双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
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曹大师高考数学专题总结（理科）
双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
一、 题型特点
已知条件中的三角形构成了焦点渐近线三角形，直接利用焦点渐近线三角形的特征来解题。
焦点渐近线三角形OAF 的三个顶点中，O 为原点，F 为焦点，A 在渐进线上。点A 具有如下特点：
（1） OA 的长度为a；
（2） FA 的长度为b；
（3） FA 垂直于OA；
（4） 过焦点F 做双曲线渐近线的垂线，则垂足为A；
（5） 双曲线的渐进线与准线交于点A；
（6） 圆心为焦点的圆与双曲线的渐近线相切，则切点为A。
二、 真题回顾
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其
渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
三、 解题方法
解题思路：
（1） 先判断题设中的三角形是否为焦点渐近线三角形；
（2） 再利用焦点渐近线三角形的特性进行解题。
注意要点：
（1） 焦点渐近线三角形的点A 具有很多特点，要熟记；
（2） 双曲线题型中最核心的步骤是求出a，b，c，而这三个值分别是焦
点渐近线三角形的三边，因此，如果能判断三角形为焦点渐近线三
角形，则很多问题（如求离心率、渐近线方程等）就迎刃而解了。
（3） 圆心为焦点F 的圆如果和双曲线的渐进线相切，则切点为焦点三角
形的顶点A ，且圆的半径等于b，知道这个特性后，此类问题可以
直接写出答案而不用繁琐求解了。
四、 真题练习
()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+=
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
解：
易知三角形OAB 和OCB 均为焦点渐近线三角形，故a=2，b=2，c=2.
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
解：
过焦点F 做渐进线垂线，垂足为A，易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
故
b=AF=，tan 3p
=b/a, 则a=1， 故双曲线的方程为2
213y x -=．
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，b=2，又a=1，则c=
离心率
e=
c a
= 4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
解：
易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
由焦点渐近线三角形的特征知，OA=a，OF=c，即有c=2a，故e=2.
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，圆心和双曲线的焦点重合，故
a=
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
解：
设切点为A ，焦点为F ，易知焦点即为圆的圆心。
则有c=OF=2 ，b=AF=1，故
∵ 双曲线C 渐近线方程为x a
b y ±= ∴
渐近线方程为
y =，
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
解：
设切点为A ，焦点为F ，三角形OAF
为焦点渐近线三角形，易知渐近线方程为3y x =±，可设c=OF=2 ，b=AF=1，故
故离心率e=c/a =
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+
=3