数理统计 第2章(1)共40页文档
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a1 3(212)
b ˆˆ13 (ˆ2ˆ1 2)X 3 S
a ˆ ˆ13 ( ˆ2 ˆ1 2)X3 S
解法2：由均匀分布的数学期望及方差为
ab,21ba2
2
12
ab2,ba23
b3 ,a3
而 ˆ X , ˆ 2 S 2
故
bˆX 3S
aˆX 3S
（二）最大似然估计（极大似然估计）
1、依据：最大似然思想（ Fisher），即小 概率原理（小概率事件在某一特定试验中
例：母体 X，参数μ＝E(X)为母体平均
数， =D(Xห้องสมุดไป่ตู้为母体方差。求μ和的矩
估计。(注意：母体的分布并不知道）
解： 2E (X2) 1D (E X ()X ) EX 222
2
1 2 12
ˆ2
ˆ ˆ1 ˆ2 ˆ12
ˆ X ˆ 2 S 2
例：母体X服从正态分布N(μ, )，求 μ,的矩估计。
不应该发生） 例：一大批产品，从中抽取100件进行检验，
发现有4件次品，估计次品率p。
解：设X为抽取一件产品所得的次品数，则X为 0－1分布，其分布律为
X 01
P 1- p p
p ( x ) P X x p x ( 1 p ) 1 x
b a 21 , b 2 a a b 2 32 a 21 b , a b 41 2 32
21 b b 241 2 32
b 2 21 b 41 2 32 0
关于b的一元二次方程，解方程得
b21 4124(41232)
2
b1 3(212) a1m3(212) 由于a <b 故 b1 3(212)
解：产品总数为N，检验所有产品得次品数M ， 则有p＝ M/ N （计算几乎是不可能，也不必要）
！检验 n 件产品，得 m 件次品,得 m /n 作为 p
的估计值，记为 pˆ m n
2、点估计的一般提法：设母体 X 的分布为
F(x ,θ),θ是未知参数，子样值为x1, …, xn
如果用 ˆ(x1,x2,,xn)作为θ的估计值，
第二章 参数估计
§2.1
点估计
一、点估计的一般提法
1、引例（1）求人的平均身高μ
解：总人数为N
，则有
1 N
N i 1
xi
注：这样计算几乎是不可能；找10000人（子
样）测这10000人的身高，计算
x 1010001i0010x0i
x 可作为μ的估计值。
记作 ˆ x
（2）一批产品，求次品率 p
则称 ˆ(X1,X2,,Xn)称为θ的估计量。
估计量和估计值统称为估计，记为 ˆ
注：（1）估计量不唯一，例如平均年龄 可用平均指标，也可用中位数、众数；由 此提出两个问题：其一是如何求估计量； 其二是如何评价估计量。（2）同一个估 计量，不同的试验者所得的估计值也不相 同。例如不同的人做试验所得10万人的 平均身高是不一样的。即估计值并不是参 数的真值，所以提出求参数的真值的范围， 即参数的区间估计。
解：由于正态分布的数学期望及方差
μ＝E(X)， =D(X)，故μ,的矩估计
ˆ X , ˆ 2 S 2
例：母体X服从U[a,b]，求a,b的矩估计。
解：母体X的密度函数
1 f (x) ba
0
a xb 其他
由此2 得b ab x 12a d b ab x x3 a b (3 b d xa a 3)2b( 2b b 2 aa 2)a 3b b 2aa 2
1800 3000 2000 1300 1000 求λ的估计。
ex x0
f(x)
0
x0
解：由于 1ˆ1ˆX 1
λ的估计值 ˆ1 10 0.000416
x 24030
（2）如果有2个未知参数 1,2
① 用母体分布F(x ,θ)计算
1E (X ) ,2E (X 2)此时一定有
*21
1(1,2) 2(1,2)
2、矩估计法： 用子样的原点矩 A k
估计母体的原点矩 k
即：ˆk AK 其中αk =E(X k)， X 母体
Ak
1 n
n i1
Xik
！子样原点矩可通过试验得数据进行计算！
原理：对 X1k,X2k,,Xik,用大数定律则可
（1）如果仅有一个未知参数θ
ˆk AK
αk =E(X k)
① 用母体分布F(x ,θ)计算μ＝E(X)
此时μ＝μ(θ) ；
② 用μ＝μ(θ) 反解出θ,θ＝θ(μ)
③ θ的矩估计为 ˆ (ˆ)
注：μ为母体原点1阶矩，故可用子样1阶
原点矩估计μ 。即 ˆ X
故的矩估计ˆ (X)
A1 X
例：母体 X为参数为 p 的0－1分布，求p
的矩估计。
解：母体分布为 p(x)px(1p)1 xx0 ,1
① μ＝E(X)= p ② p = μ ③ p 的矩估计为 pˆ X
21
1(1,2 ) 2 (1,2 )
② 用＊反解出 1,2 得
ˆ11,2A1的矩1n估in1计X为i X ˆˆ21
ˆ2
A2
1 n
1(A1, A2)
2(A1, A2)
n i1
Xi2
注意：
ˆ1
A1
1 n
n i1
Xi
X
ˆ2
A2
1 n
n i1
Xi2
ˆ2ˆ12
1 n ni1
Xi2X2
ˆ2ˆ121 ni n1(Xi X)2S2
例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密 度函数f(x)如下,从一批产品取出10件产品。 测得寿命为2700 3660 3870 1500 3200
1800 3000 2000 1300 1000 求λ的估计。
例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密
度函数f(x)如下,从一批产品取出10件产品。
测得寿命为2700 3660 3870 1500 3200
二、估计量的求法
＊经验法：例如10个评委评分，往往用去掉
最高分和最低分再取平均数作为参赛者分数。
＊统计推断法
（一）矩法（矩估计法）
1、依据：大数定律，设X1, X2, … Xn …独立
同分布且数学期望存在，μ＝E(Xi) 则有
1 n
nLi m P ni1
Xi 1对任意正数ε成立
即 X 可作为μ的估计。
应用：一大批产品，从中抽取100件进行检验，
发现有4件次品，估计次品率p。
解：设X为抽取一件产品所得的次品数，则X的
分布律为 X 0 1
P 1- p p
pˆ x m4% n
例：母体 X为参数为 θ 的指数分布，求θ
的矩估计。 解：母体密度为
f
(x)
1
1 x
e
① μ＝E(X)=θ
0
x0 x0
② θ = μ ③ θ 的矩估计为 ˆ X
b ˆˆ13 (ˆ2ˆ1 2)X 3 S
a ˆ ˆ13 ( ˆ2 ˆ1 2)X3 S
解法2：由均匀分布的数学期望及方差为
ab,21ba2
2
12
ab2,ba23
b3 ,a3
而 ˆ X , ˆ 2 S 2
故
bˆX 3S
aˆX 3S
（二）最大似然估计（极大似然估计）
1、依据：最大似然思想（ Fisher），即小 概率原理（小概率事件在某一特定试验中
例：母体 X，参数μ＝E(X)为母体平均
数， =D(Xห้องสมุดไป่ตู้为母体方差。求μ和的矩
估计。(注意：母体的分布并不知道）
解： 2E (X2) 1D (E X ()X ) EX 222
2
1 2 12
ˆ2
ˆ ˆ1 ˆ2 ˆ12
ˆ X ˆ 2 S 2
例：母体X服从正态分布N(μ, )，求 μ,的矩估计。
不应该发生） 例：一大批产品，从中抽取100件进行检验，
发现有4件次品，估计次品率p。
解：设X为抽取一件产品所得的次品数，则X为 0－1分布，其分布律为
X 01
P 1- p p
p ( x ) P X x p x ( 1 p ) 1 x
b a 21 , b 2 a a b 2 32 a 21 b , a b 41 2 32
21 b b 241 2 32
b 2 21 b 41 2 32 0
关于b的一元二次方程，解方程得
b21 4124(41232)
2
b1 3(212) a1m3(212) 由于a <b 故 b1 3(212)
解：产品总数为N，检验所有产品得次品数M ， 则有p＝ M/ N （计算几乎是不可能，也不必要）
！检验 n 件产品，得 m 件次品,得 m /n 作为 p
的估计值，记为 pˆ m n
2、点估计的一般提法：设母体 X 的分布为
F(x ,θ),θ是未知参数，子样值为x1, …, xn
如果用 ˆ(x1,x2,,xn)作为θ的估计值，
第二章 参数估计
§2.1
点估计
一、点估计的一般提法
1、引例（1）求人的平均身高μ
解：总人数为N
，则有
1 N
N i 1
xi
注：这样计算几乎是不可能；找10000人（子
样）测这10000人的身高，计算
x 1010001i0010x0i
x 可作为μ的估计值。
记作 ˆ x
（2）一批产品，求次品率 p
则称 ˆ(X1,X2,,Xn)称为θ的估计量。
估计量和估计值统称为估计，记为 ˆ
注：（1）估计量不唯一，例如平均年龄 可用平均指标，也可用中位数、众数；由 此提出两个问题：其一是如何求估计量； 其二是如何评价估计量。（2）同一个估 计量，不同的试验者所得的估计值也不相 同。例如不同的人做试验所得10万人的 平均身高是不一样的。即估计值并不是参 数的真值，所以提出求参数的真值的范围， 即参数的区间估计。
解：由于正态分布的数学期望及方差
μ＝E(X)， =D(X)，故μ,的矩估计
ˆ X , ˆ 2 S 2
例：母体X服从U[a,b]，求a,b的矩估计。
解：母体X的密度函数
1 f (x) ba
0
a xb 其他
由此2 得b ab x 12a d b ab x x3 a b (3 b d xa a 3)2b( 2b b 2 aa 2)a 3b b 2aa 2
1800 3000 2000 1300 1000 求λ的估计。
ex x0
f(x)
0
x0
解：由于 1ˆ1ˆX 1
λ的估计值 ˆ1 10 0.000416
x 24030
（2）如果有2个未知参数 1,2
① 用母体分布F(x ,θ)计算
1E (X ) ,2E (X 2)此时一定有
*21
1(1,2) 2(1,2)
2、矩估计法： 用子样的原点矩 A k
估计母体的原点矩 k
即：ˆk AK 其中αk =E(X k)， X 母体
Ak
1 n
n i1
Xik
！子样原点矩可通过试验得数据进行计算！
原理：对 X1k,X2k,,Xik,用大数定律则可
（1）如果仅有一个未知参数θ
ˆk AK
αk =E(X k)
① 用母体分布F(x ,θ)计算μ＝E(X)
此时μ＝μ(θ) ；
② 用μ＝μ(θ) 反解出θ,θ＝θ(μ)
③ θ的矩估计为 ˆ (ˆ)
注：μ为母体原点1阶矩，故可用子样1阶
原点矩估计μ 。即 ˆ X
故的矩估计ˆ (X)
A1 X
例：母体 X为参数为 p 的0－1分布，求p
的矩估计。
解：母体分布为 p(x)px(1p)1 xx0 ,1
① μ＝E(X)= p ② p = μ ③ p 的矩估计为 pˆ X
21
1(1,2 ) 2 (1,2 )
② 用＊反解出 1,2 得
ˆ11,2A1的矩1n估in1计X为i X ˆˆ21
ˆ2
A2
1 n
1(A1, A2)
2(A1, A2)
n i1
Xi2
注意：
ˆ1
A1
1 n
n i1
Xi
X
ˆ2
A2
1 n
n i1
Xi2
ˆ2ˆ12
1 n ni1
Xi2X2
ˆ2ˆ121 ni n1(Xi X)2S2
例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密 度函数f(x)如下,从一批产品取出10件产品。 测得寿命为2700 3660 3870 1500 3200
1800 3000 2000 1300 1000 求λ的估计。
例：已知灯管的寿命服从指数分布，其密
度函数f(x)如下,从一批产品取出10件产品。
测得寿命为2700 3660 3870 1500 3200
二、估计量的求法
＊经验法：例如10个评委评分，往往用去掉
最高分和最低分再取平均数作为参赛者分数。
＊统计推断法
（一）矩法（矩估计法）
1、依据：大数定律，设X1, X2, … Xn …独立
同分布且数学期望存在，μ＝E(Xi) 则有
1 n
nLi m P ni1
Xi 1对任意正数ε成立
即 X 可作为μ的估计。
应用：一大批产品，从中抽取100件进行检验，
发现有4件次品，估计次品率p。
解：设X为抽取一件产品所得的次品数，则X的
分布律为 X 0 1
P 1- p p
pˆ x m4% n
例：母体 X为参数为 θ 的指数分布，求θ
的矩估计。 解：母体密度为
f
(x)
1
1 x
e
① μ＝E(X)=θ
0
x0 x0
② θ = μ ③ θ 的矩估计为 ˆ X