高中数学 模块综合评价(二) 新人教版必修1
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册
模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。
期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。
高中数学 模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题
模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册
模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。
【金版新学案】高一数学人教A版必修二练习：模块质量评估试题(含答案解析)
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1． (2015 景·德镇期末 ) 已知直线 x－ 3y－ 2＝ 0，则该直线的倾斜角为()A． 30°B． 60°C． 120 °D． 150 °分析：直线 x－ 3y－ 2＝ 0 的斜率 k＝33，故倾斜角为 30°，选 A.答案：A2． (2015 濮·阳综合高中月考 )过点 A(4， a)和 B(5，b) 的直线与 y＝ x＋m 平行，则 |AB|的值为()A． 6 B. 2C． 2D．不确立b－ a＝1，得 b－a＝ 1，分析：由 k AB＝5－ 4即 |AB|＝ 5－ 4 2＋ b－ a 2＝ 2.应选 B.答案：B3． (2015 ·芦岛期末葫)在空间直角坐标系中已知点P(0,0，3)和点 C(－ 1,2,0) ，则在 y 轴上到 P 和 C 的距离相等的点 M 坐标是 ()A． (0,1,0) B. 0，－1， 0 21C. 0，2， 0D． (0,2,0)分析：设 M(0，y,0)，则 |MP |＝ |MC|，因此 y232＝－12＋21＋2－y ，解得 y＝2，应选 C.答案：C4．若直线 (1＋ a)x＋ y＋1＝ 0 与圆 x2＋ y2－2x＝ 0 相切，则 a 的值为 ()A．1或－1B．2 或－2C． 1D．－ 1圆 x2＋ y2－2x＝ 0 的圆心 (1,0)，半径为1，依题意得|1＋ a＋ 0＋ 1|分析：＝ 1，即 |a＋ 2|1＋ a 2＋ 1＝a＋ 1 2＋ 1，平方整理得 a＝－ 1，应选 D.答案： D5． (2015 中·山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是 ()431A. 3πB.2π33C. 3πD. 6π分析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为 1 ，高为3，故所求体积为1×1× π× 12× 3＝3π，选 D.2 36答案：D6． (2015 ·川一中期末银)在空间给出下边四个命题(此中 m， n 为不一样的两条直线，α，β为不一样的两个平面)①m⊥ α，n∥ α? m⊥n ②m∥ n，n∥ α? m∥ α ③m∥ n， n⊥β，m∥ α? α⊥ β ④ m∩ n ＝A， m∥ α， m∥ β，n∥ α， n∥ β? α∥β此中正确的命题个数有()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，应选 C.答案：C7．直线 l 将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝0均分，且与直线 x＋2y＝ 0 垂直，则直线 l 的方程是 ()A． 2x－ y＝0B． 2x－ y－ 2＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0D． x－ 2y＋ 3＝ 0分析：依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率 k＝ 2，因此 l 的方程为 y－ 2＝ 2(x－1)，即2x－ y＝ 0，应选 A.答案：A8． (2015 ·连六校联考大 )若点 A(－3，－ 4)， B(6,3)到直线 l ： ax ＋y ＋ 1＝ 0 的距离相等，则实数 a 的值为 ()71A. 9B ．－ 3C.7或1D ．－ 7或－ 19 39 3分析：|－3a － 4＋ 1||6a ＋ 3＋ 1|71 由2 ＝ 22 ，解得 a ＝－ 9或－ 3，应选 D.2＋ ＋1a 1 a答案：D9．点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PD ⊥平面 ABCD ，PD ＝AD ，则 PA 与 BD 所成角 的度数为()A ． 30°C ． 60°B ． 45°D ． 90°分析：利用正方体求解，以下图：PA 与 BD60°，故 PA 与所成的角，即为PA 与BD 所成角为 60°，选PQ 所成的角，由于△C.APQ 为等边三角形， 因此∠APQ ＝答案：C10．在四周体 A －BCD中，棱AB ，AC ，AD两两相互垂直，则极点A 在底面BCD上的投影H 为△ BCD的 ()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．心里分析：由于 AB ⊥AC ， AB ⊥AD ， AC ∩ AD ＝A ，由于 AB ⊥平面 ACD ，因此 AB ⊥CD.由于 AH ⊥平面BCD ，因此 AH ⊥CD ， AB ∩ AH ＝A ，因此 CD ⊥平面 ABH ，因此 CD ⊥BH .同理可证 CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则 H 是△BCD 的垂心．应选 A.答案：A11．圆 x2＋ y2＋ 2x＋ 4y－ 3＝0 上到直线 x＋ y＋ 1＝0 的距离为2的点共有 ()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：圆 x2＋ y2＋ 2x＋4y－ 3＝ 0 的圆心坐标是 (－ 1，－ 2)，半径是22，圆心到直线x＋ y＋ 1＝ 0的距离为 2，∴过圆心平行于直线x＋ y＋ 1＝ 0 的直线与圆有两个交点，另一条与直线 x＋ y＋ 1＝ 0 的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有 3 个交点，应选 C.答案：C12． (2014 德·州高一期末 )将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD＝ a，则三棱锥 D －ABC 的体积为 ()23a3A. 12aB.122 3a3C. 4 aD. 6分析：取 AC 的中点 O，如图，则 BO＝DO＝22 a，又 BD ＝a，因此 BO ⊥DO ，又 DO ⊥AC，因此 DO ⊥平面 ACB，V D －＝1 △ABC3S ABC·DO＝1×1× a2×2a＝2a3.应选 A. 32212答案：A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．请把正确答案填在题中横线上 ) 13．以下列图所示， Rt△ A′B′ C′为水平搁置的△ ABC 的直观图，此中 A′C′⊥ B′ C′，B′ O′＝ O′ C′＝ 1，则△ ABC 的面积为 ________．分析：由直观图画法例则将△A′ B′ C′复原为△ABC，以下图，则有 BO＝ OC＝ 1， AO＝ 2△11× 2× 2 2＝2 2.2.故 S ABC＝BC·AO＝22答案：2214．已知 A(0,8)，B(－ 4,0)， C(m，－ 4) 三点共线，则实数m 的值是 ________．8－ 00＋ 4分析：k AB＝＝ 2，k BC＝0＋ 4－ 4－ m∵k AB＝ k BC，∴m＝－ 6.答案：－ 615．直线 y＝ 2x＋ 3 被圆 x2＋ y2－ 6x－ 8y＝ 0 所截得的弦长等于________．分析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为 (x－ 3)2＋ (y－4) 2＝ 25，故圆心为 (3,4)，半径 r ＝5.又直线方程为2x－ y＋ 3＝0，|2× 3－ 4＋ 3|5，因此圆心到直线的距离为d＝4＋1＝因此弦长为 2r 2－ d2＝ 2× 25－ 5＝ 220＝ 4 5.答案：4516．已知正四棱锥 O－ ABCD 的体积为32，底面边长为3，则以 O 为球心， OA 为半2径的球的表面积为________．分析：此题先求出正四棱锥的高h，而后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O－ABCD＝1× 3×3h＝32，得 h＝32，32222AC 2186∴OA ＝ h ＋ 2 ＝4＋4＝ 6.∴S 球＝ 4πOA2＝ 24π.答案：24π三、解答题 (本大题共 6 小题，共 74 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分12 分 )(2015 河·源市高二 (上 )期中 )轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．分析：以下图，作出轴截面，由于△ABC 是正三角形，1因此 CD ＝2AC＝ 2，因此 AC＝ 4， AD＝23× 4＝ 23，由于 Rt△AOE∽Rt△ACD，OE CD因此AO＝AC.设 OE＝R，则 AO＝ 2 3－ R，R1R＝23因此＝2，因此 3 .2 3－R因此 V球4342 3 3323π＝πR ＝π·3＝27. 33323π因此球的体积等于.2718． (本小题满分12 分 )(2015 福·建八县一中联考)已知直线 l ： kx－ y＋ 1－ 2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线 l过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点A，交 y 轴正半轴于点 B， O 为坐标原点，且 |OA |＝ |OB|，求 k 的值．分析： (1)证明：法一：直线 l 的方程可化为y－ 1＝k( x－2)，故不论 k 取何值，直线l 总过定点 (2,1) ．法二：设直线过定点0，y0)，(x则kx0－y0＋1－2k＝0 对随意k∈R恒建立，即 (x0－ 2)k－ y0＋ 1＝ 0 恒建立，x0－ 2＝ 0，因此－y0＋ 1＝ 0解得 x0＝2， y0＝ 1，故直线 l 总过定点 (2,1)．(2)由于直线l 的方程为y＝ kx－ 2k＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为1－ 2k，在 x 轴上的截距为2－k，依题意 1－ 2k＝ 2－1＞ 0，解得 k＝－ 1 或 k＝1k2( 经查验，不合题意 )因此所求 k＝－ 1.19． (本小题满分 12分 )(2015 西·安一中期末 )已知正方体ABCD － A1B1C1D1， O 是底面ABCD 对角线的交点．求证： (1)C1O∥平面 AB1D 1；(2)A1C⊥平面 AB1D 1.证明：(1)连结 A1C1，设 A1C1∩ B1D1＝O1，连结 AO1，由于 ABCD －A1B1C1D1是正方体，因此 A1ACC1是平行四边形，D1 B1∩ AB1＝ B1，因此 A1C1∥AC，且 A1C1＝AC ，又 O1， O 分别是 A1C1， AC 的中点，因此 O1C1∥AO 且 O1C1＝ AO，因此 AOC1O1是平行四边形，因此 C1O∥AO1， AO1? 平面 AB1D 1，C1O?平面 AB1D 1，因此 C1O∥平面AB1D1，(2)由于 CC1⊥平面 A1B1C1D1，因此 CC 1⊥B1D 1，又由于 A1C1⊥B1D 1，因此 B1D 1⊥平面 A1C1C，即 A1C⊥B1D1，同理可证 A1C⊥AB1，又 D1B1∩ AB1＝B1，因此 A1C⊥平面 AB1D 1.20． (本小题满分12 分 )求圆心在直线y＝－ 2x 上，而且经过点A(0,1) ，与直线x＋ y＝1相切的圆的标准方程．分析：由于圆心在直线y＝－ 2x 上，设圆心坐标为( a，－ 2a)，则圆的方程为(x－ a)2＋(y＋ 2a)2＝ r2，圆经过点 A(0,1)且和直线x＋y＝ 1 相切，2＋ 2a＋122a＝r ，因此有|a－ 2a－ 1|＝ r ，212解得 a＝－3，r＝3，12222因此圆的方程为x＋3＋ y－3＝9.21．(本小题满分13 分 )以下图，在四棱锥V－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面 ABCD .(1)求证： AB⊥平面 VAD；(2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的大小．分析：(1) 证明：∵底面 ABCD 是正方形，∴AB⊥ AD .∵平面 VAD⊥底面 ABCD ，平面 VAD∩底面 ABCD ＝ AD， AB⊥ AD， AB? 底面 ABCD ，∴AB⊥平面 VAD.(2)取 VD 的中点 E ，连结 AE ， BE.∵△ VAD 是正三角形，∴ AE ⊥ VD ， AE ＝ 3AD.2∵ AB ⊥平面 VAD ，VD ? 平面 VAD ，∴ AB ⊥ VD .又 AB ∩ AE ＝ A ，∴ VD ⊥平面 ABE.∵ BE? 底面 ABE ，∴ VD ⊥ BE.∴∠ ABE 就是平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的平面角．在 Rt △BAE 中， tan ∠ BEA ＝BA＝ AD＝2 3.AE332 AD∴平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值为233.22.(本小题满分 132 2上的动点，点 D 是 P分)如图，设 P 是圆 x ＋ y ＝ 25 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且 |MD |＝ 4|PD |.5(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点 (3,0) 且斜率为 4的直线被 C 所截线段的长度．5分析： (1)设 M 的坐标为 (x ， y)， P 的坐标为 (x p ， y p )p ＝ xx由已知得， y p ＝5y4252∵P 在圆上，∴ x ＋ 4y＝ 25，即 C 的方程为 x 2 ＋ y 2＝ 1.25 164 4(2)过点 (3,0)且斜率为 5的直线方程为 y ＝ 5(x － 3)，设直线与 C 的交点为 A(x 1， y 1) ， B(x 2 ，y 2)4将直线方程 y ＝ 5(x －3) 代入 C 的方程，得 x 2＋ x － 3 2＝ 1 整理得 x 2－ 3x － 8＝ 025253－ 413＋ 41∴x 1＝，x 2＝22∴线段 AB 的长度为|AB|＝x1－ x22＋ y1－ y22162＝1＋25x1－ x24141＝25× 41＝5 .。
高中数学第一章综合练习2 新课标 人教版 必修1(A)
高中数学第一章综合练习2 新课标 人教版 必修1(A)选择题（每题4分，共40分）1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 103、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ）A. 6B. 7C. 8D. 94、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}5、方程组 11x y x y +=-=- 的解集是 ( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}6、以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，Q ∉3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ⊂ ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ）A 4B 3C 2D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy ≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 （ ）A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M}{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 410、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈C a b R +∈D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分）11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊂A ，则a=__________13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。
2021_2022学年新教材高中数学模块测试卷二含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：模块测试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。
高中数学模块综合评价(一)新人教版必修1
高中数学模块综合评价(一)新人教版必修1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知集合M＝{x|0<x<3}，N＝{x|1<x<4}，则M∩N＝( )B．{x|0<x<4}A．{x|1<x<3}D．{x|0<x<1}C．{x|3<x<4}解析：M∩N＝{x|0<x<3}∩{x|1<x<4}＝{x|1<x<3}．答案：A 2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}．若A⊆B，则a的范围是( )A．a≥1B．a≤1D．a≤2C．a≥2解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A⊆B的a≥2.答案：C 3．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )A.B．±C．±9D．9解析：依题意有2＝4a，得a＝，所以f(x)＝x，当f(m)＝m＝3时，m＝9.答案：D4．设a＝log3，b＝，c＝2，则( )B．c<b<aA．a<b<cD．b<a<cC．c<a<b解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.答案：A 5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，所以0，1∈A且－1∉A.又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个．答案：B 6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( )B．[－1，1]A．∅D．[1，＋∞)C．[－1，＋∞)解析：A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D 7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)。
新人教A版必修12021学年高中数学模块综合评估测评含解析
模块综合评估 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|log 2x>1}，则M ∩N 等于( D ) A ．∅ B ．{x|0<x<3} C ．{x|1<x<3} D ．{x|2<x<3}解析：N ＝{x|x>2}，∴用数轴表示集合可得M ∩N ＝{x|2<x<3}，选D .2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f[f(2)]等于( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：∵f(2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f[f(2)]＝f(1)＝2e 1－1＝2.3．与函数y ＝10lg (x －1)相等的函数是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：y ＝10lg (x －1)＝x －1(x>1)，故选C . 4．函数y ＝ln (2x －1)2－x的定义域为( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，2)解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x>0，解得12<x<2，即函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，故选B .5．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是(A)A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求．因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，得m≤2，故选A.6．已知函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则以下结论正确的是(D)A．函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增B．函数|f(x)|为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增C．函数f(|x|)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，不妨令f(x)＝x，则|f(x)|＝|x|，f(|x|)＝|x|；∴函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，∴选项A，B错误；函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴选项C错误、D正确．故选D.7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则f(－1)＝(A)A．－3 B．－1C．1 D．3解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴20＋b＝0，b＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.8．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( B )解析：由f (x )＝lg(|x |－1)，知x >1或x <－1.排除C ，D. 当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在区间(1，＋∞)上为增函数．故选B. 9．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( C )A ．1.55B ．1.65C ．1.75D ．1.85解析：经计算知函数零点的近似值可取为1.75.10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( C )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，即e －50k＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232.∴827a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233·a ＝(e －50k )32·a ＝e －75k ·a ， ∴t ＝75.11．设函数F (x )＝f (x )－1f (x )，其中x －log 2f (x )＝0，则函数F (x )是( A )A ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数B ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是减函数C ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是增函数D ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是减函数 解析：由x －log 2f (x )＝0，得f (x )＝2x ， ∴F (x )＝2x－12x ＝2x －2－x .∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )为奇函数，易知F (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数．12．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( D )A ．a <0B ．a ≤0C ．a ≤1D ．a ≤0或a ＝1解析：由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x 也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可得两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝－3.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.14．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是0或13.解析：由题意得m ＝0或Δ＝4－12m ＝0， 即m ＝0或m ＝13.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围为(0,1)．解析：如图，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，作出直线y ＝m .由图可知，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时，需m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．16．下列说法中：①y ＝a x ＋1(x ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象平移得到(a >0，且a ≠1)；②y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)的解集是{－1,3}； ④函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )为奇函数． 正确的是①④.解析：将函数y ＝a x 的图象向左平移1个单位即得函数y ＝a x ＋1的图象，故①正确；y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故②错；当x ＝－1时，log 5(x 2－2)无意义，故③错；由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是奇函数，故④正确．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设U ＝R ，A ＝{x |2x －3≤1}，B ＝{x |2<x <5}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}(a 为实数)．(1)求A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求a 的取值范围． 解：(1)∵2x －3≤1，∴x ≤3. ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． (2)由B ∪C ＝B ，得C ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a ＋1<5，即2<a <4. 18．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间． 解：(1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2， x <0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x >0.(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2＋2x ＋a (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解：(1)f (x )＝2(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)， ∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数； 在[－1,2]上，f (x )为增函数．即f (x )的减区间是[－2，－1]，f (x )的增区间是[－1,2]． (2)设U (x )＝(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ，最小值为U (－1)＝a －1.故f (x )的最大值为f (2)＝28＋a ，最小值为f (－1)＝2a －1. ∵28＋a ＝64， ∴a ＝－2.∴f (x )的最小值为f (－1)＝2－2－1＝18.20．(12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称．(1)求m ，n 的值；(2)若函数h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x在(0,1)内存在零点，求实数b的取值范围．解：(1)函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝1， 即[(m ＋n )2－1]x 2＋1－n 2x 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2＝0，(m ＋n )2－1＝0，m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝2.(2)由h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －12x ＋1－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －1b －(2x )2－2x ，由题设知h (x )＝0在(0,1)内有解，即方程2x－1＝b －(2x )2－2x 在(0,1)内有解．b ＝(2x )2＋2x ＋1－1＝(2x ＋1)2－2在(0,1)内递增，得2<b <7.所以当2<b <7时，函数h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x在(0,1)内存在零点．21．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，对于任意的m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，当x >1时，f (x )<0.(1)求证：1是函数f (x )的零点； (2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的减函数； (3)当f (2)＝－12时，解不等式f (ax ＋4)>－1.解：(1)证明：对于任意的正实数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，所以令m ＝n ＝1，则f (1)＝2f (1)．∴f (1)＝0，即1是函数f (x )的零点． (2)证明：设0<x 1<x 2， ∵f (mn )＝f (m )＋f (n )， ∴f (mn )－f (m )＝f (n )． ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因0<x 1<x 2，则x 2x 1>1.而当x >1时，f (x )<0，从而f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝－1，所以不等式f (ax ＋4)>－1可以转化为f (ax ＋4)>f (4)． 因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax ＋4<4. 当a ＝0时，解集为∅；当a >0时，－4<ax <0，即－4a <x <0， 解集为{x |－4a <x <0}；当a <0时，－4<ax <0，即0<x <－4a ， 解集为{x |0<x <－4a }．22.(12分)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g (x )m ＋2g (x )是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )>0成立，求x 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则a 3＝8， ∴a ＝2.∴g (x )＝2x .∵f (x )＝1－2x2x ＋1＋m.又f (－1)＝－f (1)，∴1－12m ＋1＝－1－24＋m ⇒m ＝2；经检验，满足题意． ∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1.f (x )在定义域R 上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R，设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1－12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2，∴2x1－2x2<0，又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)>0，得f(1－x)>－f(1－2x)，即f(1－x)>f(2x－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x<2x－1，－5≤1－x≤－1，－5≤1－2x≤－1，解得2≤x≤3.故x的取值范围是[2,3]．。
新教材高中数学全册综合验收评价新人教A版必修第一册
全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1．设全集U ＝{x ∈N|x ≤5},A ＝{x ∈N|log 2x ＜2},则∁U A 等于( ) A ．{0,4,5} B ．{4,5} C ．{5}D ．{x |4≤x ≤5}解析：选A ∵A ＝{x ∈N|log 2x ＜2}＝{1,2,3},全集U ＝{x ∈N|x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5},∴∁U A ＝{0,4,5}．2．不等式2x ＋1x －1≤1成立的一个必要不充分条件是( )A ．－2＜x ＜1B ．－2≤x ＜1C ．－2≤x ≤1D ．x ＜－2解析：选C ∵2x ＋1x －1≤1,∴x ＋2x －1≤0,解得－2≤x ＜1.∴不等式2x ＋1x －1≤1成立的一个必要不充分条件是－2≤x ≤1.3．已知P (－1,t )在角α终边上,若sin α＝255,则t 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2D ．±2 解析：选C ∵P (－1,t )在角α终边上,sin α＝255,∴t1＋t2＝255,解得t ＝2. 4．若关于x 的不等式x 2＋ax －b ＜0(a ,b 为常数)的解集为(－2,1),则不等式bx 2＋ax －3＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1,＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1C ．(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 解析：选A ∵关于x 的不等式x 2＋ax －b ＜0(a ,b 为常数)的解集为(－2,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋1＝－1，－b ＝－2×1＝－2，解得a ＝1,b ＝2,∴所求不等式bx 2＋ax －3＞0即为2x 2＋x －3＞0,解得x ＜－32或x ＞1,∴不等式bx 2＋ax －3＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1,＋∞)．5．设函数f (x )＝tan x2,若a ＝f (log 32),b ＝,c ＝f (20.2),则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选D ∵f (x )在(0,π)上单调递增, log 32＝1log 23,log 1512＝1log 25,且log 25＞log 23＞1,∴0＜1log 25＜1log 23＜1,∴0＜log 1512＜log 32＜1.又1＜20.2＜2,∴0＜log 1512＜log 32＜20.2＜π,∴b ＜a ＜c .6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (2x －1)＜0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞解析：选A ∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,∴若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (2x －1)＜0等价为f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12, 即|2x －1|＜12,即－12＜2x －1＜12,得14＜x ＜34,即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34.7．在△ABC 中,若sin A ＋cos A ＝105,则tan A 的值为( )A ．±22 B ．31010C ．3D ．－3解析：选D 由题意可知,A ∈(0,π), 由sin A ＋cos A ＝105,① 两边平方可得1＋2sin A cos A ＝25,则2sin A cos A ＝－35＜0.∴sin A ＞0,cos A ＜0,∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝2105,② 联立①②可得sin A ＝31010,cos A ＝－1010.∴tan A ＝sin Acos A＝－3.8．若不等式1x ＋11－4x －m ≥0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立,则实数m 的最大值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C 根据题意,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14,则1－4x ＞0,则1x ＋11－4x ＝44x ＋11－4x ＝[4x ＋(1－4x )]⎝ ⎛⎭⎪⎫44x ＋11－4x＝5＋41－4x 4x ＋4x 1－4x≥5＋2× 41－4x 4x ×4x1－4x＝9,当且仅当1－4x ＝2x ,即x ＝16时等号成立,则1x ＋11－4x的最小值为9, 若不等式1x ＋11－4x －m ≥0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立,即不等式1x ＋11－4x ≥m 恒成立,必有m ≤9恒成立,故实数m 的最大值为9.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，－x 2，x >0，则下列结论中正确的是( )A ．f (－2)＝4B ．若f (m )＝9,则m ＝±3C ．f (x )是偶函数D ．f (x )在R 上单调递减解析：选AD 由于－2<0,所以f (－2)＝(－2)2＝4,故A 选项正确；由f (m )＝9>0知m ≤0,且m 2＝9,因此m ＝－3,故B 选项错误；由f (x )的图象(图略)可知f (x )是奇函数,且在R 上单调递减,故C 选项错误,D 选项正确．综上,正确的结论是A 、D.10．设a ,b ,c 都是正数,且4a＝6b＝9c,那么( ) A ．ab ＋bc ＝2ac B ．ab ＋bc ＝ac C.2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a解析：选AD 依题意设4a ＝6b ＝9c＝k ,则a ＝log 4k ,b ＝log 6k ,c ＝log 9k ,对于A,ab ＋bc ＝2ac ,即b c ＋b a ＝2,因为b c ＋b a ＝log 6k log 9k ＋log 6klog 4k＝log 69＋log 64＝log 636＝2,故A 正确,B 错误；对于C,2a ＋1b ＝2log 4k ＋1log 6k ＝2log k 4＋log k 6＝log k 96≠2c ＝2log k 9＝log k 81,故C 错误；对于D,2b －1a ＝2log k 6－log k 4＝log k 364＝log k 9＝1c,故D 正确．11．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0),将函数f (x )图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1),则函数f ( x )＝sin(2x ＋φ)( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－2π3上单调递增解析：选BD 函数f (x )图象向左平移π3个单位长度后的解析式为f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ,由题得f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1,解得φ＝－π6,所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6, 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z),解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z),即为函数f (x )的单调增区间；令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z), 解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z),即为函数f (x )的单调减区间．所以当k ＝0时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时单调递增,B 符合； 当k ＝－1时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，－2π3时单调递增,D 符合．12．关于函数f (x )＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ,以下说法中正确的是( ) A ．最小正周期为2πB ．最小值为－54C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．关于x ＝π4对称解析：选ABD ∵f (x ＋2π)＝sin[2(x ＋2π)]＋sin(x ＋2π)＋cos(x ＋2π)＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝f (x ),∴函数f (x )的最小正周期为2π,故A 正确；设t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2,2],∴t 2＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x , ∴sin 2x ＝t 2－1,∴y ＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝t 2－1＋t ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54,t ∈[－2,2],∴当t ＝－12时,函数取得最小值－54,故B 正确；由B 可知C 错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin(π－2x )＋cos x ＋sin x ＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝f (x ), ∴函数关于x ＝π4对称,故D 正确．三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．已知x ＞0,则xx 2＋4的最大值为________． 解析：因为xx 2＋4＝1x ＋4x, 又x >0时,x ＋4x≥2x ·4x ＝4, 当且仅当x ＝4x, 即x ＝2时取等号,所以0<1x ＋4x≤14,即x x 2＋4的最大值为14. 答案：1414.1＋2sin 210°sin 60°sin 30°－cos 30°的值为________．解析：1＋2sin 210°sin 60°sin 30°－cos 30°＝1－2sin 30°cos 30°sin 30°－cos 30°＝sin 30°－cos 30°2sin 30°－cos 30°＝cos 30°－sin 30°sin 30°－cos 30°＝－1.答案：－115．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．解析：当x ≤0时,f (f (x ))＝f (2x)＝log 22x＝x ； 当0<x ≤1时,f (f (x ))＝f (log 2x )＝2log 2x ＝x ； 当x >1时,f (f (x ))＝f (log 2x )＝log 2(log 2x )． 所以由f (f (x ))＝1得x ＝1或x ＝4, 即函数有两个零点． 答案：216．已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜0.(1)函数f (x )的最小正周期为________；(2)若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上有且只有三个零点,则φ的值是________．解析：(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3,可得2x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋φ，8π3＋φ,根据函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上有且只有三个零点,可得⎩⎪⎨⎪⎧－π2＜2π3＋φ≤π2，5π2≤8π3＋φ＜7π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－7π6＜φ≤－π6，－π6≤φ＜5π6，所以φ＝－π6.答案：(1)π (2)－π6四、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)U ＝R,非空集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＜0},集合B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}． (1)a ＝12时,求(∁U B )∩A .(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件,求实数a 的取值范围． 解：(1)x 2－5x ＋6＜0,解得2＜x ＜3.∴A ＝(2,3)． ∵a 2＋2＞a ,∴集合B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}＝(a ,a 2＋2)． a ＝12时,B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94. ∴∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.∴(∁U B )∩A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3. (2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3≤a 2＋2，解得a ≤－1或1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是(－∞,－1]∪[1,2]．18．(12分)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ),且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ,将f (x )表示成以t 为自变量的函数；并由此求出函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．解：(1)∵f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ),且19≤x ≤9,∴f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)令t ＝log 3x ,则－2≤t ≤2,且f (x )＝(log 3x ＋2)(1＋log 3x )＝t 2＋3t ＋2,令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14,故当t ＝－32时,函数g (t )即f (x )取得最小值为－14,此时求得x ＝3－32＝39；当t ＝2时,函数g (t )即f (x )取得最大值为12,此时求得x ＝9. 19．(12分)已知函数f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为1,求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝(1－cos 2x )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－cos 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2,＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2,所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π (k ∈Z), 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m ,所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为1,即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为－1. 所以2m －π6≥3π2,即m ≥5π6.所以m 的最小值为5π6.20．(12分)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？解：设沼气池的底面长为x 米,沼气池的总造价为y 元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米, 因为底面长为x 米,所以底面的宽为16x,依题意有y ＝3 000＋150×16＋120×2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×16x ＝5 400＋480⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ,因为x ＞0,由基本不等式和不等式的性质可得 5 400＋480⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ≥5 400＋480×2x ·16x＝9 240,当且仅当x ＝16x,即x ＝4时,等号成立,所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9 240元．21．(12分)已知函数y ＝f (x )是二次函数,且满足f (0)＝3,f (1)＝f (3)＝0. (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (log 2x ),x ∈[2,8]的最小值；(3)若x ∈[1,t ](t ＞1),试将y ＝f (x )的最小值表示成关于t 的函数g (t )． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ,因为f (0)＝c ＝3,所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3, 又f (1)＝f (3)＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.所以f (x )＝x 2－4x ＋3. (2)令t ＝log 2x ,x ∈[2,8],则y ＝t 2－4t ＋3＝(t －2)2－1,t ∈[1,3], 所以当t ＝2即x ＝4时,y min ＝－1. (3)f (x )＝x 2－4x ＋3,x ∈[1,t ](t ＞1), ①当1＜t ≤2时,f (x )在[1,t ]上单调递减,所以f (x )的最小值g (t )＝t 2－4t ＋3.②当t ＞2时,f (x )在[1,2]上单调递减,在[2,t ]上单调递增, 所以f (x )的最小值g (t )＝－1,综上所述,g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t ＋3，1＜t ≤2，－1，t ＞2.22．(12分)已知函数f (x )＝2cos x (3sin x ＋cos x )－1.(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值；(2)若f (x )＝－85,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π,求cos 2x 的值；(3)若函数y ＝f (ωx )(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上是单调递增函数,求正数ω的取值范围．解：(1)f (x )＝2cos x (3sin x ＋cos x )－1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6,故2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,2], ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.(2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－85, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－45,又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π,∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，13π6,故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝35, ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6sin π6＝33－410. (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时,11 2ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωπ3＋π6，ωπ＋π6,于是⎩⎪⎨⎪⎧ ωπ3＋π6≥2k π－π2，ωπ＋π6≤2k π＋π2k ∈Z.∴⎩⎪⎨⎪⎧ ω≥6k －2，ω≤2k ＋13k ∈Z. ∵ω＞0,∴ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷02及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,,a b c ÎR ，那么下列命题中正确的是（ ）A .若a b ＞，则22ac bc ＞B .若a bc c＞，则a b＞C .若33a b ＞，且0ab ＜，则11a b ＞D .若22a b ＞，且0ab ＞，则11a b＜2.如果a ÎR ，且20a a +＜，那么2,,a a a -的大小关系为（ ）A .2a a a -＞＞B .2a a a ->＞C .2a a a -＞＞D .2a a a-＞＞3.若函数14(2)2y x x x =+--＞，则函数y 有（ ）A .最大值0B .最小值0C .最大值2-D .最小值2-4.不等式1021x x -+的解集为（ ）A .1|12x x ìü-íýîþ＜≤B .1|12x x ìü-íýîþ≤C .1| 12x x x ìü-íýîþ＜或≥D .1|| 12x x x x ìü-íýîþ≤或≥5.若不等式220ax bx ++＜的解集为11|| 23x x x x ìü-íýîþ＜或＞，则a b a -的值为（ ）A .16B .16-C .56D .56-6.若不等式()(2)3x a x a a ---＞对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .(1,3)-B .(3,1)-C .(2,6)-D .(6,2)-7.若0,0a b ＞＞，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A .114ab B .111a b+≤C 2D .228a b +≥8.不等式3112x x--≥的解集是（ ）A .3|24x x ìüíýîþ≤B .3|24x x ìüíýîþ≤＜C .3| 24x x x ìüíýîþ≤或＞D .{|2}x x ＜9.若命题“0x $ÎR ，使得200230x mx m ++-＜”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A .26m ≤≤B .62m --≤≤C .26m ＜＜D .62m --＜＜10.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A .245B .285C .5D .611.已知210a +＜，关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{|5 }x x a x a -＜或＞B .{|5 }x x a x a -＞或＜C .{|5}x a x a -＜＜D .{|5}x a x a -＜＜12.某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310051x x æö+-ç÷èø元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x 的取值范围为（ ）A .{|3}x x ≥B .1| 35x x x ìü-íýîþ≤或≥C .{|310}x x ≤≤D .{|13}x x ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上）13.若1x -＞，则当且仅当x =________时，函数111x x y +++=的最小值为________.14.若不等式20x ax b ++＜的解集为{}|12x x -＜＜，则不等式210bx ax ++＜的解集为________.15.已知,x y +ÎR ，且满足22x y xy +=，那么34x y +的最小值为________.16.若x ÎR ，不等式224421ax x x ++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知不等式2340x x --＜的解集为A ，不等式260x x --＜的解集为B .（1）求A B I ；（2）若不等式20x ax b ++＜的解集为A B I ，求,a b 的值.18.[12分]已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题p 是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a ---＜的解集为N ，若x N Î是x M Î的充分条件，求a 的取值范围.19.[12分]（1）若0,0x y ＞＞，且281x y+=，求xy 的最小值；（2）已知0,0x y ＞＞满足21x y +=，求11x y+的最小值.20.[12分]要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元.求该长方体容器的长为多少时总造价最低，最低为多少元？21.[12分]已知,,a b c 均为正实数.求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=+.22.[12分]设2()1g x x mx =-+.（1）若()0g x x对任意0x ＞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】C【解析】由35x y xy +=可得13155y x+=，所以139431213131234(34)5555555555x y x y x y y x y x æö+=++=++++=+=ç÷èø，当且仅当31255x yy x =且35x y xy +=，即1x =，12y =时取等号.故34x y +的最小值是5.11.【答案】A【解析】方程22450x ax a --=的两根为,5a a -.1210,,52a a a a +\-\-Q ＜＜＞.结合2245y x ax a =--的图像，得原不等式的解集是{|5 }x x a x a -＜或＞.12.【答案】C【解析】根据题意，得3200513000x x æö+-ç÷èø≥，整理，得35140x x --≥，即251430x x --≥.又110x ≤≤，可解得310x ≤≤.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x 的取值范围是|310{}x x ≤≤.二、13.【答案】0214.【答案】1| 1 2x x x ìü-íýîþ＜或＞15.【答案】5+16.【答案】2|3a a ìü-íýîþ≥【解析】不等式224421ax x x ++-+≥恒成立2(2)430a x x Û+++≥恒成立220443(2)0a a +>ìïÛí-´´+ïî≤23a Û-≥，故实数a 的取值范围是2|3a a ìü-íýîþ≥.三、17.【答案】（1）解：{|14},{|23}A x x B x x =-=-＜＜＜＜，{|13}A B x x \Ç=-＜＜.（2）解：Q 不等式20x ax b ++＜的解集为{|13}x x -＜＜，1,3\-为方程20x ax b ++=的两根.10,930,a b a b -+=ì\í++=î2,3.a b =-ì\í=-î18.【答案】（1）解：命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，所以240m D =->，解得2m ＞或2m -＜.所以{| 2 2}M m m m =-＞或＜.（2）解：因为x N Î是x M Î的充分条件，所以N M Í.因为{|2}N x a x a =+＜＜，所以22a +-≤或2a ≥，所以4a -≤或2a ≥.19.【答案】（1）解：0,0x y Q ＞＞且281x y+=，281x y \=+=≥，8，当且仅当82x y =且281x y+=即4x =，16y =时取等号.64xy \≥..故xy 的最小值是64.（2）解：0,0,21x y x y >>+=Q11112(2)1233x y x y x y x y y x æö\+=++=++++=+ç÷èø≥当且仅当x =且21x y +=.即x =，y =.故11x y+的最小值是3+20.【答案】解：设该长方体容器的长为m x ，则宽为9m x.又设该长方体容器的总造价为y 元，则9991021510019010y x x x x æöæö=´++´´+=++ç÷ç÷èøèø.因为96x x +=≥（当且仅当9x x =即3x =时取“=”）.所以min 250y =.即该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.答：该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.21.【答案】（1）证明：因为,,a b c 均为正实数，由基本不等式得a b +≥，2ab c +≥，两式相乘得()2()4a b ab c abc ++≥，当且仅当a b c ==时取等号.所以()2()4a b ab c abc ++≥..（2）解：因为,,a b c 12322a a +++=，当且仅当12a +=时取等号；12322b b +++=，当且仅当12b +=时取等号；12322c c +++=.当且仅当12c +=时取等号.以上三式相加，得962a b c ++++=≤，当且仅当1a b c ===时取等号.22.【答案】（1）解：由题意，若()0g x x≥对任意0x ＞恒成立，即为10x m x-+对0x ＞恒成立，即有1(0)m x x x+≤＞的最小值.由12(0)x x x +≥＞，可得1x =时，1x x+取得最小值2.所以2m ≤.（2）解：2()1g x x mx =-+对应的一元二次方程为210x mx -+=.当240m D =-≤，即22m -≤≤时，()0g x ≥的解集为R ；当0D ＞，即2m ＞或2m -＜时，方程的两根为x =可得()0g x ≥的解集为|x x x ìïíïî.。
2021-2022学年人教版高中数学必修二教材用书：模块综合检测(一) Word版含答案
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)， 又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程． 解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
2019秋高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版必修1.doc
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列 解析：2b2a ＝2b －a ，2c2b ＝2c －b，因为a ，b ，c 成等差数列，所以c －b ＝b －a ， 所以2b －a ＝2c －b，即2b 2a ＝2c2b .答案：C2．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( ) A ．10 2 B ．20 2 C ．20 6 D.2063解析：由正弦定理：a sin A ＝csin C， 所以a ＝c ·sin Asin C＝20×2212＝20 2.答案：B3．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－2解析：由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0. 答案：C4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37B ．36C ．20D ．19解析：由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案：A5．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )A BC D解析：利用点(0，0)判断不等式(x －2y ＋1)×(x ＋y －3)＜0，故排除A 、B 项．利用点(0，4)判断不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)＜0，故排除D.答案：C6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.答案：B7．已知一个等差数列{a n }的第8，9，10项分别为b －1，b ＋1，2b ＋3，则通项a n 等于( )A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17解析：依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，所以d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17. 答案：D8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1，x ≥0画出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2.设l 0：y ＝－12x ，平移l 0，可知过A 点时z max ＝0＋2×1＝2. 过B 点时z min ＝0＋2×(－1)＝－2. 答案：B9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )2C.92D ．5解析：因为2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a，又因为a >0，b >0， 所以2y ≥5＋24a b ·ba＝9，所以y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为( )A ．[2，8]B ．(2，8)C ．(4，8)D ．(1，7)解析：设年产销售为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.答案：A11．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2a ＋1，当且仅当a ·x y ＝y x时等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )44C.24D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ， 由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________． 解析：因为0＜x ＜6，所以6－x ＞0，所以(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.答案：914．已知x >1，y >1，且ln x ，1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由已知ln x ＋ln y ＝2， 所以xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e. 当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”， 所以x ＋y 的最小值为2e. 答案：2e15．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.答案：11016．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sinπ4，所以sin A ＝12，又a <b ，故A ＝π6.答案：π6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 3＝4.(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值及使得S n 最大的序号n 的值； (2)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，求T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)．解：(1)由题意知{a n }是以8为首项，公差d ＝a 3－a 13－1＝－2的等差数列，所以a n ＝10－2n . 设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n （a 1＋a n ）2＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814，于是，当n 取4或5时，S n 最大，(S n )max ＝20. (2)b n ＝1n （12－a n ）＝1n ·（2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝n 2（n ＋1）(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mike/h 的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上(如图所示)．则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°， (14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 所以x ＝2，AB ＝28，BC ＝20， sin α＝20sin 120°28＝5314.所以所需时间为2小时，α角的正弦值为5314.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积． 解：(1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝5×451213＝133.所以△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：因为a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，所以a 2＋2a 1＝15， 所以a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， 所以a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，所以数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)解：由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， 所以a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又因为a 1－3＝2，所以a n －3n≠0，所以{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， 所以a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)， (1)若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)＝2，a ＞0，b ＞0，求1a ＋4b的最小值．解：(1)因为不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两实根，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋5＝0，f （3）＝9a ＋3（b －2）＋3＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝0，3a ＋b －1＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4. (2)由f (1)＝2，a ＞0，b ＞0得到a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，时“＝”成立．所以1a ＋4b的最小值为9.22．(本小题满分12分)据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ (3)当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低成本是多少万元？ 解：(1)y ＝a (x －15)2＋17.5(a ∈R ，a ≠0)， 将x ＝10，y ＝20代入上式得，20＝25a ＋17.5，解得a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)．(2)设利润为Q (x )， 则Q (x )＝1.6x －y＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40 ＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)，因为x ＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． (3)y x ＝110x 2－3x ＋40x ＝110x ＋40x－3≥2 x10·40x－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20∈[10，25]时上式“＝”成立．故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．。
高一数学人教A版必修一检测模块综合评价(二) Word版含解析
模块综合评价(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．已知集合＝{，，，}，＝{，，}，全集＝{，，，，，}，则∩(∁)＝( )．{，}．{，}．{，}．{，}解析：因为∁＝{，，}，所以∩(∁)＝{，}．答案：．集合＝( )．{，} ．{＝，＝}．{(，)} ．(，)解析：本题中的元素是点，故答案是{(，)}．答案：．设函数()＝则等于( )．－解析：＝＝.答案：．函数()＝－的零点个数为( )．．．．解析：在同一坐标系中作出函数＝与＝的图象，可知这两个图象有两个交点，所以函数()＝－有两个零点．答案：．函数＝(－)的值域是( )．[－，＋∞) ．．[，＋∞) ．(，]解析：令＝－，画出＝－(>)的图象如图所示，则<≤，所以＝∈[－，＋∞)．答案：．已知()为定义在上的奇函数，在区间(－∞，)内有个零点，则函数()在上的零点个数为( )．．．．解析：定义在上的奇函数()满足()＝，图象自身关于原点对称，所以零点的个数为×＋＝ .答案：．已知集合＝{－≤，∈}，＝{≤，∈}，则满足条件⊆⊆的集合的个数为( )．．．．解析：＝{－≤，∈}＝{，，}，＝{≤，∈}＝{，，，，}，若⊆⊆，则集合可以是{，，}，{，，，}，{，，，}，{，，，，}，共个．答案：．已知＝，＝，＝，则( )．<<．<<．<<．<<解析：因为＝，＝＝，由函数＝在上为增函数知<；又因为＝＝，＝＝，由函数＝在(，＋∞)上为增函数知<.综上得<<.故选.答案：。
高中数学模块素养测评卷二新人教A版必修第一册
模块素养测评卷(二)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A．A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}2．函数f(x)＝1x＋2＋1－x的定义域为( )A．[－2，1] B．(－2，1] C．(0，1] D．(1，＋∞)3.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 1050 km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转π3rad，昆仑站运动的路程约为( )A．2 200 kmB．1 650 kmC．1 100 kmD．550 km4．设a＝20.6，b＝20.5，c＝0.50.6，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a5．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝( )A ．－75B ．－15C ．15D ．756．“log2x >log 2y ”是“1x<1y”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5) B ．(－5，－1) C ．(0，5) D ．(1，＋∞)8．已知函数f (x )满足f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ，则f (sin x －cos x )＝( ) A ．3sin 2x －1 B ．1－3sin 2x C ．3cos 2x －1 D ．1－3cos 2x二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝ln 1＋x 1－xD ．y ＝ln (1＋x )＋ln (1－x )10．关于函数f (x )＝tan (x 2－π3)，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z C ．f (x )的图象的对称中心为(k π＋2π3，0)，k ∈Z D ．f (x )在区间(0，π)上单调递增11．下列说法正确的是( )A ．若x ，y >0，满足x ＋y ＝2，则2x＋2y的最大值为4 B ．若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最小值为3C ．若x ，y >0，满足x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为2D ．函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为912．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，则( ) A ．a ＞1 B ．b ＞1 C ．0＜c ＜1 D ．0＜ac ＜1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (8)＝________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．则f (f (13))＝________．15．Sigmoid 函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为S (x )＝11＋e －x ，则此函数在R 上________(填“单调递增”“单调递减”或“不单调”)，值域为________．16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期，若f (2)＝0，则f (x )在区间(0，10)内至少有________个零点．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点(2，9)， (1)求实数a 的值；(2)若f (2x －1)<3，求实数x 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知α是第三象限角，且sin α＝－35，(1)求cos （π2＋α）·cos （2π－α）·tan （α－π）sin （α－3π）·tan （－π－α）的值；(2)求sin (2α＋π3)的值．19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)当x∈R时，求使f(x)≤1成立的x的取值集合．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log211－x，(1)设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)∀x∈(－1，1)，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，求函数M(x)的解析式．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移5π24个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的单调区间．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数， (1)当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，求当x ＞0时，f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，0]上单调递增，①判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的判断；②若f (－2x 2＋x )＋f (－2x 2－k )<0对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．模块素养测评卷(二)1．答案：C解析：因为集合U ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，所以A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，∁U A ＝{4，5，6，7}，∁U B ＝{1，2，7}．2．答案：B解析：要使函数f (x )＝1x ＋2＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>01－x ≥0，解得－2<x ≤1， 则函数f (x )的定义域为(－2，1]. 3．答案：C解析：因为昆仑站距离地球南极点约1 050 km ，地球每自转π3 rad ，所以由弧长公式得：l ＝1 050×π3≈1 100.4．答案：D解析：由题， c ＝0.50.6＝(12)0.6＝2－0.6，对于指数函数y ＝2x可知在R 上单调递增，因为－0.6<0.5<0.6， 所以2－0.6<20.5<20.6，即c <b <a .5．答案：A解析：由三角函数的定义可得 sin α－cos α＝－432＋（－4）2－332＋（－4）2＝－75. 6．答案：C解析：log 2x >log 2y ⇔x >y >0， 1x<1y⇔x >y >0⇔x >y >0，因此“log 2x >log 2y ”是“1x <1y”的充分必要条件．7．答案：B解析：函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知f (0)·f (1)<0， 即(1＋a )(5＋a )<0，解得－5<a <－1， 所以实数a 的取值范围是(－5，－1). 8．答案：A解析：∵f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ＝1－sin 2x ＋1－2sin 2x ＝2－3sin 2x ， ∴f (x )＝2－3x 2，∴f (sin x －cos x )＝2－3×(sin x －cos x )2＝2－3×(1－2sin x cos x )＝－1＋6sin x cos x ＝－1＋3sin 2x . 9．答案：BD解析：A 选项定义域为R ，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋x 3＝0，故A 选项为奇函数；C 选项定义域为(－1，1)，又f (－x )＋f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋ln 1－x1＋x ＝ln 1＝0，故C 选项为奇函数；故AC 选项不对；B 选项定义域为R ，f (－x )＝cos (－x )＝cos x ＝f (x )，故B 为偶函数；D 选项定义域为(－1，1)，f (x )＝ln (1＋x )＋ln (1－x )，f (－x )＝ln (1－x )＋ln (1＋x )，于是f (x )＝f (－x )，D 选项为偶函数．10．答案：ACD解析：函数f (x )的最小正周期为T ＝π12＝2π，A 对；由x 2－π3≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠2k π＋5π3(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋5π3，k ∈Z }，B 错；由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， 所以，函数f (x )图象的对称中心为(k π＋2π3，0)(k ∈Z )，C 对；当0<x <π时，－π3<x 2－π3<π6，故函数f (x )在区间(0，π)上单调递增，D 对． 11．答案：CD解析：若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x＋2y≥22x ＋y＝2×2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，没有最大值，故A 错误；若x <12，即2x －1<0，则函数y ＝2x －1＋12x －1＋1≤－2（2x －1）12x －1＋1＝－1，当且仅当x ＝0等号成立，故B 错误；若x ，y >0，xy ＝3－(x＋y )≤（x ＋y ）24，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，所以(x ＋y ＋6)(x ＋y －2)≥0，所以x ＋y ≥2，(当且仅当x ＝y ＝1时取等)，所以x ＋y 的最小值为2.故C 正确；y ＝1sin 2x ＋4cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )(1sin 2x ＋4cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥5＋2cos 2x sin 2x ·4sin 2xcos 2x＝9，当且仅当2sin 2x ＝cos 2x 时等号成立，故D 正确．12．答案：ACD解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－lg x ，0<x <1lg x ，x ≥1，定义域为(0，＋∞)，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，结合函数图象可知，0<c <1，且a >1，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC 正确，B 错误；其中－lgc >lg a ，则lg c ＋lg a ＝lg ac <0，故0<ac <1，D 正确．13．答案：2 2解析：由f (x )为幂函数，则可设f (x )＝x α， 又函数f (x )的图象过点(3，3)， 则3α＝3，则α＝12，即f (x )＝x 12，则f (8)＝812＝2 2. 14．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.15．答案：单调递增 (0，1)解析：∵S (x )＝11＋e －x ＝11＋1ex＝e xe x ＋1＝1－1e x ＋1，定义域为R ， ∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则S (x 1)－S (x 2)＝1－1e x 1＋1－(1－1e x 2＋1)＝e x 1－e x 2（e x 1＋1）（e x 2＋1），∵x 1<x 2，∴0<e x 1<e x 2，e x 1＋1>0，e x 2＋1>0，e x 1－e x 2<0， ∴S (x 1)－S (x 2)<0，即S (x 1)<S (x 2)， 所以函数S (x )＝11＋e －x 在R 上单调递增；又e x>0，所以e x＋1>1，0<1e x ＋1<1，－1<－1e x＋1<0，0<1－1e x ＋1<1，即S (x )∈(0，1). 16．答案：6解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期， 所以f (x )＝－f (－x )，f (x )＝f (x ＋6)，即f (－x )＋f (x ＋6)＝0，所以f (x )的图象关于(3，0)对称，且f (3)＝0， 则f (9)＝0，又f (0)＝0，f (6)＝0， 又f (2)＝0，所以f (8)＝0，f (－2)＝0，f (4)＝0， 所以f (x )在区间(0，10)内至少有6个零点． 17．解析：(1)依题意a >0且a ≠1，f (2)＝a 2＝9⇒a ＝3.(2)∵f (x )＝3x在R 上是增函数， 且f (2x －1)<3＝f (1)， ∴2x －1<1， ∴x <1，∴所求x 的取值范围是(－∞，1).18．解析：(1)由α是第三象限角，且sin α＝－35，得cos α＝－45.原式＝（－sin α）·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝－cos α＝45.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725，所以sin (2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝24＋7350. 19．解析：(1)表中数据补充完整为：f (x )＝2sin (3x －6).(2)由2sin (3x －π6)≤1，可得sin (3x －π6)≤12，所以2k π－7π6≤3x －π6≤2k π＋π6，解得23k π－π3≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z ，所以使f (x )≤1成立的x 的取值集合为[23k π－π3，23k π＋π9]，k ∈Z .20．解析：(1)h (x )＝log 2(1＋x )＋log 211－x＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， h (x )的定义域为(－1，1)，h (－x )＝log 2(1－x )－log 2(1＋x )＝－h (x )，所以h (x )是奇函数．(2)f (x )－g (x )＝log 2(1＋x )－log 211－x＝log 2[(1＋x )(1－x )]＝log 2(1－x 2)≤log 21＝0，所以当x ∈(－1，1)时，f (x )≤g (x )，所以M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝g (x )＝log 211－x ，x ∈(－1，1).21．解析：(1)由图可知A ＋b ＝3，－A ＋b ＝－1，所以A ＝2，b ＝1.又T 2＝5π12＋π12＝π2，所以T ＝π， 因为ω>0，所以ω＝2πT＝2.因为f (5π12)＝2sin (5π6＋φ)＋1＝3，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin (2x －π3)＋1.(2)由题意得g (x )＝2sin (4x ＋π2)＝2cos 4x ，由2k π≤4x ≤π＋2k π(k ∈Z )，得k π2≤x ≤π4＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递减区间为[k π2，π4＋k π2](k ∈Z )， 由π＋2k π≤4x ≤2π＋2k π(k ∈Z )， 得π4＋k π2≤x ≤π2＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递增区间为[π4＋k π2，π2＋k π2](k ∈Z ). 22．解析：(1)当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x (－x －1)， 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，11 所以f (－x )＝－f (x )，故－f (x )＝－x (－x －1)，所以当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1).(2)①f (x )在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：因为f (x )在(－∞，0]上单调递增，所以对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，则－x 1，－x 2∈(0，＋∞)，且－x 1>－x 2，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (x 1)＝－f (－x 1)，f (x 2)＝－f (－x 2)，故－f (－x 1)<－f (－x 2)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递增，可得函数f (x )在R 上单调递增，又f (－2x 2＋x )<－f (－2x 2－k )，则f (－2x 2＋x )<f (2x 2＋k )，因为f (x )在R 上单调递增，故－2x 2＋x <2x 2＋k 恒成立，即k >－4x 2＋x ＝－4(x －18)2＋116，所以实数k 的取值范围为(116，＋∞).E －2。
2019秋高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修1-1.doc
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，2x 0>0 B ．存在x 0∈R ，2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R，2x≤0D ．对任意的x ∈R，2x>0解析：特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定． 答案：D2．“sin A ＝12” 是“A ＝30°”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件，又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．答案：B3．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－1＋π2B.π2＋1 C ．1D ．－1解析：f ′(x )＝cos x －sin x ， 所以 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1. 答案：D4．关于命题p ：若a·b＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：存在x ∈R，使得sin x ＋cos x ＝32.下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：本题考查含有逻辑联结词的命题真假的判断．当a ·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或0°，所以 命题p 是假命题；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜32，所以 命题q是假命题．答案：B5．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A ．5B ．5或8C ．5或3D ．20解析：由焦距为2，得c ＝1，讨论焦点在x 轴上，还是在y 轴上．当4＞m 时，由1＝4－m ，得m ＝3；当4＜m 时，由1＝m －4，得m ＝5. 故m 的值为5或3. 答案：C6.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：B7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极小值为0，极大值为－427解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－px 2－qx ＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)＝0是极小值，f⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427是极大值．答案：A8．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，若以(1，0)为圆心的圆C 与直线PF 1，PF 2均相切，则点P 的横坐标为( )A. 5 B ．2 C. 3D ．1解析：由已知得，PC 为∠F 1PF 2的平分线，因此|PF 1|∶|PF 2|＝|F 1C |∶|F 2C |＝3∶1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，所以|PF 2|＝2，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2，与椭圆方程联立可解得x ＝2或x ＝6(舍去)，故点P 的横坐标2，选B.答案：B9．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b a＞2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞ 5.答案：B10．定义在R 上的可导函数f (x )＝x 2＋2xf ′(2)＋15，在闭区间[0，m ]上有最大值15，最小值－1，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．2≤m ≤4C ．m ≥4D ．4≤m ≤8解析：对f (x )＝x 2＋2xf ′(2)＋15求导可得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)．令x ＝2，可得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2＋2xf ′(2)＋15＝x 2－8x ＋15＝(x －4)2－1，根据二次函数的图象和性质，可知f (0)＝f (8)＝15，f (4)＝－1，所以m 的取值范围是4≤m ≤8.答案：D11．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1)＝0，当x >0时有xf ′(x )－f (x )>0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－1，0)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意知，当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2>0， 说明函数g (x )＝f （x ）x在(0，＋∞)上是增函数，又g (1)＝f (1)＝0，所以x ∈(0，1)时g (x )<0，x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0，注意g (x )是奇函数，根据对称性，可知当x ∈(－1，0)时，g (x )>0.而x ≠0时，g (x )>0⇔xf (x )>0.答案：B12．已知点O 为坐标原点，点F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，点A ，B 分别为C 的左、右顶点．点P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，设OE 的中点为N ，在△AOE 中，因为MF ∥OE ， 所以|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －ca.① 在△MFB 中，因为ON ∥MF ， 所以|ON ||MF |＝|BO ||BF |＝aa ＋c ＝12|OE ||MF |，所以2a a ＋c ＝|OE ||MF |，即|MF ||OE |＝a ＋c 2a.② 由①②可得a －c a ＝a ＋c2a，解得a ＝3c ， 从而得e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x ＋2，则f (1)＋f ′(1)的值等于________．解析：由M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x ＋2，可得f ′(1)＝k ＝3，f (1)＝5，则f (1)＋f ′(1)＝8.答案：814．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则双曲线E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2， 整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：215．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：316.如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是________．解析：由双曲线方程可得a 1＝1，b 1＝3，c ＝2.设椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则|F 1A |－|F 2A |＝2a 1＝2，|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，所以2|F 1A |＝2a ＋2.因为|F 1F 2|＝|F 1A |＝2c ＝4，所以2×4＝2a ＋2，解得a ＝3.所以C 2的离心率e ＝c a ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知“方程ax 2＋bx ＋1＝0有解”是真命题，求a ，b 满足的条件；(2)已知命题“若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2”是假命题，求a 满足的条件．解：(1)因为ax 2＋bx ＋1＝0有解，所以当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解． (2)因为命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， 所以应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2，即a （x 2－x 1）x 1x 2≤0.因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以a ≤0. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x－x －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[－3，2]时，求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝e x －1＞0，e x＞1，x ＞0； 令f ′(x )＝e x －1＜0，e x＜1，x ＜0.所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． (2)x ＞0，f ′(x )＞0，x ＜0，f ′(x )＜0， 所以f (0)＝e 0－0－2＝－1，为函数的极小值．所以f (－3)＝e －3＋3－2＝e －3＋1，f (2)＝e 2－2－2＝e 2－4. 比较可知，当x ∈[－3，2]时，f (x )最大值为e 2－4，最小值为－1.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B 两点．(1)若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程； (2)若直线与y 轴负半轴相交，求△AOB 面积的最大值．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，消去x ，化简得y 2＋8y －8b ＝0. 由Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b . 设圆心Q (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4，r ＝|y 0|＝4，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝5（64＋32b ）＝2r ＝8，解得b ＝－85.所以x 0＝2b ＋8＝245，圆心Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，－4， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16.(2)因为直线与y 轴负半轴相交，所以b <0， 又由(1)知b >－2，所以－2<b <0.由直线y ＝－12x ＋b 整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线的距离d ＝|－2b |5＝－2b5，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－4b 22＋b ＝42b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2<b <0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋43，当b ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43时，g ′(b )>0，所以g (b )单调递增； 当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0时，g ′(b )<0，所以g (b )单调递减．可得g (b )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3227.所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.20．(本小题满分12分)如图，过点B (0，－b )作椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的弦，求这些弦中的最大弦长．解：设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|BM |2＝x 2＋(y ＋b )2＝x 2＋y 2＋2by ＋b 2，①由x 2a 2＋y 2b 2＝1，有x 2＝a 2b2(b 2－y 2)．② 将②代入①式，整理得|BM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2b 2y 2＋2by ＋a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 3c 22＋a 4c 2. 因为－b ≤y ≤b ，(1)当b ≤c ⎝ ⎛⎭⎪⎫即b ≤22a 时，b 3c 2≤b ，所以当y ＝b 3c 2时，|BM |的最大值为a 2c ；(2)当b >c ⎝⎛⎭⎪⎫即b >22a 时，b 3c 2>b ，所以当y ＝b 时，点M 为(0，b )，即y 轴上方顶点位置，|BM |的最大值为2b .所以综上所述，当b ≤c ⎝ ⎛⎭⎪⎫即b ≤22a 时，这些弦中的最大弦长为a 2c ；当b >c ⎝⎛⎭⎪⎫即b >22a 时，这些弦中的最大弦长为2b .21．(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数关系式，并求该函数的定义域； (2)求该容器建造费用最小时的r .解：(1)设容器的容积为V ，由题意，知V ＝πr 2l ＋43πr 3.又因为V ＝80π3，所以l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，故0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c .所以y 关于r 的函数关系式为y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，该函数的定义域为(0，2]．(2)由(1)，得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π（c －2）r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π（c －2）r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m ，2]时，y ′>0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0，2]时，y ′≤0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2(m)；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2(m)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R. (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3)．当Δ>0，即a >3或a <－3时， 令f ′(x )>0，即3x 2＋2ax ＋1>0， 解得x >－a ＋a 2－33或x <－a －a 2－33；令f ′(x )<0，即3x 2＋2ax ＋1<0， 解得－a －a 2－33<x <－a ＋a 2－33.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33.当Δ<0，即－3<a <3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )>0，故f (x )在R 上单调递增． 当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a3都有f ′(x )>0，故f (x )在R 上单调递增．(2)由(1)，知只有当a >3或a <－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数，所以错误!解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．。
新教材高中数学单元素养评价二新人教A版必修第一册
单元素养评价(二)(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=1(-1≤x<1).其中与函数y=1是同一个函数的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选D.(1)要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不是同一个函数;(2)虽然化简后为y=1,但要求t≠-1,即定义域不同,不是同一个函数;(3)显然定义域不同,故不是同一个函数.2.已知函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-2或3D.2或-3【解析】选B.函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m-1>0,故m=3.3.下列函数是奇函数的是( )A.y=2x2-3B.y=C.y=x,x∈[0,1]D.y=x【解析】选 D.A中函数为偶函数,B,C中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,D中函数定义域为R,图象关于原点对称,为奇函数.4.函数f(x)=则f的值为( )A. B.- C. D.18【解析】选C.由题意得f(3)=32-3-3=3,那么=,所以f=f=1-=.5.已知函数f(x)=-x,则下列选项错误的是( )A.f(x+1)=f(x)+1B.f(3x)=3f(x)C.f(f(x))=xD.f=【解析】选A.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)≠f(x)+1,错误;对于B, f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3x,f(3x)=3f(x),正确;对于C,f(x)=-x,f(f(x))=-(-x)=x,正确;对于D,f=-=-,==-,则f=,正确.6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为( )A.[3,+∞)B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞)D.(-∞,2],[3,4]【解析】选C.函数f(x)=|x2-6x+8|,当x2-6x+8>0,即x>4或x<2时,可得f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,即有f(x)在(4,+∞)上递增;当x2-6x+8<0,即2<x<4时,可得f(x)=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,即有f(x)在(2,3)上递增;则f(x)的增区间为(2,3),(4,+∞).7.已知函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则a= ( )A.-1B.-C.D.1【解析】选 B.根据题意,函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则二次函数的对称轴x=-=1,解得a=-.8.函数f(x)=的图象大致是( )【解析】选A.因为函数f(x)=,是奇函数,当x=时,y=>0,故D错误;x<-1时,y>0恒成立;x>1时,y<0恒成立,故B和C错误,由排除法得正确选项是A.9.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-1,-3]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)【解析】选B.根据题意,偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=-2,可得f(x)=f(|x|),若f(x-1)≥-2,即有f(|x-1|)≥f(2),可得|x-1|≥2,解得:x≤-1或x≥3,即x的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).10.某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过 2 880度(1度=1千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.488 3元;全年超过2 880度至4 800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.538 3元;全年超过4 800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.788 3元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有 ( )参考数据:0.488 3元/度×2 880度≈1 406.30元,0.538 3元/度×(4 800-2 880)度+1 406.30元≈2 439.84元.A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】选B.依题意,当全年用电量在2 880度至4 800度之间时,电价分两段, 即全年电量中的2 880度(1度=1千瓦时)的每度电0.488 3元、超出部分按每度电0.538 3元计算, 故图象①不正确; 记用电量为x度,电费为f(x)元/年, 当0≤x≤2 880时,f(x)=0.488 3x,当2 880<x≤4 800时,f(x)=0.4 883×2 880 +0.538 3(x-2 880)=1 406.3+0.538 3(x-2 880), 当x>4 800时,f(x)=2 439.84+0.788 3(x-4 800),故②③均正确; 综上所述,正确的是②③.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应关系中,能构成从A 到B的函数的有( )【解析】选A、C、D.根据函数的定义可知,A,C,D中的图形给出的对应关系能构成从A到B 的函数.12.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( )A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1【解析】选A、D.当a<0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1,当x=2时,函数取得最小值为2a+1;当a>0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.13.设函数f(x)的定义域为A,且满足任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2的函数可以是 ( )A.f(x)=2-xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=D.f(x)=(x-2)3【解析】选A、C.方法一:A项,f(x)+f(2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值,故A项正确;B项,f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不为定值,故B项错误;C项,f(x)+f(2-x)=+==2,符合题意,故C项正确;D项,f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值,故D项不正确.方法二:因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图象关于点(1,1)中心对称,函数f(x)=2-x的图象是过点(1,1)的直线,符合题意;函数f(x)==1+的图象关于点(1,1)中心对称,符合题意;B,D项的两个函数的图象都不是关于点(1,1)的中心对称图形,不符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.已知函数f(x)=,则f(1)=________,函数y=f(x)的定义域为______.【解析】由题意得,f(1)==2,由解得x≤5且x≠0,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,5].答案:2 (-∞,0)∪(0,5]15.已知3f(x)+2f(-x)=x+3,则f(x)的解析式为________.【解析】因为3f(x)+2f(-x)=x+3①,用-x替换x得:3f(-x)+2f(x)=-x+3②,①×3-②×2得:5f(x)=5x+3,所以f(x)=x+.答案:f(x)=x+16.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围为________.【解析】因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上单调递减,且函数f(x)的图象的对称轴为x=a,所以a ≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0,综上知,a的取值范围为(0,1].答案:(0,1]17.已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件:①在(-∞,0]上单调递减;②f(1)=-2.则使不等式f(x+1)≤-2成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,f(1)=-2,则由f(1+x)≤-2,即f(1+x)≤f(1),可得:|x+1|≤1,解得:-2≤x≤0.答案:-2≤x≤0四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判定f(x)的奇偶性并证明.【解析】(1)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定义域为{x|x≠±1}.(2)f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1},因为∀x∈{x|x≠±1},都有-x∈{x|x≠±1},且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.19.(14分)已知函数f(x)=(1)求f(-4),f(5)的值.(2)画出函数f(x)的图象,并直接写出处于图象上升阶段时x的取值集合.(3)当x∈[-2,0]时,求函数的值域.【解析】(1)因为-4<0,5>0,所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5,f(5)=-5-3=-8.(2)如图所示,图象上升时x的取值集合为{x|-1≤x≤0}.(3)当x∈[-2,0]时,函数的值域为[-4,-3].20.(14分)若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,根据系数对应相等所以所以f(x)=x2-x+1.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1的图象关于直线x=对称,又函数g(x)在[2,4]上是单调函数,所以≤2或≥4,解得m≤3或m≥7,故m的取值范围是(-∞,3]∪[7,+∞).21.(14分)定义在R上的偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)=-x2+4x-1.(1)求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的解析式.(2)求函数f(x)在x∈[-2,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)根据题意,设x>0,则-x<0,则f(-x)=-x2-4x-1,又由y=f(x)为偶函数,则f(x)=-x2-4x-1,x∈(0,+∞).(2)由(1)的结论:f(x)=y=f(x)在x∈[-2,0]上单调递增,在x∈[0,3]上单调递减,则f(x)max=f(0)=-1;f(x)min=min{f(-2),f(3)}=f(3)=-22,函数f(x)在[-2,3]上的最大值是-1,最小值是-22.22.(14分)设函数f(x)=-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.(1)求实数a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,x≠0,所以f(-x)=-f(x),所以-+5x+a=-+5x-a,所以2a=0,所以a=0,经检验a=0为所求.(2)f(x)=-5x的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调增区间,当x>0时,设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=+5(x2-x1)=(x2-x1)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.23.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间是f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,根据上述分析结果回答下列问题:(1)请你说明,当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,当0<x≤30时,f(x)=30<40,公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间;当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即(x-20)(x-45)>0,解得x<25(舍去)或x>45,所以45<x<100,所以当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-,当30<x<100时,g(x)=x%+40(1-x%)=-+58,所以g(x)=当0<x≤30时,g(x)=40-单调递减,g(30)=37,当30<x<100时,g(x)=-+58=(x-32.5)2+36.875,且g(30)=37,所以函数g(x)在(0,32.5)上单调递减,在(32.5,100)上单调递增,实际意义:说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递减的;大于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最短.。
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模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{2，3，4，5}，B ＝{3，5，6}，全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1，3}B ．{2，4}C ．{1，6}D ．{3，5} 解析：因为∁U B ＝{1，2，4}，所以A ∩(∁U B )＝{2，4}． 答案：B2．集合⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1＝( ) A ．{2，3} B ．{x ＝2，y ＝3} C ．{(2，3)}D ．(2，3)解析：本题中的元素是点，故答案是{(2，3)}． 答案：C3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于()A.12B.2541 C ．－95 D.413解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝413.答案：D4．函数f (x )＝|log 0.5x |－12x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，可知这两个图象有两个交点，所以函数f(x)＝|log0.5x|－12x有两个零点．答案：B5．函数y＝log12(4x－x2)的值域是( )A．[－2，＋∞) B．RC．[0，＋∞) D．(0，4]解析：令t＝4x－x2，画出t＝4x－x2(t>0)的图象如图所示，则0<t≤4，所以y＝log12t∈[－2，＋∞)．答案：A6．已知f(x)为定义在R上的奇函数，在区间(－∞，0)内有1 005个零点，则函数f(x)在R上的零点个数为( )A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 012解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(0)＝0，图象自身关于原点对称，所以零点的个数为2×1 005＋1＝2 011.答案：C7．已知集合A ＝{x |x －2≤0，x ∈N}，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：A ＝{x |x －2≤0，x ∈N}＝{0，1，2}，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z}＝{0，1，2，3，4}，若A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以是{0，1，2}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，2，3，4}，共4个．答案：B8．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )单调递减，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (－1)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <b <a解析：因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，所以c ＝f (2)＝f (0)，因为f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (0)，即b >a >c .答案：A9．已知奇函数f (x )在区间[－b ，－a ]上单调递减，且f (x )>0.若0<a <b ，则|f (x )|在区间[a ，b ]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先增后减D ．先减后增解析：利用奇函数的对称性可知，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，且f (x )<0，则|f (x )|在区间[a ，b ]上单调递增．答案：B10．若函数f(x)＝log a(x＋b)(其中a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的大致图象是( )A BC D解析：根据题中的图象可知，0<a <1，0<b <1.根据指数函数的性质可知，选项D 符合题意．答案：D 11．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(3，4)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)解析：函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点的横坐标x 0即函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点．当x ＝1，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<0；当x ＝2时，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>0，即f (1)f (2)<0，又因为f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2为连续函数，故函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点一定在区间(1，2)内．答案：C12．已知x 1，x 2是二次方程f (x )＝0的两个不同实根，x 3，x 4是二次方程g (x )＝0的两个不同实根．若g (x 1)g (x 2)<0，则( )A ．x 1，x 2介于x 3和x 4之间B ．x 3，x 4介于x 1和x 2之间C ．x 1与x 2相邻，x 3与x 4相邻D ．x 1，x 2与x 3，x 4相间排列解析：画图可知x 3，x 4中有一个在x 1，x 2之间，故x 1，x 2与x 3，x 4相间排列． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈（－∞，1]，log 81x ，x ∈（1，＋∞），则满足f (x )＝14的x 值为________．解析：令2－x ＝14，则2－x ＝2－2，所以x ＝2，不满足x ∈(－∞，1]； 令log 81x ＝14，则x ＝8114＝3，满足x ∈(1，＋∞)．综上知，x ＝3.答案：314．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是________(请用“<”号连接)．解析：因为函数f (x )＝x 23在区间(0，＋∞)上单调递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>⎝ ⎛⎭⎪⎫1523.又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213.故b <a <c .答案：b <a <c15．设集合A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值为________． 解析：因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，解得m ＝1. 答案：116．下列命题中：①若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1；②已知函数y ＝f (3x )的定义域为[－1，1]，则函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0]； ③函数y ＝11－x 在(－∞，0)上是增函数；④方程2|x |＝log 2(x ＋2)＋1的实根的个数是2.所有正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)解析：对于①，k ＝0也符合题意；对于②，y ＝f (x )的定义域应该是[3－1，3]；对于③，画出y ＝11－x 的图象，或利用定义可判定y ＝11－x 在(－∞，0)上是增函数；对于④在同一坐标系中做出y ＝2|x |，y ＝log 2(x ＋2)＋1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－7≤2x －1≤7}，B ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}．(1)当m ＝3时，求A ∩B 与A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：易得A ＝{x |－3≤x ≤4}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |2≤x ≤7}， ∁U B ＝{x |x <2或x >7}．故A ∩B ＝[2，4]，A ∪(∁U B )＝(－∞，4]∪(7，＋∞)． (2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，m －1>3m －2，所以m <12；当B ≠∅，即m ≥12时，m －1≥－3，且3m －2≤4，所以－2≤m ≤2，所以12≤m ≤2.综上所述，m ≤2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －x 2.(1)求函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象； (2)根据图象写出单调区间和值域．解：(1)设x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图所示：(2)由图可知，函数的单调递增区间为：(－∞，－1)和(0，1)；单调递减区间为：(－1，0)和(1，＋∞)．值域为(－∞，1]．19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0，3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝ca.因为x 21＋x 22＝10，所以(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a ＝10，所以(－4)2－6a ＝10，所以a ＝1，b ＝－4. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3.20．(本小题满分12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：的商品，消费金额为320元，可获得的优惠额为(400－320)＋30＝110(元)．设购买商品得到的优惠率＝购买商品获得的优惠额/商品的标价．(1)若购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠额是多少元？(2)对于标价在[500，800]元内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到不小于13的优惠率？ 解：(1)顾客得到的优惠额为1 000×(1－0.8)＋130＝330(元)． (2)设商品的标价为x 元，则500≤x ≤800，消费额400≤0.8x ≤640.当消费额在[400，500)元内时，优惠率为0.2x ＋60x，所以⎩⎪⎨⎪⎧400≤0.8x <500，0.2x ＋60x ≥13.该不等式组无解．当消费额在[500，640]元内时，优惠率为0.2x ＋100x，所以⎩⎪⎨⎪⎧500≤0.8x ≤640，0.2x ＋100x≥13，解得625≤x ≤750.故当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可以得到不小于13的优惠率．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 9(9－x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x ＋b 没有交点，求b 的取值范围．解：(1)因为f (x )为偶函数， 所以对任意x ∈R，f (x )＝f (－x )，即log 9(9x ＋1)－kx ＝log 9(9x ＋1)＋kx 对于任意的x ∈R 恒成立，故2kx ＝log 9(9－x ＋1)－log 9(9x ＋1)＝log 99x ＋19x －log 9(9x ＋1)＝－x 恒成立．又x 不恒为零，所以k ＝－12.(2)由题意知，方程log 9(9x ＋1)－12x ＝12x ＋b 无解，即方程log 9(9x ＋1)－x ＝b 无解． 令g (x )＝log 9(9x ＋1)－x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝b 无交点．易知g (x )＝log 99x ＋19x ＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19， 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则0<9x 1<9x 2，从而19x 1>19x 2， 于是log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x 1>log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x 2， 即g (x 1)>g (x 2)，故g (x )在R 上是减函数．因为1＋19x >1，所以g (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x >0. 故b 的取值范围是(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a(a >0，a ≠1)且f (0)＝0. (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围；(3)当x ∈(0，1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝0得1－42a 0＋a＝0， 即a ＋2＝4，解得a ＝2.(2)函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点⇔方程2x －1＋k ＝0有解，即k ＝1－2x 有解，因为1－2x ∈(－∞，1)，所以k ∈(－∞，1)．(3)由f (x )>m 2x －2得m (2x )2＋(m －3)2x －1<0，令t ＝2x ，因为x ∈(0，1)，所以t ∈(1，2)，即f (x )>m 2x －2⇔mt 2＋(m －3)t －1<0对于t ∈(1，2)恒成立．设g (t )＝mt 2＋(m －3)t －1，①当m <0时，m －3<0，所以g (t )＝mt 2＋(m －3)t －1<0在(1，2)上恒成立．此时m <0符合题意．②当m ＝0时，g (t )＝－3t －1<0在(1，2)上恒成立，所以m ＝0符合题意． ③当m >0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≤0，g （2）≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＋（m －3）－1≤0，4m ＋2（m －3）－1≤0，⇒m ≤76， 此时0<m ≤76.综上知：m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，76.。