指数与指数幂的运算(一)

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

学习目标：⒈理解n 次方根、根式概念，能正确应用根式的运算性质； ⒉提高认识、接受新事物的能力．

教学重点：根式的概念．

教学难点：根式的概念的理解．

教学方法：讲授式．

教具准备：投影．

教学过程：

（I ）复习引入：

师：请同学们思考下面的问题：

根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国国内生产总值（GDP ）年平均增长率可望达到7.3%．那么，在2001～2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？ 生：2001年我国的国内生产总值可望为2000年的(1+7.3%)倍； 2002年我国的国内生产总值可望为2000年的2(17.3%)+倍；

2003年我国的国内生产总值可望为2000年的3(17.3%)+倍；

…… ……

设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么

(17.3%)x y =+*(x N ∈，20)x ≤

即从2000年起，x 年后我国的国内生产总值为2000年的(17.3%)x +倍． 师：整数指数幂n a 的含义是什么？它具有哪些运算性质？

生：n n a

a a a a =⋅⋅⋅ 个 *()n N ∈，01a =，1n n a a -= *()n N ∈； 整数指数幂有如下运算性质：

⑴m n m n a a a +⋅=；

⑵()m n mn a a =；

⑶()n n n ab a b =，以上m n Z ∈、．

师：由于m n m n m n a a a a a

--÷=⋅=，1()n n n n n n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭，所以m n m n a a a -÷=归入性质⑴，n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭

归入性质⑶． 下面同学们再来看一个生物数学问题：

生物学家通过研究发现，当生物死亡以后，其体内含有的放射性同位素14C

会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据这个规律，科学家获得了生物体内14C 的含量P 与死亡年数t 之间的关系537012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据这个公式，当生物死亡了6000年，10000年，

100000年后，它体内14C 的含量分别为多少？

生：当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内14C 的含量分别为6000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭，10000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭，100000537012⎛⎫ ⎪⎝⎭．

师：上面这些式子的值怎样计算呢？这就涉及到指数为分数时，幂的计算问题．

今天开始，我们一起来把指数的取值范围从整数推广到实数，为此我们先学习根式的有关知识．

（II ）讲授新课：

⒈n 次方根的意义：

师：通过初中的学习我们知道，如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根；如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根．

一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈． 师：请同学们类比平方根、立方根的性质，考虑n 次方根有什么性质呢？ 生：（经教师引导，学生探究、讨论得出）正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数；

正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是0．

师：当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；

当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示．正数a 的正的n 次方根和负的n 次方根可以合并写成n a ±．

也就是说，

如果n

x a =，那么 ,21,2(0)n n a n k x a n k a ⎧=+⎪=⎨±=>⎪⎩(*)k N ∈． 其中式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数．

⒉根式的性质：

师：根据n 次方根的意义，可得

⑴ ()n n a a =． 师：式子n n a a =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？ 生：（经教师引导，学生探究、讨论得出）

⑵当n 为奇数时，n n a a =；

当n 为偶数时，,0||,0

n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 例⒈见课本54P ．

（Ⅲ）课后练习：

求下列各式的值：

⑴532-　； ⑵4(3)-； ⑶2(23)-　；

⑷526-； ⑸6a ； ⑹2

13x x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭． （Ⅳ）课时小结

⒈n 次方根的意义；

⒉根式的运算性质．

（Ⅴ）课后作业

⒈课本65P 习题2.1 A 组 ⒈

⒉阅读课本55P ～58P ，思考下列问题：

⑴根式与分数指数幂有何关系？

⑵整数指数幂推广到了有理指数幂后，其运算性质有何变化？ ⑶无理指数幂的意义是怎样的？它有怎样的运算性质？ 板书设计：

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

⒈n 次方根的意义： ⒉根式的性质 例⒈

⑴

⑵ 小结：

预习提纲： 教学后记:

性质⑴推导过程：若n

x a =，则

当n 为奇数时，n x a =，由n x a =得()n n a a =； 当n 为偶数时，n x a =±，由n x a =得()n n a a ±=；

综上所述，可知：a a n n =)(．

性质⑵推导过程：显然有n n a a =，所以

当n 为奇数时，由n 次方根定义得：n n a a =；

当n 为偶数时，由n 次方根定义得： n n a a ±=，则n n n n a a a =±=||||

综上所述：⎩⎨⎧=为偶数，为奇数n a n a a n n

||,．