《用向量法求两直线的夹角(第一课时)》
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距离等于向量 P1 P在向量 n方向上射影长 d,
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）
Ax0 By0 C
向量的夹角 之间有什么关系？ d1 y d1 y d2 d2
l2
l1
1)
o
x
பைடு நூலகம்l2
l1
2)
o
x
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 两直线 l1、 d2的夹角为 l2的夹角为 ;方向向量d1、
如图1)所示时: 如图2)所示时:
4、直线的点斜式方程：
5、直线的斜截式方程：
6、直线的一般式方程： 7、直线的斜率k的计算方法：
问题导入
为了用向量来研究平面几何问题，首先我们要 用向量来表示直线的“方向”。那么如何用向 量来刻画直线的“方向”呢？
新知探究
一、直线的方向向量 1.定义：直线l上的向量 e 以及与 e共线的向量叫做直线l的
方向向量。 2．求法： (1，k) (1)直线y＝kx＋b的方向向量为______;
e
l
(B,－A) (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 .
e
A
B
新知探究
二、直线的法向量
1.定义：直线l的方向向量 叫做直线l的法向量。 2．求法： (k，－1) (1)直线y＝kx＋b的法向量为______; (2)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为 (A，B) .
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y
o
x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
§7.1
用向量法求两条直线的夹角
讲课人：张艳琴
1、两个向量数量积的定义：a b
2、两个向量平行： a / / b
3、两个向量垂直：a b
复习回顾
4、向量的模长公式： a _______
5、两个向量数量积的夹角公式：
cos ___________
复习回顾
典例精讲
2 cos 2 2 2 2 2 (1) 3 1 2
3 2 1 (1)
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
当堂检测
1、求下列直线的夹角。
(1)l1 : 3x y 1 0, l2 : x 3 y 4 0 (2)l1 : x y 1 0, l2 : x 2
d1 d2 cos cos = 所以两直线的夹角公式: d1 d2
0， 2 d1 d 2 cos d1 d2
cos cos
1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x y 2 0, l2 : 2x y 3 0 求两直线的夹角 ． 解:根据 l1与 l的方程及两直线夹角公式可得 : 2
2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，
整理得：2m2－3m－2＝0， 1 解得：m＝2或m＝－ . 2
典例精讲
例3.点到直线距离公式的推导。
已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程
Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则 Ax0 By0 C d A2 B 2
证明：当 B 0时 ， 在 直 线 l上 任 取 一 点 ， 不 妨 C 取P1 (0, ), 直 线l的 法 向 量 n ( A, B ),则P到l的 B
∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）
Ax0 By0 C
向量的夹角 之间有什么关系？ d1 y d1 y d2 d2
l2
l1
1)
o
x
பைடு நூலகம்l2
l1
2)
o
x
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 两直线 l1、 d2的夹角为 l2的夹角为 ;方向向量d1、
如图1)所示时: 如图2)所示时:
4、直线的点斜式方程：
5、直线的斜截式方程：
6、直线的一般式方程： 7、直线的斜率k的计算方法：
问题导入
为了用向量来研究平面几何问题，首先我们要 用向量来表示直线的“方向”。那么如何用向 量来刻画直线的“方向”呢？
新知探究
一、直线的方向向量 1.定义：直线l上的向量 e 以及与 e共线的向量叫做直线l的
方向向量。 2．求法： (1，k) (1)直线y＝kx＋b的方向向量为______;
e
l
(B,－A) (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 .
e
A
B
新知探究
二、直线的法向量
1.定义：直线l的方向向量 叫做直线l的法向量。 2．求法： (k，－1) (1)直线y＝kx＋b的法向量为______; (2)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为 (A，B) .
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y
o
x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
§7.1
用向量法求两条直线的夹角
讲课人：张艳琴
1、两个向量数量积的定义：a b
2、两个向量平行： a / / b
3、两个向量垂直：a b
复习回顾
4、向量的模长公式： a _______
5、两个向量数量积的夹角公式：
cos ___________
复习回顾
典例精讲
2 cos 2 2 2 2 2 (1) 3 1 2
3 2 1 (1)
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
当堂检测
1、求下列直线的夹角。
(1)l1 : 3x y 1 0, l2 : x 3 y 4 0 (2)l1 : x y 1 0, l2 : x 2
d1 d2 cos cos = 所以两直线的夹角公式: d1 d2
0， 2 d1 d 2 cos d1 d2
cos cos
1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x y 2 0, l2 : 2x y 3 0 求两直线的夹角 ． 解:根据 l1与 l的方程及两直线夹角公式可得 : 2
2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，
整理得：2m2－3m－2＝0， 1 解得：m＝2或m＝－ . 2
典例精讲
例3.点到直线距离公式的推导。
已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程
Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则 Ax0 By0 C d A2 B 2
证明：当 B 0时 ， 在 直 线 l上 任 取 一 点 ， 不 妨 C 取P1 (0, ), 直 线l的 法 向 量 n ( A, B ),则P到l的 B
∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m