《用向量法求两直线的夹角(第一课时)》
向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离
B1
P
由已知可知P(0,4,z)
A =( 4, 4, z ) － , AP BD =(－4,－4, 0 ), x
D B
y
C
AP · BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。 解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)
2、求直线和平面所成的角
g1
A
设直线BA与平面β的夹角为θ，
n
θ
β
B C
n 为平面β的法向量,
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g
1
θ= g1 2
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g
2
A
g2
n
θ
β B
θ= g 2 2
C
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1
a
l
g n 2
b
g
q
z
D1
C1
K
G
B1
y D E A B C
DA , DC , DD1 为单位正
交基底建立直角坐标系。
x
①∵A1(1,0,1) C(0,1,0)
D(0,0,0)
1 K 0,0, 2
A1
z
D1
C1
∴ DA1 =(1,0,1)
1 CK 0,1, 2
K
G
B1
cos DA1 , CK
z
D1 C1 B1 P y
AP =(－4, 4,3) AP =0 n·
PB1 =(4, 0,2)
A1
令平面APB1的法向量为 n =(x, y, z)
两直线的夹角公式推导
两直线的夹角公式推导在平面几何中，两条直线的夹角是指这两条直线在同一平面内的交角。
推导两直线的夹角公式可以通过向量的内积来实现。
下面我们将分步骤进行推导。
假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
为了方便讨论，我们可以假设L1和L2都经过原点O。
步骤1：求取L1和L2的方向向量L1的方向向量可以表示为V1 = (1, k1)，而L2的方向向量可以表示为V2 = (1, k2)。
步骤2：计算V1和V2的内积V1·V2 = |V1||V2|cosθ，其中θ代表两直线的夹角。
由于V1和V2都经过原点O，可以得到：V1·V2 = (1, k1)·(1, k2) = 1·1 + k1·k2 = 1 + k1·k2步骤3：计算|V1|和|V2|为了计算|V1|和|V2|，我们需要对V1和V2分别进行求模运算。
|V1| = √(1^2 + k1^2) = √(1 + k1^2)|V2| = √(1^2 + k2^2) = √(1 + k2^2)步骤4：代入内积公式并解出夹角代入步骤2中的内积公式，并结合步骤3中的模运算结果，可以得到：1 + k1·k2 = |V1||V2|cosθ1 + k1·k2 = (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2))cosθ化简上述方程，可以得到两直线的夹角公式：cosθ = (1 + k1·k2) / (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2))最后，如果我们使用反余弦函数来计算夹角，可以得到：θ = arccos((1 + k1·k2) / (√(1 + k1^2))(√(1 + k2^2)))通过上述推导，我们得到了求解两直线夹角的公式，根据直线的斜率，我们可以计算出夹角的具体数值。
总结：本文通过向量的内积来推导了两直线的夹角公式。
通过该公式，我们可以依据直线的斜率计算出夹角的大小。
《用向量法求两直线的夹角(第一课时)》
∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y
o
x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
距离等于向量 P1 P在向量 n方向上射影长 d,
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）
Ax0 By0 C
2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，
立体几何中的向量方法求夹角PPT课件
D
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A x
By
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
z P
A
D x
By E
C
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第23页/共35页
又因为Ca2，0，0， 所以C→M＝－34a， 43a，0， 所以cos〈A→C1，C→M〉＝|AA→→CC11|··|CC→→MM|＝ －3·342a32a2＝－12， ∴AC1与平面ABB1A1所成角为30°.
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例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
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NN C11
CC
D11
DD y
【典例剖析】 例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平
行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知ABC 450
AB=2，BC= 2 2 ，SA=SB= 3 .
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1,2,1)
cos
n1,
n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
向量法求夹角ppt课件
(1)求 cos BE ,DE
（2）记面BC V为a,面DCV为b,∠BED是二面角a—VC —b
的平面角,求∠BED。
z
解:(1)依题意: B(a, a,0),C(－a, a,0),D(－a,－a,0) V
B
设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的 向量。
ppt课件
14
4.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
a
n1 g n2
b 设 n1 ,n2 = g
l
设a —l —b的平面
角为
g
－g
a
n1 g n2
两个平面的法向量同时指向或背离。
b
l
ppt课件
15
n1
g
a
n2
设 n1 ,n2 = g
∴ D1B =(2,2,2)
z
A1E =(0,2,1) C1E =(2,0,1)
D
设平面A1EC1的法向量为 n = (x,y,z)A
∴ A1E ·n =2y+ z =0 C1E ·n =2x+ z =0
令 x =1 时，z =－2 ，y =1
∴ n = (1 ,1, －2 )
D1
xA1
C
B E
C1 y
|b|2+|c|2
+2
a
·b
+2 c ·b +2 a ·c
)
O
1 3 3 2
9
3
∴ |OO’| 6 3
c
a
F
cos OO’,BF = OO’ ·BF
142用空间向量研究距离夹角问题(1)教学设计-人教A版高中数学选择性
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。
在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法多媒体一、情境导学如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库。
如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A 点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法. 二、探究新知一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为μ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·μ)μ.点P 到直线l 的距离为PQ=√a 2-(a ·μ)2. 2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ,m 之间的距离,可在其中一条直线l 上任取一点P ,则两条平行直线间的距离就等于点P 到直线m 的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.1.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,则点A 到直线EF 的距离为 . 答案:√1746通过生活中的现实情况，帮助学生回顾空间距离的概念，并提出运用向量解空间距离的问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想解析:如图,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1), FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2),∴|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-2)2+12=√6, ∴直线EF 的单位方向向量μ=√66(1,2,1), ∴点A 到直线EF 的距离d=√|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(-√66)2=√296=√1746.二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |.点睛：1.实质上,n 是直线l 的方向向量,点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度. 2.如果一条直线l 与一个平面α平行,可在直线l 上任取一点P ,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P ,可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解.2.在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B 1到平面AD 1C 的距离为 .答案: 83 解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),D 1(0,0,4),B 1(2,2,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0), 设平面AD 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2x +2y =0,-2x +4z =0.取z=1,则x=y=2,所以n =(2,2,1). 所以点B 1到平面AD 1C 的距离d=|n ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=83.三、典例解析例1.已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B 到直线A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(4,0,1),C 1(0,3,1),所以直线A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1),所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√10-(95)2=135.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.延伸探究1 例1中的条件不变,若M ,N 分别是A 1B 1,AC 的中点,试求点C 1到直线MN 的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略). 则M (2,0,1),N (2,32,0),C 1(0,3,1),所以直线MN 的方向向量为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,-1)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,0),所以点C 1到MN 的距离d=√|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=2√28613. 延伸探究2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B 到A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,分别以BA ,过B 垂直于BA 的直线,BB 1为x 轴,y轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (0,0,0),A 1(2,0,2),C 1(1,√3,2),所以A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2), 所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√8-(-1+3+02)2=√8-1=√7.例2 在三棱锥SABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=2√3M ,N 分别为AB ,SB 的中点,如图所示.求点B 到平面CMN 的距离.思路分析 借助平面SAC ⊥平面ABC 的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN 的法向量,再求距离. 解:取AC 的中点O ,连接OS ,OB.∵SA=SC ,AB=BC ,∴AC ⊥SO ,AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC=AC , ∴SO ⊥平面ABC.又BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO.如图所示,分别以OA ,OB ,OS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,则B (0,2√3,0),C (2,0,0),S (0,0,2√2),M (1,√3,0),N (0,√3,√2). ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量, 则{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =3x +√3y =0,MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-x +√2z =0,取z=1, 则x=√2,y=√6,∴n =(√2,√6,1).∴点B 到平面CMN 的距离d=|n ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=4√23.求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=|n ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A的斜线段)跟踪训练1 在直三棱柱中,AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离.(1)证明:连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE. DE ∥B 1C ,DE ⊂平面A 1BD}⇒B 1C ∥平面A 1BD.(2)解:因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离.如图建立坐标系,则B 1(0,2√2,3),B (0,2√2,0),A 1(1,0,3), DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,3), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0), DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,3).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),所以{2√2y =0,-x +3z =0,所以n =(3,0,1).所求距离为d=|n ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=3√1010.金题典例 如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,点E 在棱BB 1上,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D相交于点H.(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ;(2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距. (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系, 设AB=a ,则A 1(a ,0,0),B 1(0,0,0),C 1(0,2,0),F (0,1,0),E (0,0,1),A (a ,0,4),B (0,0,4),D (0,2,2), G (a2,1,0).所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2). 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+44=0. 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以B 1D ⊥AB ,B 1D ⊥BD.又AB ∩BD=B ,所以B 1D ⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 2,0,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以GF ∥AB ,EF ∥BD.又GF ∩EF=F ,AB ∩BD=B ,所以平面EGF ∥平面ABD. (3)解:由(1)(2)知,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面EGF 和平面ABD 的法向量.三、达标检测1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1),且两平面的一个法向量n =(1,0,1),则两平面间的距离是( ) A.32 B.√22C.√3D.3√2答案:B解析:∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1), OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,1),且两平面的一个法向量n =(1,0,1), ∴两平面间的距离d=|n ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=|-2+0+1|√2=√22.故选B .2.若三棱锥PABC 的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P 到平面ABC 的距离是( ) A.√66 B.√63C.√36D.√33答案:D解析:分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(图略),则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1).可以求得平面ABC 的一个 法向量为n =(1,1,1),则d=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33. 3.如图,正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心,则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B.√24C.√22D.√32答案:B解析:建立坐标系如图,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),O (12,12,1). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1).设n =(1,y ,z )是平面ABC 1D 1的一个法向量, 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-1+z =0,解得y=0,z=1,∴n =(1,0,1).又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-12,-1),∴点O 到平面ABC 1D 1的距离为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=12√2=√24.4.Rt △ABC 的两条直角边BC=3,AC=4,PC ⊥平面ABC ,PC=95,则点P 到斜边AB 的距离是 . 答案:3解析:以点C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (4,0,0),B (0,3,0),P (0,0,95), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3,0), AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,95), 所以点P 到AB 的距离d=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|)2=√16+8125-25625=3.5.棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为 .答案:√32解析:如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M (1,1,12),A (1,0,0), ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1).设平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +z =0.令x=1,则y=z=1,∴n =(1,1,1).∴点M 到平面ACD 1的距离d=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√32.故直线MN 到平面ACD 1的距离为√32.四、小结教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。
向量法求直线与平面的夹角(微课)
的正弦值。 求B1C1与面AB1C所成的角 .
例：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=5，AD=8,AA1=4,M为 z B1C1上的一点，且B1M=2， A1 N 点N在线段A1D上，A1D⊥AM,B C1 1 M 求AD与平面ANM所成的角。
A
D1
D
y
x
B
C
向量法求直线与平面的夹角
直线与平面的夹角
A
平面外一条直线与它在该 平面内的投影的夹角叫做 B 该直线与此平面的夹角。
O
若直线与平面垂直，则夹角为 2 若直线与平面平行或在平面内，则夹角 为0
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
n
B A
2
2
n， BA
B
A
n， BA 2
结论：sin
| cos 1C1D1 的棱长为1.
z A 1 解： 以AB， AD ， AA1为单 D 1 A (0 ， 0 ，， 0) 位正交基底，可得 B1 (1， 0，， 1) B1 ， ，， 0) C (11 ， ，， 0) C1 (111) ， ，，则B1C1 (01 C1 AB1 (1 ， 01) ，， AC (11 ， ， 0) y 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) A D 则n AB1 0， n AC 0 B C x z 0 所以 ，取x = 1， x x y 0 0 1 0 3 cos n， B1C1 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
空间向量两直线夹角公式
空间向量两直线夹角公式
空间向量的两直线夹角是指两条直线在空间中的夹角。
在三维空间中，如果两条直线不平行，则它们一定会相交或者平面上相交，此时它们的夹角就是它们所在平面的夹角。
否则，如果两条直线平行，它们的夹角就是零。
在计算两条直线在空间中的夹角时，可以采用向量的方法。
假设有两个向量a和b，它们是两条直线的方向向量。
则它们的夹角θ的计算公式为：
cosθ=a·b/|a|·|b|
其中，a·b表示a和b的点积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。
这个公式的物理意义是，cosθ等于a和b的点积除以它们的长度乘积，也就是它们的夹角所对应的三角形的底边长与斜边长的比值。
在实际计算中，可以先通过向量叉积来求出a和b所在的平面的法向量n，然后计算n与a、b之间的夹角，再根据平面夹角和空间夹角的关系来计算最终的结果。
除了向量的方法，还有一些几何方法来计算两条直线的夹角。
比如可以通过两条直线在平面上的投影来计算它们的夹角，或者通过它们在空间中的投影来计算它们的夹角。
总之，在计算空间向量的两条直线的夹角时，需要先确定它们的方向向量，然后采用向量或几何方法来计算它们的夹角。
这个夹角可以作为判断两条直线是否相交、平-行或垂直的重要指标。
向量与直线的夹角与距离计算
向量与直线的夹角与距离计算向量与直线的夹角和距离计算在数学和物理学中经常被应用到。
了解如何准确计算向量与直线之间的夹角和距离，对于解决相关问题和应用领域具有重要意义。
一、向量与直线的夹角计算向量与直线的夹角可以通过向量的数量积和向量的模来计算。
设向量a和直线L之间的夹角为θ，向量a的模为|a|，直线L的单位向量为n。
根据数量积的定义，有以下关系：a∙n = |a||n|cosθ其中，a∙n表示向量a与向量n的数量积，|a|表示向量a的模，|n|表示向量n的模，θ表示向量a与直线L的夹角。
将上式整理，可以得到夹角θ的计算公式：θ = arccos(a∙n / |a||n|)二、向量与直线的距离计算向量与直线的距离可以通过向量的叉积和向量的模来计算。
设向量a和直线L之间的距离为d，向量a在直线L上的投影为p，向量n为直线L的单位法向量。
根据叉积的定义，有以下关系：a × n = |a||n|p其中，a × n表示向量a与向量n的叉积，|a|表示向量a的模，|n|表示向量n的模，p表示向量a在直线L上的投影。
将上式整理，可以得到距离d的计算公式：d = |a × n| / |n|以上是向量与直线的夹角和距离计算的基本原理和公式。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的向量和直线的表示方式，并利用相应的公式进行计算。
举例说明：假设有向量a(3, 4)和直线L：2x - y + 1 = 0。
首先，要计算向量a与直线L之间的夹角。
直线L的单位法向量n为(2, -1)，则有：θ = arccos((3*2 + 4*(-1)) / (√(3^2 + 4^2) * √(2^2 + 1^2)))通过计算，可以得到夹角θ的具体值。
接下来，要计算向量a与直线L之间的距离。
直线L的单位法向量n为(2, -1)，则有：d = |(3*2 + 4*(-1)) / √(2^2 + (-1)^2)|通过计算，可以得到距离d的具体值。
《用空间向量研究夹角问题》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.
课堂探究
两相交平面所成角
问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？
答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向
量为n1,n2的夹角或其补角.
课堂探究
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面
π
所成角的范围: θ [0, ]
2
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：你能根据定义做出线面角吗？
答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平
面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平
4
2
4
2
2
2
2
1 1 1 1 1
2 8 4 8 2
而 ABC和ACD 都是正三角形，所以 MA CN
（回到图形问题）
2
所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为 .
3
B
D
M
C
CN MA
3
，所以， cos
2
CN MA
1
2
3
3
2
2
2
，
3
课堂探究
n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小.
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n
求直线和平面的夹角？
答案：因为 θ u,n
1.4.2用空间向量研究夹角问题问题课件-高二上学期数学人教A版选择性【03】
| n1 || n2 |
④根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数).
小 结：
向量求法
图形语言
设两异面直线所成的角为θ， 线线角 它们的方向向量为 u 1 ，u 2 ，
则cos | u 1 u 2 |
| u1 || u 2 |
（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值
求直线与平面的夹角的方法与步骤
(1)几何法 找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求 得夹角(或夹角的某一三角函数值)． (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量 u ； ③求平面的法向量 n ；
2 其方向向量分别是 u 1，u 2 ，则
cos | cos u 1 ，u 2 | | u 1 u 2 |
l1
| u1 || u 2 |
l1
u1
θ
u2
l2
u 1 ，u 2
u1
u2
θ
l2
u 1 ，u 2
例1：在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形） ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，求直线AM与CN 夹角的余弦值
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下面我们用向量 方法研究直线与直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成角.
1.4.2 用空间向量研究夹角问题
1、用向量法求线线角
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向
量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为θ (0 ) ，
(1)求证：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． (2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，―H→F 的方向为 y 轴正方向，|4|为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系 Hxyz.
04-2.两直线的夹角PPT
例1 求过点(-3,2,5)且与两平面x — 4z = 3和
2 x - y - 5 z = 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为§ = (m, ),
板书
根据题意知s丄n, s丄n,
取
s=
n
x
n 2
=
(—4,
—3,
一1),
所求直线的方程二3=之一2=二5.
I三、例题
例2求过点M(2,1,3)且与直线芝=号1 = 土
(1) Li 丄 L2 un m1 m2 + n0 + p1 P2 = 0,
(2) Li // L2 <
mi n =p
> --
m2
n2
Pi
cos。=鱼|畐& |屈「两直线的夹角公式
二■两直线的位置关系
⑴ L 丄 L2 s—3 m2 + n1 n? + pp = 0,
(2)
L // L? s
-,
性_冬_
p L
〃 P m2
22
例如，直线L :爲=(1,一4,0), 直
பைடு நூலகம்
线厶：瓦=(0,0,1),
...甬-s = 0,...s1丄s ,
即L丄L・
2018/3/13
二、， ■
两直线的夹角
\.!
■
■—
/ 一％-
I 一■两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之・（锐角）
直线L:
x—x1 _ y — y1 _ z 一 知
m1 n1 P1
直线L:
x 一 x2_y - y 2 _ z 一 知m 2 n P2
A
I m m 2+n n+Pi P21
38用向量运算证明两线垂直或求夹角
N 分别是棱 SC, AB 的中点。求：直线 MN 与 BC 所成的角。
S S
M B C A N B
E F A O C D
【拓展】已知正四面体 OABC,M,N 分别是棱 OA,BC 的中点，求 MN 与 OB 所成的角. O M C N B
A
三、课堂小结 1.知识方面 2.数学思想方法
【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材选修 2-1 的 P99—P101，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做，对于选作部分 BC 层可以不做； 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 4.必须掌握的内容：向量法证明垂直，向量法求两条直线的夹角。 【学习目标】1.掌握求两异面直线所成的角，会用向量运算证明两直线垂直。 2.自主学习、合作交流，探究求两异面直线所成角的规律与方法。 3.激情投入，培养缜密的逻辑思维品质。 一、预习自学： 基础知识梳理 1.空间中，两条直线所成角 的范围是 若记这两条直线的方向向量所成的角为 ， 则 与 的关系是 问题导引 问题 1： 如何用向量法证明两条 直线垂直？
bc选做如图四棱锥sabcd的高so3底面是边长为2?60abc的菱形o为底面的中心ef分别为sa和sc的中点求异面直线bf与de所成的角
2012-2013 高二数学选修 2-1（大学课程）导学案
编制人：张凤芹 杨本才 李智国 方元元
审核人：
领导签字：
编号：38
班级：
小组：运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
二、合作探究： 例 1、已知正方体 ABCD A B C D 中，点 M 、 N 分别是棱 BB ' 与对角线 CA 的中点。 求证： MN BB ; MN A C .
人教b版选修2-1用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角.docx
用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角时间：2010-12-16教学重点：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角教学难点：直线的方向向量课前预习案一、预习指导1、两条直线1l 与2l 所成的角θ的范围 ，两条直线1l 、2l 的方向向量1,2v v u u r u u r 所成的角12,v v u r u u r 的范围 ，θ与12,v v u r u u r 的关系是 。
2、12l l ⊥⇔ ，cos θ=二、预习自测1、若异面直线1l 、2l 的方向向量分别是()0,2,1a =--r ，()2,0,4b =r ，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（ ）A 、25-B 、25C 、D 、5 2、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,EF 分别1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（ ）A 、5B 、5C 、45D 、23课堂教学案一、典例分析例1.已知正方体ABCD-A B C D '''' 中，点M 、N 分别是棱BB '与对角线CA '的中点。
求证：MN BB '⊥；MN A C '⊥。
变式训练：.已知正方体ABCD-A B C D '''' 中，点,E F 分别是棱BB '与面对角线''B D 的中点。
求证：直线EF ⊥直线'A D例2.已知三棱锥O-ABC ，OA ＝4,OB ＝5,OC ＝3,∠AOB ＝ ∠BOC ＝60o, ∠COA ＝90o,M 、N 分别是棱OA 、BC 的中点。
求直线MN 与AC 所成的角。
变式训练：已知四棱锥S ABCD -的高3SO =，底面是边长为2，60ABC ∠=o的棱形，O 为底面的中心，,E F 分别为SA 和SC 的中点，求异面直线BF 与DE 所成的角当堂检测：已知正方体ABCD-A B C D '''' 中，点M 、N 分别在面对角线'AD 和面对角线BD 上，并且'AM BN AD BD =求证：直线MN ⊥直线AD 课后拓展案1．在正三棱柱111A B C -ABC 中，若1AB=2BB ，则1AB 与1C B 所成的角的大小为（ ） A ．60o B ．90o C ．105o D ．75o2．111A B C -ABC 是直三棱柱， BCA=90∠o ，点11D ,F 分别是1111A B ,A C 的中点，若1BC=CA=CC ，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030B ．21C ．1530D ．1015 3.已知正方体1111ABCD-A B C D 中，E 是11A B 的中点，F 是11B D 的中点，则BE 与DF 所成角的余弦值为__________.4. .已知F 是正方体1111ABCD-A B C D 的棱11C D 的中点，则异面直线11A C 与DF 所成的角的余弦值为__________.5.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．6.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .。
直线与直线的夹角
A
B'
'
z
D
C'
'
N'
M'
Dy N
O(A) B x
C
M
• 方法三（几何法) • 如图在长方体ABCD-A'B'C'D'的基础上补长 方体CDNM-C'D'N'M'使其与长方体ABCDA'B'C'D'全等，连结C'M,AM因A'D//C'M • 所以AC'与C'M的夹角即为所求，在三角形 2 2 2 AC'M中因 AC' MC ' AM
z A ’ A’
D’
B’
C’ O(A) Dy
B x
C
• 解法一（坐标法） • 因为Aபைடு நூலகம்0，0，0) , C'(2，1，3),A'(0，0， 3),D(0，1，0),所以
AC' (2,1,3), A' D (0,1,3)因此 cos cos AC', A' D 8 4 35 35 140 AC' A' D AC' A' D
cos AC' M
2 AC'MC ' 4 35 4 35 所以cos 35 35
本题从三个不同的角度进行了求解，体会它们的区别 与联系，几何法要添加辅助线，而向量法中建立坐标系是很常 用的，主要是集中在运算上．
误区警示 因忽略了异面直线所成角与向量夹角的关系而出错 【示例】 在长方体 ABCD A1 B1C1D1 中， AB＝a， BC＝b， AA1＝c， 求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值．
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典例精讲
2 cos 2 2 2 2 2 (1) 3 1 2
3 2 1 (1)
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
当堂检测
1、求下列直线的夹角。
(1)l1 : 3x y 1 0, l2 : x 3 y 4 0 (2)l1 : x y 1 0, l2 : x 2
向量的夹角 之间有什么关系？ d1 y d1 y d2 d2
l2
l1
1)
o
x
l2
l1
2)
o
x
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 两直线 l1、 d2的夹角为 l2的夹角为 ;方向向量d1、
如图1)所示时: 如图2)所示时:
l
e 与向量 a垂直时，我们把 a
a
A
e
B
新知探究
三、两直线的夹角
1.定义：两条相交直线所成的
锐角或直角为两条相交直线 的夹角。
y
o
x
如果两条直线平行或重合,我们
2.范围： 平面上两条直线夹角的范围: 0, 2
规定它们的夹角为0
新知探究
四、两直线的夹角与方向向量夹角的关系 思考：两条直线所成的角 与两直线的方向
§7.1
用向量法求两条直线的夹角
讲课人：张艳琴
1、两个向量数量积的定义：a b
2、两个向量平行： a / / b
3、两个向量垂直：a b
复习回顾
4、向量的模长公式： a _______
5、两个向量数量积的夹角公式：
cos ___________
复习回顾
整理得：2m2－3m－2＝0， 1 解得：m＝2或m＝－ . 2
典例精讲
例3.点到直线距离公式的推导。
已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程
Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则 Ax0 By0 C d A2 B 2
证明：当 B 0时 ， 在 直 线 l上 任 取 一 点 ， 不 妨 C 取P1 (0, ), 直 线l的 法 向 量 n ( A, B ),则P到l的 B
∴a＝± 1.
当堂检测
4．已知直线 l1：3x＋y－2＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 的夹角 为 45° ，求实数 m 的值．
解 设直线 l1，l2 的法向量为 n1，n2， 则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
由题意： |3m－1| |n1· n2| 2 cos 45° ＝|n |· ＝ 2＝ 2 . |n | 1 2 10· 1＋m
距离等于向量 P1 P在向量 n方向上射影长 d,
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A,y0 ) B n A2 B 2
n
A2 B 2 当B 0时，可直接由图形证得 （略）
Ax0 By0 C
2
4
典例精讲
例 2.直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为________．
±1
解析
n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
∵l1⊥l2，
∴n1· n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0，
4、直线的点斜式方程：
5、直线的斜截式方程：
6、直线的一般式方程： 7、直线的斜率k的计算方法：
问题导入
为了用向量来研究平面几何问题，首先我们要 用向量来表示直线的“方向”。那么如何用向 量来刻画直线的“方向”呢？
新知探究
一、直线的方向向量 1.定义：直线l上的向量 e 以及与 e共线的向量叫做直线l的
方向向量。 2．求法： (1，k) (1)直线y＝kx＋b的方向向量为______;
e
l
(B,－A) (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 .
e
A
B
新知探究
二、直线的法向量
1.定义：直线l的方向向量 叫做直线l的法向量。 2．求法： (k，－1) (1)直线y＝kx＋b的法向量为______; (2)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为 (A，B) .
d1 d2 cos cos = 所以两直线的夹角公式: d1 d2
0， 2 d1 d 2 cos d1 d2
cos cos
1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x y 2 0, l2 : 2x y 3 0 求两直线的夹角 ． 解:根据 l1与 l的方程及两直线夹角公式可得 : 2