高一数学必修4模块训练3
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第三章312002
[学业水平训练]1．已知α∈(3π2，2π)，cos α＝45，则tan(α＋π4)＝( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7解析：选A.由cos α＝45且α∈(3π2，2π)，则sin α＝－35， ∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A.因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，从而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A. 3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1C.12D ．4 解析：选C.因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4， 所以tan αtan β＝12. 4．已知sin α＝55且α为锐角，tan β＝－3且β为钝角，则角α＋β的值为( ) A.π4B.3π4C.π3D.2π3 解析：选B.sin α＝55，且α为锐角， 则cos α＝255，tan α＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×（－3）＝－1. 又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故α＋β＝3π4. 5.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3 解析：选D.∵tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－tan 60°＝－ 3.6．在△ABC 中，tan A ＝13，tan B ＝－2，则角C ＝________． 解析：tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝13＋（－2）1－13×（－2）＝－1， 所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案：π47．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________．解析：因为tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，所以tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.答案：18．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝________． 解析：由于α＋β－π4＝⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3， 故tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12·tan ⎝⎛⎭⎫β－π13。
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。
高一数学必修4同步练习：3-2-1三角恒等变换
3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2＝－cos α2. 2．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105B.105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<α<π，∴π2<α2<π2，则sin α2＝1－cos α2＝155. 3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2αtan2α.4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )A.13 B.23 C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63. 5．化简cos2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin2αD ．1－sin2α[答案] D[解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－sin2α. 6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )A.12－32sin2x B.12＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x[答案] A[解析] f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋12－12cos2x ＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x＝12－32sin2x . 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( ) A ．2 B.32 C.2＋12D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12.8．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sinπ4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C. 9．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D 。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：习题课(三) 含解析
习题课(三)一、选择题1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB→＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①不正确；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确；③也不正确，因为A 、B 、C 、D 可能落在同一条直线上；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中，若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了，因此⑥也不正确．2．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,17]B ．(3,17)C ．(3,10)D ．[3,10]答案：A解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →共线时的情况求解．即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →|≤17.3．对于非零向量a ，b ，下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b ，则|a |＝|b |B ．若a ∥b ，则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0D ．a ∥b 与a ，b 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质，可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反，但模长不确定，因此B 错误．4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6，两式相减并除以4，可得a ·b ＝1.5．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ，∴2x －4＝0，x ＝2，又b ∥c ，∴2y ＋4＝0，∴y ＝－2，∴a ＋b ＝(x ＋1,1＋y )＝(3，－1)．∴|a ＋b |＝10.6．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β.已知非零向量a ，b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a °b ，b °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈N 中，则a °b ＝( ) A.52或32 B.12或32C ．1 D.12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2，n ∈N ①.同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2，m ∈N ②.再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12，①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4，m ，n ∈N ，∴m ＝n ＝1，∴a °b ＝n 2＝12，选D. 二、填空题7．若向量OA →＝(1，－3)，|OB →|＝|OA →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20，所以|AB →|＝20＝2 5.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因此cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3. 9．设正三角形ABC 的面积为2，边AB ，AC 的中点分别为D ，E ，M 为线段DE 上的动点，则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________．答案：532解析：设正三角形ABC 的边长为2a ，因为正三角形ABC 的面积为2，所以a 2＝233.设MD ＝x (0≤x ≤a )，则ME ＝a －x ，MB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2，当x ＝a 2时，MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532. 三、解答题10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.11．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)若AP →＝3PB →，则OP →＝14OA →＋34OB →， OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3. 能力提升12．已知A (1,0)，B (5，－2)，C (8,4)，D (4,6)，那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4，－2)，BC →＝(3,6)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0，故AB →⊥BC →.又DC →＝(4，－2)，故 AB →＝DC →.又|AB →|＝20＝2 5，|BC →|＝45＝3 5，故|AB →|≠|BC →|，所以，四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中，已知三点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －4,2)，AC →＝(2，t )，BC →＝(6－t ，t －2)，若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝0，即2(t －4)＋2t ＝0，∴t ＝2；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0，∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解，∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD →＝BC →，设点D 的坐标为(x ，y )，即(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)，∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2 ＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD →|取得最小值4 2.。
高一数学必修4同步练习：1-4-3正切函数的性质与图象
1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数 B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数 C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数 D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 [答案] C2．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )．3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D.6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C7．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1][答案] C9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π.则－1≤ω<0.10．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )[答案] A[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－33，排除选项C ，D ； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan0＝0，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，排除选项B.故选A.二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .13．三个数cos10°，tan58°，sin168°的大小关系是________． [答案] sin168°<cos10°<tan58°[解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．16．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的值域．[解析] 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。
高一数学必修4模块训练4答案
高一数学必修4模块训练4一.选择题：1、化简8cos 228cos 12+-+的结果是（C ）（A ）（sin4 （B ） （C ）（cos4 （D ）2、已知tan α，tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，且－2π<α<2π，－2π<β<2π，则 α+β等于（ B ）（A ）3π （B ）－32π （C ）3π或－32π （D ）－3π或－32π 3、函数y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴的方程是( A ) （A ）x=－2π （B ）x=－4π （C ）x=8π （D ）x=45π 4、已知sin αcos α=83，且4π＜α＜2π，则cos α－sin α的值是 （ A ） (A)－21 (B)21 (C)－41 (D) 41 5、下列命题①函数y=sin2x 的单调增区间是[ππππk k ++45,43]，（k ∈Z ） ②函数y=tanx 在它的定义域内是增函数③函数y=|cos2x|的周期是π④函数y=sin(x +25π)是偶函数 其中正确的是 （ D ）(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①④ 6、已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则|a －2b |的值是（ B ） （A ）9 （B ）7 （C ）129 （D ）107、若a =（3，5cosx ），b =（2sinx ，cosx ），则a ·b 的范围是（ B ）（A ）[－6，+∞] （B ）[－6，534] （C ）[6，+∞] （D ）[0，534] 8、若△ABC 是边长为1的等边三角形,向量=c ，=a ，=b ，有下列命题①a ·b =1 ②a +b 与a －b 垂直 ③a 与b 夹角为60° ④a +b =c其中正确命题的个数是 （ B ）(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个二.填空题：9、函数y=Asin(ωx+φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)，在同一个周期内，当x=3π时， y 有最大值2,当x=0时,y 有最小值－2,则这个函数的解析式为____________。
高一数学必修4 模块测试卷
高一数学必修4 模块测试卷试卷满分：100分 考试时间：60分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3πB. 23πC. 43πD. 53π2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ） A. (4,2)- B. (4,2)-- C. (4,2) D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ） A. 3- B. 3 C. 13-D. 135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是)0,2(π，那么()f x 的解析式可以是（ ）A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度 D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2πC. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则)4cos(πθ+的值等于（ ）A.B.C.D. 10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（ ）A ．3B ．2 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号） 三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-; 12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③. 注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分（Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分 所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122=+=. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =-+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分 由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1(,)22a a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a = ，(2,0)AB a =， …………………3分 所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分。
高一数学必修4同步练习：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算
2-3-2.3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算 一、选择题1．下列可作为正交分解的基底的是( ) A ．等边△ABC 中的AB →和AC →B ．锐角△ABC 中的AB →和AC →C ．直角△ABC 中的AB →和AC →，且∠A ＝90° D ．钝角△ABC 中的AB →和AC → [答案] C[解析] 选项A 中，AB →与AC →的夹角为60°；选项B 中，AB →与AC →的夹角为锐角；选项D 中，AB →与AC →夹角为锐角或钝角，所以选项A ，B ，D 都不符合题意．选项C 中，AB →与AC →的夹角为∠A ＝90°，则选项C 符合题意．2．已知MN →＝(2,3)，则点N 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．不确定[答案] D[解析] 因为点M 的位置不确定，则点N 的位置也不确定． 3．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(1，－2)[答案] B[解析] NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．4．已知AB →＝a ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－181 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－3 [答案] A[解析] a ＝AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－2，λa ＝12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，－1，故选A. 5．(08·四川)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) [答案] A[解析] a －2b ＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)，故选A.6．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)[答案] D[解析] ∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. ∴12a －32b ＝(－1,2)． 7．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)[答案] D[解析]由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．8．(2011～2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a、b的坐标分别为()A．(4,0)、(－2,6) B．(－2,6)、(4,0)C．(2,0)、(－1,3) D．(－1,3)、(2,0)[答案] C[解析]∵a＋b＝(1,3)①a－b＝(3，－3)②∴①＋②得：a＝(2,0)．①－②得：b＝(－1,3)．9．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝k a＋l b，则k、l的值为()A．－2,3 B．－2，－3C．2，－3 D．2,3[答案] D[解析]利用相等向量的定义求解．∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l 7＝2k ＋l，解得：k ＝2，l ＝3. 10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．3x ＋2y －11＝0C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 [答案] D[分析] 求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C (x ，y )，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x 、y 的关系式，消去α、β即得．[解析] 解法1：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1，3)．由OC →＝αOA →＋βOB →得(x ，y )＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)． 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β， (1)y ＝α＋3β， (2)α＋β＝1. (3)由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4α－1y ＝3－2α.再消去α得x ＋2y ＝5， 即x ＋2y －5＝0.∴选D.解法2：由平面向量共线定理，当OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1时，A 、B 、C 三点共线．因此，点C 的轨迹为直线AB ， 由两点式直线方程得y －13－1＝x －3－1－3，即x ＋2y －5＝0.∴选D. 二、填空题11．已知AB →＝(3,4)，B (2，－1)，则点A 的坐标是________． [答案] (－1，－5)[解析] 设A (x ，y )，则AB →＝(2－x ，－1－y )＝(3,4)．故⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，－1－y ＝4，解得x ＝－1，y ＝－5. 12．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，则AB →＋2BC →＝__________，BC →－12AC →＝________.[答案] (－18,18)，(－3，－3) [解析] AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)， AC →＝(－10,14)，∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．13．已知两点M (3，－2)，N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12MN →，则点P 的坐标是________．[答案] (－1，－32)[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)．即⎩⎨⎧x －3＝－4y ＋2＝12，解得⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－32，∴P (－1，－32)．14．(探究题)设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，且向量OB →＝________.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，235[解析] 设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m－n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝235n ＝115.因此，OB →＝⎝ ⎛⎭⎫－115，235.三、解答题15．已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →.[解析] ∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， ∴AB →＝(7－4,5－6)＝(3，－1)， AC →＝(1－4,8－6)＝(－3,2)， AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.16．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．17．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，将下列向量表示成x a ＋y b 的形式．(1)p ＝(2,3)；(2)q ＝(－3,2)．[解析] x a ＋y b ＝x (1,1)＋y (1，－1)＝(x ＋y ，x －y )．(1)由p ＝(2,3)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.所以p ＝52a －12b .(2)由q ＝(－3,2)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－52.所以q ＝－12a －52b .[点评] 本题利用向量的相等关系转化为方程组问题，是方程思想的体现，要善于灵活地运用它．18．已知向量u ＝(x ，y )与向量ν＝(y,2y －x )的对应关系用ν＝f (u )表示．(1)求证：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．[分析] (1)分别化简f (m a ＋n b )与mf (a )＋nf (b )，得出二者的相等关系；(2)依据ν＝f (u )来解决；(3)设出向量c 的坐标，列方程解得．[解析] (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma1－nb1)．∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q.∴向量c＝(2p－q，p)．。
高一数学必修4模块训练3答案
高一数学必修4模块训练3一.选择题：1．已知角α 的终边过点P （-4，3），则ααcos sin 2+的值为（ C ） A ．54-B ．53C ．52D ．22．若θθcos sin ⋅>0,则θ在( B )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 3．在)2,0(π 内，使x x cos sin >成立的x 取值范围是（ C ）A ．)45,()2,4(ππππ⋃ B ．),4(ππC ．)45,4(ππ D ． )23,45(),4(ππππ⋃ 4．设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于 （ A ） A ．57 B ． 51 C ． 57- D ． 51- 5.下列命题正确的个数是 ( )① 0v ·a v ＝0；① a v ·b v ＝b v ·a v ；① a v 2＝|a v |2① |a v ·b v |≤a v ·b v（ C ）A 1B 2C 3D 4 6.已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为( C ) A16 B 2213 C 322 D 13187.cos 2cossin 2sin55y x x ππ=+的单调递减区间是( B )A 5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B 3,()105k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C 55,()126k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D 52,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8. 如图, E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的所在边的中点, 若()()0AB BC BC CD +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形EFGH 是 ( D )A 平行四边形但不是矩形B 正方形C 菱形D 矩形 二.填空题：9．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y [－1,3] ； 考查三角函数的值域，简单题。
高一数学必修4同步练习：1-3-1诱导公式二、三、四
1-3-1诱导公式二、三、四一、选择题1．(07·湖北)tan690°的值为()A．－33 B.33C. 3 D．－ 3[答案] A[解析]tan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33，选A.2．sin600°＋tan240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 3[答案] B[解析]sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－3 2＋3＝3 2.3．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝()A．t B．360＋tC．－t D．与t无关[答案] C[解析]tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t.4．将cos(π＋2)化为某个锐角的三角函数为()A ．cos2B ．－cos2C ．－cos(π－2)D ．cos(π－2)[答案] D[解析] cos(π＋2)＝－cos2＝－cos[π－(π－2)]＝cos(π－2)．又0<π－2<π2，故选D.5．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin C D ．－sin C[答案] B[解析] cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故选C. 6．若cos(π＋α)＝－12，3π2<α<2π，则sin(2π－α)＝( )A.12 B ．±32C.32D ．－32 [答案] C[解析] ∵cos(α＋π)＝－12，∴cos α＝12，又∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(12)2＝－32，∴sin(2π－α)＝－sin α＝32.7．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是( )A ．sin(α＋π)＝sin βB ．sin(α－π)＝sin βC ．sin(2π－α)＝－sin βD ．sin(－α)＝sin β[答案] C[解析] ∵α与β的终边关于y 轴对称，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z ， ∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin(π－α)＝sin α.又sin(α＋π)＝－sin α， sin(α－π)＝－sin α，sin(2π－α)＝－sin α， sin(－α)＝－sin α，∴sin(2π－α)＝－sin β恒成立． 8．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π4，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1[答案] A[解析] ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.9．(2010·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k 1－k2D ．－k 1－k2[答案] B[解析] 因为sin80°＝1－cos 280°＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2009)＝5，则f (2010)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5[答案] C[解析] ∵f (2009)＝a sin(2009π＋α)＋b cos(2009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴a sin α＋b cos β＝－5. ∴f (2010)＝a sin α＋b cos β＝－5. 二、填空题11.1－sin 2600°＝________. [答案] 12[解析] 原式＝cos 2600°＝|cos600°|＝|cos(360°＋240°)|＝|cos240°|＝|cos(180°＋60°)|＝|cos60°|＝12.12．已知tan(π7＋α)＝5，则tan(6π7－α)＝________.[答案] －5 [解析] tan(6π7－α)＝tan[π－(π7＋α)]＝－tan(π7＋α)＝－5. 13．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°＝________. [答案] －1[解析] 原式＝(cos1°＋cos179°)＋(cos2°＋cos178°)＋…＋(cos89°＋cos91°)＋cos90°＋cos180°＝0＋0＋…＋0＋0＋0＋(－1)＝－1. 14．化简：(1)cos (α－π)tan (α－2π)tan (2π－α)sin (π＋α)＝________；(2)sin 2(－α)－tan(360°－α)tan(－α)－sin(180°－α)cos(360°－α)tan(180°＋α)＝________；(3)sin (2π－α)tan (α＋π)tan (－α－π)cos (π－α)tan (3π－α)＝________.[答案] (1)－tan α (2)－tan 2α (3)tan 2α [解析] (1)原式＝(－cos α)·tan α·(－tan α)－sin α＝－tan α.(2)原式＝sin 2α－(－tan α)·(－tan α)－sin α·cos α·tan α＝－tan 2α. (3)原式＝－sin αtan α(－tan α)－cos α(－tan α)＝tan 2α.三、解答题15．求sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°的值．[解析] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.16．已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值．[分析] 注意到(π6－α)＋(5π6＋α)＝π，可以把5π6＋α化成π－(π6－α)，又α－π6＝－(π6－α)，利用诱导公式即可．[解析] ∵cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin 2(α－π6)＝sin 2[－(π6－α)]＝sin 2(π6－α)＝1－cos 2(π6－α)＝1－(33)2＝23，∴cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33.[点评] 此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如5π6＋α＝π－(π6－α)，从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数值表示出来．17．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．[解析] ∵sin(α＋π)＝45，∴sin α＝－45<0.又sin αcos α<0， ∴cos α>0.∴α是第四象限角． ∴cos α＝1－sin 2α＝1－(－45)2＝35.∴tan α＝sin αcos α＝－43. ∴原式＝－2sin (π－α)＋3tan (π－α)4cos (π－α)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－2×(－45－3×(－43)－4×35＝－73.18．已知α是第四象限角，且 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋2π)tan (－α＋π)sin (3π－α).(1)化简f (α)；(2)若sin α＝－35，求f (α)；(3)若α＝－31π3，求f (α)．[解析] (1)f (α)＝－sin αcos αtan α－tan αsin α＝cos α.(2)∵sin α＝－35，且α是第四象限角，∴f (α)＝cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45. (3)f (－31π3)＝cos(－31π3)＝cos(－π3)＝cos π3＝12.。
人教版数学阶段测试必修4第三章
贵州省盘县第一中学2012～2013学年度第二学期单元测试卷高一数学150分，考试时间120分钟。
4（第三章 三角恒等变换）。
第Ⅰ卷（选择题）12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
α是第四象限角，cos α＝1312，则sin α =（ ） A ．135 B ．135- C ． 125 D ．125- sin 2π12－cos 2π12= ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13 C ．3 D ．13cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( )A ．54B ．62C ．32D ．1＋23ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 的形状一定为（ ）. A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A ．98- B ．21- C ． 21D ．98sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形9. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒+的值为（ ）A ．1BCD 10.在平面直角坐标系中，已知),20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos o o o o B A 则AB 的值是（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．111.若)sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ，(,)ϕ∈-ππ，则ϕ等于（ ）.A ．－6π B ．6π C ．56πD ．56π-12.若cos (x ＋y )cos (x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( )A ．－13B ．13C ．－23 D ．23第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳市高中数学必修4模块测试试卷带答案
深圳市高中数学模块考试（必修4）试卷布吉高级中学 命题人：周胥考试时间：100分钟 满分：100分一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列命题中正确的是A ．第一象限角一定是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边不相同 命题意图：考察学生对2、将分针拨快5分钟，则分钟转过的弧度数是A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是A ．1或－1B ．52或52- C ．1或52- D ．－1或524、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形5、函数y=cos2x 的最小正周期是A π B2π C 4πD π2 6、给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=；④00=⋅AB 。
其中正确的个数为（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个7、函数y 3cos(3x )2π=+的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是A ．向左平移2π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移2π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度；8、向量)2,1(-=，)1,2(=，则（ ）A a ∥bB a ⊥bC a 与b 的夹角为60°D a 与b 的夹角为30°9、函数)cos[2()]y x x ππ=-+是 （ ）A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数10、函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） A )322sin(2π+=x y B )32sin(2π+=x y C )32sin(2π-=x yD )32sin(2π-=x y二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.）11．若)3,2(=与),4(y -=共线，则y ＝ ；12．若|2|= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 ；13. 若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= ； 14. 给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式刷题课件高一数学人教A版必修4第三章
A.1
3
C.2
解析
1+ 3
2
B.
D.1＋ 3
刷提升
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
6．[广西钦州202X高一期末]已知
7
7
A. 8
B．－ 8
4
C. 7
解析
4
D．－ 7
则sin 2α的值是( A )
刷提升
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．[江苏镇江202X高一期末]已知cos x＋sin x＝
题型1
给角求值
3−sin 70∘
2
5.2−2 10＝________.
解析
刷基础
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型2
给值求角
6．[广东雷州202X期末]若tan α>0，则( C )
A．sin α>0
B．cos α>0
C．sin 2α>0 D．cos 2α>0
解析
sin
由tan α＝cos>0，得sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.
值为( A )
4 2
7
A．－
解析
B.
4 2
7
4
4
C．－ 3 D. 3
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型2
给值求角
3
9．[福建厦门202X高一期末]已知sin( + )＝ ，则sin( − 2)的值为( D )
6
5
6
7
4
4
7
A．－25 B．－ 25 C. 25 D. 25
解析
刷基础
高一数学必修4模块训练2答案
（A） cos 80
（B） cos160 （C） cos 80 sin 80
6．函数 y Asin(x ) 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为
（D）
（D） sin 80 cos 80
（A）
（A） y 2 sin(2x 2 ) 3
（C） y 2 sin( x ) 23
（B） y 2 sin(2x ) 3
2
2
（A）-2
（B）-1
（C）1
（D）2
二.填空题：
（D）
9．若 a (2,3) 与 b (4, y) 共线，则 y ＝ －6 ；
10．若 tan
1 2
，则
sin 2sin
cos 3cos
=
－3
；
三．解答题：
11．已知向量 a ,
b
的夹角为
60
,
且 | a | 2 ,
| b | 1 ,
4 4 81 41
12 所以 | c d | 12 2 3
12．已知函数 f (x) sin x 3 cos x 。
（Ⅰ）求 f (x) 的周期和振幅；
（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出 f (x) 在一个周期内的图象。
（Ⅲ）写出函数 f (x) 的递减区间。
解：（Ⅰ） y 2( 1 sin x
C y tan x 2
D y cos 4x
4.要得到 y 2sin(2x 2 ) 的图像, 需要将函数 y 2sin(2x 2 ) 的图像
3
3
2
A 向左平移 个单位
3
2
B 向右平移 个单位
3
C. 向左平移 个单位
3
D 向右平移 个单位
人教A版数学必修四习题第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分层训练 含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知cos x=,则cos 2x= ( D )A.-B.C.-D.2.已知α∈,tan=,那么sin 2α+cos 2α的值为( A )A.-B.C.-D.3.已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin= ( A )A. B.C. D.4.sin 20°cos10°-cos 160°sin 10°=( D )A.-B.C.-D.5.(2018·贵阳高一检测)已知sin+sin α=,则sin的值是( D )A.-B.C.D.-6.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= ( B )A. B. C. D.7.计算:cos cos=.8.的值是2.9.若θ∈(0,π),且sin 2θ=-,则cos θ-sin θ=-.10.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan40°=.11.已知tan α=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.【解析】tan 2β==,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈,所以α+2β∈,所以α+2β=.12.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值.【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,2sin αcos α=.又因为α∈,所以sin α+cos α=-=-,所以====-.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知sin 2α=,则cos2= ( A )A. B. C. D.14.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( D )A. B.- C. D.-15.已知α是第二象限角,且sin(π-α)=,则sin 2α的值为-.16.已知0<α<,0<β<,tan(α+β)=2tan α,4tan=1-tan2,则α+β=.17.已知0<α<,sin α=.(1)求的值.(2)求tan的值.【解析】(1)由0<α<,sin α=,得cos α=,所以===20.(2)因为tan α==,所以tan===.18.已知cos=,x∈.(1)求sin x的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为x∈,所以x-∈.sin= =,sin x=sin=sin cos+cos sin =×+×=.(2)因为x∈,所以cos x=-=-=-,sin 2x=2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )A.-B.-C.D.20.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且a⊥b.(1)求tan α的值.(2)求cos的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,由于cos α≠0, 所以6tan2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=.因为α∈,所以tan α<0,所以tan α=-.(2)因为α∈,所以∈.由tan α=-,求得tan =-或tan =2(舍去).所以sin =,cos =-,所以cos=cos cos -sin sin=-×-×=-.关闭Word文档返回原板块。
高一数学必修4同步练习：3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦
3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦一、选择题1．下列等式成立的是( ) A ．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝12 B ．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝12 C ．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝22 D ．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝32 [答案] D2．cos 5π12的值等于( ) A.6＋22 B.22 C.6－24D.3＋24[答案] C[解析] cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos π4－sin π3·sin π4 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－32·22＝6－24.3．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形[答案] C[解析] 由题设知sin[(A －B )＋B ]≥1， ∴sin A ≥1而sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝π2， ∴△ABC 是直角三角形．4.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的化简结果是( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋xB ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12C ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋xD ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12[答案] A [解析]2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋x . 5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] a ＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°，b ＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，c ＝2·32＝2sin60°， 由y ＝sin x 在(0°，90°)上单调增知：a <c <b .6．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( ) A ．0 B.45 C ．0或45 D ．0或±45[答案] A[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝45， cos αcos β＋sin αsin β＝－45，左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0.7．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.255 B.2525 C.255或2525 D ．－2525 [答案] B[解析] ∵α与β均为锐角，且sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝35得，cos(α＋β)＝－45， 由sin α＝255得，cos α＝55，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，故选B.8．若α、β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<sin α＋sin β [答案] B[解析] cos(α＋β)－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β∵α、β是锐角，∴cos β－1<0，cos β>0，cos α>0，sin β>0，sin α>0 ∴cos(α＋β)－(cos α＋cos β)<0， ∴cos(α＋β)<cos α＋cos β.[点评] ∵α、β均为锐角，∴cos β>0,0<α<α＋β<π，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减．∴cos α>cos(α＋β)，∴cos α＋cos β>cos(α＋β)．故A 错，B 对；当α、β很接近于0时，sin α＋sin β接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D 错，当α＝β＝π4时，C 错．9．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( )A.12B.32C.34D ．1[答案] B[解析] ∵sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12， ∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(1－32)2＋(－12)2 ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－ 3 ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α-β)＝32.10．(2012·全国高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[答案] C[解析] sin47°－sin17°cos30°cos17° ＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12[考点定位] 本题考查三角恒等变化，其关键是利三47°＝30°＋17°二、填空题11．化简：cos(35°－x )cos(25°＋x )－sin(35°－x )sin(25°＋x )＝________.[答案] 12[解析] 原式＝cos[(35°－x )＋(25°＋x )] ＝cos60°＝12.12．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.[答案] －3＋4310[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45， ∵450°<β<540°，∴sin β＝35，∴sin(60°－β)＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－12×35＝－3＋4310. 13．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. [答案] 171365[解析] ∵α为锐角，tan α＝23，∴sin α＝213，cos α＝313，同理可由tan β＝34得，sin β＝35，cos β＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝213×45＋313×35＝171365.14.sin15°－cos15°sin15°＋cos15°的值是________． [答案] － 33[解析] 原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin15°－22cos15°2⎝⎛⎭⎪⎫22sin15°＋22cos15° ＝sin (15°－45°)sin (15°＋45°)＝－sin30°sin60°＝－33. 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．[解析] ∵π2<β<α<3π4， ∴π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665. 16．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．[解析] ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×(－14)＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 23×(－14)－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时 ∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×(－14)＋(－53)×(－154)，＝53－212sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×(－14)－(－53)×(－154) ＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212.17．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. [证明] sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得 sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[点评] 在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．18．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值． [解析] (1)∵|a －b |＝255， ∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45，又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π， 由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45， 又sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＝3365.。
高一数学必修4同步练习：3-1-2-2两角和与差的正切
∴tan20° ＋tan10° ＝tan30° (1－tan20° tan10° )， ∴原式＝tan10° tan20° ＋ 3tan30° (1－tan20° · tan10° ) ＝tan10° · tan20° ＋1－tan20° · tan10° ＝1.
π π 6．已知 tanα，tanβ 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，且－2<α<2， π π －2<β<2，则 α＋β 的值为( π A.3 π 2π C.3或－ 3 [答案] B [解析] 由韦达定理得 tanα＋tanβ＝－3 3，tanα· tanβ＝4， ∴tanα<0，tanβ<0， ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ －3 3 ＝ ＝ 3 1－tanαtanβ 1－4 ) 2π B．－ 3 π 2π D．－3或 3
＝
＝－3.
17．已知 A，B，C 是△ABC 的三内角，向量 m＝(－1， 3)，n ＝(cosA，sinA)，且 m· n＝1. (1)求角 A；
π (2)若 tan4＋B＝－3，求 tanC.
[解析] ∵(1)m· n＝1， ∴(－1， 3)· (cosA，sinA)＝1， ห้องสมุดไป่ตู้ 即 3sinA－cosA＝1,2sinA－6＝1.
α 因此 tan2，tanβ 可以看成是方程 x2－(3－ 3)x＋2－ 3＝0 的两 个根．解得：x1＝1，x2＝2－ 3. α π 若 tan2＝1，则 α＝2，这与 α 为锐角矛盾． α 所以 tan2＝2－ 3，tanβ＝1，所以 α＝30° ，β＝45° . 所以满足条件的 α、β 存在，且 α＝30° ，β＝45° .
3-1-2-2 两角和与差的正切 一、选择题 π 1 1 1．若 α、β∈(0，2)且 tanα＝2，tanβ＝3，则 tan(α－β)( 1 A．－7 1 C.7 [答案] C 1 1 2－3 tanα－tanβ 1 [解析] tan(α－β)＝ ＝ ＝ 1 1 7. 1＋tanαtanβ 1＋2×3 2 1 2．tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝4，则 tan2α＝( 1 A.6 3 C.22 [答案] D [ 解析 ] 2 1 5＋4 13 ＝ 2 1 18. 1－5×4 π 3 π 3．已知 α∈(2，π)，sinα＝5，则 tan(α＋4)的值等于( A．－7 1 C．－7 [答案] D B．7 1 D.7 ) tan2α ＝ tan[(α ＋ β) ＋ (α － β)] ＝ tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋βtanα－β 22 B.13 13 D.18 ) B．1 1 D.5 )
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高一数学必修4模块训练3
一.选择题：
1．已知角α 的终边过点P （-4，3），则ααcos sin 2+的值为（ ）
A ．5
4-
B ．53
C ．52
D ．2 2．若θθcos sin ⋅>0,则θ在( B ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限
C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
3．在)2,0(π 内，使x x cos sin >成立的x 取值范围是（ ）
A ．)4
5,()2,4(πππ
π⋃ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ． )2
3,45(),4(ππππ⋃ 4．设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4
cos(2πα+等于 （ ） A ．57 B ． 51 C ． 57- D ． 51- 5.下列命题正确的个数是 ( )
① 0·a ＝0；② a ·b ＝b ·a ；③ a 2＝|a |2 ④ |a ·b |≤a ·b （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
6.已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
πα+的值为( ) A 16 B 2213 C 322 D 1318 7.cos 2cos
sin 2sin 55y x x ππ=+的单调递减区间是( ) A 5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B 3,()105k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ C 55,()126k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D 52,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8. 如图, E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的所在边的中点, 若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是 ( ) A 平行四边形但不是矩形 B 正方形 C 菱形 D 矩形 二.填空题：
9．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y ；
考查三角函数的值域，简单题。
10
21==，与的夹角为
3π
-+= 。
三．解答题：
11. 已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
, 计算
: B
(1) tanα; (2) 2sin cos3cos2 5cos23sin2
ααα
αα
+
-
12.如图，三个同样大小的正方形并排一行。
（Ⅰ）求OA与OB夹角的余弦值；
（Ⅱ）求∠BOD＋∠COD；
关于数学名言警句大全
1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
——努瓦列斯
2、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。
——罗巴切夫斯基
3、宁可少些，但要好些。
——高斯
4、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。
——罗素
5、获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
——克莱因
6、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。
——高斯
7、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
——柯普宁
8、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。
——卡罗斯
9、第一是数学，第二是数学，第三是数学。
——伦琴
10、数学的本质在於它的自由。
——康扥尔
11、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。
——广中平佑
12、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。
——华罗庚
13、宁可少些，但要好些，二分之一个证明等于0。
——高斯
14、从最简单的做起。
——波利亚
15、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。
——拉普拉斯
16、每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。
——牛顿
17、下棋要找高手…。
只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步，自学，不怕起点低，就怕不到底。
——华罗庚
18、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。
——纳皮尔
19、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。
数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。
——拿破仑
20、每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。
这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快。
——爱因斯坦
21、思维自疑问和惊奇开始。
——亚里士多德
22、历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。
——培根
23、用一，从无，可生万物。
——莱布尼兹
24、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。
——傅立叶
25、如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。
——牛顿
26、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的`原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。
——开普勒
27、数学是最宝贵的研究精神之一。
——华罗庚
28、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。
——邱成桐
29、当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。
这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。
——希尔伯特
30、数缺形时少直观，形缺数时难入微，又说要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。
——华罗庚
31、学习数学要多做习题，边做边思索。
先知其然，然后知其所以然。
——苏步青
32、数学是规律和理论的裁判和主宰者。
——本杰明
33、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。
它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。
——冯纽曼
34、我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。
35、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。
——培根。