几类特殊矩阵的幂与乘积

几类特殊矩阵的幂与乘积摘要：特殊矩阵(Special Matrix)是指它的元素在数值上或其所有的性质上有特性的矩阵.特殊矩阵无论在学术上还是在应用上都有其自身的价值和起着独特的作用.一方面，大多数矩阵类型都有着一定的应用背景;另一方面，从应用课题的研究中又会引出某些矩阵类型. 本文系统的阐述了一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵的相关性质及其应用, 通过运用矩阵二项式定理及多项式定理，使得有关计算问题降低一个数量级，并用多个例子论述并总结了特殊矩阵在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键词：主对角线上元素都相等的上三角形矩阵，对角线型三角矩阵，幂Several kinds of special matrix power and productHuoLiJuanClass 0702, Mathematics DepartmentTutor: CaoChunJuanAbstract: Special Matrix (Special Matrix) refers to its elements in numerical or the nature of its role Have the property of matrix. Special matrix whether in academic or in applications has its own value and plays a unique role. On one hand, most matrix type has certain application background; On the other hand, applied research on topics from and leads some matrix type. This paper elaborated this kind of Lord system on the diagonal elements are equal on triangle matrix and diagonal linear triangular matrices, the related properties and applications by using matrix binomial theorem and related calculation, making polynomial theorem, and an order of magnitude problems reduce discussed and summarized several examples in special matrix research and practical application of how better in life.Keywords: Main diagonal line elements in the triangle matrix are equal, diagonal linear triangular matrices, a power.1引言特殊矩阵是计算数学的重要组成部分。

它是研究代数问题的特殊矩阵快速算法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计面的研究。

随着科学技术的发展和计算机的普及，矩阵理论和方法得到了越来越广泛的应用。

在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中，大量地涉及到矩阵的理论，特别是一些特殊矩阵(具有特殊性质和特殊结构的矩阵)，相应的计算规模也越来越大。

近十几年来，国防科技和国民经济建设的许多领域中就不断提出了大型或超大型科学计算问题。

由于矩阵在各个学术领域和重要应用课题中所起的不可替代的作用，故有必要对其进行细致的研究。

科学技术和工程应用中需要进行大量的矩阵计算，而这些矩阵自身往往具备一些特殊的结构及特殊的性质，这即是所谓的特殊矩阵。

由于特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中有重要而广泛的应用，所以对特殊矩阵的研究一直是被关注的热点。

为提高特殊矩阵的运算效率，通过运用特殊矩阵的特殊结构及性质，使得有关计算问题降低一个数量级，研究特殊矩阵的幂与乘积，这是具有重要的理论意义和现实意义的研究课题。

自德国数学家托普列茨(Toeplitz,Otto,1881-1940)在二十世纪初首先提出主对角线上元素都相等的上三角矩阵的定义并研究了它的一些简单性质以来，有众多学者在此基础上又给出了许多优美的性质。

在《计算数学》、《数值计算与计算机应用》、《高等学校计算数学学报》、《高校应用数学学报》、《数学的实践与认识》等期刊上，已发表了为数众多的相关论文。

近年来，J.Rimas， JesdSGuti ‘rrez一Guti‘rrez，Q.Yin等已经发表了一些计算特殊方阵的整数次幂的文章。

2002年,张胜﹑李长辉发了关于一类上三角矩阵方幂的求法[2]。

2003年，姜海勤发表了特殊方阵高次幂的求法[6]。

本文通过对特殊矩阵幂与乘积了解的基础上，进一步探讨一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵方幂与乘积。

2预备知识为了深入学习特殊矩阵的幂与乘积，我们有必要回顾一下特殊矩阵的相关知识。

2.1 定义矩阵 由 n m ⨯个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211，称之为 n m ⨯ 矩阵，位置（ i ,j ）上的元素，一般用ij a 表示（强调两个足标的意义）。

矩阵可简记为n m A ⨯或}{ij a A =或n m ij a A ⨯=}{。

2.2 一些特殊矩阵负矩阵 设 n m ij a A ⨯=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。

转置矩阵 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a a A 212222111211 ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111将A 的行和列对应互换得到的m n ⨯矩阵，定义为A 的转置矩阵，记作T A ，。

由定义可知，ji ij T A A )()(=，即T A 在位置),(j i 上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的元素。

对称矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。

若其元素满足：A A ji a a T jiij =⇔∀=,，若其元素满足：A A ji a a T jiij -=⇔∀-=,，则称A 是反对称矩阵。

此时成立 i a ii ∀=0。

伴随矩阵 设}{ij a A =，由行列式 |A | 的代数余子式 ij A 所构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111* ，称之为矩阵A 的伴随矩阵。

注意到，伴随矩阵*A 在位置),(j i 上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的代数余子式。

例如， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A 的伴随矩阵是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1324*A 。

逆矩阵 设A 是n 阶矩阵，若存在矩阵B ，使得I BA AB ==，则称矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵；并称A 是可逆矩阵（或称矩阵A 是可逆的）。

例如，则 102312B ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是A 的逆矩阵。

2.3 矩阵方幂的几种常用求法 2.3.1 利用矩阵乘法的结合律对于秩为1的方正A ，可将A 分解为一个列向量与行向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律就出n A .例1.设A = 222222222---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，求n A 。

解：A 可分解为A =222⎛-⎫⎪- ⎪⎪ -⎭⎝()1,1,1故n A =222⎛-⎫ ⎪- ⎪⎪ -⎭⎝[()1,1,1222⎛-⎫ ⎪- ⎪⎪ -⎭⎝][()1,1,1222⎛-⎫ ⎪- ⎪⎪ -⎭⎝][()1,1,1 222⎛-⎫⎪- ⎪⎪ -⎭⎝]()1,1,1 =222⎛-⎫⎪- ⎪⎪ -⎭⎝()6-()6- ()6-()1,1,1=()16n --222⎛-⎫⎪- ⎪⎪ -⎭⎝()1,1,1=()16n --222222222---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭2.3.2 相似矩阵的对角化法当方阵A 可对角化时，可通过求与A 相似的矩阵Λ的方幂来求n A .而实对称矩阵一定可以对角化，故对于实对称矩阵一定可以用此法来求.例2．已知矩阵A ＝111242220⎛-⎫⎪-- ⎪⎪-⎭⎝，求5A 。

解 A 的特征多项式E A λ-=11124222λλλ----=()()212λλ--，故A 的全部特征值为1λ=1，2λ=3λ=2对于1λ=1，求解齐次线性方程组()0E A x -=，得出属于1的一个特征向量1(1,2,2)Tα=.对于2λ=3λ=2，求解齐次线性方程组()20E A x -=，得出属于2的两个线性无关的特征向量()21,1,0,Tα=()3 1,0,1.Tα=-这样，记()123,,P a a a == 111210201⎛-⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝,Λ=122⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝则有1P AP -=Λ，于是1511151,&&A P P A P P P P P PP P -----=Λ=ΛΛΛ=Λ=111210201⎛-⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝55122⎛⎫⎪ ⎪⎪⎭⎝111232221⎛-⎫ ⎪-- ⎪⎪ --⎭⎝=13131429462626230⎛-⎫ ⎪--⎪⎪-⎭⎝ 2.3.3 若尔当型矩阵的相似法复数域上任意矩阵都相似于一若尔当标准型，若尔当标准型为准对角矩阵.故对于不能对角化的矩阵，可通过求它的若尔当标准型的方幂从而求出矩阵的方幂.此法具有一般性，缺点是当较大时，求若尔当型矩阵的方幂较为麻烦.例3. 已知A =126103114⎛--⎫⎪- ⎪⎪--⎭⎝，求n A 。

解先求出A 的若尔当标准型，求对E A λ-进行初等变换，E A λ-= 12613114λλλ⎛+-⎫⎪- ⎪⎪ -⎭⎝ → 20132011114λλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪--+ ⎪ ⎪-⎭⎝→ 21000110132λλλλλ⎛⎫ ⎪--+ ⎪⎪ -+-+-⎭⎝ → ()2100010001λλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪ -⎭⎝可见A 的若尔当标准型是J = 100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎭⎝,设矩阵P 满足1P AP J -=,求出一个P =112111011⎛-⎫⎪ ⎪⎪⎭⎝,则1n n A PJ P -==112111011⎛-⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝100010011n⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝1112111011-⎛-⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝=112111011⎛-⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎭⎝10001001n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎭⎝011113112⎛-⎫ ⎪-- ⎪⎪ -⎭⎝=12261331n n n n n n n n n ⎛--⎫⎪-- ⎪⎪ --+⎭⎝2.3.4 利用数学归纳法可方便的求出某些矩阵的方幂.例5.设cos sin sin 2cos3A θθθθ⎛-⎫=⎪⎭⎝,求nA 。