第四章 整环里的因子分解

第四章 整环里的因子分解§4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:0不是任何元的真因子.注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得1))((=++di c bi a ,从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Z ∈d c b a ,,,,使得3))((=++di c bi a .于是9))((2222=++d c b a .显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:a b a ⇔=)()(～b .证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此⇔=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ⇔～b .5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.证明 我们用数学归纳法来证明.当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .m b b b ,,,21 不互素⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m cb b cb b cb b ===⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===d ⇔不是m a a a ,,,21 的最大公因子.所以d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.§4.2 惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210⋅=⋅=.所以I 不是惟一分解环.2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.现在设Z ∈d c b a ,,,,使得5))((=++di c bi a . (*) 于是,25))((2222=++d c b a .由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注 定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是, n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*) 由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.§4.3 主 理 想 环1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈∃,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有b a ,互素⇔1是a 与b 的一个最大公因子⇒存在I t s ∈,,使1=+bt as)()(1b a +∈⇒),()()()1(b a b a =+=⇒⇒1是a 与b 的一个最大公因子.所以b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.当a 是单位时,显然c a |.假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得c q q q p p kp n m 2121=.由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:m p p p k c 21'=.所以c a |.(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,n m q q q p p p ab 2121=,n m q q q k p p kp c 2121'==.如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .所以c ab |.4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?解 显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15, )1()23,1(23+=+++x x x x .6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.证明 首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.§4.4 欧 氏 环1.证明:域F 是欧氏环.证明 定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:1)(=a φ,}0{\F a ∈∀.显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.证明 考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=ba bc adb a bd ac b a b ad c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(21||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(21||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则222222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而222)2(ba αv u q αβ+-++=.注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(b a αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,222222||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ⋅+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射|2|)2(22n m n m φ-=+是一个欧氏环.证明 令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下:|2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+∀]2[2Q b a ,其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有)2()2(d c ψb a ψ+⋅+|)2)(2(|2222d c b a --=|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=))2)(2((d c b a ψ++=.此外,显然]2[]2[Q Z ⊆,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得r q αβ+=,其中,0=r 或)()(αφr φ<.事实上,我们有222222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|21||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|21||022b a v -≤≤. 令221q q q +=.于是,2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,αbc v b a u q αβ)222(2222-+-+= 22222222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222ba bu avb a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ⋅-+-= )(222222222αφb a v b a u ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(22222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤.§4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.证明 假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设ab u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.证明 不妨设)()()(x q x g x f =.于是,)()()(11x g x bq x af =.由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明 假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,)()()(2121x f x f r r x f =.根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环. 证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ∉,或者)),((y x f y ∉,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明 令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,53+x 是I 中的不可约元,53+x ł5,)53(|53+-+x x ,53+x ł10322--x x ,根据定理4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.§4.6 因子分解与多项式的根1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?答 由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.证明 由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.解 由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根. 证明 我们有a 是)(x f 的k 重根⇔存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根⇔存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.复 习 题 四1.设整环⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=⋅s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j nm 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有 I j ∈±2.显然I j ∈±21并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈∀s .不妨设r s p p p m 212±=,其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ⋅±=.由于n j p 221和022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22⋅,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2222⋅=⋅.于是, m p |或k p |.当m p |时,我们有)2(22)(j n j n pm p m +-⋅⋅=, 其中I pm j n ∈⋅+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交.解 8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈∃,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明 设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有''),(),(q p b a pq b a c ==.当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式''),(),(q p b a pq b a c ==可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a .证明 设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有),(),(b a m pb b a ab ==.80 此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即ab ～),](,[b a b a .5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈∀i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:1))()(),()((=+x g x f x g x f .证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令d x g x f x g x f =+))()(),()((.由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知, )(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.证明 设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得''a d a =,''b d b =.其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.注 这里假定I 是整环.证明 由于][x I 是主理想环,根据定理 4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设)()()()()(x g x q x f x p x m ==.显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有))(()(x m x h ∈⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =81 ⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h ==))(())(()(x g x f x h ∈⇒⇒存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ⇒))(()(x m x h ∈⇒.所以))(())((())((x g x f x m =.9.证明:(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;(2))1/(][32++x x x Z 是域.证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.证明 当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.。