(完整版)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)[1].doc
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1
2)，B (0，4，2)，E(3，4，0)．
2
2
4
∵AP＝2PA1，∴APAA1
(0,0,2)
⑤ ∥u∥v
u＝kv，k∈R；
⑥ ⊥u⊥v
u·v＝0．
(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：
①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点
O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与
b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为
1
2
3
a的坐标，即a＝(a，a，a )．
②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a＝( a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
③空间向量平行和垂直的条件：
空间向量与立体几何
【知识要点】
1．空间向量及其运算：
(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广
到空间依然成立．
②空间向量的线性运算的运算律：
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；
分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．
(2)空间向量的基本定理：
①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．
②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一
对实数，，使得c＝a＋b．
③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数
交换律：a·b＝b·a；
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(4)空间向量运算的坐标表示：
①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量
i，
j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底
{ i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间
任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量
a b
a1b1
a2b2
a3b3
;
| a || b |
a12
a22
a32b12
b22
b32
在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点A ( a1，a2，a3)，B ( b1，b2，b3)， 则A，B两 点 间 的 距 离 是
1
| AB |(a1b1)2( a2b2)2(a3b3)2.
2．空间向量在立体几何中的应用：
，显然
π
(0, ],则
2
| v1
v2|
| cos v1,v2|
| v1|| v2|
②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．
设 直 线a的 方 向 向 量 是u， 平 面的 法 向 量 是v， 直 线a与 平 面的 夹 角 为， 显 然
π| u v |
[0,]，则| cosu, v|
2| u ||v |
③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l－在二面
角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角－l－的平面角．
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
方法一：
如图， 若AB，CD分别是二面角－l－的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角－l－的大
2
小就是向量AB与CD的夹角的大小．
方法二：
如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面 ， 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．
(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择来自百度文库用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表
组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．
(3)空间向量的数量积运算：
①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；
②空间向量的数量积的性质：
a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b
a·b＝0；
|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．
③空间向量的数量积的运算律：
(a)·b＝( a·b)；
中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝
2PA，点S在棱BB
上，且B S＝2SB，点Q，R分别是O B，AE的中点，求证：PQ∥RS．
1
1
1
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【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得PQk RS.
解： 如图建立空间直角坐标系，则
O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，
由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．
(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：
设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则
①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；
②l⊥ma⊥ba·b＝0；
③l∥a⊥ua·u＝0；
④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；
a∥b(b≠0) a＝b a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R )；a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
| a |
a a
a12
a22
a32,| b |
b b
b12
b22
b32;
cos
a, b
(1)直线的方向向量与平面的法向量：
①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的
充要条件是存在实数t，使得OPOAta，其中向量a叫做直线的方向向量．
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．
示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
4．理解直线的方向向量与平面的法向量．
5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．
【例题分析】
例1
如图，在长方体
OAEB－O1A1E1B1
2)，B (0，4，2)，E(3，4，0)．
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4
∵AP＝2PA1，∴APAA1
(0,0,2)
⑤ ∥u∥v
u＝kv，k∈R；
⑥ ⊥u⊥v
u·v＝0．
(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：
①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点
O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与
b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为
1
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a的坐标，即a＝(a，a，a )．
②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a＝( a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
③空间向量平行和垂直的条件：
空间向量与立体几何
【知识要点】
1．空间向量及其运算：
(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广
到空间依然成立．
②空间向量的线性运算的运算律：
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；
分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．
(2)空间向量的基本定理：
①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．
②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一
对实数，，使得c＝a＋b．
③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数
交换律：a·b＝b·a；
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(4)空间向量运算的坐标表示：
①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量
i，
j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底
{ i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间
任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量
a b
a1b1
a2b2
a3b3
;
| a || b |
a12
a22
a32b12
b22
b32
在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点A ( a1，a2，a3)，B ( b1，b2，b3)， 则A，B两 点 间 的 距 离 是
1
| AB |(a1b1)2( a2b2)2(a3b3)2.
2．空间向量在立体几何中的应用：
，显然
π
(0, ],则
2
| v1
v2|
| cos v1,v2|
| v1|| v2|
②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．
设 直 线a的 方 向 向 量 是u， 平 面的 法 向 量 是v， 直 线a与 平 面的 夹 角 为， 显 然
π| u v |
[0,]，则| cosu, v|
2| u ||v |
③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l－在二面
角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角－l－的平面角．
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
方法一：
如图， 若AB，CD分别是二面角－l－的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角－l－的大
2
小就是向量AB与CD的夹角的大小．
方法二：
如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面 ， 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．
(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择来自百度文库用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表
组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．
(3)空间向量的数量积运算：
①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；
②空间向量的数量积的性质：
a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b
a·b＝0；
|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．
③空间向量的数量积的运算律：
(a)·b＝( a·b)；
中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝
2PA，点S在棱BB
上，且B S＝2SB，点Q，R分别是O B，AE的中点，求证：PQ∥RS．
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【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得PQk RS.
解： 如图建立空间直角坐标系，则
O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，
由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．
(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：
设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则
①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；
②l⊥ma⊥ba·b＝0；
③l∥a⊥ua·u＝0；
④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；
a∥b(b≠0) a＝b a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R )；a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
| a |
a a
a12
a22
a32,| b |
b b
b12
b22
b32;
cos
a, b
(1)直线的方向向量与平面的法向量：
①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的
充要条件是存在实数t，使得OPOAta，其中向量a叫做直线的方向向量．
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．
示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
4．理解直线的方向向量与平面的法向量．
5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．
【例题分析】
例1
如图，在长方体
OAEB－O1A1E1B1