双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
几类转化为双曲线特征三角形的问题的解法
解法1（代数法）
由抛物线定义AN=2a,可得N点横坐标x=2a-c
在△NF1F2中由面积法可求得N点纵坐标 y =
ab c
由N在抛物线上代入坐标化简可得：e4-2e3+e2-1=0，结合b＞a求
得e =
5 +1 2
特征三角形的问题的模型，体会巧妙结合特征三角形解题的魅力。
一、以准线与渐近线交点为背景的特征三角形问题
根据特征三角形的性质，准线与渐近线交点与相应焦点连线
与该渐近线垂直，可以形成特征三角形。
例1.设 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近线与直线
x = a2 分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点,若60°＜∠AFB＜90°,
很多医学生在中小学是单纯啃书本长大，进入大学后玩电脑和 手机成为他们唯一的兴趣。医疗卫生人员尤其需要素质的全面发 展。因为医疗卫生是一项独特的工作，救死扶伤特别需要人文关怀 和情感。看罗生特治病的故事，我们仿佛就看到是罗生特的医术、 灵性和人文情感在给人治病。当代医学生需要素质的全面发展以完 善自己。
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 的左、右焦点为
F1,F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴
切于点(1,0)，且P与点F1关于直线
y
=
−
b a
x
对称,则双曲线的方程为
分析：首先由内切圆的性质易知切点（a,0),则a=1.
高二数学难题
（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A、3x±4y=0B、3x±5y=0C、4x±3y=0D、5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2 4c2-4a2=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得ba= 43∴双曲线渐进线方程为y=± 43x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|=（）A、43B、8C、83D、16考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为-3求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．解答：解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，直线AF的方程为y=-3(x-2)，所以点A(-2，43)、P(6，43)，从而|PF|=6+2=8故选B．点评：本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→•AF→=-4则点A的坐标是（）A、（2，±2 2）B、（1，±2）C、（1，2）D、（2，2 2）考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：先求出抛物线的焦点F （1，0），根据抛物线的方程设A （ y024，y 0），然后构成向量 OA→、 AF→，再由 OA→•AF→=-4可求得y 0的值，最后可得答案．解答：解：F （1，0）设A （ y024，y 0）则 OA→=（ y024，y 0）， AF→=（1- y024，-y 0），由 OA→• AF→=-4∴y 0=±2，∴A （1，±2）故选B ．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程是高考的考点，是圆锥曲线的重要的一部分，要重视复习．（2009•安徽）设a ＜b ，函数y=（a-x ）（x-b ）2的图象可能是（ ）A 、B 、C 、D 、考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x 的值与a 的值的大小关系，当x≥a 时，y≤0，当x≤a 时，y≥0，据此即可解决问题．解答：解：∵y=（a-x ）（x-b ）2的∴当x≥a 时，y≤0，故可排除A 、D ；又当x≤a 时，y≥0，故可排除C ；故选B ．点评：本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．（2009•辽宁）若函数f （x ）= x2+ax+1在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）= 2x2+2x-x2-a(x+1)2= x2+2x-a(x+1)2．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）＞0，对任意的正数a、b，若a＞b，则必有（）A、af（a）＜bf（b）B、bf（a）＜af（b）C、af（b）＜bf（a）D、bf（b）＜af（a）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：令F（x）= f(x)x，F'（x）= 1x2[xf′（x）-f（x）]，由xf′（x）-f（x）＞0，知F（x）是增函数，当a ＞b＞0时，F（a）＞F（b），所以af（b）＜bf（a）．解答：解：令F（x）= f(x)x，F'（x）= 1x2[xf′（x）-f（x）]，∵xf′（x）-f（x）＞0 所以F'（x）＞0 即F（x）是增函数，即当a＞b＞0时，F（a）＞F（b）∴f(b)b ＜f(a)a，从而af（b）＜bf（a）．故选C．试题已知F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（）A、22B、24C、12D、32考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，进而根据相似三角形的性质求得|PF||OF|= |OB||OA|求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：把x=c 代入椭圆方程求得y=±b2a∴|PF|= b2a∵OP∥AB，PF∥OB∴△PFO∽△ABO∴|PF||OF|= |OB||OA|，即b2ac= ba，求得b=c∴a= b2+c2= 2c∴e= ca= 22故选A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．若双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是1＜e≤21＜e≤2．考点：双曲线的简单性质；双曲线的定义．分析：先根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a 进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，ca=2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．解答：解根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即3|PF2|-|PF2|=2a．∴a=|PF2|．|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2||，c＜2|PF2|=2a，∴ca＜2，当p为双曲线顶点时，ca=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故答案为：1＜e≤2．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．。
双曲线的渐近线与焦点
双曲线的渐近线与焦点双曲线是高等数学中的一个重要概念，它与渐近线和焦点有着密切的关系。
本文将围绕双曲线的渐近线和焦点展开讨论，详细介绍它们的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
同时，我们将探讨如何通过双曲线的渐近线和焦点来解决相关的问题。
一、双曲线的定义与性质双曲线是由一个动点P与两个焦点F1和F2之间的距离之差恒为常数的点的轨迹。
对于双曲线而言，与其相对应的还有一个重要的参数，即离心率e。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率大于1时，双曲线呈现拉长的形态，当离心率等于1时，双曲线退化为一对直线。
双曲线除了具有曲线本身的性质外，还有两个重要的特征：渐近线和焦点。
二、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是指在双曲线的两侧，与双曲线趋于无限远时的直线。
具体来说，有两种情况需要考虑：当离心率e大于1时，双曲线的两个渐近线呈现斜线形态，而当离心率等于1时，双曲线的渐近线则是两条垂直交于曲线的渐近线。
另外，渐近线还有一个重要的性质，即双曲线的切线与渐近线的夹角在趋于无穷大时趋于零。
三、双曲线的焦点双曲线的焦点是指在双曲线上具有特殊意义的两个点，它们与双曲线上的其他点具有不同的性质。
对于离心率大于1的双曲线而言，焦点是由公式c = √(a^2 + b^2)计算得出的点，它们与双曲线的中心相距为c个单位。
而对于离心率等于1的双曲线，焦点是曲线的两个端点。
双曲线的焦点在数学学科中有着广泛的应用，尤其是在几何、物理、工程和光学等领域。
例如，在天文学中，双曲线的焦点可以用来描述天体的运动轨迹；在建筑工程中，双曲线的焦点可以用来设计拱顶等结构。
四、双曲线焦点与渐近线的应用举例1. 天文学应用：通过双曲线的焦点和渐近线，我们可以研究近地小行星或彗星的运动轨迹，进而了解它们与地球的相对关系，并预测可能的撞击风险。
2. 工程应用：在建筑设计中，通过双曲线的渐近线和焦点，可以用来构造特殊形状的拱顶或者设计照明设备，优化室内或室外的照明效果。
秒杀题型 双曲线的渐近线(双曲线)(详细解析版)
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路： 已知双曲线方程求渐近线方程: ;
若焦点在x轴上，渐近线为 ；
若焦点在y轴上，渐近线为 。
1.(高考题)双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【解析】：选C。
2.(2013年新课标全国卷 4)已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )
12.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线 , 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形,则 = ( )
A. B.3C. D.4
【解析】：渐近线方程为 ，∵ 为直角三角形，假设 ， ,
∴ ，∴ ，选B。
13.(2018年新课标全国卷 11)设 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原
A. B. C. D.
【解析】：由上题，选C。
7.(2009年新课标全国卷4)双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
8.(2014年新课标全国卷I4)已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C. D.
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
9.(高考题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 ，则b= ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ，选
A。
10.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是．
秒杀思路： 。
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导庞敬涛渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。
一、深刻理解双曲线的渐近线概念1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。
也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。
2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。
二、掌握双曲线的渐近线方程的求法根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
比如，双曲线方程为),0b ,0a (1by a x 2222>>=-则渐近线方程的求法是令0by a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =±三、掌握双曲线的渐近线常见结论1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。
2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。
3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。
4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。
四、例题分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线。
例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且︒=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。
A. x 22y ±= B. x 3y ±= C. x 33y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ∆为直角三角形，又︒=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。
高中数学破题致胜微方法(双曲线中的离心率、渐近线、焦点三角形)：8.双曲线焦点三角形的一个面积公式
由任意三角形的面积公式得：
.
同理可证，在双曲线 （ ＞ ＞0）中，公式仍然成立.
整理：
焦点三角形的面积求法：
， ；
。
注意：结论不重要，证明的思路比较重要，关键在于掌握思维过程。
再看一个例题，加深印象
例:已知双曲线的两个焦点为 ，P是此双曲线上的一点，若 ，则双曲线的方程为（）
解：设 ，则 ，
又
， 故选答案D.
若Rt△F1PF2的面积为1，那么 的值是（）
A、 B、1C、2D、
答案：
2.
3.答案B，
今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。 由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形.若 ，则焦点三角形的面积 。
例:设双曲线方程为 , 分别为它的左右焦点，P为双曲线上异于实轴端点的任意一点，若 则 。特别地，当 时，有 。证明：记 ，
由双曲线的第一定义得：
在△ 中，由余弦定理得：
配方得：
总结：
双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.
双曲线方程确定后，双曲线焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关.
ห้องสมุดไป่ตู้练习：
1.若 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且
求 的面积。
2.设 、 为 的两个焦点，点 在曲线上，若 ，求 的面积。
3.设F1、F2是双曲线 － =1( ＞0)的两焦点，点P在双曲线上,∠F1PF2=90°，
双曲线焦点三角形
• 物理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述天体运动中的轨道问题
• 双曲线焦点三角形可以用于求解带电粒子在电磁场中的运动轨
迹
双曲线焦点三角形在
地理学中的应用
• 地理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述地表物体之间的位置关系
• 双曲线焦点三角形可以用于求解地理问题中的距离和角度问题
求解技巧
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
双曲线焦点三角形的极坐标系求解法
极坐标系求解法
求解技巧
• 通过双曲线的标准方程，将双曲线上的点转换为极坐标
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
系中的点
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
• 通过三角形的边长和角度关系，求解双曲线焦点三角形
与抛物线的对比
• 抛物线具有一个焦点，双曲线具有两个焦点
• 抛物线关于对称轴对称，双曲线关于两个焦点对称
02
双曲线焦点三角形的基本概念
双曲线焦点三角形的定义与构成
双曲线焦点三角形的定义
双曲线焦点三角形的构成
• 以双曲线的两个焦点为顶点的三角形
• 三个顶点分别为双曲线的两个焦点和一个动点
• 双曲线上的任意一点与两个焦点构成的三角形
双曲线焦点三角形在工程领域
的应用实例
• 工程领域应用
• 双曲线焦点三角形可以用于求解工程结构中的应力分布问题
• 双曲线焦点三角形可以用于描述通信网络中的信号传播路径
CREATE TOGETHER
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\frac{1}{2}ab\sin C$
圆锥曲线之----双曲线专题(附答案)
圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，也是解题时常会遇到的问题。
在圆锥曲线的研究和解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来辅助我们解决问题。
本文将介绍如何利用双曲线的渐近线和焦点，在解题过程中应用相关的技巧。
一、双曲线的渐近线双曲线是一个重要的圆锥曲线，其特点是有两条渐近线。
在解题过程中，渐近线可以帮助我们确定双曲线的形状和特性，从而更好地理解和解决问题。
双曲线的渐近线可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，我们可以得到其渐近线的斜率为±(b/a)。
3. 确定渐近线的截距。
根据双曲线的标准形式，我们可以得到渐近线的截距为±(0, ±b)。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的渐近线方程和截距。
在解题时，可以利用这些渐近线来帮助我们理解双曲线的形状，从而更好地解决问题。
二、双曲线的焦点双曲线的焦点是解题过程中需要重点关注的一个要素，通过确定焦点的位置，我们可以更好地解决与双曲线相关的问题。
双曲线的焦点可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，焦点的坐标为(F, 0)，其中F为焦距。
3. 确定焦距。
焦距的计算公式为c = √(a^2 + b^2)，其中c为焦距。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的焦点坐标及焦距。
在解题时，可以利用这些焦点来求解与双曲线相关的问题，从而得到更准确和全面的解答。
三、应用双曲线的渐近线和焦点解题在解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来解决与双曲线相关的问题。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，确定双曲线的方程和参数。
高中数学复习专题讲解与练习-----双曲线渐近线有关问题
=
OM MF
=
MN MF
=
3 1
②
OM
由①②得:
2 1− k2
= 3 解得 k = ±
3 ;所以渐近线方程为:
3
y=±
3x 3
四.课后作业 巩固内化
1.已知双曲线过点(1,2) ，渐近线方程为 y = ± 2x ，则双曲线的标准方程是（ ）
6 / 10
A. x2 − y2 = 1 2
【答案】:B
tan β
= tan 2α
= 2 tan α 1− tan2 α
= 2k 1− k2
① 2k
tan β = 1 − k 2 = 2
;
tan α
k 1− k2
由已知 得: uuur uuur 2MF = FN
MN MF
=
3 1
;
MN
在 和 中,易得 Rt Rt #
MOF
# MON
tan β tanα
【答案】: −
1 4
,
0
7 / 10
5. 是双曲线 的右焦点，则
左支上一点，直线 是双曲线 的一条渐近线， 在 上的射影为 是双曲线
的最小值为（
）[来源:学科网 ZXXK]
A. B. C. D.
【答案】:C
【解析】:由题知
，则
同一直线上时
最小，由渐近线方程 ， 知
则
的最小值为 ．故本题答案选 ．
2α + β = π
故 , tan β
= tan (π
− 2α ) = − tan 2α
=
−
2 1−
tan α tan 2 α
=
−
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长证法一（坐标法）：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点为(,0)F c ，一条渐近线为:bl y x a=即0bx ay -=， (,0)F c 到l 的距离为22|0|.bc a bcd b ca b -⨯===+证法二（几何法）：过实轴端点A 作实轴垂线AD 交渐近线于点D ， 则bDA a b a=⨯=，又22OD a b c OF =+==，所以(,0)F c 到l 的距离FH DA b ==。
（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT 平分焦点△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长F 1H 到M ，交PF 2于M ，则1PM PF =， 又12||||2PF PF a -=，∴2||2F M a = 又H 、O 为MF 1、F 1F 2中点， ∴OH21||2F M OH a ⇒= ∴ H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点，则△PF 1F 2的内切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.证明：设12A A 切X 轴于点'A ，与1PF 切于M ，PF 2切于N∵1212||||2||||||||2PF PF a PM MF PN NF a -=⇔+--= ∵|PM|=|PN|,|MF 1|,|NF 2|=2|'|A F ∴12|'||'|2F A A F a -= 又12|'||'|2F A A F c +=∴222|'|||A F c a A F =-=，∴'A 2与A 重合.注：可知，圆心在直线x a =或直线x a =-上.（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2， 由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M MF AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切 又 12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M MF AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A S K K = ，222P A P S K K =，∴0220000222200000y nm a x a y y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩ 又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--， ∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=- 即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y y y y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12PP 切线分别为11122:1x x y yl a b-=，22222:1x x y yl a b-= ∵0P 在12l l 、上 ∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12PP 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅， 2222A B A B A BOM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+-- 又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=， ∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+ 22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程
双曲线焦点在y轴的渐近线方程双曲线是一种经典的二次曲线，它与椭圆和抛物线一样，具有很多有趣的性质和应用。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程是双曲线的一个特殊情况，它在数学中有广泛的应用，可以描述很多自然现象、物理现象和工程问题。
下面，我们将详细介绍双曲线焦点在y轴的渐近线方程的定义、性质、应用和解法等方面。
一、定义首先，让我们来了解一下双曲线焦点在y轴的渐近线方程的定义。
双曲线是由两个相交的直线和它们的交点为中心所画出的曲线。
如果焦点在y轴上，我们可以得到以下双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （1）其中，a和b都是正实数，且满足$a^2+b^2=c^2$，其中c为双曲线的离心率。
双曲线方程中，a和b分别代表x 轴和y轴的半轴长度，c代表双曲线的焦距。
双曲线方程中，当x趋于正无穷或负无穷时，y趋于0，这就是双曲线的y轴渐近线。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程可以用以下公式表示：$y=\pm\frac{b}{a}x$ （2）二、性质方程的一些基本性质。
1. 双曲线的y轴渐近线与y轴的夹角为$±\theta$，其中$tan\theta=b/a$。
2. 双曲线的y轴渐近线在双曲线对称轴的对称点为双曲线的中心。
3. 双曲线的y轴渐近线可以帮助我们在求双曲线的渐近线时进行近似计算。
三、应用双曲线焦点在y轴的渐近线方程在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 光学中，双曲线是一个常见的光学曲线。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出反射镜和透镜等光学器具的成像原理。
2. 电学中，双曲线也是一个重要的电学曲线。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出高频电路和天线等电学应用的理论基础。
3. 经济学中，双曲线也可以用来描述市场的供求关系和价格变化趋势。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出市场均衡的价格和数量等经济学理论。
双曲线焦点三角形面积结论
双曲线焦点三角形面积结论双曲线焦点三角形是指一个顶点位于双曲线的焦点上，而另外两个顶点位于双曲线的两条渐近线上的三角形。
我们可以通过一些数学推导得出双曲线焦点三角形的面积结论。
双曲线可以用以下方程表示：^2/^2 ^2/^2 = 1，其中和分别表示双曲线的半轴长。
双曲线的焦点坐标为(±, 0)，其中^2 = ^2 + ^2。
考虑一个双曲线焦点三角形ABC，其中A点位于焦点(, 0)上，B点和C点分别位于双曲线的两条渐近线上。
我们可以设B点坐标为(_, ±(/)_)，C点坐标为(_, ±(/)_)。
根据三角形的面积公式，我们可以计算双曲线焦点三角形的面积S：S = 1/2 * |(_ ) * (±(/)_) (_ ) * (±(/)_)|化简上述公式，我们可以得到：S = |±(/) * (_ ) * (_ )|进一步化简，我们可以得到：S = ^2 * |(_ ) * (_ )| / ^2根据双曲线的焦点坐标公式(^2 = ^2 + ^2)，我们可以将上述公式进一步化简为：S = * * |(_ ) * (_ )| /这就是双曲线焦点三角形的面积公式。
从这个公式可以看出，双曲线焦点三角形的面积与焦点到顶点连线上的两个点的坐标有关。
当两个点的坐标相等时，面积为0，表示焦点三角形退化为一条线段。
当两个点的坐标相对于焦点关于双曲线的x 轴对称时，面积最大。
当两个点的坐标相对于焦点关于双曲线的y轴对称时，面积为0。
这些特性可以通过数学推导进行验证。
总结起来，双曲线焦点三角形的面积公式为 * * |(_ ) * (_ )| / ，其中焦点到顶点连线上的两个点的坐标决定了三角形的面积大小。
这个公式可以用来计算双曲线焦点三角形的面积，帮助我们进一步理解双曲线的性质。
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关问题俞㊀纲(云南省昆明市第三中学㊀６５００００)摘㊀要:文章通过举例剖析解决双曲线渐进线相关问题的策略ꎬ代数上运用二次方程的运算技巧ꎬ几何上运用特征三角形㊁角平分线等几何性质.关键词:双曲线渐近线ꎻ代数计算ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－０００７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:俞纲ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀渐进线是双曲线的重要性质ꎬ在历年高考的选择题㊁填空题中多次出现ꎬ而且基础题和难题都有涉及ꎬ如何针对性地选择适当方法来巧妙解决相关问题ꎬ尽量避免复杂的代数计算值得我们研究.１用二次方程解决双曲线渐近线的代数计算㊀㊀渐近线方程与双曲线的位置有关ꎬ由于双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘ可写为(ｙ＋ｂａｘ)(ｙ－ｂａｘ)＝０ꎬ可以看作ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０因式分解所得ꎻｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃａｂｘ恰好可以看作ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝０因式分解所得ꎬ因此双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的两条渐近线方程可等价于二次方程Ａｘ２－Ｂｙ２＝０ꎬ对于与渐近线有关的一些代数计算ꎬ可以借助该二次方程进行方便计算.１.１双曲线方程与渐近线方程的相互转化例１㊀(２０１３年高考江苏卷第３题)双曲线ｘ２１６－ｙ２９＝１的两条渐近线的方程为.分析㊀不用单独求出ａꎬｂ后再代入渐近线方程ꎬ直接由ｘ２１６－ｙ２９＝０因式分解可得渐近线方程为ｙ＝ʃ３４ｘ.㊀例２㊀(２０１５年高考全国Ⅱ卷第１５题)已知双曲线过点(４ꎬ３)ꎬ且渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ则该双曲线的标准方程为.分析㊀虽然不知道双曲线焦点位置ꎬ但不用分类设双曲线方程ꎬ把两渐近线方程可写为(ｙ＋１２ｘ) (ｙ－１２ｘ)＝０ꎬ即ｙ２－ｘ２４＝０ꎬ从而双曲线方程可以设为ｙ２－１４ｘ２＝λꎬ把点Ｍ(４ꎬ３)代入ꎬ解得λ＝－１ꎬ该双曲线的方程为ｘ２４－ｙ２＝１.例３㊀(２０１４年高考北京卷第１１题)设双曲线Ｃ经过点(２ꎬ２)ꎬ且与ｙ２４－ｘ２＝１具有相同渐近线ꎬ７则Ｃ的方程为ꎬ渐近线方程为.分析㊀与ｙ２４－ｘ２＝１共渐近线的双曲线可设为ｙ２４－ｘ２＝λꎬ把点(２ꎬ２)代入得λ＝－３ꎬ则Ｃ的方程为ｘ２３－ｙ２１２＝１.令ｙ２４－ｘ２＝０ꎬ得渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘ.小结㊀上述三题都属于基础中等题ꎬ通过方程的代数特征直接设双曲线渐近线的方程进行研究ꎬ避免了对两种位置的双曲线分别研究的麻烦.当然ꎬ不是所有条件都适合代数方法直接设方程ꎬ归纳言之ꎬ以下三个代数结论可直接运用:双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的渐近线方程可直接由Ａｘ２－Ｂｙ２＝０因式分解得到ꎻ以ｙ＝ｋｘ为一条渐近线的双曲线方程必定可以写为(ｙ＋ｋｘ) (ｙ－ｋｘ)＝λ(λʂ０)ꎬ即ｙ２－ｋ２ｘ２＝λ(λʂ０)的形式ꎻ与双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)有相同渐近线的双曲线方程必定可以写为Ａｘ２－Ｂｙ２＝λ的形式.１.２直线与双曲线的两渐近线相交的问题一条直线与双曲线两渐近线交于两点的问题ꎬ一般需要把该直线分别与两条渐进线方程联立ꎬ通过解两个二元一次方程组ꎬ得到两个交点坐标后再进行相应的表示与计算ꎬ如果把两条渐进线看作一个整体ꎬ借助二次方程来表示它ꎬ则可以借助直线与二次曲线位置关系的研究方法ꎬ运用 设而不求 的思想进行整体计算ꎬ避免直接表示交点坐标ꎬ达到事半功倍的效果.例４㊀过点Ｍ(３ꎬ１)作斜率为２的直线ꎬ与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若Ｍ恰好为ＡＢ的中点ꎬ则双曲线的离心率为.分析㊀此题可以把直线方程写出ꎬ再与两渐近线分别联立得到ＡꎬＢ两点的坐标ꎬ运用中点坐标公式得到等量关系ꎬ但计算相对繁琐ꎬ运用二次方程理论则能简化运算.双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为其上两点ꎬ由点差法ꎬ得ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０ꎬìîíïïïï即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＝(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２.则２ｘＭ２ｙＭ＝ａ２ｂ２ ｋＡＢ.所以３２＝ａ２ｂ２.从而ｅ＝ｃａ＝１５３例５㊀(２０１４年高考浙江卷第１６题)设直线ｘ－３ｙ＋ｍ＝０(ｍʂ０)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若点Ｐ(ｍꎬ０)满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ则该双曲线的离心率是.解析㊀设双曲线两渐近线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线ｌ与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由ｘɪ－１ꎬ１[]ꎬ得(ｘ１－ｍ)２＋ｙ２１＝(ｘ２－ｍ)２＋ｙ２２.整理ꎬ得ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)ｙ２－ｙ１ｘ１－ｘ２.即ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－ｋＡＢ).亦即３ｙ１－ｍ＋３ｙ２－ｍ－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－１３).即１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍ.由ｘ＝３ｙ－ｍꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬìîíïïï联立得(９ｂ２－ａ２)ｙ２－６ｂ２ｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝６ｂ２ｍ９ｂ２－ａ２.代入１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍꎬ得ａ２＝４ｂ２.则ｅ＝５２.小结㊀由于双曲线及渐近线都含有未知字母ꎬ８直线与两条渐近线联立两次分别表示出两交点坐标再计算相对繁琐ꎬ若能借助韦达定理巧用 设而不求 的思想进行整体转化ꎬ则能简化运算.例６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２３＝１ꎬ过点Ｐ(２ꎬ１)作直线ｌ交双曲线的两渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝４ꎬ求此时直线的斜率.解析㊀设直线的倾斜角为αꎬ参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ双曲线的渐进线方程为ｘ２４－ｙ２３＝０ꎬ把直线参数方程代入化简ꎬ得(３ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α)ｔ２＋(１２ｃｏｓα－８ｓｉｎα)ｔ＋８＝０.由韦达定理ꎬ得ｔ１ｔ２＝８７ｃｏｓ２α－４.则｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝８｜７ｃｏｓ２α－４｜＝４.得ｃｏｓ２α＝６７或２７.则ｓｉｎ２α＝１７或５７.从而ｋ＝ʃ６６或ʃ１０２.２用几何性质解决双曲线渐近线的几何问题双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的渐进线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ其几何含义可直观体现在如下两个直角三角形中:如图１ꎬ过焦点Ｆ作渐近线的垂线ＦＭꎬ垂足为点Ｍꎬ过顶点Ａ作实轴垂线ＡＮꎬ交渐近线于点Ｎ.记øＦＯＭ＝θꎬ在ＲｔәＯＦＭ中ꎬ｜ＯＦ｜＝ｃꎬ｜ＭＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＭ｜＝ａꎬｔａｎθ＝ｂａꎬｓｉｎθ＝ｂｃꎬｃｏｓθ＝ａｃ.在ＲｔәＯＡＮ中ꎬ｜ＯＡ｜＝ａꎬ｜ＡＮ｜＝ｂꎬ｜ＯＮ｜＝ｃ.借助这两个直角三角形ꎬ可以更直观地理解渐近线斜率的几何意义ꎬ并且可以得到一些常用结论ꎬ如:焦点到渐近线的距离为ｂꎻ以Ｏ为圆心ꎬ实轴长２ａ为直径的圆与渐近线相交ꎬ交点与焦点的连线恰好与渐近线垂直ꎻ以Ｏ为圆心ꎬ焦距长２ｃ为直径的图１圆与渐近线相交ꎬ交点与顶点的连线恰好与实轴垂直ꎻ两渐近线的夹角被坐标轴平分等性质ꎬ运用这些几何性质ꎬ可以灵活解决一些相关的问题.例７㊀(２０１８年高考全国新课标卷第１１题)已知双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２＝１ꎬＯ为坐标原点ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ过点Ｆ的直线与两渐近线交于ＭꎬＮ两点ꎬ若әＯＭＮ为直角三角形ꎬ则｜ＭＮ｜＝(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.４分析㊀由题意得ꎬＯＭʅＭＮꎬ即直线ＭＮ与渐近线垂直ꎬ从而可以写出直线ＭＮ的方程ꎬ再分别与两渐近线方程联立就得ＭꎬＮ两点坐标ꎬ最后借助两点间距离公式求出｜ＭＮ｜ꎬ但显然求出交点再算距离的代数运算相对复杂ꎬ用几何方法则可简化运算.由题意ꎬＯＭʅＭＦꎬ则根据性质可知｜ＦＭ｜＝ｂ＝１ꎬ｜ＯＭ｜＝ａ＝３.又由øＭＯＮ＝２θ＝π３ꎬ则在ＲｔәＭＯＮ中ꎬ｜ＭＮ｜＝｜ＯＭ｜ ｔａｎπ３＝３ꎬ故选Ｂ.例８㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点关于一条渐近线的对称点恰好在另一条渐近线上ꎬ则双曲线的离心率为.图２分析㊀如图２ꎬ根据题意ꎬ可以求出焦点Ｆ关于９渐进线ｙ＝ｂａｘ的对称点Ｐ的坐标ꎬ再代入另一条渐近线方程ｙ＝－ｂａｘ中ꎬ但求对称点的代数运算相对复杂ꎬ会导致此题 小题大做 .若能运用几何性质ꎬ根据点Ｆ与点Ｐ关于渐近线对称ꎬ则øＰＯＨ＝øＦＯＨꎬ再由两渐近线关于ｘ轴对称ꎬ则øＦＯＨ＝π３ꎬ则ｋ＝３ꎬ即ｂａ＝３ꎬ所以ｅ＝２ꎬ题目实现 秒杀 .例９㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点为Ｆ２ꎬ点ＭꎬＮ在双曲线的同一条渐近线上ꎬＯ为坐标原点.若直线Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ且ＯＦ２ʅＦ２Ｎꎬ｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜ꎬ则双曲线的渐近线方程为.图３分析㊀根据题意ꎬ可以求出ＭꎬＮ两点的坐标ꎬ进而表示出｜Ｆ２Ｍ｜与｜Ｆ２Ｎ｜的长度ꎬ再列式求解ꎬ但计算比较复杂.若用几何方法ꎬ如图３ꎬ根据两渐近线与ｘ轴夹角相同且Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ可得øＦ２ＯＭ＝øＭＦ２Ｏꎬ即әＭＯＦ２为等腰三角形ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＯＦ２于点Ｅꎬ则点Ｅ为ＯＦ２中点且ＮＦ２ʊＭＥꎬ则｜ＮＦ２｜＝２｜ＭＥ｜.从而根据｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜可得到｜ＯＭ｜＝５｜ＭＥ｜ꎬ即ｔａｎøＭＯＥ＝１２ꎬ渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ问题得到巧妙化简.例１０㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过Ｆ作一条渐近线的垂线ꎬ与两渐近线交于点ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀根据题意ꎬ由ＡＦң＝２ＦＢңꎬ可得到ｙ１＝－２ｙ２ꎬ可以由直线与两条渐近线方程联立ꎬ求出两点的纵坐标后再列式求解ꎬ但显然求交点的代数运算相对复杂.用几何方法ꎬ由性质可知ꎬ｜ＦＢ｜＝ｂꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由于ＯＦ是øＢＯＡ的平分线ꎬ根据角平分线性质ꎬ则｜ＦＢ｜｜ＦＡ｜＝｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜ꎬ从而在ＲｔәＡＯＢ中ꎬ｜ＡＢ｜＝３ｂꎬ｜ＯＡ｜＝２ａꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由勾股定理可得４ａ２＝９ｂ２＋ａ２ꎬ从而ｅ＝２３３ꎬ问题得到巧妙解答.３根据题目特点选择合适的方法进行求解例１１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ作斜率为１的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀此题为例１０变式ꎬ我们分别用三种方法求解ꎬ对比运算复杂程度的差异.方法１㊀(直接求交点法)双曲线两渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ直线ＡＢ方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ由ａ>ｂ>０可知ꎬＡꎬＢ位于ｘ轴两侧ꎬ则由ＡＦＢＦ＝２１得ｙＡ＝－２ｙＢ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝ｂｃａ－ｂ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝－ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝－ｂｃａ＋ｂ.根据ｙＡ＝－２ｙＢꎬ得ｂｃａ－ｂ＝２ｂｃａ＋ｂ.从而得到ａ＝３ｂꎬ则ｅ＝１０３.方法２㊀(韦达定理整体化简)设双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ直线与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由题得ｙ１＝－２ｙ２.０１由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ{联立得(ｂ２－ａ２)ｙ２－２ｂｃ２ｙ＋ｂ２ｃ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬｙ１ｙ２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２ꎬìîíïïïï根据ｙ１＝－２ｙ２ꎬ得－ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬ－２ｙ２２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２.ìîíïïïï从而得到ａ２＝９ｂ２.则ｅ＝１０３.图４方法３㊀(几何法)如图４ꎬ作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｄꎬ则ＦＢ＝ＦＤꎬøＢＦＯ＝øＤＦＯ＝π４.由此øＡＦＤ＝π２.在ＲｔәＡＦＤ中ꎬＡＦ＝２ＦＤꎬ则ｔａｎøＦＡＤ＝１２.而øＦＯＤ＝π４－øＦＡＤꎬ则ｔａｎøＦＯＤ＝１３.则ｂａ＝１３.从而ｅ＝ｃａ＝１０３.小结㊀第一种方法因为直线的方程比较简单ꎬ所以其与两渐近线联立求交点运算不太复杂ꎻ第二种方法二次方程根与系数关系式法由于韦达定理表示ｙ１㊁ｙ２的不对称式较麻烦ꎬ所以计算没有优势ꎻ用几何法通过转化运算相对较少ꎬ同时在求解过程中我们还可以发现ꎬ点Ｆ的位置没有实质的影响ꎬ由此我们可以得到该问题的一般化描述:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＭ为ｘ轴上一点ꎬ过点Ｍ作斜率为ｋ的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＭＢＭ＝λꎬ求双曲线Ｃ的离心率ｅ.显然当直线的倾斜角不是特殊角时ꎬ几何方法的运算也将变得复杂ꎬ这时三种方法的复杂程度差别不大ꎬ则方法１的思路更简单直接一些.例１２㊀已知Ｐ为双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２１＝１上一动点ꎬ点Ｐ到双曲线两渐近线的距离分别为ｍꎬｎꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为.分析㊀此题几何法不方便解决ꎬ回归到坐标法进行一般化的研究ꎬ设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的一个动点ꎬ其两条渐近线方程分别为ｙ＝ʃｂａｘꎬ即ｂｘʃａｙ＝０ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到两渐近线的距离分别为ｍ＝｜ｂｘ０－ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬｎ＝｜ｂｘ０＋ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬ可以发现ｍ ｎ＝｜ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０｜ａ２＋ｂ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ꎬ则ｍ＋ｎȡ２ｍｎ＝２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当ｍ＝ｎ时取等号ꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ此题答案为３.渐近线作为双曲线的重要性质ꎬ其相关问题蕴含了丰富的数形结合㊁等价转化的思想ꎬ对数学运算也有较高的要求ꎬ这就需要我们一方面要锻炼运算能力ꎬ总结运算技巧ꎻ另一方面要多对比一个问题的代数思路与几何思路的差异ꎬ关注不同方法运算复杂程度的区别ꎬ选择合适的方法来针对性解决相关问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１１。
双曲线渐近三角形八个结论
双曲线渐近三角形八个结论
双曲线渐近三角形是指双曲线的两支渐近线与其本身所围成的三角形。
下面是关于双曲线渐近三角形的八个结论：
1.双曲线渐近三角形是等腰三角形：由于双曲线的两支渐近线与曲线本身的距离无限接近，所以双曲线渐近三角形的两条边长几乎相等，形成等腰三角形。
2.双曲线渐近三角形的底角是直的：由于双曲线的两支渐近线的斜率趋近于零，所以双曲线渐近三角形的底边接近于平行于x轴，底角接近于直角。
3.双曲线渐近三角形的顶角是锐的：双曲线渐近三角形的底角接近于直角，而双曲线渐近三角形的非底角则趋于锐角。
4.双曲线渐近三角形的顶角和底边长度成正比：双曲线渐近三角形的顶角趋近于锐角，而与顶角对应的底边长度则会增加。
5. 双曲线渐近三角形的顶角和顶点的位置有关：双曲线渐近三角形的顶角的大小和位置都与双曲线的方程有关。
不同的双曲线方程会导致不同形状和大小的双曲线渐近三角形。
6.双曲线渐近三角形的面积无限大：由于双曲线的两支渐近线与曲线本身的距离无限接近，所以双曲线渐近三角形的顶角接近于锐角，底边长度趋近于无限。
根据三角形面积的计算公式，当底边长度无限大时，三角形的面积也趋于无限大。
7.双曲线渐近三角形的周长也无限大：由于双曲线渐近三角形的底边长度趋近于无限大，周长是三条边长之和，所以双曲线渐近三角形的周长也趋于无限大。
8.双曲线渐近三角形的形状和大小会随着双曲线参数的变化而变化：通过改变双曲线的参数，如焦点位置、离心率等，会导致双曲线渐近三角形的形状和大小发生变化。
具体变化取决于具体的双曲线方程。
2023年高考数学----《焦点到渐近线垂线构造的直角三角形》典型例题讲解
2023年高考数学----《焦点到渐近线垂线构造的直角三角形》典型例题讲解例1、（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点 ，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 （ ） ABC ．2 D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点， 所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a =的距离d b ==，所以 22EF b =，又212EF EF a −=，所以122EF b a =−， 12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c −+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例2、（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（ ）ABCD 【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=−，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫− ⎪⎝⎭，又()1,0F c −，所以2,22a c c ab P c ⎛⎫⎛⎫−+− ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+−⎪⎝⎭， 又P 点在双曲线上，所以()2222222144c a c a a c+−=，解得c a =故选：A.例3、（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ） ABCD【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N 在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11FOP FON ∠=∠，所以11FOP FON ≅， 所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=−−，所以11F P F N b ===，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b FOP MON FOP a a∠=∠=∠=，所以22231bb a b a a=−， 所以222222113b c a e a a −==−=，所以e =故选：C.例4、（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b −=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c −，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+， 与b y x a =−联立可得2a x c =−；与b y x a =联立可得222a cx b a =−，∵2FP FQ =，∴22222a c a c c b a c ⎛⎫+=−+ ⎪−⎝⎭，整理得，22222c b a =−，即224c a =， ∵1e >，∴2e =． 故选：C ．。
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曹大师高考数学专题总结（理科）
双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
一、 题型特点
已知条件中的三角形构成了焦点渐近线三角形，直接利用焦点渐近线三角形的特征来解题。
焦点渐近线三角形OAF 的三个顶点中，O 为原点，F 为焦点，A 在渐进线上。
点A 具有如下特点：
（1） OA 的长度为a；
（2） FA 的长度为b；
（3） FA 垂直于OA；
（4） 过焦点F 做双曲线渐近线的垂线，则垂足为A；
（5） 双曲线的渐进线与准线交于点A；
（6） 圆心为焦点的圆与双曲线的渐近线相切，则切点为A。
二、 真题回顾
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其
渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
三、 解题方法
解题思路：
（1） 先判断题设中的三角形是否为焦点渐近线三角形；
（2） 再利用焦点渐近线三角形的特性进行解题。
注意要点：
（1） 焦点渐近线三角形的点A 具有很多特点，要熟记；
（2） 双曲线题型中最核心的步骤是求出a，b，c，而这三个值分别是焦
点渐近线三角形的三边，因此，如果能判断三角形为焦点渐近线三
角形，则很多问题（如求离心率、渐近线方程等）就迎刃而解了。
（3） 圆心为焦点F 的圆如果和双曲线的渐进线相切，则切点为焦点三角
形的顶点A ，且圆的半径等于b，知道这个特性后，此类问题可以
直接写出答案而不用繁琐求解了。
四、 真题练习
()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+=
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
解：
易知三角形OAB 和OCB 均为焦点渐近线三角形，故a=2，b=2，c=2.
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
解：
过焦点F 做渐进线垂线，垂足为A，易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
故
b=AF=，tan 3p
=b/a, 则a=1， 故双曲线的方程为2
213y x -=．
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，b=2，又a=1，则c=
离心率
e=
c a
= 4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
解：
易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
由焦点渐近线三角形的特征知，OA=a，OF=c，即有c=2a，故e=2.
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，圆心和双曲线的焦点重合，故
a=
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
解：
设切点为A ，焦点为F ，易知焦点即为圆的圆心。
则有c=OF=2 ，b=AF=1，故
∵ 双曲线C 渐近线方程为x a
b y ±= ∴
渐近线方程为
y =，
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
解：
设切点为A ，焦点为F ，三角形OAF
为焦点渐近线三角形，易知渐近线方程为3y x =±，可设c=OF=2 ，b=AF=1，故
故离心率e=c/a =
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+
=3
有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
解：
a=1，双曲线的一条渐近方程是y=bx；当直线与圆相切时，
b=b≤,
∵ 所以e≤2，而双曲线的离心率大于1，
故双曲线的离线率的取值范围为(1,2].
（注：在焦点渐近线三角形中，∠AOF越小，则a越接近于c，双曲线越扁,e越接近1。
∠AOF越大，则a越小于c，双曲线越不扁，e越接近于无穷大。
）。