高斯消元法 主元消去法

实验内容
1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证.
（1）
123
123
123
0.101 2.304 3.555 1.183
1.347 3.712 4.623
2.137
2.835 1.072 5.643
3.035
x x x
x x x
x x x
++=
⎧
⎪
-++=
⎨
⎪-++=
⎩
（2）
123
123
123
528
28321
361
x x x
x x x
x x x
++=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪--=
⎩
MATLAB计算源程序
1. 用高斯消元法解线性方程组b
AX=的MATLAB程序
输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；
输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息.
function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);
RB=rank(B);zhica=RB-RA;
if zhica>0,
disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')
return
end
if RA==RB
if RA==n
disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')
X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);
for p= 1:n-1
for k=p+1:n
m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
end
end
b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);
for q=n-1:-1:1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
end
else
disp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')
End
End
2．列主元消元法及其MATLAB程序
用列主元消元法解线性方程组b
AX=的MA TLAB程序
输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；
输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个
数n和有关方程组解X及其解的信息.
function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)
B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);
RB=rank(B);zhica=RB-RA;
if zhica>0,
disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')
return
end
if RA==RB
if RA==n
disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')
X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);
for p= 1:n-1
[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);
B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;
for k=p+1:n
m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
end
end
b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);
for q=n-1:-1:1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
end
else
disp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.') end
end
三．实验过程：
1（1）编写高斯消元法的MATLAB文件如下：
clear;
A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];
b=[1.183;2.137;3.035];
[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)
运行结果为：
请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
-0.3982
0.0138
0.3351
（2）编写高斯消元法MATLAB文件如下：
clear;
A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];
b=[8;21;1;];
[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)
运行结果为：
请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
1
2
-1
在MATLAB中利用逆矩阵法检验结果：
(1) 在command windows中直接运行命令：
A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];
b=[1.183;2.137;3.035];X=A\b
运行结果为：
X =
-0.3982
0.0138
0.3351
(2) 在command windows中直接运行命令：
A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];
b=[8;21;1;];X=A\b
运行结果为：
X =
1
2
-1
两小题所得结果相同，检验通过
2（1）编写列组高斯消元法MATLAB文件如下：
clear;
A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];
b=[1.183;2.137;3.035];
[RA,RB,n,X] =liezhu(A,b)
运行结果：
请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
-0.3982
0.0138
0.3351
（2）编写列组高斯消元法的MATLAB文件如下：
clear;
A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];
b=[8;21;1;]
[RA,RB,n,X] =liezhu(A,b)
运行结果为：
请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
1
2
-1
与题 1 中逆矩阵计算所得结果相同，检验通过。