第四章 整环里的因子分解

第四章 整环里的因子分解

§4.1 不可约、素元、最大公因子

1. 证明:0不是任何元的真因子.

注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.

2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.

解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得

1))((=++di c bi a ,

从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.

3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.

证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.

设Z ∈d c b a ,,,,使得

3))((=++di c bi a .

于是

9))((2222=++d c b a .

显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.

由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.

4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:

a b a ⇔=)()(～b .

证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此

⇔=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ⇔～b .

5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.

证明 我们用数学归纳法来证明.

当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.

假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.

6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的

元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:

d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.

证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .

m b b b ,,,21 不互素

⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得

',,','2211m m cb b cb b cb b ===

⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得

',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===

d ⇔不是m a a a ,,,21 的最大公因子.

所以

d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.

§4.2 惟一分解环

1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.

证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210⋅=⋅=.所以I 不是惟一分解环.

2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.

证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.

其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.

现在设Z ∈d c b a ,,,,使得

5))((=++di c bi a . (*) 于是,

25))((2222=++d c b a .

由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:

i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.

显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要

时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.

2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.

注 定理4.11的内容如下:

在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.

证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设

m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.

其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是, n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*) 由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.

4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.

证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.

事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.

假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:

根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.

所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.

§4.3 主 理 想 环

1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈∃,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.

2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .