《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1~3章【圣才出品】

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运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章线性规划与单纯形法——第3章运输问题)【圣才出品】

②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29

运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

胡运权《运筹学教程》(第5版)配套题库-考研真题精选及课后习题(第一~三章)【圣才出品】

2．μ是关于可行流 f 的一条增广链，则在μ上有：对一切（i，j）∈μ－，有 fij＞0。（） [暨南大学 2019 研]
【答案】√ 【解析】由增广链定义可知，当边（i，j）属于μ的反向边集时，该条边的流量大于 0。
3．事件 j 的最早时间 TE（j）是指以事件 j 为开工事件的工序最迟必须开工时间。（） [暨南大学 2019 研]
零元素的最少直线数目的集合。结果如下：
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（4）在未被覆盖的元素中找最小元素，未被覆盖的行分别减去该最小元素，在出现负
数的列上整列加上最小元素，得到新矩阵 C′：
0 2 6 1 0 0 4
表 1-1-1
解：（1）先对各行减去本行的最小元素，再对各列减去本列最小元素，得到矩阵 C 如
下：
0 2 6 9
C 1 4 4 0 1 0 0 3 2 3 6 0
（2）确定独立零元素，对 C 加圈，得到
◎ 2 6 9
C
1
1
4 ◎
4
◎ 3
2
3
6
（3）由于只有 3 个独立零元素，少于系数矩阵阶数 n＝4，故需要确定能够覆盖所有
A．没有无穷多最优解 B．没有最优解 C．有无界解 D．有最优解【答案】B 【解析】有最优解的前提是有可行解，该题无可行解，则也无最优解。
2．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。[暨南大学 2019 研] A．该资源稀缺 B．该资源过剩 C．企业应尽快处理该资源 D．企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径【答案】A 【解析】当资源的影子价格不为 0 时，表明该种资源在生产中已耗费完毕；且若影子价格大于其市场价格，说明企业应买进该种资源，该种资源稀缺。

运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)

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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(13-14)章【圣才出品】

dFT dt
et ， t 0
（3）爱尔朗分布（Erlang）
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设1, 2 , , k 是 k 个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么，
T 1 2 k 的概率密度是：
fk
(t)
图 13-1 这种系统状态（n）随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process），它可以描述细菌的生灭过程。
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6．几个重要的参数
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：单位时间平均到达的顾客数；
e ：系统的有效达到率；：单位时间能被服务完成的顾客数；
那么一顾客走完 k 个服务台总共所需要服务时间就服从上述的 k 阶 Erlang 分布。
5．生灭过程（稳态）
稳态时， Pn (t) 与时间无关，可以写成 Pn ，它对时间的导数为 0，所以
PnP01
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
上式即为关于 Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图如图 13-1 所示：
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①服务机构分为单服务台和多服务台。不同的输入形式与排队规则和服务机构联合后形
成不同的排队服务机构。
②服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
③服务时间分为确定型（定常时间）和随机型。
④服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
1
)
,
1 N
, 1
1
1 ，
e (1 PN ) (1 P0)
： / 。
7．排队论公式整理
（1）无敌的 Little 公式

运筹学教材习题答案详解

3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(11-12)章【圣才出品】

（2）T 无圈，且 m=n-1。（3）T 连通，且 m=n-1。（4）T 无圈，但每加一条新边即得惟一一个圈。（5）T 连通，但任舍去一条边就不连通。（6）T 中任意两个顶点之间有惟一链相连。
3．图的最小支撑树
图的支撑树：设图 T=[V， E' ]是图 G=（V，E）的支撑子图，如果 T 是一个树，则称 T
为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬挂边，次为零的点称为孤立点。
定理 1：图 G=（V，E）中，所有点的次之和为边数的两倍，即 d (vi ) 2 e j 2q 。
i
j
奇点与偶点：次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
定理 2研考证电子书、题库视频学习平台
2．树及其性质无圈的连通图称为树，树一般用 T 表示。
定理 3：任给一个树 T=（V，E），若 p T ≥2，则 T 中至少有两个悬挂点。
定理 4：图 T=（V，E），p=n，q=m，则下列关于树的说法是等价的。（1）T 是一个树。
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初始（ i 0 ）令 S0 vs ，P vs 0 ， vs 0 ，对每一个 v vs ，令 T v ， v M ，令
k s。
①如果 Si V ，算法终止，这时，对每个 v Si ， d vs , v P v ；否则转入②。
②考查每个使 vk , v j A 且 v j Si 的点 v j 。如果T v j P vk kj ，则把T v j 修改为 P vk kj ，把 v j 修改为 k ；否
连通图：图中任意两点间至少有一条链相连。
子图：给定图 G=（ V ， E ），若图 G' =（ V' ， E' ），其中 V' V ， E' E ，则称 G' 是 G 的子图。

运筹学第三章课后习题答案知识讲解

2020/3/31
19
③沃格尔法求解：
销地 B1 产地
A1
23
A2
2
A3
14
销量 3
列11
罚21 数31 vj 4 1
B2 B3 B4 B5
7
6
4
30
4
23
2
0
33 0 8 25 0
3
2
2
3
1 3 20
132 421
21
产
行罚数ui
量
1 2 34
5 3 1 11④
2 20
②
6 3 1 11⑧
⑥
③
⑤
71 5
14
销量
6
5
6
3
σ34=1-5+5-0=1，至此，六个闭回路全部计算完，σ11=4， σ14=2，σ22=0，σ31=2，σ32=2，σ34=1，即全部检验数σ 均大于或等于0。即用上述三种方法计算中，用沃格尔法
计算所得结果z*=35为最优解。
2020/3/31
16
表3-29
销地 B1
B2
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3
3
71 5
1
销量
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ14=6-0+5-4=7
2020/3/31
12
第三个闭回路σ22，走2→1→4→5线路
产地销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1

运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)

需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性规划与目标规划)【圣才出品】

3．线性规划问题解的概念
（1）可行解：满足约束条件（2-4）式、（2-5）式的解 X x1, x2 ,…,xn T ，称为线
性规划问题的可行解。（2）最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
（3）基：若 A 是约束方程组的 m n （m＜n）维系数矩阵，其秩为 m 。B 是矩阵 A 中 m m 阶非奇异子矩阵（|B|≠0），则称 B 是线性规划问题的一个基。
定理 4 若线性规划问题在至少两个顶点上到达最优，则该问题有无穷多最优解，最优解即是这些顶点的凸组合。
5．线性规划问题的求解方法（1）图解法图解法是一种使用作图的方法直接在图上找到线性规划问题的最优解的方法，简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理，仅适用于决策变量为二维的情况。图解法的求解步骤为： ①建立平面直角坐标系； ②根据约束条件画出约束直线，找出可行域； ③图示出目标函数，作出一条直线； ④将目标函数直线沿其法线方向在可行域中平移至边界，直至找到使目标函数达到最优的边界点为止，该边界点即为线性规划的最优解。注意： ①有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，此时在这些顶点的凸组合处也达到最大值，称这种线性规划问题有无限多个最优解。 ②若可行域无界，则可能无最优解，也可能有最优解，但若有，必在顶点处取得。 ③若可行域为空集，即无可行解，也不存在最优解。（2）单纯形法单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题线性方程组的变量数大于方程个数，
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2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
max z c1x1 c2x2 cnxn
或
n
max z cj xj j 1
（2-5）
2 / 40
（2-4）
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运筹学第三版课后习题答案

运筹学第三版课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识，可以应用于各个领域，如物流管理、生产调度、供应链优化等。

而《运筹学》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和应用。

本文将针对该教材的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握运筹学的知识。

第一章：线性规划1. 习题1.1：求解线性规划问题的常用方法有哪些？答：求解线性规划问题的常用方法包括单纯形法、对偶理论、整数规划等。

其中，单纯形法是最常用的方法，它通过迭代寻找目标函数值最小（或最大）的解。

2. 习题1.2：什么是线性规划的对偶问题？如何求解线性规划的对偶问题？答：线性规划的对偶问题是指通过原始问题的约束条件构造一个新的问题，该问题的目标是最大化（或最小化）原始问题的目标函数值。

求解线性规划的对偶问题可以使用对偶理论，通过将原始问题转化为对偶问题的等价形式，再利用对偶问题的特性进行求解。

第二章：整数规划1. 习题2.1：什么是整数规划问题？与线性规划问题有何不同？答：整数规划问题是指决策变量的取值必须为整数的线性规划问题。

与线性规划问题相比，整数规划问题的解空间更为有限，求解难度更大。

整数规划问题在实际应用中常常涉及到资源的离散分配、路径选择等问题。

2. 习题2.2：列举几个整数规划问题的应用场景。

答：整数规划问题的应用场景包括生产调度、物流路径优化、设备配置等。

例如，在生产调度中，需要确定每个生产批次的数量和时间，以最大化产能利用率和最小化生产成本。

第三章：动态规划1. 习题3.1：什么是动态规划？它的基本思想是什么？答：动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。

其基本思想是利用子问题的解构建全局最优解，从而避免重复计算和提高求解效率。

2. 习题3.2：动态规划在哪些问题中有应用？答：动态规划在最短路径问题、背包问题、序列比对等问题中有广泛的应用。

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)

影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法：极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。（3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0

(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目录
第1章运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
或
（2-4）（2-5）线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约束；决策变量非负。（2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令，于是得到
第13章排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解第14章存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解第15章对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解第16章单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解第17章多目标决策 17.1 复习笔记

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(整数规划)【圣才出品】

若有 n 个决策变量，则可以产生 2n 个可能的变量组合，故完全枚举是不可能的，因此
常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，这样的方法称为隐枚举法。
隐枚举法的基本思想是：在 2n 个可能的变量组合中，往往只有一部分是可行解。只要
发现某个变量组合不满足其中的某一约束条件，就不必要再去检验其他的约束条件是否可行。若已发现一个可行解，则根据它的目标函数值可以产生一个过滤条件，对于目标函数值比它差的变量组合就不必再去检验它的可行性（类似分支定界法中的定界。实际上，隐枚举法是一种特殊的分支定界法）。在以后的求解过程中，每当发现比原来更好的可行解，则依次替代原来的过滤条件（可减少运算次数，较快地发现最优解）。
3．割平面法基本思想：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束条件（即割平面），将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。割平面法的关键是切割方程的求解。切割方程的基本步骤：
（1）令 xi 是相应线性规划问题最优解中为分数值的一个基变量，由最终单纯形表得到
2．分支定界法分支定界法的依据：整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解。分支定界法步骤：（1）求解相应的线性规划问题的最优解和最优值。 ①若没有可行解，计算停止； ②若有满足整数条件的最优解，则已得到整数规划问题的最优解，计算停止；
③若有最优解，但不满足整数条件，记此最优值为原整数规划问题 Z* 的上界，然后，
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第 6 章整数规划
6.1 复习笔记
1．整数规划的分类（1）纯整数规划：要求所有的变量均为（非负）整数；（2）混合整数规划：只有部分变量限制为整数；（3）0-1 规划：变量的取值仅限于 0 或 1。注意：由于整数规划对变量的整数限制，一般情况下，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。

答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。

答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。

答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。

（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。

（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。

答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。

工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。

《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~7章【圣才出品】

①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，返时 min z f (d d ) ； ②要求丌超过目标值，即正偏差变量要尽可能地小,返时 min z f (d ) ； ③要求超过目标值，但必须是负偏差变量要尽可能地小，返时 min z f (d ) 。
2．目标觃划一般数学模型
L
（2）因非基变量的检验数中含有丌同等级的优先因子，即因 pk pk1, k 1, 2,…, K ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负，首先决定亍 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，返时此检验数的正、负就决定亍 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标觃划问题的单纯形法的计算步骤：（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，令 k=1。（2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。（3）按最小比值觃则确定换出变量，当存在两个和以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。（4）按单纯形法迕行基变换运算，建立新的计算表，迒回（2）。（5）当 k=K 时，计算结束。表中的解，即为满意解。否则置 k=k+1，迒回到（2）。
5．目标觃划的灵敏度分析目标觃划的灵敏度分析方法不线性觃划相似，但目标觃划的灵敏度分析丌仅考虑各项系数的变化，迓考虑优先因子的变化。
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4.2 课后习题详解
4.1 若用以下表达式作为目标觃划的目标函数，试述其逡辑是否正确？
（4）目标觃划的目标函数目标觃划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目标觃划的目标函数的基本形式有三种：

运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-线性规划与单纯形法(圣才出品)

约束条件应引入（）。[北京交通大学 2010 研]
A．可控变量
B．环境变量
C．人工变量
D．松弛变量
【答案】D
【解析】约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式左端减去一个非负剩余变量（也
可称松弛变量）。
2．单纯形法中，关于松弛变量和人工ห้องสมุดไป่ตู้量，以下说法正确的是（）。[中山大学 2008 研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】如果人工变量不为 0，则原问题无可行解。
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
6．若 X1，X2 分别是某一线性规划问题的最优解，则 X=λ1X1+λ2X2 也是该线性规划问题的最优解，其中 λ1，λ2 为正实数。[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】×
【解析】 1，2 不但应该是正实数，还应该满足 1+2 =1
7．如果线性规划问题有最优解，则它一定是基可行解。[东北财经大学 2008 研] 【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
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是
C
m n
个。[暨南大学
2011
研]
【答案】×
【解析】其基解的个数最多是
C
m n
个，且一般情况下，基可行解的数目小于基解的个数。
5．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】C
【解析】当某些 σj＞0 时，xj 增加则目标函数值还可以增大，这时要将某个非基变量 xj

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)

第3章运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。

如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。

即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。

即系数矩阵的秩≤m+n -1。

注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。

闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。

（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。