直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
用证明全等三角形的方法证明（直角三角形不为等腰三角形）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形斜边中线定理）在三角形ABC中，∠A=90°，AD为BC边上的中线，做AB、AC的中点E、F，连接ED、DF，因为BE=EA，BD=DC，所以ED∥AC，又因为，∠A=90°，所以∠BED=90°，∠BED=∠AED=90°，BE=AE，ED=ED（三角形全等：边角边）所以，△BED≌△AED，所以BD=AD，同理AD=CD（△ADF≌△CDF），所以AD=CD，所以AD=BD=CD，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半，长边是短边的倍。
证法2】取BC的中点D，连接AD。
∵∠BAC=90°，∴AD=1/2BC=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠B=90°-∠ACB=90°-30°=60°，∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AB=BD，∴AB=1/2BC。
向左转|向右转证法2】取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
向左转|向右转设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形 ABC中，/BAC=90 ° AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC【证法1】延长AD至U E,使DE=AD，连接CE。
••AD是斜边BC的中线，•••BD=CD又v/ADB= ZEDC （对顶角相等），AD=DE ，•••ZADB 也E DC （SAS）,：AB=CE，Z B= ZDCE,：AB//CE （内错角相等，两直线平行）•••/BAC+ ZACE=180。
（两直线平行，同旁内角互补）：/BAC=90 °，•••zACE=90 °，-AB=CE，ZBAC=ECA=90 °,AC=CA，•••/ABC也£EA (SAS)A BC=AE，vAD=DE=1/2AE ,：AD=1/2BC。
【证法2】取AC的中点E,连接DE0VAD是斜边BC的中线，：BD=CD=1/2BC VE是AC的中点，• DE是/ABC的中位线，•••DE//AB （三角形的中位线平行于底边）•zDEC= ZBAC=90。
（两直线平行，同位角相等）•••DE垂直平分AC,••AD=CD=1/2BC （垂直平分线上的点到线段两端距离相等）【证法3】延长 AD 至U E, 使 DE=AD，连接 BE、CE。
1 / 2••AD是斜边BC的中线, •••BD=CD ,又TAD=DE ,•••四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），• zBAC=90 ° ,•••四边形ABEC是矩形（有一个角是90。
的平行四边形是矩形），••AE=BC （矩形对角线相等），•.AD=DE=1/2AE ,••AD=1/2BC 。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。
2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，所以，所以AD=BD=DC=，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠3=2∠4，∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、求值例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。
求证：AG=DG。
3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
例4、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。
4、证明线段的倍分及和差关系例5、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。
求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
例7、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。
求证：。
5、证明线段垂直例8、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证：MN⊥DC。
6、证明特殊的几何图形例9、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D 与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．三、尝试训练1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为．2、如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
在三角形中如果一条边上的中线等于这条边
在三角形中如果一条边上的中线等于这条边
因为这是一个定理，可以证明的。
直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
证法
设立三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。
∴对同一个角b，可得：
d1=1/2c，d2=-1/2c（相左题意，舍弃）
∴d=1/2c，命题得证。
其逆命题：如果一个三角形一条边的中线等同于这条边的一半，那么这个三角形就是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题是正确的。
以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。
因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
直角三角形斜边中线问题
x y 90
即∠ACB=90°
（1）证法：取AB中点D，证等边 （2）证法：倍长AC （3）证法：作△ABC外接圆 A
C
在一个三角形中，一边上的中线等于这边的一半 ，则它是直角三角形。 B 1 在△ABC中，若D为AB中点，且 AC AB 2 x 求证：∠ACB=90°.
证明： ∵ 2 x 2 y 180 D x A y y C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为： B
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线 1 ∴CD＝AD＝BD＝ 2 AB （1）证法：倍长CD （2）证法：取BC（AC）中点 （3）证法：以D为圆心，AB为直径画圆 A D
C
在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
数学语言表述为：
B
30°
在Rt△ABC中，
∵∠B=30° 1 ∴AC＝ 2 AB （1）证法：倍长AC （2）证法：在AB上截取AD=AC A （3）证法：作∠ACD=60°，证2次等腰 （4）证法：取AB中点D，证等边 （5来自证法：作△ABC的外接圆C
在直角三角形中，等于斜边长一半的直角边所对 的角为30°。 B 1 在Rt△ABC中，若AC AB 2 求证：∠B=30°.
直角三角斜边上的中线等于斜边的一半证明
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直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线定理是一个重要的几何定理，它说明在直角三角形中，斜边的中线和直角边正比，也就是说，斜边的中线是直角边的一半。
定理的描述如下：
设ABC为直角三角形，其中∠C为直角，则∠ABC的对边比∠ABC的直角边的长度的一半。
关于这个定理，古希腊几何学家亚里士多德表达过这样的见解：“如果任何一条线被分成两段，它们之间的比例分别是斜线和连接它们的一根线的比例，那么它们将构成一个直角三角形。
”
定理的证明有两种方法。
第一种是用向量证明，即用向量的性质对三角形向量的和进行分析，从而得出直角三角形中斜边的中线和直角边正比的结论。
采用这种方法，学生可以推导出三条和定理相关的等式，这三条等式共同构成了定理的证明。
另一种是用半平面来证明，即先构建一个半平面，将其平均分为两个等分，然后将斜边向外延长，使它们之间的距离等于斜边的一半，根据这种距离分布，可以推出直角三角形斜边中线和直角边正比的定理。
直角三角形中,斜边中线等于斜边一半 两种证明
直角三角形中，斜边中线等于斜边一半两种证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对文章的主题进行简要介绍，并提供一些背景信息。
在这篇长文中，我们将讨论直角三角形中的一个有趣现象：斜边的中线等于斜边的一半。
这是一个具有一定难度和重要性的几何问题。
在人们学习几何的过程中，直角三角形是一个非常基础且重要的概念。
我们都知道，直角三角形是由一个直角（90度角）和两个锐角（小于90度角）组成的三角形。
其特点之一是斜边较长，并且在几何学中占有重要地位。
我们旨在通过两种不同的证明方法来展示这一有趣的现象。
通过对直角三角形的结构和性质进行深入研究，我们将从理论角度解释为什么斜边的中线等于斜边的一半。
这将有助于我们理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养我们的证明能力和逻辑思维。
此外，本文还将探讨每种证明方法的假设和前提，详细介绍证明过程以及分析结果。
我们还将对每种证明方法的结论进行总结，并提供对结果的分析和讨论。
最后，我们将对我们的研究进行总结，并探讨研究的局限性以及未来可能的展望。
通过深入研究直角三角形中斜边中线等于斜边一半的证明，我们希望读者可以更好地理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养他们的证明能力和逻辑思维。
本文的结论也将为几何学领域的研究提供一些新的思路和启示。
1.2文章结构文章结构：本文分为以下几个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先对直角三角形的性质进行概述，包括直角三角形的定义、斜边、直角边和斜边中线的概念。
接着介绍文章的结构，即正文中将会介绍两种证明直角三角形中斜边中线等于斜边一半的方法，并说明正文的目的以及预期的结果。
最后对全文内容进行总结。
正文部分包括四个小节，分别介绍两种证明方法。
每个小节中首先说明该方法的假设和前提条件，然后详细描述证明的过程，包括推导和推理的步骤。
在证明过程中需要用到相关的数学定理和几何公式，应给予详细的解释和说明。
接着对证明结果进行分析，解释为什么斜边中线等于斜边的一半。
直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证法
直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证法直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一结论在中学数学的几何学中是一个经典且重要的定理。
在此，我将根据几何学基础和相关公式，阐述这个结论的证明过程。
首先，我们需要了解直角三角形和中线的概念。
在一个直角三角形ABC中，若角C为直角，斜边AB为直角三角形的斜边，那么线段CD是线段AB的一条中线，其中点D是AB的中点。
接着，我们可以使用相似三角形、勾股定理等几何工具来证明直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
证明如下：假设直角三角形ABC中，斜边AB的长度为c，三角形ABC的底边AC的长度为a，直角边BC的长度为b。
我们需要证明CD = AB/2。
首先，我们可以通过勾股定理列出方程式a² + b² = c²，然后将c的平方用AB的平方来代替。
由勾股定理，我们可以知道：AB² = AC² + BC²AB² = a² + b²AB² = c²等式两侧同时开方，我们可以得到：AB = c现在我们来考虑三角形ACD和三角形BCD的关系。
由于CD是AB的中线，我们知道：CD = 1/2AB另外，AC = AD + CD，我们可以将CD代入这个式子：AC = AD + 1/2AB同理，BC = BD + 1/2AB我们知道三角形ACD和三角形BCD有一个共同的顶点D，因此这两个三角形是相似的。
我们可以使用两个三角形的相似比例来解出AD和BD之间的比例关系。
由于三角形ACD和三角形BCD的相似比例为AC/BC = AD/BD，因此我们可以将AC和BC带入这个式子，得到：a/b = AD/BD我们将等式两端同时乘以a+b，可以得到：a² + ab = aAD + bBD同理，我们将等式两端同时乘以a-b，可以得到：a² - ab = aAD - bBD接下来，我们将两个等式相加，可以得到：2a² = 2aAD在等式两侧同时除以2a，可以得到：AD = a/2同样的方式，我们可以得到：BD = b/2综上所述，我们通过勾股定理和相似三角形的知识，证明出了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的方法
证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的方法嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠怎么证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
你想想，这多神奇啊！就好比有个直角三角形，那斜边就像是一条大路，斜边上的中线呢，就像是这条大路上的一条特殊标记线。
咱可以这样证明啊，把这个直角三角形沿着斜边对折一下，哇塞，你发现没？这中线两边的部分竟然完全重合了！这不就说明中线把斜边分成了相等的两段嘛，这不就证明出来了嘛！你说妙不妙？
再比如啊，咱用一个具体的直角三角形来试试，边长分别是 3、4、5，那斜边是 5，然后找到斜边上的中点，一测量，嘿，中点到两个端点的距离不就是嘛，这不就正好是斜边 5 的一半嘛！是不是超级有趣！
我觉得啊，通过这些例子，就能很清楚明白地证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半啦！。
直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明
直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明在数学的世界里，直角三角形真的是一个奇妙的存在。
它那简单的三个边，三个角，却蕴藏着无数的奥秘。
今天咱们要聊聊的就是，那个斜边上的中线，听起来是不是有点高深莫测？其实不然，咱们就从日常生活中的小故事开始讲起，轻松地把这个理论剖析一番。
想象一下你在公园里，看到孩子们在玩飞盘，飞盘飞得老高，孩子们追得可欢了。
突然间，有个小朋友摔倒了，导致飞盘掉在了一块大石头旁。
你说，这大石头是不是就像直角三角形的斜边？飞盘就像那条中线，正好把三角形的一部分隔开。
斜边的中线，简单说，就是从直角三角形的一个顶点到斜边的中点的那条线。
听起来简单，但它的魔力可大了！大家都知道，直角三角形的斜边是最长的，但中线的长度却是斜边的一半，想想看，这是不是个奇妙的巧合？咱们可以把这个现象想象成一个个大大小小的“均匀分布”。
比如说，拿出一块巧克力，想把它分给两个小伙伴，结果你把它分成两半，正好每人一半。
这样一来，既公平，又不浪费。
中线就像那个巧妙的分割者，轻轻一划，把斜边这块大蛋糕给分成了两份，听上去是不是很有意思？再想想，为什么中线能做到这一点呢？因为它的起点和终点分别是直角三角形的一个顶点和斜边的中点。
这样一来，它自然就能把斜边平分了。
再来深入点，这个斜边上的中线，是怎么来证明它长度是斜边的一半的呢？大家都知道，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
就像把两个小朋友的积木放在一起，正好搭成一个高高的塔，稳稳当当。
而这条中线，正好把斜边给“抓”住，帮助我们找到那个中点。
只要想象一下，给这个中线加点魔法，利用勾股定理就能算出它的长度。
是不是感觉像是在玩拼图游戏？拼出这个几何的秘密，真是乐趣无穷。
而且你想想，这中线的存在不仅仅是为了分割斜边，更是为了让直角三角形的各个部分保持和谐。
它就像一位优秀的调解者，时刻关注着每个角落的平衡。
孩子们在玩的时候，有时候会因为争夺玩具而吵架，但只要有个大朋友在中间调解，一切问题都能迎刃而解。
八年级数学常考点精练(苏科版)：专题16 直角三角形斜边上的中线(解析版)
专题16直角三角形斜边上的中线知识点一直角三角形斜边上的中线性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____．【答案】一半【解析】【详解】试题解析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得解.故答案为一半．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，若AB＝10，则CD的长等于_____．【答案】5【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝12AB，∵AB＝10，∴CD＝12×10＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．如图，在Rt ABC△中，斜边AB上的中线5CD ，则AB ________．【答案】10【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB =2CD ，代入求出即可．【详解】解：∵CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的中线，CD =5，∴AB =2CD =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．如图， ABC 中，90ACB ，CD 是AB 边上的中线，且12CD AB ，则AB 的长为______．【答案】8【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB =90°，D 是AB 边的中点，12CD AB ，∵12CD AB 8AB 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．若直角三角形斜边上的高是4cm ，斜边上的中线是5m ，则这个直角三角形的面积是_____．【答案】20m 2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m∴斜边长为10m∵直角三角形斜边上的高是4m ∴这个直角三角形的面积＝12×10×4＝20m 2故答案为20m 2【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 是AC 上一点，连接BD ，P 点是BD 的中点，若D A BA ，8AD ，则CP 的长为（）．A ．8B ．4C ．16D ．6【答案】B【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度．【详解】∵D A BA ，∴BD ＝AD=8，∵P 点是BD 的中点，90ACB∴CP ＝12BD ＝4，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．7．如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 为AC 的中点，连结DE ．若10AB AC ，8BC ，则CDE △的周长为（）A ．20B ．12C ．14D ．13【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，CD=BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=12AC ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=12BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=12AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．知识点二斜边上中线分割直角三角形成两个等腰三角形8．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是（）A ．26°B ．38°C ．42°D ．52°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．【详解】解：∵∠ACB＝90 ，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26 ，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26 +26 ＝52 ．故选：D．【点睛】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝_____．【答案】50°【解析】【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°．【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∴∠A＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝50°．故答案是：50°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若BC＝BD，则∠A＝_____度．【答案】30【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再由BC＝BD，可得CD＝BC＝BD，可得△BCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD，∵BC＝BD，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°．故答案为30．【点睛】考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是证明△BCD是等边三角形．11．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝56°，D是AB的中点，则∠ACD＝_____°．【答案】34°．【解析】【分析】由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可得出CD＝BD＝AD，结合∠B的度数可得出∠BCD的度数，再由∠ACD和∠BCD互余可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝12AB，∴∠BCD＝∠B＝56°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣56°＝34°．故答案为34°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝______.【答案】10°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【详解】∵∠ACB=90 ,∠B=50 ，∴∠A=40 ，∵∠ACB=90 ，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50 ,∠DCA=∠A=40 ，由翻折变换的性质可知,∠B′CD=∠BCD=50 ，∴∠ACB′=∠B′CD−∠DCA=10 ，故答案为10 .【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线.知识点三斜边上的中线应用13．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为5km ，则M ，C 两点间的距离为（）A ．2kmB ．2.5kmC ．3kmD ．4km【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接可以得出答案．【详解】∵AC ，BC 互相垂直，ABC 是直角三角形，M ∵是AB 的中点， 1 2.52CM AB ，故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出12CM AB 是解此题的关键．14．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，在墙角（点O 处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB ）正中间（点P 处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A ．不变B ．变小C ．变大D ．无法判断【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可解答．【详解】如图，连接OP ，由题意可知：点P 为AB 的中点，∠AOB =90 ，在Rt AOB 中，12OP AB ，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP 始终等于AB 的一半，故OP 的长不变，即猫与老鼠的距离不变．故选：A【点睛】本题主要考查了直角三角形形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形形斜边中线的性质，并会利用数学建模思想．知识点四共斜边的两个直角三角形的斜边上的中线相等15．如图，四边形ABCD 中，90ACB ADB ，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，CD ，则EDC △为______三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据题意结合直角三角形中“斜中半”定理即可推出结论．由题ABC ADB，均为直角三角形，且都以AB为斜边，∵E为AB的中点，∴1122CE AB DE AB CE DE，，，即：EDC为等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查直角三角形中“斜中半”定理，理解并灵活运用定理是解题关键．16．如图，点C为线段AB的中点，90AMB ANB，则CMN△是_______________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.【详解】∵90AMB ANB∴在Rt△ABM中，C是斜边AB上的中点，∴MC=12AB，同理在Rt△ABN中，CN=12AB，∴MC=CN∴CMN△是等腰三角形，故答案为：等腰.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、解答题(共0分)17．如图所示，在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DB＝DC．（1）已知∠A＝30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A＝40°，求∠ACB的度数；（3）已知∠A＝x°，求∠ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．【答案】（1）90°；（2）90°；（3）90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【解析】【分析】（1）（2）（3）利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【详解】解：（1）∵在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DC，∠A＝30°∴∠ACD＝30°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝60°∵DB＝CD∴∠DCB＝∠B＝60°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝30°+60°＝90°；（2）若∠A＝40°，同（1），可知∠ACD＝40°，∠CDB＝40°+40°＝80°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣80°）＝50°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝40°+50°＝90°；（3）若∠A＝x°，同（1），可知∠ACD＝x°，∠CDB＝x°+x°＝2x°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣2x°）＝90°﹣x°，故∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝x°+90°﹣x°＝90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直线三角形斜边上的中线的性质.18．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【答案】（1）见解析，（2）40°【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明EM=FM即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF，∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可求出∠EMF．【详解】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝12BC，FM＝12BC，∴BM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）∵BM＝FM，∠ABC＝50°，∴∠MBF＝∠MFB＝50°，∴∠BMF＝180°﹣2×50°＝80°，∵CM＝EM，∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠MEC＝60°，∴∠CME＝180°﹣2×60°＝60°，∴∠EMF＝180°﹣∠BMF﹣∠CME＝40°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．如图，已知ABC 的高BD CE 、相交于点O M N ，、分别是BC AO 、的中点，求证：MN 垂直平分DE ．(括号中需写本学期新学理由)【答案】见解析【解析】【分析】联结EN DN EM DM 、、、,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得EN DN EM DM ，，进而判断M N 、在线段DE 的垂直平分线上，即可证明MN 垂直平分DE【详解】证明：联结EN DN EM DM 、、、,∵BD AC ,CE AB ,∴90AEC ADB BEC BDC ,∵M N 、是BC AO 、的中点,∴1111,,,2222EN AO DN AO EM BC DM BC (直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴EN DN EM DM ，,∴M N 、在线段DE 的垂直平分线上(垂直平分线的逆定理),∴MN 垂直平分DE .【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，掌握以上性质定理是解题的关键．。
证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明定理：直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个著名的数学定理，它描述了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，它具有重要的数学意义，有时也可作为其他定理的前提条件。
首先，我们来看一下直角三角形的定义：直角三角形是三条边构成的三角形，其中有一个内角是直角，另外两个内角是锐角。
由于有一个内角是直角，所以可以假设直角三角形的斜角是以斜边为对边的锐角。
接下来，我们来证明这个定理：首先，在直角三角形中，以斜边为对边的锐角的两个角平分线（也称为中线）同时是斜边的中线。
这也意味着斜边上的中线等于斜边的一半。
接下来，我们可以用数学证明来证明这个定理。
假设直角三角形的斜边长为a，那么可以得到a的一半是a/2，同时根
据直角三角形的定义，我们可以知道斜边的中线也是a/2，也
就是说斜边上的中线等于斜边的一半。
最后，我们可以用实际案例来证明这个定理。
假设有一个边长为4的直角三角形，我们可以得到这个三角形的斜边长为4，其中斜边的中线也是2，显然，斜边上的中线等于斜边的
一半，这就证明了我们的定理。
总之，通过定义、数学证明以及实际案例，我们已经得出结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是一个重要的数学定理，它可以作为其他定理的前提条件，也是数学的重要基础。
直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理
直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理在数学的世界里，直角三角形就像是个老朋友，总是能给我们带来惊喜，特别是它的斜边中线定理，简直就是个宝藏！想象一下，直角三角形的两个直角边就像是两条欢快的小河，斜边则是连接它们的桥。
而这条桥的中线，嘿，竟然和桥的长度有着千丝万缕的关系，真是让人惊叹。
咱们先聊聊斜边。
说实话，这斜边在直角三角形里可是个大明星。
它可不是个孤独的角色，左右两边的小伙伴们总是围着它转。
可是，大家知道吗，斜边的中线，哎呀，居然等于斜边一半！简直像是魔法一样，让人觉得这几何图形里的奥秘真是无穷无尽。
想象一下，如果你把这条斜边的中线当成一个保镖，专门守护着斜边，那岂不是非常酷吗？这条中线就像个守卫，忠实地把斜边的安全握在手中。
说到这里，肯定有小伙伴们开始皱眉头了，心想：这斜边的中线到底怎么个个儿？别急，咱们一起来解开这个谜团！想象你有一个直角三角形，斜边就是那条最长的边。
中线就是从直角三角形的一个角到斜边中点的那条线。
听起来是不是很简单？可这其中的奥秘却大有文章。
就像一部好电影，简单的情节背后却藏着无数的高兴和转折。
咱们再来想想生活中的例子。
想象你在草地上打个比方，三个人分别坐在三角形的三个角上，他们的距离就形成了这个神奇的直角三角形。
中线就像是从你们中间那个人到对面那个坐着的小伙伴的直线距离，这条线一出，整个场面都变得和谐起来。
是不是很有趣？生活中其实处处都有这样的规律，只是我们可能没留意到而已。
再说说这个定理的应用吧。
很多人觉得数学就是枯燥无味，但其实它无处不在。
比如，建筑师在设计房子的时候，就得用到这些几何知识。
他们得确保房子的每个角度都合适，保证结构的稳定性。
想象一下，要是他们忽略了斜边中线的关系，房子可就得晃晃悠悠了。
谁想住在一栋摇摇欲坠的房子里呢？这就好比人生中的一些道理，细节决定成败，只有关注那些看似微不足道的小事，才能让事情变得更美好。
说到这里，突然想到一个有趣的现象，很多人一听到数学就开始打瞌睡，真是可怜。
斜边中线是斜边一半的证明方法
斜边中线是斜边一半的证明方法大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的几何问题：如何证明直角三角形中的斜边中线等于斜边的一半。
听到这儿，可能有人会觉得这话题有点儿枯燥，但其实，数学就像一块儿神秘的巧克力，里面藏着各种甜蜜的惊喜。
今天我们就要揭开这个神秘的面纱，让它不再那么高深莫测。
1. 直角三角形的基础1.1 直角三角形的定义咱们先从最基本的说起。
直角三角形就是一类特殊的三角形，其中一个角是90度，正好像一块儿完美的“拼图”，其他两个角加起来也正好是90度。
说白了，这就是三角形里最简单的一种形状，不仅容易记住，而且应用广泛。
像我小时候，就经常用它来做各种有趣的小手工。
1.2 斜边和中线的概念直角三角形里，最长的那条边叫做“斜边”。
它就像是个很高的“大哥”，站在直角的两条边之上。
中线是什么呢？就是从直角三角形的一个角到斜边中点的那条线。
要知道，它可是个神奇的小家伙，今天我们就要好好研究研究。
2. 证明的准备工作2.1 画图准备首先，咱们得画一个直角三角形，假设它叫做三角形ABC，其中A是直角的顶点，BC是斜边。
接着，找到BC的中点，叫做D。
然后，用一条线把A和D连起来，这条线就是我们要关注的中线。
2.2 计算和比较为了证明这条中线等于斜边的一半，我们可以用一些简单的几何技巧。
首先，咱们需要借助一些已知的几何定理，比如“勾股定理”。
这个定理的内容是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 实际证明3.1 勾股定理的运用假设直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c。
按照勾股定理，有a² + b² = c²。
现在，我们的目标是证明中线AD的长度等于c/2。
为了做到这一点，我们可以借助三角形的“中位线定理”。
这个定理告诉我们，任何三角形中从顶点到对边中点的中线长度，是该三角形的两侧边长的“半程”。
3.2 用勾股定理和中位线定理证明通过应用中位线定理，我们可以得出中线AD的长度是√(a² + b²) / 2。
直角三角形斜边中线等于斜边的一半、勾股定理证明
1、直角三角形斜边中线等于斜边的一半证明：ΔABC 是直角三角形，AD 是BC 上的中线，作AB 的中点E ，连接DE∴BD=CB/2，DE 是ΔABC 的中位线∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE⊥AB∴n 是AB 的垂直平分线∴AD=B D （线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）∴AD=CB/2 2、勾股定理证明：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°。
作CD ⊥AB ，垂足为D 。
则△BCD ∽△BAC ，△CAD ∽△BAC 。
由△BCD ∽△BAC 可得BC 2=BD × BA ， ①由△CAD ∽△BAC 可得AC 2=AD × AB 。
②我们发现，把①、②两式相加可得BC 2+AC 2=AB （AD+BD ）， 而AD+BD=AB ，因此有 BC 2+AC 2=AB 2，这就是 a 2+b 2=c 2。
3、弦切角定理证明：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明：证明：设圆心为O ，连接OC ，OB,连接BA 并延长交直线T 于点P 。
∵∠TCB=90 -∠OCBC A B D∵∠BOC=180-2∠OCB此图证明的是弦切角∠TCB∴∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）4、切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA。
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B
C
E
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。 直角三角形的判定：
反过来，一个三角形中，若一边上的中线等于这条 边的一半，它是直角三角形吗？
若三角形中一边上的中线等于这
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且
条边的一半，那么这个三角形是直角
2
1 三角形。 CD= AB，△ABC是直角三角形吗？
B
例2 ：如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=900,M、N分别是AC、 BD的中点，则MN与BD有何关系？请 说明理由。 D
M N
A
C B
1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB D 上的中线，∠CDA=80°，求： ∠A和∠B的度数。 B 2、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一 直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中 D A 点，连接FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB
1 解：∵CD是中线，CD= AB， 2
∴AD=CD，CD=BD
∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠A+∠B=∠1+∠2=90° ∴ △ABC是直角三角形。 A
C
1 2
D
B
• 直角三角形的性质
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
•直角三角形的判定
2．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。
• 课堂作业 • P29 <基础训练> 10
C
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D
B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中 A C
∵CD是斜边AB上的中线 1 ∴CD＝AD＝BD＝ AB 2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
例1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中 点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
直角三角形斜边上的中线定理
复习引入
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形
矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条 对称轴．
探究性质
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，就得到 直角三角形ABC，那么BO就是直角三角形ABC斜边上的中线， 根据矩形的性质容易得出：OB=1/2AC A A D O B O