中考数学复习核心母题一最值问题深度练习
中考数学复习+专题跟踪突破一 最值问题(2)
专题跟踪突破一 最值问题(2)一、填空题1．在半⊙O 中，点C 是半圆弧AB 的中点，D 是弧BC 上距离点B 较近的一个三等分点，点P 是直径AB 上的动点，若AB ＝10，则PC ＋PD 的最小值是__53__.,第1题图) ,第2题图) 2．(2015·株洲)如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__212__．3．(2015·莆田)如图，在反比例函数y ＝6x上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y ＝－x 上有一动点P ，当P 点的坐标为__(43，－43)__时，PA ＋PB 有最小值． 点拨：设A 点关于直线y ＝－x 的对称点为A′，连接A′B ，交直线y ＝－x 为P 点，此时PA ＋PB 有最小值，∵A 点关于直线y ＝－x 的对称点为A′，A(3，2)，∴A ′(－2，－3)，设直线A′B 的直线解析式为y ＝kx ＋b ，⎩⎨⎧－3＝－2k ＋b ，1＝6k ＋b ，解得k ＝12，b ＝－2，∴直线A′B 的直线解析式为y ＝12x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x －2，y ＝－x ，解得x ＝43，y ＝－43，即P 点坐标(43，－43)，故答案为(43，－43) 二、解答题4．已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P 在y 轴上，求使得△PMN 的周长最小的点P 的坐标．解：作出M 关于y 轴的对称点M′，连接NM′，与y 轴相交于点P ，则P 点即为所求，设过NM′两点的直线解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则⎩⎨⎧2＝－3k ＋b ，－1＝k ＋b ，解得k ＝－34，b ＝－14，故此一次函数的解析式为y ＝－34x －14，因为b ＝－14，所以P 点坐标为(0，－14)5．(2015·宁德)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为多少．解：作N 关于AB 的对称点N′，连接MN′，NN ′， ON ′，OM ，ON ，∵N 关于AB 的对称点N′， ∴MN ′与AB 的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N 是弧MB 的中点， ∴∠A ＝∠NOB ＝∠MON ＝20°，∴∠MON ′＝60°， ∴△MON ′为等边三角形，∴MN ′＝OM ＝4, ∴△PMN 周长的最小值为4＋1＝56．(2015·永州模拟)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H. (1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC 周长的最小值．解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，即抛物线的解析式是y ＝－x 2－2x ＋3(2)如图，△PBC 的周长＝PB ＋PC ＋BC ，∵BC 是定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC的周长最小．A ，B 两点关于对称轴对称，连接AC ，交对称轴于点P ，点P 即为所求，∵AP ＝BP ，△PBC 的最小周长＝PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC ，∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 的最小周长＝32＋107．小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A ，B 在直线m 的同侧，在直线m 上找一点P ，使得AP ＋BP 的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P为所求．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP＋PE的值最小，并求出最小值；(2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB 边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值．解：(1)如图2，作点E 关于AD的对称点F，交AC于点F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB 的中点，AD是高，∴F是AC的中点，∴BF⊥AC于点F, ∴BP＋PE的最小值＝BF＝22－12＝3(2)如图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF＝1，连接CF，则E，F为所求，∵AB＝4，BC＝6, G为边AD上的中点，∴DG＝GA＝AM＝3，∵AE∥DH，∴△MAE∽△MDH，∴AEDH＝AMDM，∴AE3＝39，∴AE＝1，∴在Rt△GAE，Rt△CBF，Rt△CDG中，分别由勾股定理解得，GE＝AE2＋AG2＝12＋32＝10，CF＝BF2＋BC2＝22＋62＝210，CG＝DG2＋DC2＝5, ∴四边形GEFC 的周长的最小值＝GE＋EF＋FC＋CG＝10＋1＋210＋5 ＝6＋3108．(2015·大庆)如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形．(1)求点P的坐标；(2)当a 为多少时，四边形PMEF 周长最小.解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＋5与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，5)又∵M(0，1)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3，令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6，∵点P 在第一象限，∴P(2＋6，3)(2)四边形PMEF 的四条边中，PM ，EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值， 将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)，作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)，连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小，设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P(2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝46－45n ＝－46－15，∴y ＝46－45x －46＋15，当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F(6＋54，0)，∵F(a ＋1，0)，∴a ＝6＋14，∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小。
中考数学最值问题总结(含强化训练)
中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
(潍坊专版)2019中考数学复习 第2部分 核心母题一 最值问题课件
1
【核心母题】 (1)如图1，点A，B在直线l的同侧，确定直线上一点P，使PA ＋PB的值最小． (2)如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上 一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对 称．连接ED交AC于点P，则PB＋PE的最小值是 ．
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)．
13
如图，连接BA′，交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周 长最小．
14
设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，
15
∴使△PAB的周长最小的点P的坐标为(3，8 )． 由抛物线的对称性可知，点B，点C关于对5 称轴对称，
∴对称轴上任意一点P，均有PB＝PC，|PA－PC|＝|PA－PB|. 当点P，A，B不共线时，可构成△PAB，此时|PA－PB|<AB，
2
(3)如图3，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB， ∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值是 ． (4)如图4，在直角坐标系中，抛物线过点A(0，4)，B(1，0)， C(5，0)，P在抛物线的对称轴上，若使△PAB的周长最小， 则点P的坐标为 ；若使|PA－PC|的值最大，则点P的坐标 为．
9
【母题详解】 突破关键词：轴对称，轴对称图形、线段和(差)最小(最 大)、周长最小、面积最大、勾股定理 (1)如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于 点P，则PA＋PB＝A′B的值最小．
10
(2)
5
提示：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB＝PD，由题意易得PB＋PE＝PD＋PE＝DE. 在△ADE中，根据勾股定理得DE＝
12
8
中考数学复习 核心母题一 最值问题深度练习
核心母题一最值问题深度练习1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DO B＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．5．如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a ，0)，F(a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点． (1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．参考答案1．B 2.7 3.(23－3，2－3) 4．解：如图，连接OQ.在Rt△OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2， 当OP 最小时，PQ 最大，此时OP⊥BC， 则OP ＝12OB ＝32，∴PQ 的最大值为9－（32）2＝332.5．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，a －b ＋c ＝0，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)当a ＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)．如图，过点P 作PN⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4. S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(OF ＋PN)·ON－12MN·NP－12OE·OM ＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x·(－x 2＋4x ＋4)－12×1×1＝－(x －94)2＋15316， ∴当x ＝94时，S 四边形MEFP 最大，最大为15316.当x ＝94时， y ＝－x 2＋4x ＋5＝14316，此时点P 坐标为(94，14316)．(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2± 6. ∵点P 在第一象限， ∴点P(2＋6，3)．∵在四边形PMEF 中，PM ，EF 长度是固定的， ∴ME＋PF 最小时，四边形PMEF 的周长最小．如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)，作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)，连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ， 将P(2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y＝46－45x －46＋15.当y ＝0时，解得x ＝6＋54，∴F(6＋54，0)． ∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14， ∴当a ＝6＋14时，四边形PMEF 的周长最小．。
中考数学专题复习-如何解答最值问题(含答案)
中考数学复习如何解答最值问题最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。
下面绍如何利一次函数，二次函数的性质和对称性求最值。
◆一次函数的最值问题一、典型例题：1、（2010陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。
经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3。
（1）求y与x之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。
解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x）·（5500-1200）=-6800x+860000，（2）由题意得200-4x≤80 解之得x≥30∵-6800x+860000 -6800＜0∴y的值随x的值增大而减小当x=30时，y最大值=-6800+860000=656000元2、（广东清远2009）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） ◆二次函数的最值问题 一、典型例题：1、（2010武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
2024年中考数学复习讲义：最值问题
最值问题第1节探寻轨迹一、直线轨迹【直线轨迹】共点相似三角形，一个点在直线上运动，则另一个点轨迹是直线.238.【☆☆】矩形ABCD, AB=4,AD=3,等腰Rt△AEF,AE=EF,,E 在BD 上,当E 从B 运动到D 时,F 的路径长是( ).【简释】等腰】Rt△ABG,黄O[SAS)tanα=3,当 E 从 B 到 D 时,F 从G 到H4旋转角. ∠GAH=∠BAD=90∘,HA=3√2,GII=5√2=F路径长239.【☆☆☆】正△ABC边长为 4，D 在边AC 上运动，等腰Rt△BDP,∠BPD=90°,则AP 的最小值是( ).【简释】【轨迹法】D 初始位置在C，等腰RtBCQ,AQ=2√3−2,绿蓝∽【SAS】∠BQP=∠BCD=60°【法1θ=75∘,AP≥AH=AQcos75∘=(2√3−2)√6+√2=√24【法2】作正△BQK,△BAK∽△BDP,∠AKQ=30°,AK=KB=BQAK=√2AP≥AH=12二、圆形轨迹【圆形轨迹】共点相似三角形，一个点在圆上运动，另一个点轨迹就是圆；与斜边中线相关的动点轨迹是圆形. 240.【☆】(8下)正方形 ABCD 边长为2,E 在CD 上(E 不与C 点或D 点重合),F 在BC上(F 不与B点或C 点重合),A E⊥DF,L 为垂足,则 LC 取值范围是( ).【简释】【L 在( ⌢OD(不含端点 O、D)上运动】斜边中线LG=1GC=√5,LC≥√5−1,∠LDC<45∘<∠CLDLC<CD=2,故√5−1≤LC<2241.【☆☆】正方形 ABCD 边长为2,正方形 DEFG,AE、BF 交于H,P 是BC 中点,求PH 的最大值.【简释】【《平几纲目》264题】灰黄△wa[SAS)α⇒θ=45°【旋转法】绿△≅[SAS]∠AHD=∠ARB=135°BH⊥HD,斜边中线OH=√2OP=1,PH≤1+√2242.【☆☆】四边形ABCD,BC=4,∠BAC=∠ADC=90°,AD=DC,求 BD 的最大值.【分析】等腰 Rt△CAD 初始位置为等腰 Rt△CBEA、B、C、E 共圆,E 在射线DA 上,斜边中线ODD 在以O为圆心，以OD 为半径的圆上【简释】作俩α,灰黄△∽【AA】相似比是√2,CE=2√2【斜边中线1OD=√2,∠BCE=45,OB=√10BD≤OD+OB=√2+√10第 2节旋转法243.【☆☆】(8 下). AB=4,AC=√2,等腰Rt△BCD,BC=CD,,则 AD 的最大值是( ).【简释】【法1】【牵手≌】等腰】Rt△CAQ,绿黄△≅[SASIAD=BQ≤QA+AB=6【法2】【牵手∽】等腰 Rt△BAQ,蓝黄∠△ω[SAS]AD=2,AD≤AQ+QD=6244.【☆☆】(8下)P 在等腰 Rt△ABC 内, ∠BPC=135°,=135°,则PAPC的最小值是( ).【简释】【法 1】蓝黄OIAA]PA=√22CD≥√22CH,PAPC≥√2CH2PC=12【法2】黄≅′SASλα+β=45∘,PA=√22PD≥√22PH=√22⋅√22PC=12PC【法3】蓝黄OIAAIPC=√2AD≥2AH,PAPC =PA2AH≥12245.【☆☆】(8下)矩形 ABCD, AB=3,BC=4,,E 在 BC 上,等腰Rt△DEF,DE=EF,则 FA 的最小值是( ).【简释】【法1】黄蓝△≌,EM=DC=3,EC=4--l=FMF A²=(3+t)²+(7−t)²=2t²−8t+58≥50【法2】【旋转法】构造蓝黄△∽,DH=3 √2,α+β=90°,∠HDN=45°等腰Rt△HDN,DN=6,AN=10,AM=5 √2,AF≥AM=5√2246.【☆☆☆】直角坐标系中,A(3,4),直线y=−13x上一动点 P，以AP 为斜边向上作等腰 Rt△APM,则OM 的最小值是( ).【简释】【旋转法】等腰 Rt△ABN,蓝灰△∽【SAS】∠MBA=∠PNA=45°等腰RtOHB,C(3,−1),OC=√10,tanα=13,BC=√102=OB OM≥OH−√52247.【☆☆☆】正方形 ABCD 边长为1,E、F 分别在BC、CD上, tan∠EAF=12,FM BC 交AE 于M,则 FM 的最小值是( ).【简释】【旋转法】黄△⊆边锐角】俩α，MF=m+n,MVBE =AVAB,MV=4mn4mn+n+m=1⇒m=1−n 4n+1,k=FM=m+n=4n2+14n+1,4n2−4kn+1−k=0≥0⇒k2+k−1≥0,k≥√5−12248.【☆☆】AB=2,M在以AB 为直径⊙O 上,AM逆时针旋转9 90°得到 AN;则ON 的取值范围是( ).【简释】【旋转法】绿△当ASλ√2−1=OP−PN≤ON≤ON≤ON≤ON≤d2+1249.【☆☆】⊙O 半径为1,等腰Rt△ABC,AB=AC,A、B 在⊙O 上,求 OC 的最小值.【简释】【旋转(直角顶点 A)】等腰Rt△AOD,黄≅【SASIOC≥OD−CD=√2−1第 3 节对称法250.【☆☆】(8下)AB=4,AB 中点 P, AM=1,BN=4,∠MPN=135°,,则 MN 的最大值是( ).【简释】【对称法】T、A 对称,V、B 对称,等腰Rt△PTVMN≤MT+TV+VN=5+2√2251.【☆☆☆】(8下) Rt△ABC,∠ACB=90°,AB=2,等腰Rt△ADE,AD⊥DE,E 在AB 延长线上,C 在 DE上,F 在AD 上, AF=√2BE,则CF 的最小值是( ).【简释】【斜边中线法与垂线对称法组合】作等腰RtABP,AF=√2BE=EQ则DF=DQ=DP,CF=C P≥GP-GC= √5-1第4节斜边中线与垂线段法252.【☆☆】(8下)等腰Rt△ABC,AB=AC=1,P 在AC 上移动, PQ⊥BP交 BC 于Q,BQ 的最小值是( ).【简释】【斜边中线1OP=OB=k,OC=√2−k,OK=1OP≥OK,k√2≥1−k≥2−√2√2253.【☆☆】等腰Rt△ABC绕点A 旋转得到对应等腰Rt△ADE,AB=BC=2,,O是 AC中点，则S ODE取值范围是( ).【简释】O. H≥AH−OA≥AD−OA=2−√2,OH≤OD≤OA+AD=2+√−2, 2−√2≤S ODE≤2+√2第5节中位线与斜边中线法254.【☆】(8下)等腰】Rt△ABC,AB=AC=4,BP=2,,K 是 PC 中点,则AK 的最大值是( ).【简释】【中位线法】AK≤KD+AD=1+2√2255.【☆☆】(8下)正方形ABCD 边长为4,P在AD 上,正方形APMN,O 是BM 中点,求 OP 的最小值.【简释】【法1】【8字≌】OP=OQ,【中位线】DK‖AM,【斜边中线OP=OA≥AH=√2【法2】MP 延长线交AC 于Q,. PQ=PA=PM,中位线OP=12BQ≥12BH=√2第6 节大角对大边法256.【☆☆】(8下)正方形 ABCD 边长为1,M在AD 延长线上,MC、AB 延长线交于N,MD≤BN,求 MN 的最小值.【简释】黄△∽【AA】BN BC =CDMD→BN=1MD≥1BN⇒BN2≥1→BN≥BC=BE∠BCE=45°,∠BCN≥45°,∠ACN≥90°【斜边中线法】AK≥AC=√2,MN=2AK≥2√2第7节将军饮马257.【☆】(8下)等腰Rt△ABC,AB=AC=3,D 在AB 上,AD=1,P 在BC 上,则 PA+PD 的最小值是( ).【简释】【两点间线段最短】俩定点(A、D)中任取一点，作其关于动点(P)所在直线的对称点，该对称点与另一个定点连线段长即为所求(共点两线段和PA+PD)最小值【左图】|PA+PD=PA+PD′≥AD′=√13【右图】PA + PD = PA'+ PD≥A'D=√13258.【☆☆】(8下)四边形ABCD,AB=BC=6,∠B=∠C=90°,CD=9,E 是AB 中点,EF⊥CD 于F,M、N 在EF 上移动,M N=2,求MA+ND 的最小值.【简释】□MBPN,MA=MB=PNMA+ND=PN+ND≥PD=√97259.【☆☆】等腰Rt△ABC,AC=BC=1,等腰Rt△BMP,,P 在 AC 上, PB=PM,求MA+MB 的最小值.【简释】【法1】【旋转法】等腰 Rt△BDA,蓝黄OISAS)MA=√2PD【将军饮马】E、D关于AP 对称MA+MB=√2(PD+PB)=√2(PE+PB)≥√2BE=√10【法2】【同旁45°】蓝黄△∽【SAS】∠BEM=90°,斜边中线OE中位线OD,MA+MB=2(OD+OE)≥2DE=√10【法3【轨迹法】△BPM初始是△BAD,蓝黄△OO[SAS)∠ADM=90°【将军饮马】E、A 关于MD 对称, MA+MB=ME+MB≥BE=√10第8节胡不归260.【☆☆】(8下)直角坐标系中,A(--1,0),B(0,2),在y轴上找一点C,使√2AC+BC最小，求出点 C 坐标并证明.【简释】D(2,0),AH⊥BD 于 H,并交y轴于C,C(0,1)√2AC+BC=√2AC+√2CH=√2AH除点 C 外任取点C₁,C₁H₁⊥BD√2AC1+BC1=√2AC1+√2C1H1>√2AFǐ第9节费马点261.【☆☆】(8下)等腰 Rt△ABC 内一点 D, AB−AC=2,求DA+DB+DC的最小值.【简释】【法1】作正△ABP,作正△ADQ,AD=QD,连接PC,灰△≅(SAS)PQ=DB DA+DB+DC=PQ+ QD+DC≥PC=√8+4√3=√6+√2【法2】作中垂线 AOP,BP=BC,正△BCP,作正△BDQ,黄△≅[SASDA+DB+DC=AD+DQ+QP≥AP=√6+√2说明：与△仨顶点线段和最小的点称为费马点；向外作俩正△，连线交点即是.262.【☆☆☆】正方形 ABCD 内一点 P,AB =4,则PA+34PB+54PC的最小值是( ).【简释】CM=3,构造CMN⋯CBP,MN=34PB,CN=34CP,PN=54PC PA+34PB+54PC=PA+MN+PN≥AM=√65第10 节定边定角263.【☆☆】(8下)四边形ABCD,AC=4,CB=3,∠ACB=90°,∠ADC=45°,求 BD 的最大值.【简释】【外接圆转化】AD、DC 中垂线交于G等腰RtAGC,GD=GA=2√2,GB=√29BD≤GD+GB=2√2+√29264.【☆☆】(8下)D 在△ABC内,AC=4,CB=3,∠ACB=90°,∠ADC=135°,求 BD 的最小值.【简释】【外接圆转化】AD、DC 中垂线交于G等腰RtAGC,GD=GA=2√2,GB=√29BD≥GB−GD=√29−2√2265.【☆☆】(8 下). △ABC,,三条高 AD、BE、CH, AB=2,DE=√2,则 CH 的最大值是( ).【简释】CDA∼○CEBIAA)CDCE =CACB,CDE∼CABISAS)CDCA=DEAB=√22,∠ACD=45∘【法1】取△ABC外心O，等腰RtAOB,OC=OA=√2,OG=1CH≤OC+OG=√2+1【法2】取CF=AG=GB=1,绿≌【SAS】,黄△≌【SAS】正方形GEFD FH≤FG=√2,CH ≤√2+1266.【☆☆】(8下)四边形ABCD,BD=2,∠ABC=75°,∠ADC=60°,AD=DC,求四边形 ABCD 面积的最小值.【简释】作正△DBE,黄△≌【SAS】β+γ=225°∠BAE=135°,AH 最大即可AB、AE 中垂线交于F,α+Ω=135°四边形ABFE,∠BFE=90°,等腰Rt△FBE矩形 FNHM,NH=FM=1AH+1=AN≤AF=√2AH和水锥侧=√2−1,S棱锥侧=√2−1SABCD或有常数=SπBDE−S加水水=√3−√2+1267.【☆☆】BC 是半圆⊙O 的直径,BC=2,A 在半圆上,AB=AC,P 在⌢AC上,AD⊥AP交BP 于D,连接CD,则CD 的最小值是( ).【简释】等腰 Rt△ADP,α+β=135°AD、DB 中垂线交于K等腰 Rt△AKB,KD=KB=1Rt△KBC中,. KC=√5CD≥KC−KD=√5−1268.【☆☆】四边形ABCD,AD∥BC,∠ACB=45°,BC=4 √2,AC=3,△ADC外接圆交BD 于E,求 AE 的最小值.【简释】仨45°,∠BEC=135°BE、EC 中垂线交于F等腰 Rt△BCF,FE=FC=4Rt△ACF 中,FA=5AE≥FA-FE=1第11 节定形对等边269.【☆☆】(8下)正△ABC边长为1,高AF,AE=CD,则BD+CE的最小值是( ).【简释】【等边造≌】【法1】黄蓝△≌【SSS】等腰ⅠRtBCG,BD+CE=BD+DG≥BG=√2【法2】灰绿△≌【SSS】等腰ⅠRtGAC,BD+CE=GE+CE≥CG=√2第 12 节外接圆法270.【☆☆】正方形ABCD 边长为2,E 在 BC 上移动,等腰Rt△DEF,DE=EF,(1)求AF 的最小值;(2)S△AEP最小值是( ).【简释】(1)【轨迹法】△DEF 最终位置是△DCG,绿O[SASIAF≥AH=3√2=m2−2m+4≥3(2)【法1】【函数法】2S球【法 2】【圆形切割线定理】【外 M型】1FH=EG,2S=EA⋅FH=EA⋅EG AD 是△AGD 外接圆直径,切底线 EL,. EA⋅EG=EL²=OE²−OL²≥OK²−1=3第 13 节勾股定理法271.【☆☆】(8下)P 在边长为2的正方形 ABCD 内,PE⊥AB,PF⊥AD,QE=QF= √2,PQ≤1,,则 QA 的最小值是( ).【简释】AM=FN=h,【勾股定理】QA²=m²+ℎ²,QP²=n²+k²,QE²=m²+k²,QF²=n²+ℎ²2A2+QP2=QE2+QF2,QP2=4−QA2≤1,QA≥√3.第 14 节最值与黄金分割比272.【八☆】(8下)等腰Rt△ABC,AB=AC,,D、E 分别是AB、AC 上的动点,若AD=CE,则DECD的最小值是( ).【简释】斜边中线 AM=k,黄△≌【SSS】α+β=90∘,DN=√5kCD≤DN+NC=(√5+1)kDE CD ≥√5+1=√5−12273.【☆☆☆】正方形 ABCD,E、F 分别在边AB、CD 上移动,且EF 始终经过中心O,当EFFB 最小时，BEEA=().【简释】【8字≌】BE=DF=m,EA=CF=BH=nHE=|n-m|,令BEEA =mn=kw=EF2FB2=2m2+2n2m2+2mn+2n2=2k2+2k2+2k+2(w−2)k²+2wk+2w−2=0△≥0⇒w²−6w+4≤0w≥3−√5,w放对侧=3−√5,k=√5−12274.【☆☆☆】正方形 ABCD 边长为2,P 在BC 延长线上移动,求PDPA的最小值.【简释】作高 BH,则AD²=AB²=AH⋅AP【美人鱼】△ADH∽△APD【SAS】PD PA =DHDA,斜边中线OH=1DH≥OD−OH=√5−1PD PA ≥√5−12第15 节圆形中mPA+nPB 最小值【核心方法】①圆心与动点连线段k，圆心与某一个定点连线段p，一定有kp =mn(或kp=nm).②以线段k、p及其夹角为基准构造放大或缩小的美人鱼相似△.③运用“两点连线中线段最短”计算出结论.275.【☆☆】正方形ABCD 边长为4,以AB为直径在正方形内作半圆⊙O,点G 在半圆⊙O 上移动,M、N 分别是CD、CB 中点,则2NG+MG 的最小值为( )【简释】圆心 O与动点G 连线段(OG=k=2)O与定点(M、N)连线中,OM=p=4OM OG =2,作 OL=1,满足OGOL=OMOG=2△OGL∼△OMGISASIMG=2LG2NG+MG=2(NG+LG)≥2LN=2OJ =2√5276.【☆☆☆】等腰Rt△ABC,AB=AC=3,,D 在CA 延长线上,AD=1,P 在△BCD外接圆⊙O上，则√10PA+2PB 的最小值是( ).【简释】猜测OPOA =√102并证明，OP=OB=√22BD=√5,OA=AH−OH=√2,OPOA=√102延长线HOAQ,连接QB, OQ=√502,OPA○OQP[SAS]PQ=√102PA△QBH 中, QB=√5√2√10PA+2PB=2(√102PA+PB)=2(PQ+PB)≥2QB=3√10。
2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析
几何最值问题综合1、2、3、4、题型一1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移(往靠近对方的方向)、最后连接；后续同上。
同侧型异侧型②异侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再连接；后续同上。
【1(2023•泸州)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 27 ．【分析】找出点E 关于AC 的对称点E '，FE '与AC 的交点P '即为PE +PF 取得最小值时P 的位置AP P C的值即可．【E 关于AC 的对称点E '，FE '交AC 于点P '，PE '，∴PE =PE '，∴PE +PF =PE '+PF ≥E 'F ，故当PE +PF 取得最小值时P 位于点P '处∴当PE +PF 取得最小值时AP PC的值AP P C 的值即可．∵正方形ABCD 是关于AC 所在直线轴对称∴点E 关于AC 所在直线对称的对称点E '在AD 上AE '=AE ，过点F 作FG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠GFA =90°，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB =∠B =90°，∠CAB =∠ACB =45°，∴FG ∥BC ∥AD ，∠AGF =∠ACB =45°，∴GF =AF ，∵E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点∴AE '=AE =EF =FB ，∴GC =13AC ，AE GF =AE AF=12，∴AG =23AC ，AP P C =AE GF =12，∴AP '=13AG =13×23AC =29AC ，∴P 'C =AC -AP '=AC -29AC =79AC ，∴AP P C =29AC 79AC =27，故答案为27．2(2023•德州)如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AB =3，BC =4，点E 在AB 上，且AE =1．F ，G 为边AD 上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为 154 ．【分析】先确定FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形CGFE 的周长最小时，即为CG +EF 最小时，平移CG 到C 'F ，作点E 关于AD 对称点E '，连接E 'C '交AD 于点G '，得到CG +EF 最小时，点G 与G '重合，再利用平行线分线段成比例求出C 'G '长即可．【解答】解：∵∠A =90°，AD ∥BC ，∴∠B =90°，∵AB =3，BC =4，AE =1，∴BE =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBC 中，由勾股定理，得EC =BE 2+BC 2=22+42=25，∵FG =1，∴四边形CGFE 的周长=CG +FG +EF +EC =CG +EF +1+25，∴四边形CGFE 的周长最小时，只要CG +EF 最小即可．过点F 作FC '∥GC 交BC 于点C '，延长BA 到E '，使AE '=AE =1，连接E 'F ，E 'C '，E 'C '交AD 于点G '，可得AD 垂直平分E 'E ，∴E 'F =EF ，∵AD ∥BC ，∴C 'F =CG ，CC '=FG =1，∴CG +EF =C 'F +E 'F ≥E 'C '，即CG +EF 最小时，CG =C 'G '，∵E 'B =AB +AE '=3+1=4，BC '=BC -CC '=4-1=3，由勾股定理，得E 'C '=E B 2+BC 2=42+32=5，∵AG '∥BC '，∴C G E C =AB E B ，即C G 5=34，解得C 'G '=154，即四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为154．故答案为：154．3(2023•绥化)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是 3+33 ．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF= 30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH为等边三角形，∴DH=CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HI，CF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．【中考模拟练】4(2024•衡南县模拟)已知：如图，直线y=-2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P(1，0)，若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是()A.3B.1+255+855C.2855D.10【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB 于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，MN+MP+ NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A(2，0)，点B(0，4)，则OA=2，OB=4，再由点P (1，0)得OP=1，则OE=OP=1，PA=OA-OP=1，再求出AB=25，证△PAC∽△BAO得PC：OB=PA：AB，由此得PC=255，则PF=455，再证△PFD∽△BAO得FD：OA=PD：OB=PF：AB，由此可得FD=45，PD=85，则ED=OE+OP+PD=185，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y=-2x+4，当x=0时，y=4，当x=0时，x=2，∴点A(2，0)，点B(0，4)，∴OA=2，OB=4，又∵点P(1，0)，∴OP=1，∴OE=OP=1，PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=25，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB=PA：AB，∠APC=∠ABO，即PC：4=1:25，∴PC=255，∴FC=PC=255，∴PF=FC+PC=455，∵∠APC=∠ABO，∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA=PD：OB=PF：AB，即FD：2=PD：4=455:25，∴FD=45，PD=8 5，∴ED=OE+OP+PD=1+1+85=185，在Rt△EFD中，ED=185，FD=45，由勾股定理得：EF=ED2+FD2=285 5．故选：C．5(2023•龙马潭区二模)如图，抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值 65-2 ．【分析】先求出点A(-4，0)，点D(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA，进而可得TN，据此可得出答案．【解答】解：对于y=-x2-3x+4，当y=0时，-x2-3x+4=0，解得：x1=-4，x2=1，∴点A的坐标为(-4，0)，对于y=-x2-3x+4，当x=-3时，y=4，∴点D的坐标为(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，∴DE+EF=TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T(3，4)，A(-4，0)，∴OH=3，TH=4，OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7，TH=4，由勾股定理得：TA=AH2+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF为最小值为65-2．故答案为：65-2．6(2024•碑林区校级一模)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC 的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；(2)如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB=2003米，BC=400米．根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希望PM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．【分析】(1)作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD =QD′，DK=D′K，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK=3，CK=4，再由勾股定理即可求得答案；(2)连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，由E′L∥AA′，可得△E′MT∽△A′MG，即可求得BQ的值．【解答】解：(1)如图①，作点D 关于BC 的对称点D ′，连接D ′Q 、AP ，过点D ′作D ′E ⊥AB 交AB 的延长线于E ，则QD =QD ′，DK =D ′K ，∴PQ +QD =PQ +QD ′=AQ -AP +QD ′，当A 、P 、Q 、D ′在同一条直线上时，PQ +QD =AD ′-AP 取得最小值，∵∠ABC =90°，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∵点D 是边AC 的中点，∴CD =12AC =5，∵DK ∥AB ，∴△CDK ∽△CAB ，∴DK AB =CK BC =CD AC，即DK 6=CK 8=510，∴DK =3，CK =4，∴D ′K =3，BK =4，∵∠E =∠EBK =∠BKD ′=90°，∴四边形BED ′K 是矩形，∴D ′E =BK =4，BE =D ′K =3，∴AE =AB +BE =6+3=9，∴AD ′=AE 2+D E 2=92+42=97，∵AP =2，∴PQ +QD 的最小值=97-2；(2)如图②，连接MQ ，NQ ，过点Q 作QK ⊥MN 于K ，作点A 关于直线MN 的对称点A ′，将E 向左平移10米得到点E ′，过点E ′作E ′L ∥AB ，过点A ′作A ′L ⊥E ′L 于L ，连接A ′M 、A ′E ′、E ′M ，∵M 、N 是半圆Q 的三等分点，且半径为10，∴△QMN 为等边三角形，且MN ∥BC ，MN =10，∵QK ⊥MN ，QM =10米，∴QK =53米，∴随着圆心Q 在BC 上运动，MN 在平行于BC 且到BC 距离为53的直线上运动，∵EE ′∥MN 且EE ′=MN =10米，∴四边形EE ′MN 是平行四边形，∴NE =ME ′，∴PM +NE =PM +ME ′≥AM -AP +ME ′=AM +ME ′-10，∵E 是CD 的中点，∴DE =12CD =1003，∴E ′L =AA ′-DE =2(AB -QK )-DE =2×(2003-53)-1003=2903(米)，A ′L =BC -E ′E =400-10=390(米)，在Rt △A ′E ′L 中，A ′E ′=A L 2+E L 2=3902+2903 2=201011，∴PM +NE 最小值=A ′E -AP =(201011-10)米；此时△MNQ 在如图③的△M ′N ′Q 位置，设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，∴MT MG =E TA G，∵MT=390-MG，E′T=EH=1003-53=953(米)，A′G=AG= 2003-53=1953(米)，GT=390米，∴390-MGMG =953 1953，∴MG=760529(米)，∴GK=GM+MK=760529+5=775029(米)，∴BQ=GK=775029米，∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为775029米．7(2023•卧龙区二模)综合与实践问题提出(1)如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小(保留作图痕迹，不写作法)；思维转换(2)如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN 看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用(3)如图③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE= AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值．【分析】(1)作点A的对称点，由两点之间线段最短解题即可；(2)将M、N看作定点，E看作动点，由(1)作法可解；(3)由相似得出MN为定值，再根据(2)作法求出AM+AN的最值，即可解答．【解答】解：(1)如图①，则点P为所求．连接A′B交l于点P，由对称得AP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BP最短，即PA+PB的和最小．(2)如图②，过点E作直线l1∥l，作点N关于l1的对称点N′，连接MN′，交l1于点P，则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′=8，∵MN=6，∴MN′=62+82=10，∴PM+PN=10，即ME+NE的最小值为10．(3)如图③，过A作l∥BD，AH⊥BD于点H，作点M关于l的对称点M′，连接M′N，由(2)得M′N为AM+AN的最小值，∵AB=5，AD=25，∴BD=52=5，2+25∴AH=5×25=2，5∴MM′=4，设ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2x，BE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BD，MM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=42+12=17，∴△AMN周长的最小值为17+1．题型二：辅助圆类几何最值动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1、定义法--若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆(或圆弧)2、定边对直角--若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆(或圆弧)3．定边对定角--若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆(或圆弧)【中考真题练】8(2023•黑龙江)如图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC 绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 4+3 ．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°，E是AB的中点，∴AB =2BC =4，CE =AE =12AB =2，AC =AB •cos30°=23，∴∠ECA =∠BAC =30°，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，∴AG =12AC =3，∵点F 在以A 为圆心，AB 长为半径的圆上，∴AF =AB =4，∴点F 到CE 的距离最大值为4+3，∴S △CEF =12CE ⋅4+3 =4+3，故答案为：4+3．【中考模拟练】9(2023•永寿县二模)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，M 是AD 的中点，点P 是CD 上一个动点，当∠APM 的度数最大时，CP 的长为 4-22 ．【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，当点P 运动到点P '处时，∠AP 'M 的度数最大，记AM 的中点为N ，可以证出四边形OP 'DN 是矩形，在Rt △MON 中，利用勾股定理求出ON ，从而得出DP '的长，进而求出CP 的长．【解答】解：过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，记PM 与⊙O 交于点Q ，连接AP ′，MP ′，OM ，OP ′，AQ ，则∠AP 'M =∠AQM >∠APM ，∠OP ′D =90°，∴当点P 运动到点P '时，∠AP 'M 最大，作ON ⊥AD 于点N ，则MN =AN =12AM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∴四边形OP 'DN 是矩形，∵AB =4，M 是AD 的中点，∴AM =DM =2，MN =1，∴OM =OP '=DN =DM +MN =3，在Rt △MON 中，ON =OM 2-MN 2=32-12=22，∴DP '=ON =22，∴CP '=DC -DP '=4-22，∴当∠APM 的度数最大时，CP 的长为4-22．故答案为：4-22．10(2023•营口一模)如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为 53 ．【分析】分析题意可知，点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，以此得到M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，再根据勾股定理分别算出AM 、AN 的值，则MN 的最大值M ′N =AN +AM ′=AN +AM ．【解答】解：连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，如图，∵△ADE 绕点A 旋转，∴点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，∵AM +AN ≥MN ，∴当点M 旋转到M ′，即M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，最大为M ′N ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，∴AN ⊥BC ，AM ⊥DE ，BN =3，DM =2，在Rt △ABN 中，由勾股定理得AN =AB 2-BN 2=33，在Rt △ADM 中，由勾股定理得AM =AD 2-DM 2=23，根据旋转的性质得，AM ′=AM =23，∴M ′N =AN +AM ′=53，即MN 的最大值为53．故答案为：53．11(2023•定远县校级一模)如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 23π3 ．【分析】由∠AFC =90°，得点F 在以AC 为直径的圆上运动，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，则点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG 的长，然后根据条件求出AG 所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF ⊥AE ，∴∠AFC =90°，∴点F 在以AC 为直径的圆上运动，以AC 为直径画半圆AC ，连接OA ，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，∴点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG的长，∵点G 为OD 的中点，∴OG =12OD =12OA =2，∵OG ⊥AB ，∴∠AOG =60°，AG =23，∵OA =OC ，∴∠ACG =30°，∴AC =2AG =43，∴AG 所在圆的半径为23，圆心角为60°，∴AG 的长为60π×23180=23π3，故答案为：23π3．12(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为△ABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明△ABE ≌△MDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得△ACF ≌△DMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得△ACF ≌△ABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ∥BM ，即AG ∥BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为△ABD 的中线，∴BE =DE ，在△ABE 和△MDE 中，BE =DE ∠AEB =∠MED AE =ME，∴△ABE ≌△MDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知△ABE ≌△MDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ∥DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在△ACF 和△DMA 中，AF =AD ∠CAF =∠MDA AC =DM，∴△ACF ≌△DMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在△ACF 和△ABM 中，AC =AB ∠CAF =∠BAM AF =AM，∴△ACF ≌△ABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵E、A分别是DB、DM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BM，即AG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵点P是AC的中点，∴GP=12AC=12AB=2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．题型三：瓜豆原理类几何最值大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合【中考真题练】13(2022•沈阳)【特例感知】(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD=BC；【类比迁移】(2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】(3)如图3，若AB=8，点C是线段AB外一动点，AC=33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 8+36 ；②若以BC为斜边作Rt△BCD(B，C，D三点按顺时针排列)，∠CDB=90°，连接AD，当∠CBD=∠DAB=30°时，直接写出AD的值．【分析】(1)证明△AOD≌△BOC(SAS)，即可得出结论；(2)利用旋转性质可证得∠BOC =∠AOD ，再证明△AOD ≌△BOC (SAS )，即可得出结论；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，先证得△ABC ∽△TBD ，得出DT =36，即点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DT =32AC =32×33=92，再求出DH 、AH ，即可求得AD ；如图5，在AB 下方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DE =92，再由勾股定理即可求得AD ．【解答】解：(1)AD =BC ．理由如下：如图1，∵△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90°，∴OA =OB ，OD =OC ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ，故答案为：AD =BC ；(2)AD =BC 仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOB +∠AOC =∠AOC +∠COD =90°+α，即∠BOC =∠AOD ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，∵△ABT 和△CBD 都是等腰直角三角形，∴BT =2AB ，BD =2BC ，∠ABT =∠CBD =45°，∴BT AB=BD BC =2，∠ABC =∠TBD ，∴△ABC ∽△TBD ，∴DT AC =BT AB=2，∴DT =2AC =2×33=36，∵AT =AB =8，DT =36，∴点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，∴当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36，故答案为：8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，∵BT AB =BD BC =cos30°=32，∠ABC =∠TBD =30°+∠TBC ，∴△BAC ∽△BTD ，∴DT AC=BD BC =32，∴DT =32AC =32×33=92，在Rt △ABT 中，AT =AB •sin ∠ABT =8sin30°=4，∵∠BAT =90°-30°=60°，∴∠TAH =∠BAT -∠DAB =60°-30°=30°，∵TH ⊥AD ，∴TH =AT •sin ∠TAH =4sin30°=2，AH =AT •cos ∠TAH =4cos30°=23，在Rt △DTH 中，DH ===652，∴AD =AH +DH =23+652；如图5，在AB 上方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，则BE AB=BD BC =cos30°=32，∵∠EBD =∠ABC =∠ABD +30°，∴△BDE ∽△BCA ，∴DE AC =BE AB =32，∴DE =32AC =32×33=92，∵∠BAE =90°-30°=60°，AE =AB •sin30°=8×12=4，∴∠DAE =∠DAB +∠BAE =30°+60°=90°，∴AD ===172；综上所述，AD 的值为23+652或172．【中考模拟练】14(2023•金平区三模)如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =152，E 为BC 上一点，且BE =32，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为 32+32 ．【分析】如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．首先证明∠ETG =90°，推出点G 的在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小．【解答】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =45°，∴∠BEF =∠TEG ，∵EB =ET ，EF =EG ，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵BC =152，BE =32，CD =6，∴CE =CD =6，∴∠CED =∠BET =45°，∴∠TEJ =90°=∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴DE ∥GT ，GJ =TE =BE =32，∴CJ ⊥DE ，∴JE =JD ，∴CJ =12DE =32，∴CG =CJ +GJ =32+32，∴CG 的最小值为32+32，故答案为：32+32．15(2023•苍溪县一模)如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为 23+1 ．【分析】如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，由△COP ∽△CED ，推出OP ED =CP CD=2，即ED =12OP =1(定长)，由点E 是定点，DE 是定长，推出点D 在半径为1的⊙E 上，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，∵∠CDP =90°，∠DCP =60°，∴CP =2CD ，∴CO CE =CP CD=2，∴△COP ∽△CED ，∴OP ED =CP CD =2，即ED =12OP =1(定长)，∵点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1的⊙E 上，∵OD ≤OE +DE =23+1，∴OD 的最大值为23+1，故答案为23+1．16(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个点M ，N 满足PM =3PN 且∠MPN =90°，则称点P 是图形W 的关联点．已知点A (-23，0)，B (0，2)．(1)在点P 1(-3，-1)，P 2(-3，3)，P 3(-23，-2)中，P1，P 2 是线段AB 的关联点；(2)⊙T 是以点T (t ，0)为圆心，r 为半径的圆．①当t =0时，若线段AB 上任一点均为⊙O 的关联点，求r 的取值范围；②记线段AB 与线段AO 组成折线G ，若存在t ≥4，使折线G 的关联点都是⊙T 的关联点，直接写出r 的最小值．【分析】(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；(2)①根据题意推得三角形PMN 为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，推得⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r 的取值范围；②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．【解答】解：(1)∵∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，∴满足MN 2=PM 2+PN 2，根据勾股定理可得：，，，；，，；P3A=2，，，∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴是线段AB的关联点；∵P3A=7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，∴∠P3AB=90°+30°=120°，∴对于线段AB上的任意两点M、N，当时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，∴不是线段AB的关联点；故答案为：P1，P2．(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P 为例，当点M 在半径为r 的⊙O 上运动时，点N 为圆上一定点，且MN =2PN ，∠PNM =60°，则点M 的运动轨迹为圆，故点P 的轨迹也为圆，令点P 的轨迹为圆R ，如图：当M ，O ，N 三点共线，P ，R ，N 三点共线时，∠PNM =60°，∴OR =32r ，RN =12r ，则点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，当点N 也在⊙O 上运动时，⊙R 也随之运动，则⊙R 扫过的区域为3+12r 和3-12rr 为半径围成的圆，即⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB 与半径为3+12r 交于点A 时，r 最小，如图：则3+12r =23，解得r =6-23，当线段AB 与半径为3-12r 的圆相切时，r 最大，过点O 作OH ⊥AB ，如图：则，即，解得，则，解得，∴②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上，所有区域叠加一起为：由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得r=42(负值舍去)；综上，r的最小值为42．17(2024•昆山市一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；(3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD．求FD长度的取值范围．【分析】(1)将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，即可求解；×4×(-m2+6m-5)，(2)设M(m，m2-6m+5)，先求AB=4，则S△ABC=10，再由题意可得S△AMB=6=12即可求M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB(SAS)，则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'(1，-4)，F(7，0)，则B'F=213，所以DF的最大值为61+ 2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．【解答】解：(1)令x=0，则y=5，∴C(0，5)，令y=0，则x=1，∴A(1，0)，将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，得，∴，∴y=x2-6x+5；(2)设M(m，m2-6m+5)，令y=0，则x2-6x+5=0，解得x=5或x=1，∴B(5，0)，∴AB=4，∴S△ABC=1×4×5=10，2∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，∴S△AMB=6=1×4×(-m2+6m-5)，2解得m=2或m=4，∴M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，∵AB=AB'，PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B(5，0)，A(1，0)，∴B'(1，-4)，∵BF=2，∴F(7，0)，∴B'F=213，∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，∴213-2≤DF≤213+2．题型四：其他类几何最值除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂线段最短等【中考真题练】18(2023•锦州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是 23 ．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，∴PN=12AP，∴CP+12AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，∴sin60°=CNAC，∴CN=sin60°×AC=4×32=23，∴CP+12AP=CP+PN=CN=23，故答案为：23．19(2023•德阳)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23，AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 19 ．【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．【解答】解：如图1，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM=12AC=12×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M=BM2+B1B2=31，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，∴ME =AM •sin60°=3×32=32，AE =AM •cos60°=32，∴MF =ME +EF =32+2=72，B 1F =A 1B 1-A 1F =332，在Rt △MFB 1中，由勾股定理得：B 1M =MF 2+B 1F 2=19，如图3，连接B 1M ，交A 1C 1于点N ，则B 1M ⊥AC ，B 1N ⊥A 1C 1，在Rt △A 1NB 1中，∠NA 1B 1=60°，∴NB 1=A 1B 1•sin60°=3，∴B 1M =NB 1+MN =5，∵19<5<31，∴小虫爬行的最短路程为19．故答案为：19．20(2023•常州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是AC 延长线上的一点，CD =2．M 是边BC 上的一点(点M 与点B 、C 不重合)，以CD 、CM 为邻边作▱CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是 22≤MP <5 ．【分析】先根据题意确定点P 的运动轨迹，即可确定MP 的最大值和最小值，从而解答．【解答】解：∵AB =AC =4，∴AD =6，∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CNMD 是平行四边形，∴DN ∥BC ，DN =BC ，CD ∥MN ，CD =MN ，∴∠ADN =∠ACB =45°=∠ABC =∠CMN ，当M 与B 重合时，如图M1，N 1，P 1，∠ABN 1=90°，∴AN 1=42+22=25，∵P 1是中点，∴MP 1=12AN 1=5，当MP ⊥BC 时，如图P 2，M 2，N 2，∵P 1，P ，P 2是中点，∴P 的运动轨迹为平行于BC 的线段，交AC 于H ，∴CH =3-2=1，∵∠ACB =45°，∴PH 与BC 间的距离为P2M 2=22CH =22，∵M不与B、C重合，∴22≤MP<5．【中考模拟练】21(2024•济南一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE 沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为1．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG=12A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D=AD=BC，即可求解．【解答】解：如图，连接A1B，BD，∵F、G分别为A1C、BC的中点，∴FG=12A1B，当FG的最小时，即A1B最小，∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，∴AD=BC=3，∠A=90°，∴BD=AB2+AD2=5，∵△ADE沿DE折叠，∴A1D=AD=3，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，∴A1B≥BD-A1D，即A1B≥2，∴FG=12A1B≥1，∴FG的最小值为1，故答案为：1．22(2024•郾城区一模)如图，在矩形ABCD中，AD=63，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE=4，点F为线段BD上的一个动点，则EF+12BF的最小值为4．【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，首先根据题意将12BF用FH表示，再将EF+FH的最小值用EG表示，进而求出EG的长即可解决问题．【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵四边形ABCD是矩形，AD=63，AB=6，。
+2024年九年级数学中考2轮专题复习专题1+线段最值问题
专题一：线段最值问题(1)班级：姓名：使用日期：评价：【模型一】利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”求最值.类型一一动一定求最值模型解读：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE△AC于点E，PF△BC于点F，BC＝15，AC＝20，则线段EF长的最小值为.类型二两定一动求最值模型解读：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值.方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA ＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF的长.典例2 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，P为线段BD上的一个动点，求MP＋1/2PB的最小值.类型三两动一定求最值模型解读：如图△，P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小.要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图△，作点P关于OB的对称点P'，作P'M△OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可.典例3 如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，BC＝8，AD是△BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，求PC＋PQ的最小值.典例4 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AB＋BC＝8，tanA＝3/4，O，D分别是边AB，AC上的动点，求OC＋OD的最小值.学以致用1. 如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为（）A. 3B. 5C. 7D. 102.如图，菱形ABCD的周长为24，△ABD＝30°，P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC＋PQ的最小值是（)A. 6B. 3√3C. 3√5D. 6√33.如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME△BC于点E，MF△CD 于点F，连接EF，则EF长的最小值为3.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，连.接MN，CM，则CM＋MN的最小值是专题一：线段最值问题(2)班级：姓名：使用日期：评价：【模型二】利用“两点之间线段最短求最值”求最值.1.“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．模型解读：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．模型解读：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．例题△△△【问题提出】（1）如图△，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图△，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；【问题解决】（3）如图△所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，△C＝△D＝90°，AD ＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？2.“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 周长最小．模型解读：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．例题△△△（1）如图△，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN．△当点P与点B重合时，线段MN的长是，当AP的长最小时，线段MN的长是；△如图△，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；（2）如图△，在等腰△ABC中，△BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求△PQR+△PRQ的度数．3.“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是△AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．模型解读：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．例题△△△如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G 分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．（1）求点M到AB的距离；（2）若EF△FG，且FC＝2BF，求DG的长；（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．学以致用1.如图，已知菱形ABCD的边长为4，△ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．2.如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为．3.如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN 周长的最小值为．4.如图，正方形ABCD内接于△O，线段MN在对角线BD上运动，若△O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．。
专题01 中考数学专题复习最值问题(阿氏圆)练习
中考数学专题复习最值问题（阿氏圆）练习1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．【答案】B【解析】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案解析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴PC CM CA CP=，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴13 PM PCPA AC==，∴PM13=PA，∴13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM==∴13AP +BP ，∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O ＋PB 的最小值为________．【答案】【分析】＋PB （PA PB ）PB 即可解答．【解析】解：设⊙O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB r ＝，取OB PI ，∴OI ＝IB∵OP OI =，OB OP ==，∴OP OBOI OP= ，∠O 是公共角，∴△BOP ，∴PI PB =，∴PI ，∴AP ＝AP ＋PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO ＝∴IE ＝BE ＝1，∴AE ＝AB −BE ＝3，∴AI =∴AP 最小值＝AI＋PB （PA PB ），＋=．故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．3．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【解析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，31232BM BP ==Q ，3162BP BC ==BM BPBP BC\=PBM CBP Ð=ÐQ \BPM BCP△∽△12MP BM PC BP \==12MP PC \=12PD PC PD MD\-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，Q 四边形ABCD 是正方形90C \Ð=°在Rt CDM V 中，152DM ===故答案为：152．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键．4．如图，在V 90,2B AB CB Ð=°==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA +的最小值是___________．【分析】作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC =接着证明△BPD ∽△BCP 得到PD =，所以PAPC ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到PA 的最小值．【解析】解：作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，∵AC 为切线，∴BH 为⊙B 的半径，∵∠90°＝CB ＝2，∴AC =＝∴BH 12=AC∴BP =∵PB BC BD BP ==，而∠PBD ＝∠CBP ，∴△BPD∴PD PC ∴PD =，∴PA ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD =∴PA+即PA【点睛】：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD=．也考查了等腰直角三角形的性质．5．如图，在Rt ABCD中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 E F上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明PAT BAPD D∽，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【解析】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝ABPA，∵∠PAT＝∠PAB，∴PAT BAPD D∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTD中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12 PC的最大值为_____．【答案】5【解析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．解析: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．7．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【解析】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值k OPOB=；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OPOP OB=构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA ＋K *PB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．∴本题求“PA ＋k ·PB ”的最小值转化为求“PA ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．8．如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．【答案】【分析】连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．由题意易证OPC OEP V :V ，即得出2PE PC =，从而得出2PC PD PE PD +=+，由此可知当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长，最后在Rt OED △中利用勾股定理求出DE 的长即可．【解析】如图，连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．∵C 是OA 的中点，∴1122OC OA OP ==．∴在△OPC 和△OEP 中，12COP POE OC OP OP OE Ð=Ðìïí==ïî，∴OPC OEP V :V ，∴1=2PC PE ，即2PE PC =，∴2PC PD PE PD +=+，.∴当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值即为DE 的长，如图，在Rt OED △中，DE ===，∴2PC PD +的最小值为．【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长是解答本题的关键．9．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD 的最小值．【答案】（1）见解析；（21 ；（3【分析】（1）利用SAS ，即可证明△FCA ≌△DCB ；（2）分两种情况当点D ，E 在AB 边上时和当点E ，F 在边AB（3）取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，可证得△DCM ∽△ACD ，可得DM ，从而得到当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，即可求解．【解析】（1）证明： ∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）；（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴sin 45ACAB ==°∵CD ⊥AB ，∴AD AC =´=∴BD ＝1==；②如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD ＝CF ＝sin 452BC ´°==AD∴BD =综上所述，BD 1+（3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，∵CD CM ＝1，CA ＝2，∴CD 2＝CM •CA ，∴CD CA ＝CMCD，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△∴DM AD ＝CD AC ，∴DM ，∴BD ＝BD +DM ，∴当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，最小值BM ==【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接BC ，且tan∠CBD 4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连接PB ，求35PC ＋PB 的最小值．【答案】（1）241620999x x -++；（2）①32；②245【解析】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t æö--ç÷èø，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；②根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ⊥AC 于G ，可得PG 35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解．答案解析：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵43CDtan CBD DBÐ==，∴CD ＝BD •tan∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 49a =-，∴二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++；（2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴0542.k b k b =+ìí=+î，，解得 4320.3k b ì=-ïïíï=ïî即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∴点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t æö=-ç÷èø，即2315244F t t t æö--ç÷èø，，∴221244t EF t t t t æö=--=-ç÷èø，∴△BCF 的面积12=´EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32；②如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴35AD sin ACD AC Ð==，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt△PCG 中，35PG PC sin ACD PC =×Ð=，∴35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∵11641222ABC S AB CD =´´=´´=V ，又∵1522ABC S AC BH BH =´´=V ，∴5122BH =，即245BH =，∴35PC PB +的最小值为245．11．问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD D ∽BCP D ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．【答案】（1；（2（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，即可证明PCD V ∽ACP △，得到13PD AP =，即13AP BP PD BP +=+，所以13AP BP +的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，即可证明OAP △∽OPE V ，得到2EP PA =，即2PA PB EP PB +=+，所以2PA PB +的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．【解析】（1）根据题意可知，当A 、P 、D 三点共线时，12AP BP +最小，最小值AD ====．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，则有13CD CP CP CA ==，∵PCD ACP Ð=Ð，∴PCD D ∽ACP △，得13PD CD AP CP ==，∴13PD AP =，故13AP BP PD BP +=+，仅当B 、P 、D 三点共线时，13AP BP +的最小值BD ====．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，则12OA OP OP OE ==，∵AOP POE Ð=Ð，∴OAP △∽OPE D ，∴12OA OP AP OP OE EP ===，∴2EP PA =，∴2PA PB EP PB +=+，仅当E 、P 、B 三点共线时，13EP PB BE +====，即2PA PB +的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出PCD V ∽ACP △和OAP △∽OPE V 是解题的关键．本题较难．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OB OA =，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【答案】（1）y 13=x 2﹣3；（2）；（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 的3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【解析】（1）由题意A 0），B 0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x（x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2﹣3．（2）在Rt△AOC 中，tan∠OAC OCOA==，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°＝D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2，H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13﹣3）解得m =，∴当时，m ．（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F 0），H （．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC ==2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KHAH HQ=．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最值问题
深度练习
1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．
4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．
5．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，
1)，E(a ，0)，F(a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；
(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．
参考答案
1．B
2.7
3.(23－3，2－3)
4．解：如图，连接OQ.
在Rt△OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，
当OP 最小时，PQ 最大，此时OP⊥BC，
则OP ＝12OB ＝3
2，
∴PQ 的最大值为9－（3
2）2＝33
2.
5．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，
由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a
＝2，
a －
b ＋
c ＝0，c ＝5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
，b ＝4，c ＝5，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5.
(2)当a ＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE ＝1，OF ＝2.
设P(x ，－x 2＋4x ＋5)．
如图，过点P 作PN⊥y 轴于点N ，
则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，
∴MN＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4.
S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(OF ＋PN)·ON －12MN·NP－1
2OE·O M
＝1
2(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x·(－x 2＋4x ＋4)－12×1×1＝－(x －94)2＋153
16，
∴当x ＝9
4时，S 四边形MEFP 最大，最大为153
16.
当x ＝9
4时， y ＝－x 2＋4x ＋5＝143
16，
此时点P 坐标为(9
4，143
16)．
(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.
令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2± 6.
∵点P 在第一象限，
∴点P(2＋6，3)．
∵在四边形PMEF 中，PM ，EF 长度是固定的，
∴ME＋PF 最小时，四边形PMEF 的周长最小．
如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)，作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)，连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 设直线PM 2的解析式为y ＝m x ＋n ，
将P(2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得
⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝46－45，n ＝－46＋15
， ∴y＝46－45x －46＋15
. 当y ＝0时，解得x ＝6＋54，∴F(6＋54
，0)． ∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14
， ∴当a ＝
6＋14时，四边形PMEF 的周长最小．。