应用柯西不等式及其变式证明不等式

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柯西不等式及其变式的应用

n 2 （Σa） i ai2 i = 1 则Σ ≥ n bi i = 1 Σ bi n i = 1
（3 ）
i = 1j = 1
（4 ）
当且仅当 aibj＝ajbi 即
n
证法二：要证（Σaib） i ≤Σ a
i = 1 n
Σb ，
2 i
将定理 1 加以推广，有 + 定理 2：设 ai， bi∈R（ i=1， 2， …， n ）， m， k∈N+， n>k 则（1 ）
i = 1 2
（Σ
i = 1
ai
n
bi
n 2 i
1 [ （1+1 ） ]2=1， 2 （1 ）式得证，故结论成论。 2 柯西不等式的应用 2.1 用柯西不等式求参数的取值范围
姨
i = 1
Σa
姨
） ≤[ Σ
2 i i = 1
i = 1
Σb
1 （ 2
ai2
n
+
2 i
bi2
n
） ]=
2 2 i
1，2，…，m 则
1
3 故参数的取值范围是（姨， +∞ ）。 2 2.2 用柯西不等式证明等式 sin4α cos4α 1 例 2：已知 a， b∈R+，且 + = ， a b a+b 8 8 sin α cos α 1 证明 3 + 3 = 3 。 a ）式。例 1：设 a， b， c∈R+，求证： a5+b5+c5≥a3bc+b3ca+c3ab （7 ）由定理 1 有： 2 a4 b4 c4 （a2+b2+c2 ） + + ≥ ≥a2+b2+c2 bc ca ab bc+ca+ab 此即（7 ）式。 b2 c2 a2 例 2：设 a， b， c∈R+，求证： + + ≥ 姨 3 （a2+b2+c2 ） a b c 3 2 2 3 2 3 证明：由均值不等式得 a +c a≥2a c， b +a b≥2ab， c +b2c≥2bc2，故 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a +b +c +a b+b c+c a≥2 （ab +bc +ca））（下转 162 页即（a2+b2+c2 ）（a+b+c ） ≥3 （ab2+bc2+ca2 ）。

思维拓展柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版

思维拓展柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

例谈柯西不等式的变式在竞赛中的应用

(«2+c2)2-4c2%q ' X°+ xb~xc
[(/ + c2)2 - 4c2Xq + b4”。
o
2(a2 + c2)(%q - a2)
沪储-/)% (/ a2 +, c2V)(%20 - a2)?-从血
_yB-yc_ _
+ c) -
XB ~XC
- c)
如X
i c(2x°m)]_ _____S__o__沪______ pb
切+陀二一―
+ 2+ 2
"
a +c + 2cx0
a +c - 2cx0
8a2c2x0 - 2(a2 + c2)x0
2b4x0
\/ a2 +- c2x)2 -4ac2x20
/(a2 +- c2)\2 - 4ac2%20 '
2b4.
M
加0 _ (XB + XC)=加0 + / 2 丄 2\2 a 2 2
例3 (2008年罗马尼亚数学奥赛试题)
设a,b,c>O,abc = &求证：竺三+生冷+ a+1 o+l
唁W0. c+ 1
解析:注意到
o 3 - 3(召 +占 a + JL o + l
+£)W0o斗+占+三严I.作齐次
c+1
a+1 o + l c + 1
分式代换a =互,b =红,c =互,则-4t +
62%2 + a2y2-a262 = 0
几气/ +b2c2 -4c2a = 0 .由 xA.xc =

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

不等式选讲专题(二)柯西不等式

2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。

【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。

4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。

b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。

柯西不等式变式推导

柯西不等式变式推导柯西不等式变式推导一、柯西不等式的形式表述在数学中，柯西不等式是一种重要的数学不等式，也被称为柯西-施瓦茨不等式。

它描述了两个向量的内积与向量的模长之间的关系。

以内积的形式表述为：|A·B| ≤ |A| · |B|其中，A和B为任意两个向量，|A|表示向量A的模长。

二、柯西不等式的推导柯西不等式的推导是一种基于分离变量和差的平方技巧的方法。

我们假设有两个向量A和B，它们的分量分别为A=(a1,a2,a3,...,an)和B=(b1,b2,b3,...,bn)。

我们定义函数f(t)=(A-tB)·(A-tB)，其中t是一个实数。

我们通过对函数f(t)进行求导，来找到柯西不等式的推导。

首先，我们对函数f(t)进行求导，得到f'(t)=2(A-tB)·(-B)，其中"·"表示内积运算。

然后，我们令f'(t)=0，得到方程2(A-tB)·(-B)=0。

我们展开上述方程，得到2(A·B-tB·B)=0。

然后，我们进一步将其化简为A·B-tB·B=0。

接下来，我们再对函数f(t)进行二次求导，得到f''(t)=2(-B)·(-B)，即f''(t)=2B·B。

由于二次求导结果为常数，所以函数f(t)是一个凸函数。

三、柯西不等式的变式推导在柯西不等式的基础上，我们可以进行一些变式的推导。

例如，我们可以通过引入向量的正负号来得到一个等价的形式。

假设有两个向量A和B，它们的分量分别为A=(a1,a2,a3,...,an)和B=(-b1,-b2,-b3,...,-bn)。

我们定义函数g(t)=(A+tB)·(A+tB)，其中t是一个实数。

类似地，我们对函数g(t)进行求导，得到g'(t)=2(A+tB)·B。

柯西不等式的两个推论及其运用

２
１，则（厄＋６）（志＋志）销．（１）１，则庀＋６）（焘＋志）
ｏ，且ｚ＋ｙ
注：在命题１中取咒＝２，由（４）即得（３），可
见命题是不等式（３）的推广．证明：先证（４）右边不等武，对ｍ用数学归
纳法证明．（ｉ）当ｍ＝２时，由柯西不等式有占
文［１］给出了（１）左边的下界：设ｚ，ｙ＞０，
．厄＋厄．≠＋厄．｛＋．．．＋厄．告
中学数学研究
２００６年第８期
柯西不等式的两个推论及其运用
浙江安吉高级中学（３１３３００）徐国平
文［１］例４给出了不等式：
“考≥＋叠毛＋ｉ≥≥口＋６
用逆用等比数列各项和的证明方法，其思路新颖，但证题过程繁琐，不利于学生理解与掌握．本文从柯西不等式着手推导出两个结论，并对文［１］例４给出另一种独特简洁的证法，然后对推论作一简单的运用．在初等数学中常遇到如下不等式：
１口＋６＋ｃ
Ｚ
ｏ，ｚ＞ｏ且ｚ十ｙ＋ｚ＝口＋６＋ｃ，即再彘＋
＋
口＋６一Ｃ
当且仅当掣＝
￣／口ｌ
訾，即
Ｖ口“
＋
ｃ２Ｚ
≥
口＋６＋ｃ１、，● ｊ
ｚ１＝ｚ２＝…＝磊时取等号．推论２：巳知口ｆ（ｉ＝１，２，…，，ｚ）是正数，ｚｚ
・（ｎ＋６＋ｃ）２＝口＋６＋ｃ，当且仅当
∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，７ｚ）且五ｎｆ＝１，求证：
［１］王胜林，卫赛民．证明不等武的几种特殊方法．数学
ｃ＝ｌ，故由推论１可得口２＋６２＋ｃ２＝３・（告口２
（半）ｚ＝丢（２）
＋号６２＋号ｃ２）≥３・（号口＋号６＋号ｆ）２＝３・
将（１）式和（２）式联立可得口３＋６３＋ｃ３≥（口２＋６２＋ｆ２）２＝（口２＋６２＋
ｃ２）．（口２＋６２＋ｃ２）≥生掣．（当且仅当口

(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用作者：余胜利来源：《中学理科园地》2011年第02期柯西不等式是高中教材4-5《不等式选讲》中的一个重要不等式。

它是证明不等式，求解极（最）值问题的一个重要工具。

由于此不等式在以前教材（大纲教材）未曾出现，仅在高中数学竞赛中要求。

因此，对此不等式的理解及其应用，大多数教师都感到较陌生，教学要点把握不准。

本文主要从柯西不等式的证明、变式与应用这三个方面做些探讨，供教师们教学参考。

祈请同行斧正。

一、柯西不等式的证明柯西不等式：ai bi2≤ai2bi2 (ai，bi∈R，i=1，2…n)，等号成立当且仅当ai=0（i=1，2…n)或bi=kai（i=1，2…n，其中k为常数）时成立.教材中柯西不等式的证明采用构造二次函数证明,以下再给出几种证明，以便对此不等式实质有更深刻的认识。

证法一：配方法ai2bi2 =ai2bi2+（ai2bj2+aj2bi2）=ai2bi2+2（aiajbibj）+（ai2bj2+aj2bi2-2aiajbibj）=aibi2+（aibj-ajbi）2≥aibi2其中等号当且仅当==…=时成立（当bi=0时，认为ai=0,1≤i≤n）.证法二：数学归纳法（1）当n=1时，左式=（a1b1）2 ，右式=（a1b1）2，显然，左式=右式。

当n=2时，右式=（a12+a22）（b12+b22）=（a1b1）2 +（a2b2）2 +a22b12+a12b22≥（a1b1）2 +（a2b2）2 +2a1a2b1b22=（a1b1+a2b2）2=左式当且仅当即a2b1=a1b2即=时等号成立。

故n=1,2时，不等式成立。

（2）假设n=k（k∈N,k≥2）时，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（a12+a22+…+akk）（b12+b22+…+bkk）且bi=kai，k为常数， i=1，2…n或a1=a2=…=ak=0时等号成立.设A=a12+a22+…+ak2，B=b12+b22+…+bk2，C=a1b1+a2b2+…+akbk则（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1≥AB+2ak+1bk+1+a2k+1b2k+1≥C2+a2k+1b2k+1+2Cak+1+bk+1=(C+ak+1bk+1)2=（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,即（a12+a22+…+ak2+a2k+1）（b12+b22+…+bk2+b2k+1）≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,并且bi=kai ,k为常数， i=1，2，…n或a1=a2=…ak=0时等号成立。

论柯西不等式在高中数学中的应用

数学大世界 64
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学练研究
提高课后作业的有效性，给学生“正能量”
江苏省苏州工业园区星海小学丁琳
课后练习是数学学习中不可或缺的环节，有效的课后练习能够帮助学生巩固所学知识，完善数学思维，提升学生的实践能力与应用能力，促进学生数学素养的提升。因此在实际教学中我们要结合学生的认知特点，设计与教学内容密切相关的练习供学生课后完成。本文结合教学实际谈谈如何提升课后练习的有效性。
证明：a³+b³+c³ ≥
。
证明：利用柯西不等式有：
（a²+b²+c²）²=（a a +b b +c c ）² ≤ [（a ）²+
（b ）²+（c ）²]（a+b+c）因为 a+b+c=1，
所以：[（a ）²+（b ）²+（c ）²]（a+b+c）=（a³+b³+c³）（a+b+c）²
又因为 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca，在不等式两边同乘以 2，再加上 a²+b²+c²，
【关键词】柯西不等式；变式；应用
一、柯西不等式的主要变形公式
柯西不等式有多种变形，已经成为现在许多数学理论的出发点。
掌握几种常见的柯西不等式的变形，能够让我们对柯西不等式有更全
面的认识，在解决数学问题时，也可以快速使用合适的变形形式解题。
以下列举常见的几种柯西不等式的变形形式：
（1）：a1·b1+a2·b2+……+an·bn ≤ |a1·b1+a2·b2+……

柯西不等式

柯西不等式柯西不等式及其应用摘要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式；施瓦兹不等式applicationofcauchyinequality********abstract:thispaperintroducesandsummarizesthecauchyinequalityfromitsbasicform,c orollary,deformation,spreading,andintegralform.andthenrevealstheirapplicationi ninequality,scope,sequence,equationofparameter,equation,functionbyseriesexampl es.itillustratestheimportanceofthecauchyinequalityandapplicability.wecaneasily solvesomedifficultproblemswithcauchyinequality.keywords:cauchyinequality;minko wskiinequality;holderinequality;schwarzinequality柯西不等式就是数学中一个非常关键的不等式，它结构等距人与自然，具备较强的应用性，颇受人们的钟爱.在中考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出来现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.2柯西不等式各种形式详述2.1柯西不等式的基本形式[1]柯西不等式：未知ai,bi r i1,2,,n，则aibi ai bi,当且仅当i1i1i1n i1,2,,n时等号设立.b1b2bn2.2柯西不等式的推断柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论.2.2.1推论1[2]n n1设a1,a2,,an就是正实数，则ai i1i1aia1a2an.2.2.2推断2[2]n，等号成立当且仅当设a1,a2,,an就是实数，则n ai ai，等号设立当且仅当a1a2an.i1i12.2.3推断3[3]已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则ax ax iiii.i1i1 2.2.4推断4[3]xi n已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则xi.i1i1ai i12.3柯西不等式的变式[4]柯西不等式存有多种变式，下面只了解一些常用的变形形式.2.3.1变式一n ai nai i1n i1biai,bi同号且均不为零，当且仅当b1b2bn时等号成立，在柯西不等式中令ai 2.3.2变式二,bi aibi即得.bia i2naiana1a2i1在柯西a r,b r,时等号成立iin b1b2bni1bi b i不等式中令ai i,bi bi即为得.2.3.3变式三ab ii n2aibi i1n i1，在柯,bi r,当且仅当b1b2bn时等号设立西不等式中令ai ai,bi aibi即得.2.3.4变式四aibiai bi i1i1，在,bi r,当且仅当ai与bi成比例时等号设立柯西不等式中令ai ai,bi bi即得.2.3.5变式五ana1a222，a,b r,时等号设立ai bi aibi ii b1b2bni1i1i1n将柯西不等式两边开平方根即得.2.4柯西不等式的推广[4]由柯西不等式极易求出闵可夫斯基不等式.推展1：设x1,x2,,xn;y1,y2,,yn r，则存有：x1y12x2y22xn yn2x1x2xn y1y2yn其中等号当且仅当x1,x2,,xn与y1,y2,yn对应成比例时成立.柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（holder）不等式.推广2：设ai0,bi0i1,2,,n,p0,q0,1，则pqp q pqab aa iiii，当且仅当ai bi时等号设立.i1i1i1备注：当p q2时，该不等式即为上述变式五.推广3：设ai,bi为正数i1,2,,n，k为整数，且k2，则1nk1nk1nai bi aibi.ni1ni1ni1备注：当k2时，上式即为柯西不等式.推广4：设ai,bi r i1,2,,n,k z,则ai i1i1ain2k n ai当且仅当，i1a1a2an;b1b2bn时等号成立.注：当k2时，上式即变式二.2.5柯西不等式的积分形式[5]柯西（cauchy）不等式的分数形式称作施瓦兹（schwarz）不等式.定理：若f x、g x在a,b上可积，则f x g x dx fx dx ag2x dx.若f x、g x在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得f xg x.时设立，,不同时为零3柯西不等式的应用柯西不等式就是知名的不等式，它在数学上的应用领域十分广为.应用领域柯西不等式解题的关键就是将原问题变形并使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推断、变式及基本形式在解题中的精妙应用领域.3.1应用领域柯西不等式的推断3.1.1应用推论一基准1非零实数a1,a2,,an满足用户a1a2an1，澄清：1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1小值ZR19之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目）求解：a1a2an11a1a2a3ana121a2a3an1a2a3an2a11a1a2a3ana221a1a3an1a1a3an2a2an1a1a2a3an1an21a1a2a3an11a1a2a3an12an将上面n个等式相乘得： 1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an12a12a22an即y n（其中i1,2,,n）2i12aii12ai又2ai2n ai2n1而由推断一只须：2ain2n2即2n122ai，等号当且仅当a1a2an时成立，所以y有最小值2n1n n.2n13.1.2应用推论二基准2(1988年四川高中联赛试题)未知：x1,x2,,xn r,满足用户 x1x2xn a a0，且x1x2xna2n2,n n，澄清：n1i1,2,,n n证明：x1x2xn aa xn x1x2xn-1由推断二得，a xna222xn n1xn n1x n1ni1i1n1a xn a2n1xn由x1,x2,,xn的对称性，有0xi3.1.3应用领域推断三i1,2,,n.na2b2c2例3已知正数a,b,c满足a b c1，求证：a b c证明：由于正数a,b,c满足用户a b c1，故由推断三只须：a2b2c23a2b2c23a b c333a b c而a3b3c3a a2b b2c c2，故由推断三只须：a3b3c3a a b b c ca2b2c2b2c2⑵由⑴⑵得：a3b3c3故原不等式得证.3.1.4应用推论四a b2c23a b c,其中a,b,c为abc的三边。

柯西不等式的证明及妙用

柯西不等式的证明及妙用柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是线性代数中的一个重要定理，它被广泛应用于数学、物理和工程学科中的不等式证明。

该不等式以法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家施瓦兹（Hermann Amandus Schwarz）的名字命名，因为他们都独立地发现了这个不等式。

(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)，≤ sqrt(a1^2 + a2^2 + ... +an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中，a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn是任意实数或复数。

接下来，我将对柯西不等式的证明及其妙用进行一些解释。

1.柯西不等式的证明：假设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，我们可以将其表示为两个多项式的展开形式：a·b = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)a·a = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)b·b = (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)将a·b的平方表示为一个多项式：(a·b)^2 = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) - (a1b2 - a2b1)^2 - (a1b3 - a3b1)^2 - ... - (an-1bn - anbn-1)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中，不等号的成立是因为平方差的非负性。

再开方，就得到了柯西不等式：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)，≤ sqrt(a1^2 + a2^2 + ... +an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)2.柯西不等式的妙用：-向量长度的标准推导：利用柯西不等式，可以推导出向量的长度表达式：a·b，≤，a，*，b其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。

对《利用柯西不等式的两个推论及应用》一文的改进

对《利用柯西不等式的两个推论及应用》一文的改进陈唐明（江苏省如东高级中学，江苏，226400）文[1]从柯西不等式出发，推导出两个推论，并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题。

笔者仔细研读后，发现文[1]中对柯西不等式表达不够严谨；给出的两个推论过于特殊化（受条件11n i i a==∑的限制），制约了解题效益的提高。

笔者发现通过配凑直接使用柯西不等式或利用柯西不等式的变化将会使文[1]中所举两个例题的证明变得更加简洁明晰。

下面让我们先回顾一下柯西不等式:222111()()(),n n ni i i i i i i x y x y ===∑∑≥∑其中,,1,2,,i i x y R i n ∈=L ，⑴ 当且仅当120x x ===L 或i i y kx =（k 为常数，1,2,,i n =L ）时等号成立。

文[1]中忽略了120n x x x ====L ，是不严谨的，因为此处遗漏了当1,2,,n y y y L 不全为零且120n x x x ====L 的情形。

例1（文[1]中例2）已知正数,,a b c 满足1a b c ++=。

求证：222333.3a b c a b c ++++≥ [分析] 条件1a b c ++=正好适合文[1]中推论1的条件11n i i a==∑，故文[1]采用推论1证明，笔者下面给出通过配凑直接运用柯西不等式证明，更简洁明晰。

[证明]由条件，左边()()333a b c a b c =++++222222=++⋅++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦(*)≥，即左边()2222a b c ≥++。

下面只需证明()22222223a b c a b c ++++≥，即需证2223()1a b c ++≥ 而2222222223()(111)()a b c a b c ++=++++(**)2()1a b c ≥++=，知原不等式成立。

当且仅当==即a b c==时（*）处等号成立；当且仅当111a b c==即a b c==时（**）处等号成立；知a b c==时原不等式等号成立。

柯西不等式的变式的应用

柯西不等式的变式的应用
加拉夫-柯西不等式（Carleman-Keehl inquality）在微分方程及其它一些科学领域都有着广泛的应用。

加拉夫-柯西不等式最初是由瑞典数学家卡尔曼（Carleman）在1920年提出的，而另一位瑞典数学家柯西(Keehl)于1925年提出了更完善的版本。

它描述了一个椭圆的方向的矢量的几何特征以及其欧几里德距离的关系，具体的表达式如下：
椭圆方程为
$$a*x^2+2bxy+cy^2=d$$
则矢量位于椭圆内的点（x，y）满足加拉夫柯西不等式：
$$b^2-ac<(y-mx)^2+(x-my)2<b^2+ac$$
其中(mx, my)为椭圆的重心，a, b, c和d分别表示椭圆方程的参数.
加拉夫-柯西不等式能够用来解决一些几何上的问题，比如在空间几何中，只要我们知道了椭圆的重心，就可以利用该不等式确定椭圆上任意一点的位置。

同时，它还有许多的应用，最常见的就是用它来求解一个同时有多个方程的等式组，比如求解一个线性系统的最佳解。

加拉夫-柯西不等式可以用来预测一个线性系统中各方程和变量的趋势，从而极大减少解决问题所需的计算时间。

此外，加拉夫-柯西不等式还应用在经济学、统计学及信号处理等领域中。

它可以用来测量不确定性，并且可以用来估算随机特征值的最大值和最小值。

最后，加拉夫-柯西不等式还可以用于加工设计中，以判断组件的精度是否符合设计要求。

换句话说，我们可以根据加拉夫-柯西不等式计算组件的位置和尺寸，以确定是否满足设计要求。

总之，加拉夫-柯西不等式是一个强大的数学工具，也是一个广泛应用的不等式，具有多种用途。

柯西不等式及应用

柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。

四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题OP =a ，sin ∠POF 1=sin ∠POF 2=2c,tan ∠PF 1O=tan ∠POF 2=2a .因为∠POF 2=∠OPF 1+∠PF 1O ，所以有tan ∠POF 2=tan(∠OPF 1+∠PF 1O )，即2a=tan ∠OPF 1412∠OPF 1，化简得tan ∠OPF 1=2.从而有sin ∠OPF 1=2cos ∠OPF 1∠F 1PF 2=sin ()∠OPF 1+90°=cos ∠OPF 1=2在△OPF 1中使用正弦定理，有PF 1sin ∠POF 1=OF 1sin ∠OPF 1，得PF 1.对F 1,O ,F 2应用张角定理，有sin 1PF 2OP =∠OPF 1PF 2+sin ∠OPF 2PF 1，即+.消去c ，并解方程得a =2.所以，双曲线的方程为x 22-y 24=1.正确答案为D.张角定理为我们提供了一种求解含有图1所示模型的平面几何问题的思路.当然，在利用张角定理解决问题时，往往还需适当地将其与正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等结论相结合.参考文献［1］沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题［M ］.长沙:湖南师范大学出版社,2014.（山西省太原市第三实验中学校董立伟030031）柯西不等式是指：设正实数a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n ,则(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n ) (a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2,当且仅当a 1b 1=a 2b 2=⋯=a n b n 时等号成立.其中的一个变形：设a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n 为正实数，则有a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2n b n (a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n,是权方和不等式的一个特例.本文用柯西不等式及其变式权方和不等式，给出几道2023年竞赛不等式试题的证明.例1（2023江西预赛）若锐角A ,B ,C 满足sin 2A +sin 2B +sin 2C =2，则1sin 2A cos 4B+1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A的最小值是.解：由柯西不等式及权方和不等式，有1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A =12æèçöø÷1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A ·(sin 2A +sin 2B +sin 2C ) 12(1cos 2B +1cos 2C +)1cos 2A =12æèçöø÷12cos 2B +12cos 2C +12cos 2A 212⋅éëêêùûúú()1+1+12cos 2A +cos 2B +cos 2C 2=12⋅æèöø912=812.所以1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A 的最小值是812.例2（2023北京大学优秀大学生寒假学堂数学试题）设x ,y ∈æèöø0,π2，则1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y的最小值为（）.··48A.8B.10C.9D.其他三个答案都不对解：由权方和不等式，有1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y =1cos 2x +4sin 2x sin 22y1cos 2x +4sin 2x ()1+22cos 2x +sin 2x=9，故选B.例3（2023南京大学强基计划第4题）已知sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=1，则sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=.解：由权方和不等式，有1=sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=(sin 2α)2sin 2β+(cos 2α)2cos 2β (sin 2α+cos 2α)2sin 2β+cos 2β=1，由等号成立的条件知sin 2αsin 2β=cos 2αcos 2β=sin 2α+cos 2αsin 2β+cos 2β=1,所以sin 2α=sin 2β，所以sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=()sin 2α2sin 2α+()cos 2α2cos 2α=sin 2α+cos 2α=1.例4（2023广东东莞数学竞赛试题）已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =1，求++的最小值.解：当a =b =c =d =14+++=3，下证+ 3.证明：由柯西不等式，有a+，于是有++ 13æèça ++b++c ++d +13æèç1+ 13æèç1+=3.例5（2023福建数学竞赛预赛试题）若不等式对所有正实数a ,b 都成立，求λ的最大值.解：当a =b 时，有λ20a +23b，下证.证明：由权方和不等式，有120a +23b +123a +20b =13220a +23b +13223a +20b ()1+13220a +23b +23a +20b =43()a +b a +b故λ最大值为例6（2023中美洲和加勒比海数学奥林匹克）已知a ,b ,c 为正实数，满足ab +bc +ca =1，求证：a 3a 2+3b 2+3ab +2bc+b 3b 2+3c 2+3bc +2ca +c 3c 2+3a 2+3ca +2ab>16()a 2+b 2+c 2.证明：由平均值不等式，有a 2+b 2+c 213(a +b +c )2,a 2+b 2+c 2 ab +bc +ca ，所以(a 2+b 2+c 2)3 19(a +b +c )4(ab +bc +ca )=19(a +b +c )3(a +b +c ) 19(a +b +c )3⋅3()ab +bc +ca ,由权方和不等式的变式，有··49a 3a 2+3b 2+3ab +2bc +b 3b 2+3c 2+3bc +2ca+c 3c 2+3a 2+3ca +2ab =a 4a 3+3ab 2+3a 2b +2abc+b 4b 3+3bc 2+3b 2c +2abc +c 4c 3+3a 2c +3c 2a +2abc(a 2+b 2+c 2)2a 3+b 3+c 3+3(ab 2+a 2b +bc 2+b 2c +a 2c +c 2a )+6abc=(a 2+b 2+c 2)2(a +b +c )3=(a 2+b 2+c 2)3(a +b +c )3(a 2+b 2+c 2)>16(a 2+b 2+c 2).（安徽省南陵县城东实验学校邹守文241300）问题：（2023年高考数学全国甲卷理科第16题）在 ABC 中，∠BAC =60°,AB =2,BC =6，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD =.[1]解析1（面积法）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由S ABC =S ABD +S ACD 可得12×2×b×sin 60°=12×2×AD ×sin 30°+12×AD ×b ×sin 30°，解得AD =b 2=23(1+3)3+3=2，故答案为2．点评：面积法比较适合本题，它很好地将已知与所求紧密联系起来，只不过用面积法之前必须用余弦定理求出AC 的长度.解析2（正余弦定理）：由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由正弦定理可得=b sin B =2sin C ，解得sinB =sin C =，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2，故答案为2．点评：很多学生会像上面这样做，但若利用正弦定理BC sin ∠BAC =AB sin C，得C =45°,不用求b ，只需利用内角和定理求出所有的角，同样可以求出AD 的长度，这样做会更快.解析3（张角定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由张角定理得sin ∠BAD AC +sin ∠CAD AB =sin ∠BAC AD,即AD =2，故答案为2．点评：张角定理是数学竞赛常用的一个几何定理，若用在这里事半功倍.如图2所示，在ABC 中，点D 为边BC 上任意一点，设∠BAD=α,∠CAD =β,则sin αAC +sin βAB =sin(α+β)AD.解析4（角平分线定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由角平分线定理得AB AC=BD DC,即探究一道解三角形小题的多种解法AB DC 230°30°6图1CA B D αβ图2··50。