结构力学第七章-位移法(一)

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结构力学_位移法

结构力学_位移法

1
1
1 B
1 B
B
1 C
1 C
C C
FP FP A A D D
D
Z2 Z2
C
Z3 Z3 C
B B
D
B
C C
A
A
Z1 Z1
B
B
C
D D
2
2
F F E E
G G
Z4 Z4
G
G
F E
F
G
G
E
A D
A D
nB Y= 4
Z6
Z5 C
Z5
B
C
Z6
F
G
3、结点独立线位移数 (1) 先简化结构
1)除特殊指明外,梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引
b)一端固定 一端铰支
c) 一端固定 一端定向支承
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯
F F 矩也常称为固端弯矩,用M BA 和 M AB 表示;杆端剪力也常称为 F F 固端剪力,用FQ 和 表示。 F AB QBA
常见荷载和温度作用下的载常数列入表中(书P5) 。
由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数,见书P279,7-7 式。表中引入记号i=EI/l,称为杆件的线刚度。
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固定另一端定向支承梁
FP B EI
A
A
MAB FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
M
q
应用以上三组转角位移方程,即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式,汇总如下:

位移法与力法的比较

位移法与力法的比较

A l
F
l
l
结构力学
FR1
C 2i i A
l 2 l 2
第7章 位移法
F=ql
例题1 试用位移法求图示刚架内力,并绘内力图。
F=ql B
Δ2 FR2
4i B
r11
r12
B
φ1
l
C
r21
3(2i)=6i A D M1
6i l
6i l
C
r22
i D
q
q
基本体系
r12
B
6i l
r11
B 4i 6i
2i
FR1F F T R2F F F F FR F R1F R2F RnF 自由项列阵 FRnF
A A Z AF
结构力学
第7章 位移法
C
§7-3 位移法计算举例 例1:刚架内力计算,并绘内力图。 例2:排架内力计算,并绘内力图。
结构力学
第7章 位移法
四、推广到n个基本未知量
r11Z1 r12 Z 2 + +r1n Z n FR1F 0 r Z r Z + +r Z F 0 21 1 22 2 2n n R2F rn1Z1 rn 2 Z 2 + +rnn Z n FRnF 0
(2)位移法法典型方程 平衡 FR1 FR11 FR12 +FR1F 0 条件 FR2 FR21 FR22 +FR2F 0
典型 方程
r111 r12 2 +FR1F 0 r211 r22 2 +FR2F 0

结构力学-第7章-位移法习题答案

结构力学-第7章-位移法习题答案



1 2
ql

1 12
ql 2
/ l

7 12
ql
由位移法方程得出:
r11Z1

R1 p

0

Z1

7ql 4 348EI
作出最终 M 图
7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。
(a)
B
θA A
(b)
C B
yB
B′
A
C
题 7-9 图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架,并绘出 M 图。

13EI l
, r12

r21

3EI l2
r22

18EI l2
R1 p

1 16
ql 2 , R2 p

ql
代入,解得
Z1


66 3600

ql3 EI
,
Z2

211 3600

ql 4 EI
(4)求最终弯矩图
(e)
50kN·m
80kN·m 10kN·m 20kN
A 2EI B EI C
EI
(b)
B
3EI
C
EI
EI
A
D
Δ l
l
解:(1)求 M1, M 2 , M 3, M p 图。
(2)由图可知:
r11
16i, r12

r21

6i, r23

r32


6i l
, r22
16i, r33

24i l
R1 p

0, R2 p

结构力学 7.位移法

结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
(1)基本未知量——A 和。
(2)建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件,得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架,利用刚架平衡条件,建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角( = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
(↑) (↑)
2ql
ql
7
5
10
(↑) (↑)
8
9ql
11ql
40
40
(↑) (↑)
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1:载常数表(续)
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
(1)B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力

结构力学 位移法典型方程、计算举例

结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程,就消去了施加的2个约束
即,
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4)弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
,为消去该处的约束力,令: R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为:
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B

P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图,意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为:B CH 则两处的约 束力必为R1,R2
r12 CH

结构力学位移法

结构力学位移法

R2
R1=0 R2=0
ql
C D
Z1 R1
l
四.位移法典型方程
ql
q
l/2 B
ql
C D
ql B
A r22
q
R2 Z1
R1=0
ql C D
Z2=1
l/2 A
EI=常数
R2=0 R1 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0
l
C
r21
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r11
3i 3i
EI
r
11
=6i
R1P
ql 2 / 8
R1P
q
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql / 48i ql 2 8 MM Z M 1 1 P
2
MP
ql2 / 16
r11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
A
Z1
B
Z1
q
B
C
=
A
B
+
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
Z1
q
A
EI
B
Z1
EI
C
----刚臂,限制转动的约束 R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
R1
q
A
EI
B
EI
C
r11
3i
B B
ql 8
2
3i
r

结构力学位移法的计算

结构力学位移法的计算

B t2=-30°C C t2=-30°C F
° t1=10°C
t1=10°C °
A
D l=6m
E
l=6m
a) 解:
B t2=-30°C C ° t1=10°C °
A l=6m D b)
取如图b)半边结构,未知量为B ( ) 。
62
1)各杆两端相对侧移
AB
杆AB缩短 t0h 40 杆CD伸长 t0h 40
FC
FP
i
2i
i1 A
i2 H
未知量 D ,F
51
FP D
C
FP E
i2
i1
i1
A
B
FP
C
D
2i2
i1
A
CL 0, CR 0,
CH 0,
(MCL MCR 0), CV 0。
未知量 D
52
2.反对称荷载:
对称结构在反对称荷载作用下,其内力和变形 均是反对称的。
选取基本体系如下图所示。 D i
E
Z1 D 0,
Z2 EH 0。
C
i/2
2i
基本体系
A
B
44
45
46
47
ii)求方程的系数和自由项:
r11= 5i, r12 = r21 = 0.75i,
r22= 0.75i,R1P = 14,R2P = 3。
4)回代入方程中,求解得:
3i(
4 i
)

12kN
m。
M DA

2i D

0.75i E

2i(
4 i
)
0.75i(

结构力学位移法01

结构力学位移法01
第6章 位移法
位移法的概念 位移法基本体系的确定 位移法计算荷载引起的超静定结构内力 位移法计算温度改变引起的超静定结构内力 位移法计算支座位移引起的超静定结构内力 混合法
位移法是计算超静定结构的基本方法之一. 主要用于超静定梁和刚架的内力计算。
FP
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
§6-2 位移法基本概念
1
1
B EA D
FP
EI
EI
A
C
1
D
C
1
B
FP
FP
=
A
1
+
3i/l
3i/l 2
3FPl /16
3i/l 2 FP
内力计算的关键是
求结点位移Δ1
11FP /16 5FP /16
l/2 l/2
1
1
B EA D
FP
EI
EI
A
C
F1 0 F1 F11 F1P 0
k111 F1P 0
§6-1 单跨超静定梁的形常数与载常数
一.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
6i/l
6i/l
1
1
1
12i/l 2
12i/l 2
i=EI/l----线刚度
1
2i
4i
6i/l
6i/l
3i 3i/l
3i/l
3i/l 2
3i/l
3i/l 2
1
1
i
0
0
0
二.等截面梁的载常数
荷载引起的杆端内力称为载常数.
FPl
5 32 FPl
M图
Δ1
F1

《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)

《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)

第七章 矩阵位移法一、是非题1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。

2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。

6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ,即 有K i j = K j i ,这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。

7、结构刚度方程矩阵形式为:[]{}{}K P ∆=,它是整个结构所应满足的变形条件。

8、在直接刚度法的先处理法中,定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

10、矩阵位移法中,等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。

11、矩阵位移法既能计算超静定结构,也能计算静定结构。

二、选择题1、已知图示刚架各杆EI = 常数,当只考虑弯曲变形,且各杆单元类型相同时,采用先处理法进行结点位移编号,其正确编号是:(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.2134123412341234xy M , θ2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯,就其性质而言,是: A .非对称、奇异矩阵; B .对称、奇异矩阵; C .对称、非奇异矩阵; D .非对称、非奇异矩阵。

3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比:A .完全相同;B .第2、3、5、6行(列)等值异号;C .第2、5行(列)等值异号;D .第3、6行(列)等值异号。

i jyxi jyxM , θM , θ4、矩阵位移法中,结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系: A .杆端力与结点位移; B .杆端力与结点力; C .结点力与结点位移; D .结点位移与杆端力 。

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第七章【圣才出品】

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(b)如图 7-2-3 所示。
图 7-2-2
图 7-2-3 ①当α≠0 时,结点 A、B、C、E、F、G 有转角,AB、FG 有水平位移,C、E 点有两个 水平位移,所以基本未知量有 10 个,分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、ΔG、ΔC、ΔE。 ②当α=0 时,结点 A、B、C、E、F、G 有转角,AB、FG 有水平位移,CDE 有水平位 移,D 点有竖向位移,所以基本未知量有 10 个,分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、Δ G、ΔC、ΔVD。 (c)如图 7-2-4 所示。 ①当不考虑轴向变形时,结点 A、B、C 有转角,整体有一个水平位移,所以基本未知 量有 4 个,分别是θA、θB、θC、Δ。
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②当考虑轴向变形时,A、B、C 三个结点都有独立的转角、竖向位移、水平位移,所 以基本未知量有 9 个,分别是θA、θB、θC、ΔA、ΔB、ΔC、ΔVA、ΔVB、ΔVC。
图 7-2-4 (d)如图 7-2-5 所示。 ①当α≠0 时,结点 B、C 有转角,D 结点有独立的竖向位移,所以基本未知量有θA、θ B、ΔV。 ②当α=0 时,结点 B、C 有转角,虽然 D 结点有位移,但不是独立的,所以基本未知 量有θA、θB。
图 7-1-8 反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半结构选取方法 图 7-1-9 对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法
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图 7-1-10 反对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法 7.2 课后习题详解

结构力学 第七章 结构位移计算

结构力学 第七章  结构位移计算

第七章 结构位移计算到上节课为止,我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。

我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。

讲第一章时,结力的第二大任务:刚度问题,而要解决…,首先应该…杆件结构位移计算 (结构变形+刚度位移)→{刚度校核截面设计确定P max又是超静定结构计算的基础(双重作用)。

另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。

结构位移计算的依据是虚功原理,所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理,然后推导出杆件结构位移计算的一般公式,再讨论各种具体结构的位移计算。

§7-1概述一、结构的位移画图:梁、刚架、桁架 (内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲)截面C 线位移:C ∆ 角位移:C ϕ结点的线位移: 两点(截面)相对线位移: 杆件的角位移: AB ϕ 两截面相对角位移: 两杆件相对角位移:1、位移定义:由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生(相对)移动(线位移),使杆件横截面产生(相对)转动(角位移)。

截面C 线位移:C ∆。

一般 分解成水平、垂直两方向:CH ∆、CV ∆ 角位移:C ϕ2、位移的分类:6种绝对位移:点(截面)线位移——分解成水平、垂直两方向截面角位移:杆件角位移:相对位移:两点(截面)相对线位移——沿连线方向两截面相对角位移:两杆件相对角位移:统称为:广义位移:角、线位移;相对、绝对位移Δki:k:产生位移的方向;i:引起位移原因。

如ΔA P、Δat、ΔA C广义力:集中力、力偶、分布荷载,也可以是上述各种力的综合二、引起位移的原因1、荷载作用:(荷载→内力→变形→位移)2、温度改变:静定结构,温度改变,→0应力非0应变→结构变形(材料胀缩引起的位移性质同)3、支座移动;(无应力,无应变,但几何位置发生变化){刚体位移(制造误差同)变形位移三、计算位移的目的1)刚度验算:最大挠度的限制(框架结构弹性层间位移限值1/450)2)为超静定结构的弹性分析打下基础3)预先知道变形后的位置,以便作出一定的施工措施:(起重机吊梁、板)(屋架安装)(建筑起拱)(屋窗、门、过梁)(结构要求高,精密)四、计算位移的有关假定(简化计算)1)弹性假设2)小变形假设建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系3)理想约束(联结,不考虑阻力摩擦)变形体系{ 线性变形体系(线弹性体系)荷载和位移呈线性关系,且荷载全撤除后位移将全部消失,无残余变形,(可用位移叠加原理)非线形变形体系(分段线形叠加)4)位移叠加原理(类似内力、反力叠加)§7-2 变形体系的虚功原理一、 位移实位移:外因作用下结构实际位移虚位移:根据解题需要,虚设位移状态 (满足变形协调+边界条件) 统称为:广义位移二、功:力所做的功:该力大小乘以力方向上的相应位移常力的功: T =P ×Δ=P ×D ×cos a (大小、方向、作用点不变) 变力的功:T=⎰s dT =⎰s P ×cos (P ,d s )×d s力偶所做的功:功两要素:力与位移P :广义力(力、力偶、相对力、相对力偶)Δ:和广义力相对应的广义位移(线、角、相对线、相对角)注意:在定义功T 时,没有说位移Δ是由力P 引起的,可能由P 或其它原因,但P 力照样作功。

结构力学

结构力学

因 B 0, QAB QBA 0 EI l MBA
1 A 代入(2)式可得 l 2
M AB i A M BA i A
A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数, 是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
关于刚架的结点未知量
A P C
q
B A
A

A
B
M AB
A
P C
M AB
A
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
ql2/48
2
2 EI A l
B
2 EI A l
4i
2 EI A l
B
ql3 A 96EI
4 EI θA A l
§2 等截面杆件的刚度方程
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ,弦转角β=Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩:MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言,顺时针为 正,逆时针为负;对结点而言,顺时针为负,逆时针为正。 P B A MBA0 MAB0 2、剪力:QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QAB0 QBA0
A A
A A F1 0 A A F1 0

结构力学-第7章 位移法

结构力学-第7章 位移法

第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念;正确的判断位移法基本未知量的个数;熟悉等截面杆件的转角位移方程;熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。

二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算*§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析(选学内容)§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程,它不仅可以解超静定结构,同时还可以求解静定结构,另外,要注意杆端弯矩的正负号有新规定。

四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224~P257第六章我们学习了力法,力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法,力法发展较早,位移法稍晚一些。

力法把结构的多余力作为基本未知量,将超静定结构转变为将定结构,按照位移条件建立力法方程求解的;而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量,先设法求出他们,在据以求出结构的内力和其他位移。

由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法,例如力矩分配法和迭代法等。

因此学习本章内容,不仅为了掌握位移法的基本原理,还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。

此外,应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的,所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。

本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架,取刚架的结点位移做为基本未知量,由结点的平衡条件建立位移法方程。

位移法方程有两种表现形式:①直接写平衡返程的形式(便于了解和计算)② 基本体系典型方程的形式(利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比,加深理解)§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路,我们先看一个简单的桁架的例子:课本P225。

07★结构力学A上★第七章★位移法

07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例:作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:(1)基本未知量:各柱顶水平 位移相等,只有一个独立线位移Δ。 (2)各柱的杆端弯矩和剪力为:
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3


FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程:
X 0
33
(4)各柱最终杆端弯矩,画弯矩图:
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此,不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形,但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB:M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
(4)解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0

结构力学中的位移法

结构力学中的位移法
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
-i
10
QAB= QBA
6i l 12 i
l2 3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力称为载参数
11
单跨超静定梁简图
q
A P
a
b
q
A
A
P
a
b
q
A
P
A
a
b
B
B B
B B
M
F AB
ql 2 12
Pab2 l2
ql 2
8
Pb(l 2 2l 2
生相应的附加约束反力。
P C
A
Step1:附加刚臂 限制结点位移,荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
A θA
θA
3
C
Step2:对结点施加产生 相应的角位移,以实现结
B 点位移状态的一致性,产
生相应的附加约束反力。
Step 3:叠加两步作用效应,约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致,则其内力状态也完全相等;
120BB92CC411..7700
q=20kN/m
D
A
4Io
B 5I。 C 3I。
4I。
3I。
E
F
4m 5m
4m
(4) 解方程
17
B 1.15 C 4.89 (相对值)
(5) 杆端弯矩及弯矩图
M BA 3iAB B mBA 3B 40 31.15 40 43.5kN m
梁 M BC 4B 2C 41.7 41.15 2 4.89 41.7 46.9kN m

结构力学 位移法

结构力学  位移法

7.8
QBA=-20-(6iZ1-3iZ2)/4
QCD=0.75iZ2/4 3)解方程 7iZZ11-=12.5.6iZ12/+i 20=0
40
i
M图(kN.m)
-1.Z52iZ=12+50.5.9/i375iZ2-20=0
53
19.1
3、内力计算 M 回代
§6 位移法典型方程的建立及应用举例
一、思考方法
3.系数和自由项
(1)物理意义
rij—附加约束j单独发生单位位移Zj =1时在附加约束i处产生的约束反力.
RiP—荷载单独作用于基本结构时在附加约束i处产生的约束反力.
(2)类型
附加刚臂上的反力矩 附加链杆上的反力
原因何在?
(3)性质
rii 0
rij rji
三、位移法典型方程解题的一般步骤
1. 确定基本结构 2. 求基本未知量 (1)列位移法方程
(2)求系数和自由项rij、RiP
(3)解方程 3. 内力计算
(1)M M M P M i Zi
(2)Q、N 同前
例:利用位移法典型方程作图示结构M图。
解: 1、确定基本结构 2、求基本未知量 (1)列位移法方程
R1=0
ql
q
l/2 B ql C
l/2 A
D
EI=常数
l
R2=0
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
(三)内力计算
1.求各杆端弯矩:(3)代入(2)
2.求Q
Q
QP0
M ij
l
M
ji
3.求N(有的结构N求不出)
二、连续梁和无侧移刚架的计算(基本未知量只有结点角位移)

位移法 结构力学知识点概念讲解

位移法 结构力学知识点概念讲解

位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。

力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。

随后,由于钢筋混凝土结构的出现,大量高次超静定刚架逐渐增多,如果仍用力法计算将十分麻烦。

于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。

力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束,代之以多余未知力,以多余未知力为基本未知量,一般取静定结构为基本结构进行计算。

利用位移协调条件建立力法基本方程,求出多余未知力,然后进一步求出结构的内力。

位移法的基本思路和力法相反。

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量,以单跨超静定梁为计算的基本单元。

先设法确定出单根杆件的杆端内力,用杆端位移来表示,这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。

然后用力的平衡条件建立位移法基本方程,确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。

为了说明位移法的基本概念,我们来分析图1a所示的刚架位移。

(a)原结构(b)基本结构图1在荷载作用下,刚架产生的变形如途中虚线所示,设结点B 的转角为1∆,根据变形协调条件可知,汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。

为了简化计算,在受弯杆件中,忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响,假设弯曲变形很小,因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。

根据这些假定,B 结点就只有角位移没有线位移。

这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加,得到的基本结构的变形和原结构一致。

我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂,也不存在约束力矩,所以可得11F +P F 1=0 (1)这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时,产生在附加刚臂中的反力矩。

用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆=1时,产生在附加刚臂中的反力矩,则式(1)可以写成01111=+∆P F k (2)式(2)我们称为位移法基本方程。

11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定,然后我们可求出1∆,进而求出原结构的全部内力。

结构力学-位移法-PPT(1)

结构力学-位移法-PPT(1)

五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令:i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”,则:
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同,故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
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由 M B = 0 同理可得,
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程:

一端固端一端铰支的等截面直杆:
B端角位移不独立。
C
B A
AB:一端固定一端定向滑动 BC:一端固定一端定向滑动 BD:一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB:两端固定 BC:一端固定一端定向滑动 BD:一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB:两端固定 BC:两端固定 BD:一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB:两端固定 BC:一端固定一端定向滑动 BD:两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形,AB 不能转动,无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
刚杆AB绕O刚体转动,A、B结点转角相同, 1个结点角位移(且与结点线位移相关)
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
基本未知量数量的确定:
f A B D C
力法如何求解? 缺点:基本未知量多(3个) 基本结构不唯一
如何画结构的变形? 关键:B结点的转动 方向
若f求得,则AB、BC、BD三杆均为单跨超静定杆件, 内力可分别独立求出。
单跨超静定杆件的形式不外乎以下三种:⑴两端固端(如AB);⑵一端固定另 一端铰支(如BC);⑶一端固定另一端滑动支座(如BD)。有限种典型荷载作 用下的内力可用力法求出。故,可以作为位移法的基本结构。
由 M BA = 2iθ A + 4iθB - 6i 从而, M AB = 3iθ A FQAB FQAB

3i F + M AB l 3i 3i F = - θ A + 2 + FQAB l l 3i 3i F = - θ A + 2 + FQBA l l
Δ 1 3 Δ = 0 可得, θB = - θ A + l 2 2 l
§7-4 位移法原理与位移法方程
以图示结构为例,说明如何建立位移法典型方程。
P2
R1 Z1
D
P1
E
F
几个基本未知量? D结点角位移
3个基本未知量 E结点角位移 DEF水平线位移
R2 Z2
P2
R3
D
P1
E
F
Z3
EI=c A B
原结构
EI=c A B
基本结构 叠加原理 分解
C
C
当基本结构承受 与原结构相同外 荷载,且发生相 同结点位移时, 与原结构等效。 此时,附加约束 上的约束力均为 零,即
基本未知量数量的确定:

最少基本未知量数量: 。 A. 1; B. 2; C. 3; D. 4 C B A EI=c D 基本结构
【选择题】图示结构有位移法基本未知量数量是
由于位移法基本结构不唯一, 所以基本未知量的数量也不唯一, 但最少基本未知量的数量是唯一 的。 建议尽可能按最少基本未知量计 算。 最少基本未知量数量:把原结构 转化为基本结构所必需的最少附 加约束数量。
两端固端梁:编号1、2、3(a = b =
一端固定一端定向滑动梁可视为两端固端梁的对称半结构。 位移法分析中要养成勤于作结构位移(变形)图的习惯,杆端弯矩只记大小,不记
正负,弯矩方向根据变形图判别。
牢记弯矩,不必记剪力,杆端剪力可根据杆端弯矩利用平衡条件计算。
注意:载常数计算时有外荷载作用,杆端内力应与外荷载共同平衡,由杆端弯 矩计算杆端剪力时万不可漏掉外荷载。
记基本结构只发生 1 时, 附加约束的约束力为 r11 ,则
基本结构只发生结点位移f,不 承受外荷载。

基本结构只承受外荷载,不发 生结点位移。

R1P 可通过基本结构的荷载弯矩 图 M P 求得。
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-1 位移法的基本概念
【法二】通过附加约束,利用叠加原理间接建立B结点的力矩平衡方程

线位移数量的确定:

线位移数量就是确定铰接体系所有结点位置所需要的附加链杆数量。 除特别说明外,一般不考虑杆件轴向变形。 弯曲变形微小,构件受弯后长度不变。
【例】 EI=c
1个结点线位移
EI=c
2个结点线位移
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
结构力学 第七章 位移法
基本结构 静定结构 单跨超静定杆
基本方程 几何方程 静力平衡方程
2015年9月12日星期六
多余约束力 结点位移
§7-1 位移法的基本概念
力法与位移法的区别:

在给定的外部因素的作用下结构真实的解答是唯一的。 力(反力、内力) 二者之间有着确定的关系,且一一对应,知其一 变位(变形、位移)
式中, i =
EI F F 称为杆件的线刚度;M AB 和M BA 称为固端弯矩, l
表示由荷载引起的杆端弯矩。
杆端剪力:可根据杆端弯矩利用平衡条件计算。
由 M A = 0 可得,FQBA = M AB + M BA + M Pq (A)
l l F F M AB M BA M Pq (A) 6i 6i 12i A B 2 l l l l 6i 6i 12i F A B 2 FQBA 固端剪力:杆件只承受跨内荷载时的杆端剪力。 l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
位移法基本未知量: 结点位移
结点角位移 结点线位移 相互独立 三类单跨超静定杆 静定结构
位移法基本结构: 形常数和载常数已知的结构 基本未知量与基本结构是一一对应的。 原结构
附加刚臂约束结点角位移 附加链杆约束结点线位移
结构力学 第七章 位移法 2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
基本未知量数量的确定:

角位移数量的确定:

一般情况下(弹性杆件),角位移数量就是刚结点的数量。 【例】 EI=c EI=c EI2 EI=c
3个角位移
EI1
1个角位移
1个角位移

2个角位移
特殊情况:如结构中含有刚杆,必定存在相关位移。 B 【例】 A

真实解答中, 必知其二。

力法:先求力(未知内力或约束力),再计算相应位移。 位移法:先确定位移,再求内力。
位移法需要解决的问题:

解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下的内力。 (§7-2的内容) —— 用于基本结构的内力分析,作基本结构的单位内力图和荷载内力图。进而计算方程的 系数项和自由项。 确定以哪些结点的哪些位移作为基本未知量。(§7-3的内容)
QBA
正杆端位移示意图

A
A
B
A
B
AB
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程:

推导方法:力法,推导过程略。 两端固端的等截面直杆:
杆端弯矩: M AB = 4iθ A + 2iθB - 6i
M BA Δ F + M AB l Δ F = 2iθ A + 4iθB - 6i + M BA l
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的形常数和载常数表及其应用:

形常数和载常数表:是位移法中作基本结构内力图的基础,详见Text Book P.187 表7-1。 应用要点:
要求熟练掌握的项:
l )、4项; 2 l a = b = )、10、13(b = 0 )项。 一端固定一端铰支梁:编号7、8、9( 2
第七章
Chapter 7
位移法
Displacement Method
同济大学土木工程学院
School of Civil Engineering,Tongji Univesity
2015年9月12日星期六
Contents
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的转角位移方程 §7-3 位移法基本未知量和基本结构 §7-4 位移法原理与位移法方程 §7-5 位移法解超静定结构 §7-6 对称性的利用 §7-7 广义荷载作用下的位移法计算

结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
几个概念:

可用于位移法基本结构的单跨超静定杆: 有几种基本形式? ⑴一端固定一端铰支 ⑵一端固定一端定向铰 ⑶两端固端 (一次超静定) (二次超静定) (三次超静定)
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