2.2综合法与分析法学案(含答案)

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2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案

2.2.综合法与分析法-人教B版选修1-2教案
1. 教学目标
1.了解综合法与分析法的概念和特点；
2.掌握综合法与分析法在数学问题中的应用；
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。

2. 教学内容
1.综合法的概念和特点；
2.分析法的概念和特点；
3.综合法与分析法在数学问题中的应用。

3. 教学重点和难点
3.1 教学重点
1.综合法与分析法的应用；
2.解决实际问题的能力。

3.2 教学难点
1.综合法与分析法的区别和联系；
2.培养学生的解决实际问题的能力。

4. 教学方法
4.1 教学过程
本节课主要采用讲授和练习相结合的教学方法。

1.引入（5分钟）
首先让学生回顾前面学习的知识点，了解综合法和分析法的概念，为本节课的学习做好铺垫。

2.讲授（30分钟）
具体讲解综合法与分析法的概念和特点，并通过案例演示在数学问题中的应用方法。

3.练习（25分钟）
让学生在教师的指导下，针对综合法和分析法的应用问题进行练习。

4.课堂小结（10分钟）
本节课的学习重点、难点和解决方法进行总结。

4.2 教学手段
采用黑板、PPT和实物演示等多种教学手段，深入浅出地讲解综合法和分析法的应用。

5. 教学资源
1.讲义和PPT；
2.实物演示材料。

6. 作业
1.完成教师布置的相关题目练习；
2.思考如何将综合法与分析法运用到实际生活中。

7. 教学评估
1.课堂练习成绩；
2.作业完成情况；
3.学生思维能力提高情况。

【教学方案】《综合法与分析法》教学案3

《2.2.1综合法与分析法》教学案教学目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3.通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.教学重难点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学过程:学生探究过程：证明的方法(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.(2)、例题研讨5321231 2.log 19log 19log 19例求证：证明：因为1log ,log a b b a所以左边19191923191919231919log 52log 33log 2log 5log 3log 2log (532)log 360.因为1919log 360log 3612,所以532123 2.log 19log 19log 19例2 若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++ 例3已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证.2)商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a ba b a 故原不等式得证. 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号.讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？(3)、课堂回顾与反思。

教学设计6：2.2.1 综合法和分析法(一)

2.2.1综合法和分析法（一）整体设计教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．教学目标1．知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．2．过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．3．情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点．难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．教学过程引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．请同学们证明：已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．探究新知提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．活动设计：学生自由发言．教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可．(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．运用新知例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A ，B ，C 成等差数列转化为2B ＝A ＋C ，a ，b ，c 成等比数列转化为b 2＝ac ，接着把隐含条件显性化，将A ，B ，C 为△ABC 三个内角明确表示为A ＋B ＋C ＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．巩固练习设a ＋b >0，n 为偶数，证明b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. 证明：b n -1a n ＋a n -1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n， (1)当a >0，b >0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n >0，所以(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n ≥0，故b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. (2)当ab 为负值时，不妨设a >0，b <0，由于a ＋b >0，所以a >|b |.又n 是偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)>0.又(ab )n >0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n >0，即b n -1a n ＋a n -1b n >1a ＋1b .综合(1)(2)可知，b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b成立．理解新知(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．(2)框图表示P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．2.如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．证明SO ⊥平面ABC .思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA ，连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又因为△SBC 与△ABC 全等，故有SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，所以SO ⊥AO .又AO ∩BO ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．巩固练习已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c)≥4. 证明：由于a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c )＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a b ＋c＝2＋(b ＋c a ＋a b ＋c)≥2＋2b ＋c a ·a b ＋c＝4. 变练演编已知x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2＝b a x 2＋c a x 2＋c b y 2＋a b y 2＋a cz 2＋b c z 2＝(b a x 2＋a b y 2)＋(c a x 2＋a c z 2)＋(c b y 2＋b cz 2)≥2xy ＋2xz ＋2yz ＝2(xy ＋xz ＋yz )，所以有b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．达标检测1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．2．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c【答案】1.已知条件和某些数学定义，公理，定理一系列的推理论证推导出证明的结论成立2.B课堂小结1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．基础练习1．△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由3b ＝23a sin B 3sin B ＝23sin A sin B sin A ＝32A ＝π3或2π3. 由cos A ＝cos C A ＝C ，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝C ＝π3＝B .所以△ABC 为等边三角形．拓展练习⇒⇒⇒2．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )．对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．证明：由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ，得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2. ① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2. ② ∵x 1x 2<x 1＋x 22，∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22. ③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．设计说明本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．。

综合法与分析法学案

综合法和分析法一、教学过程：（一）学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.（二）学习过程1．课前准备（预习教材P 45~ P 47，找出疑惑之处）复习1：两类基本的证明方法: 和 .复习2：直接证明的两中方法: 和 .2．新课导学1)学习探究探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果. 2)典型例题例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥变式：已知,,∈，1a b c R+++=，求证：111a b c---≥.(1)(1)(1)8a b c小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.3）动手试试练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=练2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=.3．总结提升1)学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.2)知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.4．学习评价1)自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差2) 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：(1) 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2) 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =(3) 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（） A ．01P << B ．12P <<C ．23P <<D ．34P <<(4)若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ . (5) 已知b a ,是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是_________.5．课后作业1)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>2)在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。

2.2.综合法和分析法-人教A版选修1-2教案

2.2 综合法和分析法-人教A版选修1-2教案一、教学目标1.了解综合法和分析法的概念和特点2.掌握综合法和分析法的作用和应用场景3.认识和分析例题，运用综合法和分析法解决实际问题二、教学内容1.综合法和分析法概念及特点介绍2.综合法和分析法比较分析3.综合法和分析法的应用场景4.综合法和分析法例题解析三、教学重难点1.综合法和分析法的概念和特点2.综合法和分析法的应用场景3.综合法和分析法例题的解析四、教学过程第一步：导入教师引入本节课的主题内容，简单介绍综合法和分析法的概念，引导学生关注课程内容。

第二步：概念和特点1.给学生讲解综合法和分析法的概念和特点2.分组讨论，让学生思考两种方法的区别和联系，并用自己的话总结第三步：应用场景1.以文化建设为例，讲解综合法和分析法的应用场景2.让学生自主探究，寻找综合法和分析法在其他应用场景中的运用第四步：例题解析1.介绍例题的题目和要求，并引导学生分析问题2.针对例题，分别讲解综合法和分析法的运用和解题思路3.让学生自主思考、回答问题，并讲述自己的解题过程第五步：练习1.发放有关综合法和分析法的练习题，让学生进行巩固和练习2.鼓励学生自主思考和调试第六步：总结1.教师进行课堂总结，强调综合法和分析法的运用和重要性，并回顾本节课程内容2.学生进行自我总结，思考如何更好地运用综合法和分析法五、教学评价1.学生能够准确区分综合法和分析法，并理解两种方法的应用场景2.学生能够运用综合法和分析法解决实际问题3.学生能够迅速掌握例题所涉及的知识点，并能够独立解决类似问题的能力六、教学资源1.选修1-2教材2.综合法和分析法课件3.有关综合法和分析法的练习题七、教学反思本节课教学面面俱到，能够帮助学生迅速掌握综合法和分析法的解题思路和应用场景，但现场学生参与度不够，因此需要进一步引导学生独立思考和探究。

《2.2.1综合法和分析法(2)》导学案(新部编)2

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1综合法和分析法（2）》导学案【学习目标】1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.【学习内容】一、课前预习(预习教材第86-89页，找出疑惑之处)复习1：综合法是由导；复习2：基本不等式:二、课堂互动探究:典例精析变式训练学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因典型例题例13526>变式：求证3725<小结：证明含有根式的不等式时，用综合法比较困难，所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中，,SA ABC AB BC ⊥⊥面，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边，1()2s a b c =++，且22s ab =，试证2s a <.小结：用题设不易切入，要注意用分析法来解决问题.动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a ， b ， c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥三、总结提升学习小结分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立.※ 知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个推论都应是前面一个论断的必然结果，因此语气必须是肯定的.分析法中，首先结论成立，依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.三．课堂练习及课后作业1.<A .综合法B .分析法C .反证法D . 归纳法2.不等式①233x x +>；②2b a a b+≥，其中恒成立的是 A .① B .② C .①② D .都不正确3.已知0y x >>，且1x y +=，那么A .22x y x y xy +<<< B .22x y xy x y +<<< C .22x y x xy y +<<< D .22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈，则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>，则其浓度为；若再加入m 千克的白糖(0)m >，糖水更甜了，根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .6.已知0a b >>，求证:22()()828a b a b a b a b-+-<<.7. 设,a b R +∈，且a b ≠，求证:3322a b a b ab +>+。

【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)

《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与运用1.1 教学目标1. 理解综合法的定义与特点2. 掌握综合法的运用步骤3. 能够运用综合法解决实际问题1.2 教学内容1. 综合法的定义与特点2. 综合法的运用步骤3. 综合法在实际问题中的应用案例1.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析综合法在实际问题中的应用案例1.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对综合法运用步骤的掌握第二章：分析法的概念与运用2.1 教学目标1. 理解分析法的定义与特点2. 掌握分析法的运用步骤3. 能够运用分析法解决实际问题2.2 教学内容1. 分析法的定义与特点2. 分析法的运用步骤3. 分析法在实际问题中的应用案例2.3 教学方法1. 讲授法：讲解分析法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析分析法在实际问题中的应用案例2.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对分析法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对分析法运用步骤的掌握第三章：综合法与分析法的比较3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的联系与区别2. 能够根据实际情况选择合适的法方法3.2 教学内容1. 综合法与分析法的联系与区别2. 选择合适方法解决实际问题的原则3.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的联系与区别2. 案例分析法：分析实际问题中选择合适方法的应用案例3.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法联系与区别的理解2. 练习题：巩固学生对选择合适方法解决实际问题的能力第四章：综合法与分析法在数学中的应用4.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在数学问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决数学问题4.2 教学内容1. 综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决数学问题的步骤4.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决数学问题的步骤4.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在数学问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决数学问题的能力第五章：综合法与分析法在实际问题中的应用5.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在实际问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决实际问题5.2 教学内容1. 综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决实际问题的步骤5.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决实际问题的步骤5.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在实际问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决实际问题的能力第六章：综合法与分析法在科学研究中的应用6.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 掌握综合法与分析法在科学研究中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法进行科学研究6.2 教学内容1. 综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法进行科学研究的步骤6.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例6.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在科学研究中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在科学研究中应用的步骤第七章：综合法与分析法在社会科学中的应用7.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 掌握综合法与分析法在社会科学中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决社会科学问题7.2 教学内容1. 综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决社会科学问题的步骤7.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例7.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在社会科学中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在社会科学中应用的步骤第八章：综合法与分析法在工程技术中的应用8.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 掌握综合法与分析法在工程技术中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决工程技术问题8.2 教学内容1. 综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决工程技术问题的步骤8.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例8.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在工程技术中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在工程技术中应用的步骤第九章：综合法与分析法的案例研究9.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 掌握综合法与分析法在案例研究中的具体操作3. 能够运用综合法与分析法进行案例研究9.2 教学内容1. 综合法与分析法在案例研究中的应用2. 综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例3. 运用综合法与分析法进行案例研究的步骤9.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 案例分析法：分析综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例9.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在案例研究中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在案例研究中应用的步骤第十章：综合法与分析法的实战演练10.1 教学目标1. 提高学生运用综合法与分析法解决实际问题的能力2. 培养学生的综合分析与判断能力3. 能够独立完成综合法与分析法的实战演练10.2 教学内容1. 综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练的步骤与方法10.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练法：学生独立完成综合法与分析法的实战演练10.4 教学评估1. 实战演练报告：评估学生对综合法与分析法实战演练的理解与运用能力2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法实战演练的步骤与方法重点和难点解析第一章至第五章：基础概念与运用重点：综合法与分析法的定义、特点、运用步骤以及如何在实际问题中选择合适的方法。

2.2.2综合法与分析法

两边同乘以正数
4 ，得 2 L 因此，只需证明 4
L L2 2 4 16

L 2 L 2 因为上式是成立的，所以（）（） 2 4 即，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积
比正方形的面积大
思维升华:
1、从寻找解题思路看：综合法是由因导果，探路艰难；分析法是执果索因，便于寻找解题思路 2、从表达过程看：综合法形式简洁，条理清晰; 分析法叙述繁琐。因此，在实际解题时，常把二者结合使用。先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理的表述过程。
三、典例分析:
例3：求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。
L 2 证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为（）， 2
L 2 正方形的面积为（） 4
因此本题只需证明
L 2 L 2 （）（） 2 4 2
1 1 4
为了证明上式成立，只需证明
P3 P4（结论）
一、综合法:
定义:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。【问题一】：综合法的主要特点是什么？主要特点：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因导果 ” 。【问题二】：如果用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，那么综合法证明的符号表示是什么？
所以PAD PBD PCD.
于是PDA PDB PDC , 而PDA PDC＝90 , 所以PDB＝90
P2P3 P0(已知) P1 A
P
D
C
B
而PD是PAD, PBD, PCD的公共边，
P1 P2

2.2.1 综合法与分析法学案(含答案)

2.2.1 综合法与分析法学案（含答案）2.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法综合法与分析法学习目标1.理解综合法.分析法的意义，掌握综合法.分析法的思维特点.2.会用综合法.分析法解决问题知识点一直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义.公理.定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法知识点二综合法阅读下列证明过程，已知实数x，y满足xy1，求证2x2y22.证明因为xy1，所以2x2y22x2y22xy22，当且仅当xy12时，等号成立故2x2y22成立思考该题的证明顺序是什么答案从已知利用基本不等式到待证结论梳理综合法1定义综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论2逻辑关系P0已知P1P2PnQ结论3特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件知识点三分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点已知a，b0，求证ab2ab.证明要证ab2ab，只需证ab2ab，只需证ab2ab0，只需证ab20，因为ab20显然成立，所以原不等式成立答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件梳理分析法1定义分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实2逻辑关系B结论B1B2BnA已知3特点从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件4证明格式要证，只需证，只需证，，因为成立，所以成立1综合法是执果索因的逆推证法2分析法就是从结论推向已知3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆类型一综合法的应用例1在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证ABC为等边三角形证明在ABC中，ABC，由A，B，C成等差数列，得2BAC，因此，B3，由a，b，c成等比数列，得b2ac.又b2a2c22accosBa2c2ac，a2c2acac，即ac20，因此ac.故ABC是等边三角形反思与感悟用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论其适用范围为1定义明确的问题，如证明函数的单调性.奇偶性等2已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数求证bcaacabbabcc3.证明因为bcaacabbabccbaabcbbcacca3，又a，b，c为不全相等的正实数，而baab2，cbbc2，acca2，且上述三式等号不能同时成立，所以baabcbbcacca3633，即bcaacabbabcc3.类型二分析法的应用例2设a，b为实数，求证a2b222ab证明当ab0时，因为a2b20，所以a2b222ab成立当ab0时，用分析法证明如下要证a2b222ab，只需证a2b2222ab2，即证a2b212a2b22ab，即证a2b22ab.由于a2b22ab对一切实数恒成立，所以a2b222ab综上，对任意实数a，b，a2b222ab反思与感悟1当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解跟踪训练2求证aa1a2a3a3证明要证aa1a2a3，只需证aa3a2a1，只需证aa32a2a12，只需证2a32a23a2a32a23a2，只需证a23aa23a2，只需证02，而02显然成立，所以aa1a2a3a3类型三综合法与分析法的综合应用例3已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证logxab2logxbc2logxac2logxalogxblogxc.证明要证logxab2logxbc2logxac2logxalogxblogxc，只需证logxab2bc2ac2logxabc由已知0xabc.由公式知ab2ab0，bc2bc0，ac2ac0.因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得ab2bc2ac2a2b2c2abc，即ab2bc2ac2abc成立所以logxab2logxbc2logxac20证明要证12logab1212loga211212logb21成立，只需证212logab12loga2112logb21，只需证12logab212loga21b21ab0由于函数y12logx在0，内是减函数，所以只需证ab2a21b21，即证a22abb2a2b2a2b21，即证a2b22ab10，即证ab120，上式显然成立，所以原不等式成立反思与感悟综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c 的等差中项，求证axcy2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证axcy2，只要证aycx2xy，只要证2ay2cx4xy.由得2ay2cxabccabab2acbc，4xyabbcabb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命题得证.1若ab0，则下列不等式中不正确的是Aa2abBabb2C.1a1bDa2b2答案C解析若ab0，则1a1b.2要证2367成立，只需证A232672B262372C272362D2362b0时，才有a2b2，只需证2763，即证272362.3设0x1，则a2x，bx1，c11x中最大的是AcBbCaD随x取值不同而不同答案A解析0x2x2xa，11xx111x21xx21x0，cba.4要证明3725，可选择的方法有很多，最合理的应为________答案分析法5已知1tan2tan1，求证cossin3cossin证明要证cossin3cossin，只需证cossincossin3，只需证1tan1tan3，只需证1tan31tan，只需证tan12，1tan2tan1，1tan2tan，即2tan1.tan12显然成立，结论得证1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”.“只需证”.“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.。

数学学案：第二讲二综合法与分析法

二综合法与分析法1．理解综合法和分析法的概念．2．掌握综合法和分析法的证明过程．1．综合法一般地，从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做________,又叫__________或____________．【做一做1】若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A.错误!＜错误!B．a＋错误!＞b＋错误!C．b＋错误!＞a＋错误! D.错误!＜错误!2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的______出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为__________或______________(定义、公理或已证明的定理、性质等）,从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做__________，这是一种__________的思考和证明方法．【做一做2－1】分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的（)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【做一做2－2】当x＞1时，不等式x＋错误!≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )A．（－∞，2] B．［2，＋∞) C．[3,＋∞)D．(－∞，3］答案：1．综合法顺推证法由因导果法【做一做1】 C ∵a＜b＜0，∴错误!＞错误!，故选项A,B错误，而选项C正确．选项D中,取b＝－1，则错误!＝0,而错误!＞0，故选项D错误．2．结论已知条件一个明显成立的事实分析法执果索因【做一做2－1】A【做一做2－2】 D 要使x＋错误!≥a恒成立，则令f（x)＝x ＋错误!的最小值大于等于a即可，而x＋错误!＝x－1＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3.∴f（x）的最小值为3,∴a≤3。

1．如何理解综合法证明不等式剖析:（1)证明的特点．综合法又叫顺推证法或由因导果法，是由已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推出所要证明的结论成立．(2)证明的框图表示．用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为P⇒Q1→错误!→错误!→……→错误!(3)证明的主要依据．①a －b ＞0a ＞b ，a －b ＝0a ＝b ，a －b ＜0a ＜b ； ②不等式的性质; ③几个重要不等式：a 2≥0（a ∈R ),a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),a ＋b2≥错误!（a ＞0，b ＞0)．使用综合法时要防止因果关系不清晰，逻辑表达混乱等现象． 2．如何理解分析法证明不等式剖析:(1）证明的特点．分析法又叫逆推证法或执果索因法，是须从证明的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个明显成立的不等式为止．（2)证明过程的框图表示．用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为错误!←…←错误!←错误!←错误!3．综合法和分析法的优点剖析：综合法的优点是结构整齐,而分析法更容易找到证明不等式的突破口,所以通常是分析法找思路，综合法写步骤．分析法证明不等式是“逆求”,而绝不是逆推，即寻找的是充分条件,而不是必要条件．题型一综合法证明不等式【例1】已知a，b∈R＋，且a＋b＝1,求证:（a＋错误!）2＋（b＋错误!）2≥错误!。

学案1：2.2.1综合法和分析法

②框图表示： (其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．
②框图表示： .
自我检测
1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()
(2)证明由题意知即证＞成立．[6分]
∵a≠b，且a、b都为正数，
∴ ＝＝＝(a －b )2，
＝＝ab( － )2＝(a －b )2，[8分]
即证(a －b )2－(a －b )2＞0，
即证(a －b －a ＋b )(a －b ＋a －bБайду номын сангаас)＞0，
需证＞0，[10分]
即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]
探究点一
例1【解析】综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．
【答案】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)
《综合法和分析法》导学案
导学目标：
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．
自主梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．

人教B版选修(12)2.2.1《综合法与分析法》word学案

名师精编优秀教案§2. 2 .1 综合法和分析法一、教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）新课：1. 综合法的概念：综合法的特点：用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，综合法可表示为：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒例1：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥例2、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

2. 分析法的概念：分析法的特点：分析法可表示为：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐例4：求证5273<+。

3.分析法和综合法结合的应用：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例5 、已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+= ①2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.2.1 综合法和分析法 Word版含解析

2．2.1综合法和分析法[目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法的思考过程、特点.2.会用综合法和分析法证明数学问题．[重点] 综合法与分析法的逻辑思维过程与逻辑思维方法．[难点] 综合法与分析法的应用．知识点一综合法[填一填]一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：[答一答]1．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？提示：是必要条件，由综合法的特点，它的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论．其实质是命题“p⇒q”中已知p寻找q，即是寻找必要条件．2．综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．知识点二分析法[填一填]1．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：[答一答]3．(1)分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？(2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件？为什么？提示：(1)分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为在分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．(2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证Q只需证P”的形式表示，亦即只要P成立，就一定有Q成立，因此P是Q的充分条件，当然P是Q的充分必要条件时也可以．综合法和分析法的关系分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析，有时分析找思路，综合写解答．类型一综合法的应用【例1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．【证明】 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， ∴2a 22R ＝(2b －c )·b 2R ＋(2c －b )·c2R ，即2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理推证：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，∴B ＝120°－C ，∵sin B ＋sin C ＝3，∴sin(120°－C )＋sin C ＝3，即sin120°cos C －cos120°sin C ＋sin C ＝3，可得32cos C ＋32sin C ＝ 3.从而得3sin(30°＋C )＝3，∴sin(30°＋C )＝1，又0°<C <120°，则30°<30°＋C <150°.∴30°＋C＝90°，∴C＝60°.∴B＝60°，∴△ABC为等边三角形．综合法从正确地选择已知或真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所需要证明的结论.在运用综合法证明命题的时候，必须首先找到正确的出发点，也就是想到能从哪里起步.一般地，要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(B)A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：设等差数列的公差为d，则a1a8＝a1(a1＋7d)＝a21＋7a1d，a4a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a21＋7a1d＋12d2，∵d≠0，∴a4a5>a1a8.类型二分析法的应用【例2】已知a>5，求证：a－5－a－3<a－2－a.【证明】要证a－5－a－3<a－2－a，只需证a－5＋a<a－3＋a－2，只需证(a－5＋a)2<(a－3＋a－2)2，只需证2a－5＋2a2－5a<2a－5＋2a2－5a＋6，只需证a2－5a<a2－5a＋6，只需证a2－5a<a2－5a＋6，只需证0<6.因为0<6恒成立，所以a －5－a －3<a －2－a 成立．对于含有多个根号的证明题易采用分析法，在证明时应先保证式子两边为正，才能进行平方，即要保证等价变形.求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，需要证明6<7，只需证明6<7，显然6<7成立，∴3＋22<2＋7成立．类型三综合法与分析法的综合应用【例3】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .【思路分析】本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．【证明】要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用.设x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明：证法1：(综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x y )＝4＋2(y x ＋x y )＋1≥5＋4＝9＝右边．证法2：(分析法)∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，要证(1＋1x )(1＋1y )≥9成立，只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立，所以原不等式成立．综合法与分析法的综合应用【例4】设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.【思路分析】求导→根据切线过点P 及切线斜率列方程组→求出a ，b →构造辅助函数→利用导数求最值证明结论【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝01＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3. (2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x. 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，因此，函数g (x )在x ＝1处取得最大值，而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.【解后反思】本题第(2)问欲证f (x )≤2x －2，只需构造函数g (x )＝f (x )－(2x －2)，证明g (x )≤0即可．这种证明的方法就是用分析法寻找证题的思路，用综合法的形式书写，阐述解题过程．这种证明问题的方法就是一种综合法与分析法的有机结合．设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.解：(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞) f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知，当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.1．下面叙述正确的是(A)A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的解析：直接证明包括综合法和分析法．2．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证(C)A．(3－5)2<(6－8)2B．(3－6)2<(5－8)2C．(3＋8)2<(6＋5)2D．(3－5－6)2<(－8)2解析：要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立．3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a、b、c应满足的条件是(C)A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：由cos A＝b2＋c2－a22bc<0，知b2＋c2－a2<0，所以a2>b2＋c2.故选C.4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a －b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．5．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：证法1：(分析法)要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．又因a＋b>0，故只需证a2－ab＋b2>ab成立，即需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．证法2：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2>0⇔a2－2ab＋b2>0⇔a2－ab＋b2>ab.注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．所以a3＋b3>a2b＋ab2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教A版选修2-2 综合法和分析法学案

综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：已知条件⇒…⇒…⇒结论即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3.综合法的证明格式因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.基本模式用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.分析法的证明格式要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立.思考分析法与综合法有哪些异同点？答案相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号.反思与感悟利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 题型二分析法的应用例2 已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a . 证明要证a －5－a －3＜a －2－a ，只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2，只需证2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，只需证0＜6. 因为0＜6恒成立，所以a －5－a －3＜a －2－a 成立.反思与感悟分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2 若a ，b ，c 是不全相等的正数,求证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b＋lg c .证明方法一(分析法) 要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，即证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .∵a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ca ＞0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc ＞0成立.(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立. 方法二(综合法) ∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ca ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc ，∴lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .题型三综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明要证 log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc ).由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立. ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪训练3 设a ，b ，c 为任意三角形的三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证明：3S ≤I 2＜4S .证明 ∵I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，∴I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝a2＋b 2＋c 2＋2S .于是，要证3S ≤I 2＜4S, 即证3S ≤a 2＋b 2＋c 2＋2S ＜4S ，即证S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S .(1)要证S ≤a 2＋b 2＋c 2，即证a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ≥0，即证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(a 2＋c 2－2ca )≥0，即证(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0.∵(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(a －c )2≥0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0，∴S ≤a 2＋b 2＋c 2成立.(2)要证a 2＋b 2＋c 2＜2S ，即证a 2＋b 2＋c 2－2ab －2bc －2ac ＜0，即证(a 2－ab －ac )＋(b 2－ab －bc )＋(c 2－ac －bc )＜0，即证a [a －(b ＋c )]＋b [b －(a ＋c )]＋c [c －(a ＋b )]＜0.∵a ，b ，c 为任意三角形的三边长，∴a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，∴a [a－(b ＋c )]＜0，b [b －(a ＋c )]＜0，c [c －(a ＋b )]＜0，∴a [a －(b ＋c )]＋b [b －(a ＋c )]＋c [c －(a ＋b )]＜0，∴a 2＋b 2＋c 2＜2S 成立.综合(1)(2)可知，S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S 成立，于是3S ≤I 2＜4S 成立.因误用证明依据而出错例4 已知a ，b ，c 均为正实数，求证a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .错解因为a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥33a 2b 2·b 2c 2·c 2a 2＝3abc 3abc ，a ＋b ＋c ≥33abc ，所以a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥3abc 3abc 33abc＝abc .错因分析由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ，但a c ＞bd却不一定成立.正解因为a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，把以上三式相加，并化简得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c ).两边同除以正数a ＋b ＋c ，得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .防范措施在利用分析法或综合法证明问题时，要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件答案 A2.已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A.bB.－bC.1bD.－1b答案 B解析函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .3.若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________________. 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0，且a ≠b . 4.已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________.答案 (0,16]解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16，∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16. 5.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192 ＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23) ＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.1.综合法：(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思维轨迹.(2)综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步，转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整.2.分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行等价变形，不等价无意义，也找不到成立的条件.3.分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时，一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别；另一方面，要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.一、选择题1.要证明3＋6＜19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是( ) A.综合法 B.分析法 C.特殊值法 D.其他方法答案 B2.已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.b ＞a ＞c D.a ＞c ＞b答案 C解析由a 2＋c 2＞2ac ，a 2＋c 2＝2bc ，得2bc ＞2ac .又∵c ＞0，∴b ＞a ，可排除A ，D.令a ＝2，b ＝52，可得c ＝1或c ＝4，可知C 可能成立.3.若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正、负不能确定答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，且a 2＋b 2＋c 2＞0(由abc ＞0，知a ，b ，c 均不为零)，∴ab ＋bc ＋ac ＜0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＜0.4.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A.aB.bC.cD.不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .5.已知A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .6.已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确. 二、填空题7.定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512的大小关系是______________. 答案 f (4)＞f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512 解析 f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，故f (x )关于x ＝2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f (4)＞f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512. 8.已知函数y ＝x ＋2ax在[3，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析若函数y ＝x ＋2a x 在[3，＋∞)，上是增函数，则y ′＝1－2ax2在[3，＋∞)大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2a x 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，∴a ≤92.9.函数y ＝a1－x(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________.答案 4解析 ∵函数y ＝a1－x(a ＞0且a ≠1)恒过点A (1,1)，点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n－1＝0即m ＋n ＝1.又m ·n ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号).10.当n ∈N *时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (1)＝1，N (2)＝1，N (3)＝3，N (4)＝1，N (5)＝5，N (10)＝5，记S (n )＝N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n－1)(n ∈N *)，则：(1)S (3)＝__________；(2)S (n )＝__________. 答案 (1)16 (2)4n －1解析 (1)依题意知，S (3)＝N (4)＋N (5)＋N (6)＋N (7)＝1＋5＋3＋7＝16. (2)依题意得，N (2n)＝1.当n 为奇数时，N (n )＝n .在从2n －1到2n －1这2n －1个数中，奇数有2n －2个，偶数有2n －2个.在这2n －2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同.注意到N (2n－1)＝1，N (2n－1)＝2n－1，且从N (2n －1)到N (2n －1)共有2n －1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n－1，而从1到2n－1共有2n －1个连续的奇数，因此N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋...＋N (2n －1)＝1＋3＋5＋ (2)－1＝2n －11＋2n－12＝4n －1，即S (n )＝4n －1.三、解答题11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数.证明设点P (x ，y )是函数y ＝f (x )上任一点， ∵f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称. 则点P ′(－x ，y )在函数y ＝f (x ＋1)的图象上. ∴y ＝f (－x ＋1)，又y ＝f (x )，∴f (x )＝f (－x ＋1). ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数. 12.如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值.证明设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ， ∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20).由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20，y 2＝x消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝1－ky 02k2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝1＋ky 02k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k 1－ky 02k 2－1＋ky 02k2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值).∴直线EF 的斜率为定值. 13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以a n n＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明因为1a n ＝1n2＜1n －1n ＝1n －1－1n(n ≥2)，-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁骑所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。