧⎨-+<⎩，求得()(1),(4),(1)f f f f 即可.【详解】因为f (x )=221,23,2x x x x x -≥⎧⎨-+<⎩， 所以()()(1)2,(4)2417,(1)22213f f f f f ==⨯-===⨯-=， 所以((1))(4)3710f f f +=+=，故选：C 6．D【解析】根据复合函数单调性“同增异减”的判断原则，结合二次根式有意义的条件，即可求得f(x)的单调减区间．【详解】令2430x x -+-≥，即()()130x x --≤，解得函数定义域为[]1,32t y =单调递增，t =[)1,2上单调递增，在[]2,3上单调递减∴y =[]2,3故选：D7．B【解析】由条件得出0,0a b >>且1a b +=，再由1999a b a ba b a b +++=+结合基本不等式，即可得出答案.【详解】2133t -<<，0,0a b ∴>>且1a b +=199910691021a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=（当且仅当13,44a b ==，即112t =时，取等号）即19a b+的最小值为16故选：B 8． B ．c b a >> C ．a b c >> D ．c a b >>【答案】A【分析】根据211x x >>时，()()()21210f x f x x x -⋅-<⎡⎤⎣⎦恒成立，得到()f x 在()1,+∞上递减，再由函数()1f x +为偶函数，得到()f x 图象关于1x =对称求解.【详解】解：因为当211x x >>时，()()()21210f x f x x x -⋅-<⎡⎤⎣⎦恒成立，所以()f x 在()1,+∞上递减，、又因为函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-，即()f x 图象关于1x =对称， 又1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5322>>，所以()()5322f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c >>，故选：A二、BCD【解析】根据充分条件以及必要条件的定义，判断ABD ，再由否定的定义判断C. 【详解】0a =，0b =时，不能得1a b =，由1ab=得a b =，所以A 错误； 1a >，1b >，则1ab >，正确；命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”，C 正确； 解220x x +->得1x >或2x <-所以“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查命题的真假的判定，以及充分､必要条件，含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 10．BD【解析】直接利用“倒负“变换的函数的定义验证求解.【详解】A. ()1f f x x ⎛⎫==≠- ⎪⎝⎭，故错误； B. ()11f x f x x x⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故正确； C. ()11+f x f x x x⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，故错误； D. 当01x <<时，11x >，所以()1()f x f x x =-=-，当1x >时，101x <<，所以()11()f f x x x==-， 当1x =时，11x =，所以()1()0f f x x==-，故正确；故选：BD 11．BCD【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件，即“一正二定三相等”． 【详解】】解：对于A ，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A 的运算方法正确； 对于B ，当1x >时，222112(1)11111x x x x x x +=-++-+=---， 当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，即B 的运算方法错误； 对于C ，取等的条件是22944x x =++，即243x +=±，显然均不成立，即C 的运算方法错误； 对于D ，第一次使用基本不等式的取等条件为4x y =，而第二次使用基本不等式的取等条件为x y =，两者不能同时成立，即D 的运算方法错误． 故选：BCD ．12．ABD【解析】作出()sgn y x =的图象可判断A ，由0x e >可判断B ，分别讨论0x >，0x =和0x <，利用函数的图象和性质可判断CD.【详解】A. 由函数的图象可知函数sgn()y x =是奇函数，所以该选项正确；B. 因为0x e >，所以对任意的x ∈R ，sgn()1x e =，所以该选项正确；C. 当0x >时，sgn()1x -=-，因为此时e 1x >，所以sgn()x y e x =⋅-的值域为(,1)-∞-；当0x =时，sgn()0x -=，因为此时=1x e ，所以sgn()x y e x =⋅-的值域为{0}；当0x <时，sgn()1x -=，因为此时01x e <<，所以sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(0,1)；所以函数sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(,1)[0,1)-∞-⋃，所以该选项错误.D. 当0x >时，sgn()=1=||x x x x x ⋅⋅=；当0x =时，sgn()=010||x x x ⋅⋅==；当0x <时，sgn()=(1)||x x x x x ⋅⋅-=-=，所以对任意的,sgn()x R x x x ∈⋅＝.所以该选项正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是讨论自变量和0的关系，利用分段函数的表达式进行判断. 13．1-【详解】因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数， (11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意.故答案为1-. 14．53【解析】由题可知,m n 是方程2530x x +-=的两个不同实根，根据韦达定理可求出. 【详解】由题可知,m n 是方程2530x x +-=的两个不同实根， 则5,3m n mn +=-=-，115533m n m n mn +-∴+===-.故答案为：53.15．3【解析】由()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x x x =++，由此能求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【详解】解：()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭， ∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得42()133f x x x =++，∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯．故答案为：3． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16．∪∪【解析】∪由集合相等的定义判断；∪根据抽象函数的定义域判断；∪根据函数的单调性区间不能合并判断；∪根据f (x +y )=f (x )f (y )，由()()()()()()()()()211,431,...,202020191f f f f f f f f f ===代入判断.【详解】∪由A ={x ，y }，B ={0，x 2}，A =B 可得20x y x =⎧⎨=⎩（舍去）或20x x y ⎧=⎨=⎩，故x =1，y =0，正确； ∪由函数f (x )的定义域为(-1，1)，则函数f (2x +1)满足-1<2x +1<1，解得-1<x <0，即函数f (2x +1)的定义域为(-1，0)，正确；∪函数f (x )=1x的单调递减区间是(-∞，0)，(0，+∞)，不能用并集符号，错误；∪由题意f (x +y )=f (x )f (y )，且f （1）=1，则()()()()()()()()2420182020...1320172019f f f f f f f f ++++， ()()()()()()()()()()()()11312017120191...10101320172019f f f f f f f f f f f f =++++=，错误. 故答案为：∪∪17．（1）{}|18A B x x =-<<，{}|26A B x x =≤<；（2）2a < 【分析】（1）求出集合B 中x 的范围，然后直接求A B ，A B 即可； （2）求出U C A ，根据U C C A ⊆可直接得实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）因为()(){}{}160|16B x x x x x =+-<=-<<， 所以{}|18A B x x =-<<，{}|26A B x x =≤<；（2）由已知{|2U C A x x =<或}8x ≥，又U C C A ⊆，且{}C x x a =≤，2a ∴< 【点睛】本题考查集合的交并补运算，以及集合的包含关系，是基础题．18．（1）()222f x x x =++；（2）()2min 52,221,2t t h x t t t -≤⎧=⎨-++>⎩.【解析】（1）根据二次函数()f x ，则可设()()20f x ax bx c a =++≠，再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可；（2）根据（1）中所求的()f x 求得()()2212h x x t x =+-+，分11t -≤和11t ->两种情况讨论，分析函数()h x 在区间[)1,+∞上的单调性，求解()h x 的最小值即可.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠.()02f c ==，又()()123f x f x x +-=+，即()()221122223a x b x ax bx ax a b x ++++---=++=+，所以，213a a b =⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即()222f x x x =++；（2）由题意知，()()2212h x x t x =+-+，[)1,x ∈+∞，二次函数()h x 的对称轴为直线1x t =-.∪当11t -≤，即2t ≤时，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，即()()min 152h x h t ==-； ∪当11t ->，即2t >时，函数()h x 在[)1,1t -上单调递减，在[)1,t -+∞上单调递增， 此时，()()()22min 12121h x h t t t t =-=--=-++.综上，()2min 52,221,2t t h x t t t -≤⎧=⎨-++>⎩. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 19．(1)01a ≤≤；(2)答案见解析.【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况讨论，在0a =时，直接验证即可，在0a ≠时，由已知条件可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围；（2）将所求不等式变形为()()10x a x a ---<⎡⎤⎣⎦，对a 与1a -的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】(1)解：因为2210ax ax ++≥恒成立． ∪当0a =时，10≥恒成立，合乎题意；∪当0a ≠时，则20Δ440a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得01a <≤. 综上所述，01a ≤≤.(2)解：由220x x a a --+<得()()10x a x a ---<⎡⎤⎣⎦. ∪当1a a ->时，即当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-； ∪当1a a -=时，即当12a =时，原不等式的解集为∅；∪当1a a -<时，即当112a <≤时，原不等式的解集为{}1x a x a -<<. 综上所述，当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-； 当12a =时，原不等式的解集为∅； 当112a <≤时，原不等式的解集为{}1x a x a -<<. 20．(1)()10f -=(2)()f x 是偶函数；证明见解析(3){15x x ≤<或}59x <≤ 【分析】（1）分别令0x y =≠和1x =，1y =-即可得结果； （2）令1y =-结合偶函数的定义即可得结果；（3）求出()21f =，结合单调性和奇偶性可将不等式化为54x -≤且50x -≠，解出即可. 【详解】(1)令0x y =≠，则()()()10f f x f x =-=．再令1x =，1y =-可得()()()()1111f f f f -=--=--，∪()10f -=． (2)()f x 是偶函数；证明：令1y =-可得()()()()1f x f x f f x -=--=，∪()f x 是偶函数． (3)令4,2x y ==得()()()242f f f =-，∪()()12412f f ==． 所以不等式()()521f x f --≤，即()()524f x f -≤=， 又因为()f x 为()(),00,∞-+∞上的偶函数，所以()()54f x f -≤且5x ≠，又因为()f x 在()0,∞+上是增函数，所以54x -≤且50x -≠解得15x ≤<或59x <≤ 所以不等式的解集为{15x x ≤<或}59x <≤． 21．(1) y=-2224320025x x ++; (2) 200元;(3) 每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元【分析】（1）先计算降价后每台冰箱的利润，然后计算每天销售额，两者相乘得到利润的表达式.（2）令利润的表达式等于4800，解出降价的钱，从中选一个百姓能得到更大优惠的.（3）利用二次函数的对称轴，求得函数的最大值以及相应的自变量的值. 【详解】（1）根据题意，得y=（2400-2000-x ）（8+4×50x），即y=-2224320025x x ++； （2）由题意，得-22243200480025x x ++=整理，得x 2-300x+20000=0， 解这个方程，得x 1=100，x 2=200，要使百姓得到实惠，取x=200，所以，每台冰箱应降价200元； （3）对于y=-2224320025x x ++11 当x=-241502225=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，y 最大值=（2400-2000-150）（8+4×15050）=250×20=5000， 所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元．【点睛】本小题主要考查数学在实际生活中的运用，考查二次函数模型的知识，属于基础题.22．（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）任取1201x x ≤<≤，计算()()12f x f x -并判断正负即可判断单调性；（2）可得出f (m )∪31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (m 0)∪[5-2a ，5-a ]，由题得31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪[5-2a ，5-a ]，即可建立不等式求出. 【详解】（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明如下：设1201x x ≤<≤，则()()12f x f x -12121111x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()1212121211x x x x x x x x -++=++， 因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数f (x )在[0，1]上单调递增；（2）由（1）知，当m ∪[0，1]时，f (m )∪31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0a >，()52g x ax a =+-在[0，1]上单调递增，所以m 0∪[0，1]时，g (m 0)∪[5-2a ，5-a ]. 依题意，只需31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪[5-2a ，5-a ]，所以521352a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出()0g m 和()f m 的取值范围，由()f m 的范围是()0g m 范围的子集建立不等式求解.。
2021学年湖南省邵阳市某校高一(上)第一次月考数学试卷(2)(有答案)
2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷（2）一．选择题：（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．）1. 集合{a, b}的子集有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个2. 若集合X ={x|x >−1}，下列关系式中成立的为( )A.0⊆XB.{0}∈XC.⌀∈XD.{0}⊆X3. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =( )A.{x|−5≤x <1}B.{x|−5≤x ≤2}C.{x|x <1}D.{x|x ≤2}4. 下列图象中表示函数图象的是( ) A. B.C.D.5. 下列函数中哪个与函数y =x 相等（ ）A.y =(√x)2B.y =√x 33C.y =√x 2D.y =x 2x6. 设函数f(x)={−x,x ≤0,x 2，x >0,若f(a)=4，则实数a =( ) A.−4或−2B.−4或2C.−2或4D.−2或27. 函数f(x)的定义域为[0, 1]，则函数f(x −2)的定义域是（ ）A.[2, 3]B.[0, 1]C.[−2, −1]D.[−1, 1]8. 定义在(0, +∞)函数f(x)，对定义域内的任意x 都有f(y x )=f(y)−f(x)，则f(1)的值等于（）A.2B.12C.1D.09. 若x，y∈R，且f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)( )A.f(0)=0且f(x)为奇函数B.f(0)=0且f(x)为偶函数C.f(x)为增函数且为奇函数D.f(x)为增函数且为偶函数10. 若奇函数f(x)在[1, 3]上为增函数，且有最小值0，则它在[−3, −1]上()A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）设集合{1, a+b, a}={0, ba , b}，则ba=________．函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数的单调递增区间为________．当函数y=f(x)在R上单调递增，且f(2m−1)>f(−m)，则实数m的取值范围是________．已知f(x)为定义在(−∞, +∞)上的偶函数，且f(x)在[0, +∞)上为增函数，则a=f(2)，b=f(π)，c=f(−3)的大小顺序是________（从大到小的顺序）已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)单调递增，则满足f(2x−1)<f(13)的x的取值范围是________．三．解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分）设集合A={x|−2≤x≤4}，B={x|m−3≤x≤m}．（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；（2）若A⊆(∁R B)，求实数m的取值范围．已知函数f(x)=2x2−1．（1）用定义证明f(x)是偶函数；（2）用定义证明f(x)在(−∞, 0]上是减函数；（3）写出函数y=f(x)当x∈[−1, 2]时的最大值与最小值．（不要求步骤）已知实数a≠0，函数f(x)={2x+a,x<1−x−2a,x≥1，若f(1−a)=f(1+a)，求a的值．已知函数f(x)=√3−axa−1(a≠1)．（1）若a=2，求f(x)的定义域；（2）若f(x)在区间(0, 1]上是减函数，求实数a的取值范围．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？已知函数y=x+tx有如下性质：如果常数t>0，那么该函数(0, √t]上是减函数，在[√t, +∞)上是增函数．（1）已知f(x)=4x 2−12x−32x+1，g(x)=−x−2a，x∈[0, 1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．（2）对于（1）中的函数f(x)和函数g(x)，若对于任意的x1∈[0, 1]，总存在x2∈[0, 1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的值．参考答案与试题解析2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷（2）一．选择题：（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】C【考点】子集与真子集【解析】根据子集的定义解答．【解答】集合{a, b}的子集有⌀，{a}，{b}，{a, b}共有4个；2.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】根据0大于−1可知0是集合X中的元素，且以0为元素的集合是集合X的子集，即可判断出答案．【解答】解：根据集合中的不等式x>−1可知0是集合X中的元素，即0∈X，则{0}⊆X.故选D．3.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】把对应的集合A，B的范围画在数轴上，即可求出结论．【解答】解：因为集合A={x|−5≤x<1}，B={x|x≤2}，对应数轴上的图象为：所以A∩B={x|−5≤x<1}故选：A．4.【答案】C【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C.5.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选B．6.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a>0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．【解答】解：当a≤0时，若f(a)=4，则−a=4，解得a=−4；当a>0时，若f(a)=4，则a2=4，解得a=2或a=−2（舍去）.故实数a=−4或a=2.故选B.7.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用已知函数的定义域，由0≤x−2≤1，即可解得函数的定义域．【解答】因为函数f(x)的定义域为[0, 1]，所以由0≤x−2≤1，解得2≤x≤3，即函数f(x−2)的定义域为[2, 3]．8.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】利用赋值法，只需令x=y=1即可得到f(1)的值．【解答】)=f(y)−f(x)，解：∵定义在(0, +∞)函数f(x)，对定义域内的任意x都有f(yx∴令x=y=1得f(1)=f(1)−f(1)=0故选D．9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】根据已知中对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)= 0，令y=−x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论．【解答】解：∵对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，∴令x=y=0得，f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0；令y=−x得，f(x−x)=f(x)+f(−x)=f(0)=0，∴f(−x)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数．故选A．10.【答案】D【考点】奇函数函数单调性的判断与证明【解析】奇函数在对称的区间上单调性相同，且横坐标互为相反数时函数值也互为相反数，由题设知函数f(x)在[−3, −1]上是增函数，且0是此区间上的最大值，故得答案．【解答】解：由奇函数的性质，∵奇函数f(x)在[1, 3]上为增函数，∴奇函数f(x)在[−3, −1]上为增函数，又奇函数f(x)在[1, 3]上有最小值0，∴奇函数f(x)在[−3, −1]上有最大值0.二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）【答案】−1【考点】集合的相等【解析】根据集合相等，分别讨论元素的对应关系，建立方程求等号．【解答】解：因为{1, a+b, a}={0, ba, b}，所以a≠0，a+b=0，即b=−a，所以ba=−1．故答案为：−1．【答案】(−∞, 0)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据解析式和偶函数的性质求出a的值，再代入解析式后由二次函数的性质写出单调增区间．【解答】解：因为函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，所以2+a=0，解得a=−2，则f(x)=−2x2+1，所以函数的单调递增区间为：(−∞, 0)，故答案为：(−∞, 0)．【答案】(13, +∞)【考点】函数单调性的性质【解析】根据函数单调性的定义建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f(x)在R上单调递增，且f(2m−1)>f(−m)，∴2m−1>−m，解得m>13，故答案为：(13, +∞)【答案】b>c>a【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数是偶函数，得到f(−3)=f(3)，然后利用函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，可以比较a，b，c的大小关系．解：因为f(x)为定义在(−∞, +∞)上的偶函数，所以f(−3)=f(3)，因为函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，且2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(2)<f(−3)<f(π)，即b >c >a ．故答案为：b >c >a ．【答案】(13, 23) 【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由偶函数性质得f(2x −1)＝f(|2x −1|)，根据f(x)在[0, +∞)上的单调性把该不等式转化为具体不等式，解出即可．【解答】因为f(x)为偶函数，所以f(2x −1)＝f(|2x −1|)，所以f(2x −1)<f(13)⇔f(|2x −1|)<f(13)，又f(x)在[0, +∞)上单调递增，所以|2x −1|<13，解得13<x <23，所以x 的取值范围为(13, 23)，三．解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分）【答案】解：（1）因为A ={x|−2≤x ≤4}，B ={x|m −3≤x ≤m}．所以若A ∩B ={x|2≤x ≤4}，则{m −3=2m ≥4，即{m =5m ≥4，所以m =5．…6分 （2）因为B ={x|m −3≤x ≤m}，所以∁R B ={x|x >m 或x <m −3}，要使A ⊆(∁R B)，则m −3>4或m <−2，即m >7或m <−2．即m 的取值范围为(−∞, −2)∪(7, +∞)…12分．【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】（1）根据集合的运算A ∩B ={x|2≤x ≤4}，求实数m 的值．（2）根据A ⊆(∁R B)，建立条件关系，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）因为A ={x|−2≤x ≤4}，B ={x|m −3≤x ≤m}．所以若A ∩B ={x|2≤x ≤4}，则{m −3=2m ≥4，即{m =5m ≥4，所以m =5．…6分 （2）因为B ={x|m −3≤x ≤m}，所以∁R B ={x|x >m 或x <m −3}，要使A ⊆(∁R B)，则m −3>4或m <−2，即m >7或m <−2．即m 的取值范围为(−∞, −2)∪(7, +∞)…12分．【答案】（1）证明：∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)=2(−x)2−1=2x2−1=f(x)，∴f(x)是偶函数；（2）证明：设x1<x2≤0，则f(x1)−f(x2)=2(x1+x2)(x1−x2)，∵x1<x2≤0，∴x1+x2<0，x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)>0，∴f(x)在(−∞, 0]上是减函数；（3）解：f(x)在[−1, 0]上是减函数，在[0, 2]上是增函数∴x=0时，函数取得最小值为−1；x=2时，函数取得最大值为7．【考点】函数奇偶性的判断二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）利用偶函数的定义证明即可；（2）利用定义证明函数单调性的步骤是：取值、作差、变形定号、下结论；（3）确定函数的单调性，从而可得函数f(x)当x∈[−1, 2]时的最大值与最小值．【解答】（1）证明：∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)=2(−x)2−1=2x2−1=f(x)，∴f(x)是偶函数；（2）证明：设x1<x2≤0，则f(x1)−f(x2)=2(x1+x2)(x1−x2)，∵x1<x2≤0，∴x1+x2<0，x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)>0，∴f(x)在(−∞, 0]上是减函数；（3）解：f(x)在[−1, 0]上是减函数，在[0, 2]上是增函数∴x=0时，函数取得最小值为−1；x=2时，函数取得最大值为7．【答案】解：(1)当a>0时，1−a<1，1+a>1，这时有f(1−a)=2(1−a)+a=2−a，f(1+a)=−(1+a)−2a=−1−3a，<0，不成立；由f(1−a)=f(1+a)，得2−a=−1−3a，a=−32(2)当a<0时，1−a>1，1+a<1，这时有f(1−a)=−(1−a)−2a=−1−a，f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a，由f(1−a)=f(1+a)，得−1−a=2+3a，a=−3符合题意；4∴所求a的值为−3．4【考点】函数的求值【解析】分a>0，a<0两种情况进行讨论，可表示出该方程，然后解一次方程即可．【解答】解：(1)当a>0时，1−a<1，1+a>1，这时有f(1−a)=2(1−a)+a=2−a，f(1+a)=−(1+a)−2a=−1−3a，<0，不成立；由f(1−a)=f(1+a)，得2−a=−1−3a，a=−32(2)当a<0时，1−a>1，1+a<1，这时有f(1−a)=−(1−a)−2a=−1−a，f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a，由f(1−a)=f(1+a)，得−1−a=2+3a，a=−3符合题意；4∴所求a的值为−3．4【答案】解：（1）当a=2时，的解析式有意义．若使函数f(x)=√3−2x2−1自变量x须满足：3−2x≥0解得：x≤32]…故a=2时，f(x)的定义域为(−∞,32（2）当a>1时，若f(x)在区间(0, 1]上是减函数，则3−ax≥0恒成立即3−a≥0∴1<a≤3；…当0<a<1时，a−1<0函数y=√3−ax为减函数，f(x)=√3−ax为增函数，不合题意；…a−1当a<0时，a−1<0函数y=√3−ax为增函数，f(x)在区间(0, 1]上是减函数…综上可得a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 3]…【考点】函数单调性的性质函数的定义域及其求法【解析】（1）将a=2代入，根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可得f(x)的定义域；（2）根据y=f(x)与y=√f(x)单调性相同，y=f(x)与y=kf(x)(k>0)单调性相同，y=f(x)与y=kf(x)(k<0)单调性相反，分a>1时，0<a<1时，a<0时，三种情况，讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当a=2时，的解析式有意义．若使函数f(x)=√3−2x2−1自变量x须满足：3−2x≥0解得：x≤32]…故a=2时，f(x)的定义域为(−∞,32（2）当a >1时，若f(x)在区间(0, 1]上是减函数，则3−ax ≥0恒成立即3−a ≥0∴ 1<a ≤3；…当0<a <1时，a −1<0函数y =√3−ax 为减函数，f(x)=√3−ax a−1为增函数，不合题意；… 当a <0时，a −1<0函数y =√3−ax 为增函数，f(x)在区间(0, 1]上是减函数…综上可得a 的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 3]…【答案】当x ≤6时，y ＝50x −115，令50x −115>0，解得x >2.3．∵ x ∈N ∗，∴ x ≥3，∴ 3≤x ≤6，x ∈N ∗，当x >6时，y ＝[50−3(x −6)]x −115．令[50−3(x −6)]x −115>0，有3x 2−68x +115<0，上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N ∗)，∴ 6<x ≤20(x ∈N ∗)．故y ={50x −115(3≤x ≤6x ∈N ∗)−3x 2+68x −115(6<x ≤20x ∈N ∗)， 定义域为{x|3≤x ≤20, x ∈N ∗}．对于y ＝50x −115(3≤x ≤6, x ∈N ∗)．显然当x ＝6时，y max ＝185（元），对于y ＝−3x 2+68x −115＝−3(x −343)2+8113(6<x ≤20, x ∈N ∗)．当x ＝11时，y max ＝270（元）．∵ 270>185，∴ 当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．【解答】当x ≤6时，y ＝50x −115，令50x −115>0，解得x >2.3．∵ x ∈N ∗，∴ x ≥3，∴ 3≤x ≤6，x ∈N ∗，当x >6时，y ＝[50−3(x −6)]x −115．令[50−3(x −6)]x −115>0，有3x 2−68x +115<0，上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N ∗)，∴ 6<x ≤20(x ∈N ∗)．故y ={50x −115(3≤x ≤6x ∈N ∗)−3x 2+68x −115(6<x ≤20x ∈N ∗)，定义域为{x|3≤x ≤20, x ∈N ∗}．对于y ＝50x −115(3≤x ≤6, x ∈N ∗)．显然当x ＝6时，y max ＝185（元），对于y ＝−3x 2+68x −115＝−3(x −343)2+8113(6<x ≤20, x ∈N ∗)．当x ＝11时，y max ＝270（元）．∵ 270>185，∴ 当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．【答案】解：（1）f(x)=4x 2−12x−32x+1=2x +1+42x+1−8，设u =2x +1，x ∈[0, 1]，则1≤u ≤3，则y =u +4u −8，u ∈[1, 3]，由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f(x)单调递减，所以递减区间为[0, 12] 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为[12, 1]由f(0)=−3，f(12)=−4，f(1)=−113，得f(x)的值域为[−4, −3]（2）由于g(x)=−x −2a 为减函数，故g(x)∈[−1−2a, −2a]，x ∈[0, 1]， 由题意，f(x)的值域为g(x)的值域的子集，从而有{−1−2a ≤−4−2a ≥−3所以a =32 【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】（1）将2x +1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；（2）对于任意的x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[0, 1]，使得g(x 2)=f(x 1)可转化成f(x)的值域为g(x)的值域的子集，建立关系式，解之即可．【解答】解：（1）f(x)=4x 2−12x−32x+1=2x +1+42x+1−8，设u =2x +1，x ∈[0, 1]，则1≤u ≤3，则y =u +4u −8，u ∈[1, 3]，由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f(x)单调递减，所以递减区间为[0, 12] 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为[12, 1]由f(0)=−3，f(12)=−4，f(1)=−113，得f(x)的值域为[−4, −3]（2）由于g(x)=−x −2a 为减函数，故g(x)∈[−1−2a, −2a]，x ∈[0, 1]， 由题意，f(x)的值域为g(x)的值域的子集，从而有{−1−2a ≤−4−2a ≥−3所以a =32。
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知U =Z ，A ={1，3，5，7，9}，B ={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{7，9}D ．{2，4}2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．命题“对任意x A ∈，2x B ∈”的否定为（ ）．A ．对于任意x A ∈，2xB ∉ B ．对于任意x A ∉，2x B ∉C ．存在x A ∉，2x B ∈D ．存在x A ∈，2x B ∉3．设,R a b ∈，则“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0,0,22a b a b >>+=，则11a b+的最小值为（ ）A ．32B ．3C ．32+ D 35．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a > D ．1122a -<<6．已知函数()f x 的定义域为[0,2]，则(2)()1f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 7．已知函数2221()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞8．若函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,4] B ．[3,4]C ．(1,3]D ．[4,)+∞二、多选题 9．设28150Ax x x ，10B x ax ，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A ．15B ．0C ．3D ．1310．下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．222(1)1a a y a a -+=>-B ．yC ．221y x x =+D ．y =2x +2x11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．定义运算()()a a b a b b a b ≥⎧⊕=⎨<⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A ．()f x 的值域为 [1,)+∞ B ．()f x 的值域为 (0,1]C ．不等式(1)(2)f x f x +<成立的范围是(,0)-∞D ．不等式(1)(2)f x f x +<成立的范围是(0,)+∞三、填空题13．已知函数21(1)(),2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则()()1f f -的值为_______. 14．已知幂函数221(55)m y m m x +=--在(0,)+∞上为减函数，则实数m = ． 15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x a =+-，则()1f -=___.16．不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(2)()0ax x b --+≤成立，则a b +=____________.四、解答题17．已知命题[]2:0,1,0,p x x a ∀∈-≥命题2:,220q x x ax a ∃∈+++=R ，若命题,p q都是真命题，求实数a 的取值范围．18．已知全集U =R ，集合2|03x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，非空集合(){}2|()20B x x a x a =---<.（1）当12a =时，求()U A B ;（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 19．已知二次函数()f x )满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．20．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本()(c x 万元)，当年产量不足60台时，()220(c x x x =+万元)；当年产量不小于60台时，()98001022080(c x x x=+-万元)⋅若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．()1求年利润(万元)关于年产量(x 台)的函数关系式；()2当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21．已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >时，有()0f x <，且12f .（1）判断()f x 的奇偶性;（2）判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[]3,3-上的最大值;（3）已知0a >，解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+.22．已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()12x f x g x ++=．（1）求()f x 和()g x 的表达式； （2）证明()g x 在R 上是增函数；（3）若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()20g x af x -≥成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】图中的含义是集合B 中去掉A 中所含有的元素，结合选项可求解 【详解】图中阴影部分表示的集合是(){}U2,4A B =.故选：D 【点睛】本题考查由维恩图判断具体集合，交集与补集的混合运算，属于基础题 2．D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题可得选项. 【详解】命题“对任意x A ∈，2x B ∈”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x A ∈，2x B ∉”，故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】若1a =-，3b =，满足4a b +≤，但不满足“2a ≤且2b ≤”；所以“4a b +≤”不是“2a ≤且2b ≤”的充分条件；若2a ≤且2b ≤，则4a b +≤显然成立；所以“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要条件； 因此，“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要而不充分条件. 故选：B .【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型. 4．A 【解析】 【分析】 由22a b +=得()1212a b +=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为0,0,22a b a b >>+=， 所以()1212a b +=，200b aa b>>,所以()(11111121233222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即(2a =-，2b =-故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5．C 【解析】 【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由于不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立. 当0a =时，可得0x ->，解得0x <，不合乎题意；当0a ≠时，则20140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 因此，实数a 的取值范围为12a >. 故选：C ． 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 6．C 【解析】 【分析】由题意结合复合函数的定义域可得10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，即可得解.【详解】函数()f x 的定义域是[0,2]， 要使函数(2)()1f xg x x =-有意义，需使(2)f x 有意义且10x -≠ ， 所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，解得01x ≤<.所以()g x 的定义域为[)0,1. 故选：C. 【点睛】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 函数()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2ty =，222t x x =-+复合而成，因为1()2ty =单调递减，由复合函数的单调性可知，只需求出222t x x =-+的减区间即可. 【详解】该函数定义域为R ，()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2t y =，222t x x =-+复合而成，1()2t y =在R 单调递减，2222(1)1t x x x =-+=-+的单调递减区间为(,1]-∞，∴由复合函数的单调性判定知，函数()f x 的单调递增区间为(,1]-∞.故选A. 【点睛】本题考查了复合函数的单调性问题。
高中湖南省邵阳市邵东县第一中学高一上学期第一次月考数学试题
湖南省邵阳市邵东县第一中学【精品】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或32．已知x ∈R ，则下列()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()1f x =，()()01g x x =-C ．()2f xx=，()g x =D ．()293x f x x -=+，()3g x x =-3．若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ） A ．4B ．2C ．0D ．0或44．已知()21f x -定义域为[]0,3，则()21f x -的定义域为（ ）。
A ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数()y f x =的定义域为R ，值域是[]1,4，则()1y f x =-的值域是 （ ） A ．[]1,4B ．[]1,5C ．[]0,3D ．[]2,56．函数y x = ）A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2D ．无最小值，也无最大值7．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．28．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()()211f a f -->，则a 的取值范围是（ ）A ．,0B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．1,9．设()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，若10x <且120x x +>，则（ ） A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -=-C ．12()()f x f x -<-D ．1()f x -与2()f x -大小不确定10．函数()()13f x x x =--在(),t -∞上取得最小值1-，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞B．[22]-C．[2,2+D ．[2,)+∞11．已知函数()f x 是R 上的增函数,()()0,1,3,1A B -是其图像上的两点，那么()11f x +<的解集是（ ）A ．()1,4B ．()1,2-C ．(][),14,-∞+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，若对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式f (x )<0的解集为（ ）A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、填空题13．已知集合123A x N y Z x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 用列举法表示为__________________14．若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是__________________15．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)________．16．已知函数()[]()231,1,221,(1,]x x t f x x x a +⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩，若存在实数t 使()f x 的值域是[]1,1-，则实数a 的取值范围是________三、解答题17．设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<. （1）当4a =-时，求A B 和A B ；（2）若()R C A B B =，求实数a 的取值范围．18．如图，DOAB 是边长为2的正三角形，当一条垂直于底边OA （垂足不与O ，A 重合）的直线x=t 从左至右移动时，直线l 把三角形分成两部分，记直线l 左边部分的面积y ．（Ⅰ）写出函数y= f （t ）的解析式； （Ⅱ）写出函数y= f （t ）的定义域和值域． 19．已知()()xf x x a x a=≠- （1）若2a =-，试证明()f x 在区间(),2-∞-内单调递增； （2）若0a >，且()f x 在区间1,内单调递减，求a 的取值范围.20．若二次函数满足()()123f x f x x +-=+,且()03f =(1)求()f x 的解析式;(2)设()()g x f x kx =-,求()g x 在[]0,2的最小值()k ϕ的表达式．21．已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意1x ，2x 都有f(1x ·2x )＝f(1x )＋f(2x )，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：f (x)是偶函数；(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式f (22x －1)<2.22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.参考答案1．B 【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B. 2．C 【分析】逐一分析选项中函数的定义域、解析式和值域是否一致，进而根据同一函数的定义，可得答案． 【详解】A . ()f x x =与()||g x x ==的解析式不同，所以不是同一函数.B. ()1f x =与()()01(1)g x x x -≠=的定义域不同，所以不是同一函数.C.()21(0)f x xx==>与()0)g x x =>的定义域、解析式和值域都相同，所以是同一函数.D. ()29(3)3x f x x x -=≠-+与()3g x x =-的定义域不同，所以不是同一函数.故选：C 【点睛】本题考查的知识点是同一函数，正确理解同一函数的定义，是解答的关键．属于基础题. 3．A 【解析】2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.4．B 【分析】由()21f x -定义域为[]0,3可求21x -的范围，根据21x -在21x -的范围内，可求出x ，即得到函数()21f x -的定义域. 【详解】因为()21f x -定义域为[]0,3，所以2118x -≤-≤， 令1218x -≤-≤，解得902x ≤≤， 所以()21f x -的定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域，属于中档题. 5．A 【分析】将()y f x =向右平移1个单位即可得到()1y f x =-，此时函数图象水平位置发生改变，垂直方向不改变，故值域不改变。
2020-2021学年湖南邵阳高一上数学月考试卷
2020-2021学年湖南邵阳高一上数学月考试卷一、选择题1. 下列元素与集合的关系表示正确的是( )A.−1∈N∗B.√2∈ZC.32∈Q D.π∈Q2. 已知集合A={m2−m,m}，B={0,2m−1}，若A=B，则m的值为( )A.0B.0或1C.1D.−13. 设集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}．若A∩B={1}，则集合B的子集个数为（）A.1B.2C.3D.44. 设A={x|x2≤1}，B={x|x<m}，若A⊆(∁R B)，则实数m的取值范围是( )A.{m|m>1}B.{m|m<−1}C.{m|m≥−1}D.{m|m≤−1}5. 在△ABC中，“内角A是锐角”是“△ABC是锐角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知正数a，b满足a+b=1，则4a +ab的最小值为( )A.6B.8C.9D.127. 不等式x2−4x+3>0的解集是( )A.{x|x<1}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<3}D.{x|x>3}8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，代数的很多公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a+b2≥√ab(a>0,b>0) B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤√ab(a>0,b>0) D.a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)二、多选题设全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={0, 1, 4}，B={0, 1, 3}，则下列结论正确的有( )A.A∩B={0, 1}B.∁U B={4}C.A∪B={0, 1, 3, 4}D.集合A的真子集个数为8下列说法中，正确的有( )A.在数学中，可判断真假的句子叫做命题B.“a>1且b>1”是“ab>1”成立的充分条件C.命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0D.命题“若a>b>0，则0<1a<1b”的否定是假命题已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0）的部分图象大致如图所示，则下列结论正确的是( )A.a>0，b<0B.2a+b>0C.4a+2b+c>0D.a+b+c>0若p>0，q>0且p+q=2，则下列不等式恒成立的是( )A.√p+√q≤2B.pq≤1C.1p+1q≤2 D.p2+q2≥2三、填空题命题“∃x>1，使得(12)x≥12成立”的否定是________.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P=150−2x，生产x件风衣所需成本为C =50+30x 元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量x 的范围为________（日产量=日销售量）．已知p:∀x ∈R ，mx 2+1>0，q:∀x ∈R ，函数y =x 2+mx +1的图象在x 轴的上方，若p ，q 均为真命题，则实数m 的取值范围是________.在R 上定义运算：|a bc d |=ad −bc ，若不等式|x −1 a −2a +1 x |≥1对任意实数x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________. 四、解答题已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={x||2x −1|≤2}. (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)求(∁R A )∩(∁R B ).设全集U =R ，集合A ={x|1≤x ≤5}，集合B ={x|2−a ≤x ≤1+2a }(a >0). (1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求a 的取值范围．已知关于x 的方程x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，且x 2−x 1=5. (1)求函数y =x 2+mx −6(m >0)的解析式；(2)解关于x 的不等式y <4−2x .2020年10月1日是新中国成立71周年纪念日，是全国各族人民的共同节日，各地举行了丰富多彩的庆祝活动．某校为丰富校园文化生活，展示学生风采，增强同学们的爱国情怀和爱国意识，激发同学们的爱国热情，组织开展了庆祝国庆节系列活动．要求各班设计如图所示的一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为2m 2．要求图案在画报内左右各留白20cm ，上下各留白10cm ．试问怎样设计画报内图案长与宽的尺寸，能使整个画报面积最小，面积最小值是多少？已知集合A ={x|2xx−1<1}，集合B ={x|x 2−(2m +1)x +m 2+m <0}. (1)求集合A ，B ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．(1)已知a >0，b >0，试比较a 2b−b 2a与a −b 的大小；(2)用反证法证明：若a ，b ，c ∈R ，且x =a 2−4b +5，y =b 2−6c +8，z =c 2−2a +1，则x ，y ，z 中至少有一个不小于0.参考答案与试题解析2020-2021学年湖南邵阳高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系解答即可．【解答】解：N∗为正整数集，Z为整数集，Q为有理数集.A，−1不是正整数，故选项A错误；B，√2是无理数，故选项B错误；C，32是有理数，故选项C正确；D，π是无理数，故选项D错误．故选C．2.【答案】C【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性【解析】由题意得到m2−m=0或m=0，求出m值，再验证是否满足集合元素的互异性. 【解答】解：A={m2−m,m}，B={0,2m−1}，若A=B，则m2−m=0或m=0，∴m=0或m=1.当m=0时，集合A中两个元素均为0，不符合集合元素的互异性，故舍去；当m=1时，A=B={0,1}，满足题意.故m=1.故选C.3.【答案】D【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】【解答】解：集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则1是方程x2−4x+m=0的实数根，∴1−4+m=0，即m=3，集合B={x|x2−4x+3=0}={x|x=1或x=3}={1,3}，集合B的子集有22=4（个）.故选D.4.【答案】D【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}.由B={x|x<m}，可得∁R B={x|x≥m}.因为A⊆(∁R B)，所以m≤−1.故选D.5.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：在△ABC中，内角A是锐角，△ABC不一定是锐角三角形；△ABC是锐角三角形，则内角A一定是锐角，则“内角A是锐角”是“△ABC是锐角三角形”的必要不充分条件. 故选B．6.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】利用a+b=1变形为4=4(a+b)，再利用均值不等式得解. 【解答】解：∵a+b=1，∴4a +ab=4(a+b)a+ab=4+4ba+ab≥4+2√4ba×ab=8，当且仅当{4ba=ab,a+b=1,即{a=23,b=13时等号成立.故4a +ab的最小值为8.故选B.7.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．【解答】解：由x2−4x+3>0，得(x−1)(x−3)>0，解得：x<1或x>3，所以原不等式的解集为：{x|x<1或x>3}．故选B．8.【答案】D【考点】基本不等式【解析】由图形可知OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出．【解答】解：设AC=a，BC=b，可得圆O的半径r=a+b2，又OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2，在Rt△OCF中，由勾股定理得，FC2=OC2+OF2=(a−b)24+(a+b)24=a2+b22，由图知FO≤FC，即a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0).故选D. 二、多选题【答案】A,C【考点】子集与真子集的个数问题交、并、补集的混合运算【解析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．【解答】解：∵全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={0, 1, 4}，B={0, 1, 3}，∴A∩B={0, 1}，故A正确；∁U B={2, 4}，故B错误；A∪B={0, 1, 3, 4}，故C正确；集合A的真子集个数为23−1=7，故D错误.故选AC.【答案】B,D【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用命题的否定【解析】利用命题的否定，充分必要条件的判定，得解.【解答】解：A，一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，故A错误；B，由a>1，b>1可得ab>1，反之不成立，如a=3>1，b=12<1，满足ab>1，故a>1，b>1是ab>1成立的充分条件，故B正确；C，全称命题的否定是特称命题，则¬p:∃x∈R，x2≤0，故C错误；D，命题的否定为：若存在a>b>0，则0≥1a≥1b，显然命题的否定是假命题，故D正确.故选BD.【答案】A,B,C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】【解答】解：抛物线开口向上，故a>0，对称轴0<−b2a<1，故b <0，2a +b >0，AB 正确；当x =2时，y =4a +2b +c >0，C 正确； 当x =1时，y =a +b +c <0，D 错误. 故选ABC ． 【答案】 A,B,D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：∵ p >0，q >0，p +q =2， ∴ p +q =2≥2√pq ，即√pq ≤1，即pq ≤1，当且仅当p =q =1时取等号，故B 正确； ∵ (√p +√q)2=p +q +2√pq ≤2(p +q )=4，故√p +√q ≤2，当且仅当p =q =1时取等号，故A 正确；∵ p 2+q 2=(p +q )2−2pq ≥4−2=2，当且仅当p =q =1时取等号，故D 正确； ∵ 1p +1q =12(1p +1q )(p +q ) =1+12 (qp +pq )≥1+12×2=2，当且仅当p =q =1时取等号，故C 不正确． 故选ABD . 三、填空题 【答案】∀x >1，使得(12)x<12成立【考点】命题的否定 【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x >1，使得(12)x≥12成立”的否定是：“∀x >1，使得(12)x<12成立”． 故答案为：∀x >1，使得(12)x<12成立． 【答案】{x|15≤x ≤45，x ∈N ∗} 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】利用已知条件，列出不等式求解即可．【解答】解：由题意，得(150−2x )x −(50+30x )≥1300， 化简得x 2−60x +675≤0， 解得15≤x ≤45，且x ∈N ∗.故答案为：{x|15≤x ≤45，x ∈N ∗}． 【答案】 0≤m <2 【考点】二次函数的性质命题的真假判断与应用【解析】先分别化简命题p,q ,利用p,q 均为真命题求解即可. 【解答】解：由p 知∀x ∈R ，mx 2+1>0， 当m =0时，不等式1>0恒成立；当m ≠0时，m >0且Δ=−4m <0，得m >0， 所以，若p 为真命题，则m ≥0.若q 为真命题，则Δ=m 2−4<0，得−2<m <2. 若p ，q 均为真命题，则0≤m <2， 所以实数m 的取值范围是0≤m <2. 故答案为：0≤m <2. 【答案】32【考点】一元二次不等式与二次函数 一元二次不等式的解法 【解析】依定义将不等式[x −1a −2a +1x ]≥1变为x 2−x −(a 2−a −2)≥1，整理得x 2−x +1≥a 2−a ，对任意实数x 成立，令(x 2−x +1)min ≥a 2−a ，解出a 的范围即可求出其最大值．【解答】解：由定义知不等式|x −1 a −2a +1 x |≥1变为x 2−x −(a 2−a −2)≥1，∴ x 2−x +1≥a 2−a ，对任意实数x 成立. ∵ x 2−x +1=(x −12)2+34≥34, ∴ a 2−a ≤34,解得−12≤a ≤32, 则实数a 的最大值为32. 故答案为：32.四、解答题 【答案】解：(1)由题意可知B ={x|−12≤x ≤32}．∴ A ∩B ={x|−2<x ≤1}∩{x|−12≤x ≤32} ={x|−12≤x ≤1}，A ∪B ={x|−2<x ≤1}∪{x|−12≤x ≤32} ={x|−2<x ≤32}． (2)(∁R A )∩(∁R B )=∁R (A ∪B ) ={x|x ≤−2或x >32}．【考点】其他不等式的解法交、并、补集的混合运算 交集及其运算 并集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意可知B ={x|−12≤x ≤32}．∴ A ∩B ={x|−2<x ≤1}∩{x|−12≤x ≤32}={x|−12≤x ≤1}，A ∪B ={x|−2<x ≤1}∪{x|−12≤x ≤32} ={x|−2<x ≤32}． (2)(∁R A )∩(∁R B )=∁R (A ∪B ) ={x|x ≤−2或x >32}．【答案】解：(1)∵ “x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴ {2−a ≤1，1+2a ≥5，解得a ≥2．(2)①当2−a >1+2a 即0<a <13时，B =⌀⫋A ；②当2−a =1+2a 即a =13时，B ={53}⫋A ； ③当2−a <1+2a 即a >13时，由[2−a,1+2a]⊆[1,5]， 得1≤2−a <1+2a ≤5， 解得13<a ≤1．综上：0<a ≤1．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 集合关系中的参数取值问题 二元一次不等式组 【解析】【解答】解：(1)∵ “x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴ {2−a ≤1，1+2a ≥5，解得a ≥2．(2)①当2−a >1+2a 即0<a <13时，B =⌀⫋A ； ②当2−a =1+2a 即a =13时，B ={53}⫋A ； ③当2−a <1+2a 即a >13时， 由[2−a,1+2a]⊆[1,5]， 得1≤2−a <1+2a ≤5， 解得13<a ≤1． 综上：0<a ≤1．【答案】解：(1)由题意得 x 2+mx −6=0(m >0) 的两个根为 x 1和 x 2 ， 则{x 1+x 2=−m ，x 1x 2=−6，故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25 ， 故m 2=1， ∵ m >0， ∴ m =1.故此函数的解析式为 y =x 2+x −6 .(2)由 x 2+x −6<4−2x ，整理得 x 2+3x −10<0， 即(x +5)(x −2)<0， 解得 −5<x <2 ,故不等式的解集是{x|−5<x <2}. 【考点】根与系数的关系一元二次不等式的解法 函数解析式的求解及常用方法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意得 x 2+mx −6=0(m >0) 的两个根为 x 1和 x 2 ， 则{x 1+x 2=−m ，x 1x 2=−6，故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25 ， 故m 2=1， ∵ m >0， ∴ m =1.故此函数的解析式为 y =x 2+x −6 . (2)由 x 2+x −6<4−2x ， 整理得 x 2+3x −10<0， 即(x +5)(x −2)<0， 解得 −5<x <2 ,故不等式的解集是{x|−5<x <2}.【答案】解：设矩形图案的长为acm ，宽为bcm ，则ab =20000 cm 2．∴ 画报的宽为(b +20)cm ，长为(a +40)cm （其中a >0，b >0）， ∴ 画报的面积S =(b +20)(a +40)=ab +20a +40b +800 =20(a +2b )+20800=20(2b +20000b)+20800 ≥20×2√2b ×20000b+20800=8000+20800=28800(cm 2)，当且仅当2b =20000b，即b =100时，取等号，此时a =200．故当矩形图案的宽为100cm ，长为200cm 时，可使画报的面积最小，且最小值是28800cm 2． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设矩形图案的长为acm ，宽为bcm ，则ab =20000 cm 2．∴ 画报的宽为(b +20)cm ，长为(a +40)cm （其中a >0，b >0），∴ 画报的面积S =(b +20)(a +40)=ab +20a +40b +800 =20(a +2b )+20800=20(2b +20000b)+20800 ≥20×2√2b ×20000b+20800=8000+20800=28800(cm 2)，当且仅当2b =20000b，即b =100时，取等号，此时a =200．故当矩形图案的宽为100cm ，长为200cm 时，可使画报的面积最小，且最小值是28800cm 2． 【答案】解：(1)由2xx−1<1可得，x+1x−1<0， 等价于(x −1)(x +1)<0， 解得：−1<x <1，∴ A ={x|−1<x <1}；由x 2−(2m +1)x +m 2+m <0, 可得(x −m )[x −(m +1)]<0， ∴ m <x <m +1，∴ B ={x|m <x <m +1}. (2)∵ B ⊆A ，∴ m ≥−1，m +1≤1， 解得：−1≤m ≤0，∴ 实数m 的取值范围为[−1,0]. 【考点】分式不等式的解法集合关系中的参数取值问题 一元二次不等式的解法 集合的包含关系判断及应用 【解析】 【解答】 解：(1)由2x x−1<1可得，x+1x−1<0，等价于(x −1)(x +1)<0，解得：−1<x <1，∴ A ={x|−1<x <1}；由x 2−(2m +1)x +m 2+m <0, 可得(x −m )[x −(m +1)]<0， ∴ m <x <m +1，∴ B ={x|m <x <m +1}. (2)∵ B ⊆A ，∴ m ≥−1，m +1≤1， 解得：−1≤m ≤0，∴ 实数m 的取值范围为[−1,0].【答案】(1)解：(a2b −b2a)−(a−b)=a2b+b−(b2a+a)=a2+b2b−b2+a2a=(a2+b2)(1b−1a)=(a2+b2)a−bab，又a>0，b>0，∴a2+b2>0，ab>0，∴当a>b时，a−b>0，∴(a2b −b2a)−(a−b)>0，∴a2b−b2a>a−b；当a=b时，a−b=0，∴(a2b −b2a)−(a−b)=0，∴a2b−b2a=a−b；当a<b时，a−b<0，∴(a2b −b2a)−(a−b)<0，∴a2b−b2a<a−b．综上所述，当a>b时，a 2b −b2a>a−b；当a=b时，a 2b −b2a=a−b；当a<b时，a 2b −b2a<a−b．(2)证明：假设x，y，z均小于0，即x=a2−4b+5<0，①y=b2−6c+8<0，②z=c2−2a+1<0，③①+②+③，得x+y+z=(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2<0，这与(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2≥0矛盾，则假设不成立，∴x，y，z中至少有一个不小于0．【考点】不等式的证明反证法不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：(a2b −b2a)−(a−b)=a2b+b−(b2a+a)=a2+b2b−b2+a2a=(a2+b2)(1b−1a)=(a2+b2)a−bab ，又a>0，b>0，∴a2+b2>0，ab>0，∴当a>b时，a−b>0，∴(a2b−b2a)−(a−b)>0，∴a2b−b2a>a−b；当a=b时，a−b=0，∴(a2b−b2a)−(a−b)=0，∴a2b−b2a=a−b；当a<b时，a−b<0，∴(a2b−b2a)−(a−b)<0，∴a2b−b2a<a−b．综上所述，当a>b时，a2b−b2a>a−b；当a=b时，a2b−b2a=a−b；当a<b时，a2b−b2a<a−b．(2)证明：假设x，y，z均小于0，即x=a2−4b+5<0，①y=b2−6c+8<0，②z=c2−2a+1<0，③①+②+③，得x+y+z=(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2<0，这与(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2≥0矛盾，则假设不成立，∴x，y，z中至少有一个不小于0．。
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邵东一中2020年下学期高一第一次月考数学试题
一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．设集合A ＝{x|－1<x<4}，集合B ＝{x|x<5}，则 ( )
A ．A ∈B
B ．A ⊆B
C ．B ∈A
D ．B ⊆A
2.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},M ＝{1,2,3},N ＝{3,4,5}
则 (∁U M )∩(∁U N )=( )
A{2,3,4,5} B{1,2,4,5,6}
C{1,2,6} D{6}
3．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( )
A ．P:0≠ab , q:0≠a
B ．P:022≥+b a , q:00≥≥b a 且
C ．P:12>x , q:1>x
D ．P:b a >, q: b a >
4．“022=+y x ”是“xy=0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.命题p:∀x>0，总有x ＋1>1则p ⌝为（ ）
A ∃x 0≤,使得11≤+x
B ∃x 0>,使得11≤+x
C ∀x 0>,总有11≤+x
D ∀x 0≤,总有11≤+x
6已知.0<a<1,0<b<1,b a ≠,下列各式中最大的是（ ）
A 22b a +
B ab 2
C ab 2
D b a +
7. 若一元二次不等式08
322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，求k 的取值范围（ ）
A (-3,0] B[-3,0) C[-3,0] D(-3,0)
8. 定义集合运算：A*B={z|z=(x+y)(x-y),x ∈A,y ∈B }设A ＝{3,2}, B ＝{1,2}则集合A*B 的真子集个数为（ ）
A 8
B 7
C 16
D 15
二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面四个说法中错误的是( )
A ．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B ．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C ．方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}
D ．0与{0}表示同一个集合
10．设全集为U ，在下列选项中，是B ⊆A 的充要条件的为( )
A ．A ∪
B ＝A B ．(∁U A )∩B ＝∅
C ．(∁U A )⊆(∁U B )
D ．A ∪(∁U B )＝U
11．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14 C.ab ≥2 D.1a ＋1b ≤1
三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.若x>0,则x
x 432--的最大值是
14.若不等式0)2)(1(>--x mx 的解集为{x|
21<<x m }，则m 的取值范围是
15.若02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于 -1，另一个大于
1。
则m 的取值范围是
43,,.1622=-+-z y xy x z y x 满足正数
的最大值为取得最小值时，当z y x xy z -+2
三、解答题(本题共6题，共56分）
17.(8分)已知A ＝{x | 0232=+-x x }，B ＝{x |05)1(222=-+-+a x a x }．
(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；
(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
18.(8分)p ：∃x ∈R ，使0242=+-x mx 为假命题
（1）求m 的取值集合B (2)A ＝{x|3a<x<a+2}为非空集合，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围
19(10分)已知0122≥++ax ax 恒成立，解关于
x 的不等式
022<+--a a x x
20.(10分)已知x>0,y>0且2x+8y-xy=0求：
（1）xy 的最小值 （2）x+y 的最小值
21(10分)某厂家举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该产品的年产量）x 万件与年促销费用m(m ≥0)万元满足1
3+-=m k x （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。
已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数。
（2）该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
22(10分)已知二次函数c bx ax y ++=2
（1）若y>0的解集为{x|－3<x<4}，解关于x 的不等式0)3(22<+-+b c ax bx
（2）若对任意的x ∈R,不等式b ax y +≥2恒成立，求
的最大值222
c
a b +
11
12。