2019清华附中高一数学期中测试题
北京市清华大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中试题(Word解析版)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1 3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点二、填空题（共5小题）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝．12．函数f（x）＝的值域为．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝；（2）不等式f（x）≥2的解集为．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为．15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈N，x3＜1，故选：B．3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝2﹣1＝1，函数为R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，故f（0）+f（﹣1）＝0+（﹣1）＝﹣1，故选：D．4．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）解：要使f（x）有意义，则，解得x≥2，∴f（x）的定义域为：[2，+∞）．故选：A．5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要解：p：ab＝0即为a＝0或b＝0；q：a2+b2＝0即为a＝b＝0；所以p成立q不一定成立，反之q成立p一定成立，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞解：根据a＜b＜c，取c＝0，则A不成立；取a＝﹣1，b＝0，c＝1，则BC不成立；由a＜b＜c，可知a﹣c＜b﹣c＜0，∴，故D一定成立．故选：D．7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）解：对于A：函数在定义域不单调，不合题意，对于B：函数在[0，+∞）递增，符合题意，对于C：函数在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意，对于D：函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意，故选：B．8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点解：当a＞0时，①当x≤0时，f（x）∈（﹣∞，1]，则当f（x）≤0时，函数f（f（x））≤1，此时函数有1个零点，当f（x）∈（0，1]时，f（f（x））∈（﹣∞，0]，此时函数有1个零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））∈（﹣∞，1]，函数有1个零点，当f（x）＞0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＞0时，函数有4个零点；当a＜0时，①当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））≥0，函数无零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））≥0，函数无零点，当f（x）＜0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＜0时，函数有1个零点，故A正确，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}．解：集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}，故答案为：{0，1}．12．函数f（x）＝的值域为（0，2]．．解：因为x2+2≥2，所以f（x）＝∈（0，2]，故f（x）＝的值域（0，2]．故答案为：（0，2]．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝1；（2）不等式f（x）≥2的解集为{1，2，4}．解：（1）x＝1时，f（1）＝3，故f[f（1）]＝f（3）＝1，（2）若f（x）≥2，则x＝1，2，4，故不等式的解集是{1，2，4}，故答案为：1，{1，2，4}．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为（﹣6，﹣4）．解：因为f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，所以2，解可得，﹣6＜a＜﹣4．故答案为：（﹣6，﹣4）15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为①②．解：不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，∴（x﹣p）（x﹣q）≤2，（*）①代入x＝p+q，可得（q﹣p）（p﹣q）＝﹣（p﹣q）2＜0≤2，不等式成立，即p+q∈[m，n]，故正确；②∵m，n为方程x2﹣px﹣qx+pq﹣2＝0的两个根，∴m+n＝p+q，mn＝pq﹣2，∴（m+1）（n+1）＝mn+（m+n）+1＝pq﹣2+p+q+1＝pq+p+q﹣1＜（p+1）（q+1），故正确；③（n﹣m）2＝（m+n）2﹣4mn＝（p+q）2﹣4pq+8＝（q﹣p）2+8，∴n﹣m＝≠q﹣p+2，故错误；④m3+n3＝（m+n）（m2+n2﹣mn）＝（m+n）[（m+n）2﹣3mn]，＝（p+q）3﹣3（p+q）（pq﹣2）＝p3+q3+3p2q+3pq2﹣3（p2q﹣2p+pq2﹣2q）＝p3+q3+6（p+q），由于p+q与0的关系不确定，故无法比较m3+n3与p3+q3，故错误；故答案为：①②．三、解答题（本题共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．解：（1）不等式x2﹣x﹣6≤0可化为（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，所以不等式的解集为[﹣2，3]；（2）不等式x2﹣3x+4＞0中，△＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，所以不等式的解集为R；（3）不等式x2≥ax化为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，解不等式得x∈R；当a＞0时，解不等式得x≤0或x≥a；当a＜0时，解不等式得x≤a或x≥0；综上知，a＝0时，不等式的解集为R；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[0，+∞）．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．解：（1）∵1∈A，2∉A，∴，解得，故a的取值范围是∅；（2）∵A＝R，∴x2﹣ax+1＞0恒成立，即解集是R，∴△＝a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；（3）假设a+属于集合A，∴，整理得恒成立，a+可以属于集合A．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．解：（1）令a＝b＝0，则f（0）＝2f（0），则f（0）＝0，令a＝b＝2，则f（4）＝2f（2），则f（4）＝8，（2）令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（3）令a＝b＝1，则f（2）＝2f（1），则f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．解：（Ⅰ）由题意，得f（0）＝0，即c＝0，∴f（x）＝x2+bx，f（x+1）＝x2+（2+b）x+b+1，∵f（x+1）是偶函数，∴﹣＝0 解得b＝﹣2∴f（x）＝x2﹣2x；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x等价于对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0；令g（x）＝x2﹣2x﹣2x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，则当x∈[0，4]，g（x）∈[﹣4，0]即对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，得证；（Ⅲ）y＝|f（x）﹣2x﹣m|＝|（x﹣2）2﹣4﹣m|当m≤﹣4时，结合（Ⅱ），因为对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，则此时（x﹣2）2﹣4﹣m≥0，即有y＝（x﹣2）2﹣4﹣m，故当x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当﹣4＜m＜﹣2时，如图，由图，可得此时在x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当m≥﹣2时，如图，或，由图，可得此时当x＝2时y取最大值，即G（m）＝|﹣4﹣m|，综上G（m）＝，当m＜﹣2时，G（m）＞2，当m≥﹣2时，G（m）≥2，故G（m）的最小值为2．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．解：（1）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]，∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）；（2）∵P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），∴f（x）的定义域为R，∵f（P）∪f（M）＝R，∴f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}＝{y|y＝|x|，x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈M，分别画出y＝|x|与y＝﹣x2+2x的图象，从图象，可知：0≤a≤1，可使得f（P）∪f（M）＝R，故得实数a的取值范围是[0，1]．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．解：（1）d（A，B）＝|f A（1）﹣f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|＝2，d（A，C）＝|f A（1）+f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣0|+|1﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+0﹣0|＝3．（2）①由题d（A，B）＝cardA+cardB﹣card（A∩B），∴d（A，B）+d（A，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card（A∩C），d（B，C）＝cardB+cardC﹣card（B∩C），欲证d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C），即证2cardA+cardB+cardC﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）≥cardB+cardC﹣card（B∩C），即证2cardA+card（B∩C）≥card（A∩B）+card（A∩C），∵cardA≥card（A∩B），cardA≥card（A∩C），∴得证，原不等式成立．②d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card （A∩C）+cardB+cardC﹣card（B∩C）＝2（cardA+cardB+cardC）﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B∩C）]≤2（cardA+cardB+cardC），当且仅当card（A∩B）＝card（A∩C）＝card（B∩C）＝0时，等号成立，∴当A∪B∪C＝{x|x≤8，x∈N*}且A∩B＝A∩C＝B∩C＝∅时，有d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）最大值16．。
北京市海淀清华附中实验班高一数学上学期中试题(含解析)
高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-． 故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =． （2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ， 显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教
第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质 考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。
3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。
A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。
A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。
答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。
6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。
【20套试卷合集】北京市清华附中2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =>，下列关系中正确的为( ) A ．1A -∈B ．0A ∈C ．1A ∈D ．2A ∈．2．二次函数225y x x =-+的值域是( ) A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(,4]-∞D ．(－∞，4)3．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( ) A ．2:x y x f =→B ．23:-=→x y x fC ．4:+-=→x y x fD ．24:x y x f -=→4．设{}|10A x x =-<，{}2|log 0B x x =<，则B A ⋂等于( ) A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x <C ．{|0}x x <D ．∅5．不等式220ax bx ++>的解集是)31,21(-，则a b +的值是( ) A ．10B ．–10C ．14D ．–146．三个数20.620.6,log 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．设1322,2()((2))log 2.(1)x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨≥⎪-⎩＜，则的值为1，( ) A ．2eB ．22eC ．2D ．22e8．下列函数中既是偶函数又是（－∞，0）上是增函数的是 ( ) A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-149．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是( )10．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A (0，4)和点B (3，－2)，则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为(－1，2)时，t 的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知22)1(++=-x x x f ，则()f x ＝___________．12．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过第_______象限．13．函数)(x f ＝(]1,,212∞-∈-+x x x 的值域为__________________． 14．若函数(1)y f x =-的定义域为(1，2]，则函数1()y f x=的定义域为______．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简或求值：(本题满分8分)(1)252)008.0()949()827(325.032⨯+---(2)计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅．16．(本题满分10分)已知集合{}24260,A x x ax a x R =-++=∈，集合{}0B x x =<，若AB ≠∅，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分12分)(1)判断函数f (x )＝x x 4+在),0(+∞∈x 上的单调性并证明你的结论？ (2)猜想函数)0(,)(>+=a xax x f 在),0()0,(+∞⋃-∞∈x 上的单调性？(只需写出结论，不用证明)(3)利用题(2)的结论，求使不等式0292<+-+m m xx 在][5,1∈x 上恒成立时的实数m 的取值范围？第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．已知函数f (x )＝12++mx mx 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是_______19．设偶函数()log ||a f x x b =+在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)_____f (a ＋1)(填等号或不等号) 五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分13分)已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ，且(1)1f -=，(27)9f =，当01x ≤<时，0≤)(x f ＜1．(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若0a ≥且)1(+a f ≤39，求a 的取值范围．21．(本题满分13分)设a ∈R ，函数 f (x )＝x 2＋2 a | x －1 |，x ∈R ．(1)讨论函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值．22．(本小题满分14分)已知函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f ．(1)求()f x 的值域；(2)设函数()2g x ax =-，[2,2]x ∈-，若对于任意1[2,2]x ∈-，总存在0[2,2]x ∈-，使得01()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集},2,1,0{},4,3,2,1,0{==M U }3,2{=N 则=⋂N M C U )(（ ）A ． {}2B ． {}3C ． {}432，，D ． {}0,1,2,3,4 2．集合M ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝9－x 2，x ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{t|0≤t ≤3}B ．{t|－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅3.设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（）A.（1，3）B.（1，1） C .31(,)55D.11(,)224.下列四组函数，表示同一函数的是（） A. 22)(,)()(x x g x x f == B. x x g x x f lg 2)(,lg )(2==C. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==5． 下列函数是偶函数的是（ ）.A ． 322-=x y B ． x y = C ． 21-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 6．已知函数，则A ．−2B ．4C ．2D ．−17.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B . [0,2] C .(]2,∞- D. [2,4]8．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<9．函数()x bf x a -=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>bC ．10<<a ,0>bD ．10<<a ,0<b10． 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．已知函数()3,0,0xx a x f x a x -+≥⎧=⎨<⎩是(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．如果集合A ，B 同时满足：A ∪B={1，2，3，4}，A ∩B={1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B)为“好集对”，这里有序集对(A ，B)意指：当A ≠B 时，(A ，B)和(B ，A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y ＝2+x a －2 (a>0， a ≠1)的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标为__________．14．设函数()()2,11,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f α=，则实数α的值为是______． 15.若1052==ba , 则=+b a 11______. 16．已知函数(),y f x x R =∈，给出下列结论（1）若对任意12,x x ，且12x x ≠，都有2121()()f x f x x x -<-，则()f x 为R 上的减函数；（2）若()f x 为R 上的偶函数，且在(,0)-∞内是减函数，f （-2）=0，则()f x >0解集为（-2,2）；（3）若()f x 为R 上的奇函数，则()()y f x f x =∙也是R 上的奇函数；（4）t 为常数，若对任意的x ,都有()(),f x t f x t -=+则()f x 关于x t =对称。
【期中精品真题】北京市清华附中2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
1
则 f ( f (2))的值为 ( )
log 3 ( x2
，x 1)
2.
A． 2e
B． 2 e2
C． 2
2 D． e2
8．下列函数中既是偶函数又是（－∞， 0）上是增函数的是 ( )
4
A． y x 3
3
B． y x 2
C． y x 2
1
D． y x 4
xa x
9．函数 y
(0 a 1) 的图象的大致形状是 ( )
ax , x 0 是
,
上的减函数，则实数 a 的取值范围是（）
1
1
1
A． 0,1 B ． 0, C ． ,1 D ． ,
3
3
3
12．如果集合 A， B 同时满足： A∪ B={1 ， 2， 3， 4} ， A∩ B={1} ， A≠ {1} ， B≠{1} ，就称有序集对 (A ， B)为“好 集对”，这里有序集对 (A ， B) 意指：当 A≠ B 时， (A， B) 和 (B ， A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）
)
A． {t|0 ≤ t ≤ 3} B ． {t| －1≤ t ≤ 3} C ． {( － 2， 1) ， ( 2， 1)} D ． ?
3. 设集合 A＝ B＝ {( x, y) x R, y R} ，从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ( x 2 y,2 x y) ，
则在映射 f 下 B 中的元素（ 1， 1）对应的 A 中元素为（）
2
33 3 8
2
1.5
；
（ 2）
log 3
4
27 3
lg 25 lg 4
。
f (x)
19．（本题 12 分）设
2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)
2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集，集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：B．求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，使得C. ，都有D. ，使得【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在R单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4. 已知，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，可得．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5. “”是““的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．“”是““的充分不必要条件．故选：A．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．，，根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，故选：C．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 要得到的图象，只需将函数的图象A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8. 函数，的图象为A.B.C.D.第1页，共4页【答案】C【解析】解：，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，的图象可看成把的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，故选：C．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，即可得到的图象特征．本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10. 若为R上的奇函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：为R上的奇函数，则，即有，，当时，，，则．故答案为：．运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数是偶函数，，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即，或，解得，即实数a的取值范围，故答案为：由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12. 已知函数，若，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，故函数在上单调递增，在上单调递增，由于，且，则有，由，可得，，不等式在成立，则的解集为．故答案为：．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，，，由此求得x的范围．本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数【答案】【解析】解：根据高斯函数的性质，，那么：，则由，函数的值域为．故答案为根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；本题考查了表示不超过x的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14. 已知，，则______．【答案】【解析】解：，，即解得，，故答案为：根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15. 已知集合，．若，求；若集合中至少存在一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：时，集合，．．集合，．集合中至少存在一个整数，，或，解得．实数a的取值范围是．【解析】时，集合，，由此能求出．集合，由集合中至少存在一个整数，得，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知函数若，求的值；若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a的值．【答案】解：，可得，两边平方可得，即有；当时，在递增，可得，解得；当时，在递减，可得，解得．综上可得或．【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：讨论和，运用指数函数的单调性，可得a的方程，解方程即可得到所求值．本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．求a，b的值；若，在上为单调函数，求实数m的取值范围．【答案】解：由于函数，，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，解得．当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．若，则由可得，，再由函数在上为单调函数，可得，或，解得，或，故m的范围为．【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18. 设函数是R上的增函数，对任意x，，都有求；求证：是奇函数；若，求实数x的取值范围．【答案】解：对任意x，，都有，可令，，可得，即；证明：由任意x，，都有，可令，可得，可得，由，可得，即有为奇函数；奇函数是R上的增函数，由，即，即有，解得．实数x的取值范围为．【解析】可令，，计算可得所求；可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；由奇函数是R上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运第3页，共4页算能力，属于中档题．19. 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M．判断函数是否具有性质M，说明理由；若函数具有性质M，求实数a的取值范围；若函数具有性质M，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，由，可得，则函数具有性质M；函数具有性质M，可得，即，可得a的取值范围是；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点，由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：由解得；由解得，不等式组无解；由解得，解得．综上所述，若函数具有性质M，实数m的取值范围是或或．【解析】解方程可得想x，可判断是否具有性质M；由题意可得，解方程可得，再由性质M即可得到所求范围；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. 已知函数．当时，求函数在上的值域；若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，令，则原函数化为，，则，当时，．函数在上的值域为；由知，在区间上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得：．实数a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t的不等式组求解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。
北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2019清华附中将台路校区高19级高一数学第一学期期中考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I （ ）A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D. {2,0,1,2}-【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ）A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C【解析】【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1 故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C【解析】【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.在区间()0,∞+上是减函数的是（）A. 31y x =+B. 231y x =+C. 2y x =D.2y x x =+【答案】C【解析】【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.【详解】31y x =+在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x =()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >Ý{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B .【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B Ü；p 是q 的必要不充分条件则有：B A Ü.6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6 【答案】B【解析】【分析】由a +2ba +2b 的最小值．详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号，∴a +2b 的最小值为4．故选：B ． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题． 7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】 根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 A={x |x 2> 1},a ∈A , 则 a 的值可以为（ ） A ．-2 B ．1 C ．0 D ．1【答案】A【解析】先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选：A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 2．已知命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢ p 为（ ） A ．∃x ∈ Q ,x 2- 3≠0 B ．∃x ∉Q ,x 2- 3 = 0 C ．∀x ∈ Q , x 2- 3 ≠ 0 D ．∀x ∉ Q , x 2- 3 = 0【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题，等于的否定为不等于，逐一判断即可得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢p 为：∀x ∈ Q , x 2-3 ≠ 0， 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题与特称命题，属基础题. 3．函数 2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为（ ） A ．[4, 9] B ．[0, 9]C ．[0, 4]D ．[0, +∞)【答案】B【解析】由函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，再求值域即可. 【详解】解：因为函数2(),(23)f x x x =-≤≤，则函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数， 又(2)4f -=，(3)9f =，则(3)(2)f f >-， 又(0)0f =，即函数2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为[]0,9， 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的值域问题，重点考查了函数的单调性，属基础题. 4．已知集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，若 A ⊆B ，则实数 m 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]【答案】D【解析】由A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £，得解. 【详解】解：因为集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，又 A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £且2m ≤，即1m £ 即实数 m 的取值范围为(-∞,1]， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 5．已知 a <b <0，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a >a + b B ．a +b >b C ．a 2>ab D ．b 2>ab【答案】C【解析】由已知条件a <b <0，再结合作差法判断大小关系，逐一检验即可得解. 【详解】解：由已知有a <b <0，对于选项A ，2()0a a b a b -+=-<，即2()a a b <+，即A 错误；对于选项B ，()0a b b a +-=<，即a b b +<，即B 错误； 对于选项C ，2()0a ab a a b -=->，即2a ab >，即C 正确； 对于选项D ，2()0b ab b b a -=-<，即2b ab <，即D 错误， 即不等式正确的是选项C ， 故选：C . 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 6．“ x >1”是“1x<1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解.【详解】 解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题. 7．已知集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则集合T 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】先阅读题意，再写出集合T 即可. 【详解】解：由集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．若函数 f ( x )的定义域为 D ，对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x, x ∈ (0,1) ；② g ( x )③ h ( x ) = x 2(x ≤-1); ④ k (x ) =211x +,其中满足性质ψ的所有函数的序号为（ ） A ．①②③ B ．①③C ．③④D ．①②【答案】B【解析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，即可得解.【详解】解：对于①，f ( x ) =1x，x ∈ (0,1)，则121212()()1f x f x x x x x -=-，又12,(0,1)x x ∈，则12(0,1)x x ∈，即1211x x >，即1212()()1f x f x x x -≥-，故①符合题意；对于②，g ( x )1212()()f x f x x x -=-121,4x x ==，有1212()()113f x f x x x -=<-，故②不合题意；对于③，h ( x ) = x 2(x ≤-1)，则121212()()f x f x x x x x -=+-，又(]12,x x ∈-∞,-1，则121x x +>，则1212()()1f x f x x x -≥-，故③符合题意；对于④，不妨取120,1x x ==，则121211()()121012f x f x x x --==<--，故④不合题意， 综上可得满足性质ψ的所有函数的序号为①③，【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9．已知a,b,c,d为互不相等的实数，若|a-c|=| b-c |=| d-b|=1,则|a-d|=_____【答案】3【解析】由|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，去绝对值符号可得a+b﹣2c ＝0，同理可得2b﹣c﹣d＝0，联立即可得a﹣d＝3（c﹣b），再结合题意即可得解.【详解】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a﹣c+b﹣c＝0即a+b﹣2c＝0．①∵|b﹣c|＝|d﹣b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b﹣c＝d﹣b即2b﹣c﹣d＝0．②①②相加可得：a+3b﹣3c﹣d＝0．即a﹣d＝3（c﹣b），又因为|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝3|b﹣c|＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了含绝对值符号的等式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2- 4x+1，则f(0)＋f(1)=_____ 【答案】-2【解析】由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x>0时f(x)=x2- 4x+1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：-2.【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.11．若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】由待定系数法求解析式，设f（x）＝kx+b，k≠0，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案为：f（x）＝﹣2x+2.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了利用待定系数法求解析式，属基础题. 12．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,其中a为常数,且当年产量为200 时，总成本为15000. 记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=总成本年产量），则当Q =________., f(Q) 取得最小值，这个最小值为________.【答案】100 60【解析】先阅读题意，再列出该产品的平均成本f(Q)与年产量Q之间的函数关系，再结合重要不等式求解即可，一定要注意取等的条件.【详解】解：某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2+3000，其中a为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a+3000，解得a3 10 =，所以C310=Q2+3000，该产品的平均成本为f（Q）3300010QQ=+≥=60．当且仅当3300010QQ=，解得Q＝100，即Q＝100时，f（Q）取得最小值，最小值为60．故答案为：(1). 100 (2). 60 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了重要不等式，属中档题. 13．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得即2a+b=0，再求f(2)的值. 【详解】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：4 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____ （2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点【答案】4或0 4【解析】（1）函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点等价于y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有两个不同的交点，再结合图像即可得解；（2）先由函数g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，求得函数g （x ）的零点0x ，再求解0()f x x =的解的个数即可.解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点．又y ＝f （x ）的图象如图：由图可得：当y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点时， k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞， 当x ≤0时，2x +1＝0，得x 12=-； 此时f （x ）12=-，由图可知有一个解； 当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增，∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解， ∴共有四个解．故答案为：(1). 4或0(2). 4【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题15．解下列关于 x 的不等式：（1） x 2-2x - 8≤0； （2） x 2+ 4x +5>0 ； （3） x 2≤ax【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤4}（3）当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}【解析】（1）先将x 2﹣2x ﹣8≤0因式分解得（x ﹣4）（x +2）≤0，再求解集即可； （2）将x 2+4x +5用配方法可得x 2+4x +5＝（x +2）2+1，再解不等式即可；（3）分类讨论当a ＝0时；当a ＞0时；当a ＜0时，再求解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由x 2﹣2x ﹣8≤0，得（x ﹣4）（x +2）≤0，所以﹣2≤x ≤4，所以不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤4}；（2）因为x 2+4x +5＝（x +2）2+1≥1， 所以不等式x 2+4x +5＞0的解集为R ； （3）由x 2≤ax ，得x 2﹣ax ＝x （x ﹣a ）≤0，所以当a ＝0时，x ＝0；当a ＞0时，0≤x ≤a ；当a ＜0时，a ≤x ≤0， 所以当a ＝0时，不等式的解集为{0}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}． 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，主要考查了含参不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．已知集合 A = {x|-1 ≤x ≤1} ， B = {x|2x ≥a } ， （1）当 a =0 时，求A ⋂B ;（2）若 A ⋃B =B ，求实数 a 的取值范围；（3）记集合C =A ⋂B ，若 C 中恰好有两个元素为整数，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) A ∩B ＝[0，1]；(2) （﹣∞，﹣2]；(3) （﹣2，0]．【解析】（1）由a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，再求交集即可； （2）由集合的运算A ∪B ＝B ，可得集合间的包含关系A ⊆B ，再列不等式求解即可; （3）由集合A 中有三个整数-1，0，1,再结合{|}2aB x x =≥求解即可. 【详解】解：（1）当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[0，1]； （2）∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，且{|}2a B x x =≥， ∴12a≤-，∴a ≤﹣2， ∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （3）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴102a-≤＜，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]． 【点睛】本题考查了集合的运算及集合间的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题. 17．已知函数 f ( x ) =ax 2-2ax +1(a ≠ 0)（1）比较 f （1f （1 （2）若函数 f ( x ) 的图像恒在 x 轴的上方，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 f ( x ) 在[-1,2]上的最大值为 4，求 a 的值.【答案】(1) f （1）＝f （1）；理由见解析(2)（0，1）；(3) a ＝1或﹣3． 【解析】（1）将1-+（2）由二次函数的图像可得函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，运算即可得解；（3）分别讨论当a ＞0时，当a ＜0时，利用函数在[-1,2]的单调性求出函数的最大值，再结合题意求参数的值即可 【详解】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，则f （1）＝1+a ，f （1+1+a ，故f （1）＝f （1+； （2）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（3）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1，分2种情况讨论：①当a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ，则有1+3a ＝4，解可得：a ＝1，②当a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3；综合可得：a ＝1或﹣3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18．已知集合 M =(-1,1)，对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++ （1）求ϕ(0, 12) 的值； （2）如果 0<x <1，求ϕ( x ,1-x ) 的最小值；（3）求证：∀x ,y ∈M ，ϕ( x ,y ) ∈M【答案】(1)1 2 (2)4 5； (3)证明见解析【解析】（1）先理解新定义的运算，再求值即可； （2）由新定义的运算，得出()2111x x x x ϕ-=-++，，再结合分式函数求最值即可得解；（3）利用新定义的运算求证即可.【详解】解：（1）因为对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++， 则101120122102ϕ+⎛⎫== ⎪⎝⎭+⨯，； （2）()()()2111111x x x x x x x x ϕ+--==+--++，，由于x ∈（0，1）时，21551()1244x x x ⎛⎤-++=--+∈ ⎥⎝⎦，，所以()4115x x ϕ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，，，即函数的最小值为45； （3）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以11x y xy++＜；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以11x y xy+-+＞，综上，1x y M xy+∈+． 即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．【点睛】本题考查了阅读能力，主要考查了对新定义的理解，重点考查了运算能力，属中档题. 19．已知函数 f ( x ) 满足：函数 y =()f x x在(0,3]上单调递增. （1）比较3f (2) 与 2f (3) 的大小，并说明理由；（2）写出能说明“函数 y =f ( x ) 在（ 0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（3）若函数的解析式为 f ( x ) =ax 3+ (1-a )x 2，求 a 的取值范围.【答案】(1) 3f （2）＜2f （3），理由见解析；(2) f （x ）＝﹣1 (3)1 15a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【解析】（1）由()f x y x =在（0，3]上单调递增，则有()()2323f f ＜，得解；（2）由题意可得f （x ）＝﹣1满足要求；（3）y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增观察二次函数的开口,再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可.【详解】（1）3f （2）＜2f （3），理由如下：∵()f x y x =在（0，3]上单调递增，∴()()2323f f ＜，∴3f （2）＜2f （3）；（2）f （x ）＝﹣1；（3）∵y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增，当a ＞0时，对称轴10a x a -=≤时符合题意，解得a ∈（0，1]；当a ＜0时，对称轴132a x a -=≥时符合题意，解得105a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，115a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了分离变量最值法求参数的范围，属中档题. 20．设A (x A ,y A )， B (x B ,y B )为平面 直角坐标系上的两点，其中x A ,y A ,x B ,y B 均为整数3B A B A x x y y -+-= ，则称点 B 为点A 的“相关点”.点P 1是坐标原点 O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，······依次类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”.注：点A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)间的距离AB =（1）直接写出点 O 与点P 1间的距离所有可能值（2）求点 O 与点P 3间的距离最大值；（3）求点 O 与点P 2019间的距离最小值.【答案】(1) 3(2)9 (3)1【解析】（1）先阅读题意，再由题意直接写出可能值即可；（2）理解题意，结合（1）可得当点1P 为（3，0），点2P 为（6，0），点3P 为（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大；（3）“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，再按题意求解即可.【详解】解：（1）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3（2）因为点O （0，0），所以由（1）可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大，∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（3）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，此时点P 2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P 2016（0，0）﹣﹣P 2017（2，1）﹣﹣P 2018（1，3）﹣﹣P 2019（0，1），所以点O 与点P 2019间的距离最小值为1．【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了阅读能力，属中档题.。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2. 如图，矩形 ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD 上，N 是矩形两对角线的交点．若AB = 24，AD = 32，MD = 16，ED = 8，FD = 7，则下列哪一条直线是 A 、C 两点的对2019 年清华附中新高一分班考试数学试题 真题一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1.下表为小洁打算在某电信公司购买一支 MA T 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()号码的月租费(元)MA T 手机价格(元)甲方案40015000乙方案60013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600. .....称轴？( )A. 直线 MNB. 直线 ENC. 直线 FND. 直线 DN3.如图，在正方形 ABCD 中，AB = 3，点 E ，F 分别在边 AB ，CD 上，∠EFD = 60°.若将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为()A. 1B. √2C. √3D. 24.如图，抛物线y = ax 2 + bx + c 的对称轴是x = 1，下列结论：①abc > 0；②b 2 − 4ac > 0；③8a + c < 0；④5a + b + 2c > 0，正确的有( )A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A.113B.124C.129D.1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA.IC和I′A′平行，I I′和L平行C.IC和I′A′不平行，I I′和L平行B.IC和I′A′平行，I I′和L不平行D.IC和I′A′不平行，I I′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A.√2+1B.√2+12C.2√2+1D.2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A.24√3−4πB.12√3+4πC.24√3+8πD.24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A.21B.542 C.524 D.748711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A.(0,9)2B.(0,27)2C.(0,9)D.(0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B.2C.2√3−2D.4−2√3二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13. 如图，从一块半径为 1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC = 90°，点 M ，N 分别在射线 BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN = 4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA ，BC 的距离分别为 4 和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为______．15. 设 A ，B ，C ，D 是反比例函数y = k 图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形 ABCD 可以是平行四边形；②四边形 ABCD 可以是菱形；③四边形 ABCD 不可能是矩形；④四边形 ABCD 不可能是正方形．其中正确的是______. (写出所有正确结论的序号)16. 矩形纸片 ABCD ，长AD = 8cm ，宽AB = 4cm ，折叠纸片，使折痕经过点 B ，交 AD 边于点 E ，点 A 落在点A′处，展平后得到折痕 BE ，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE 的长为______厘米．17. 已知二次函数y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的 y 与 x 的部分对应值如下表：xy−56 −4−2−6−426下列结论：①a > 0；②当x = −2时，函数最小值为−6；③若点(−8, y 1)，点(8, y 2 )在二次函数图象上，则y 1 < y 2；④方程ax 2 + bx + c = −5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______. (把所有正确结论的序号都填上)18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = √3 + 2，AD = √3.把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的D′处，再将△ AED′绕点 E 顺时针旋转α，得到△ A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F. A′D″交 AB 于点 G ，连接AA′.有如下结论：①A′F的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√3π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论12中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3．5(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20.如图，△ADE△由ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EP=PC．PF CF21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：xy……−2m−1−31n2−3……(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．24. 已知∠MPN 的两边分别与⊙ O 相切于点 A ，B ，⊙ O 的半径为 r ．(1)如图 1，点 C 在点 A ，B 之间的优弧上，∠MPN = 80°，求∠ACB 的度数；(2)如图 2，点 C 在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形 APBC 为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；(3)若 PC 交⊙ O 于点 D ，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 r 的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD△，ACE△，BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 2于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段P A与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标P的坐标……(−2,0)______(0,0)(0,−1)(2,0)(2,−2)(4,0)______……猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>5162，即x至少为517．3故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴AN=AP，AD AC即20=AP，3240解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．2a =1，可得b=−2a，本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则I D//I′F，∵△ABC的内心为I△，A′B′C的内心为I′，∴I D=I E=I F，∠I C D−1∠ACB，∠I′A′C=1∠B′A′C，22∴四边形I D FI′是矩形，∴I I′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠I C D>∠I′A′C，∴I C和I′A′不平行，作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，由内心的性质得出I D=I E=I F，∠I C D=1∠ACB，∠I′A′C=21∠B′A′C，证出四边形I D FI′是矩形，得出I I′//L，证出∠I C D>∠I′A′C，得出IC和I′A′不平行，即可得出结论．2本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE//BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，∠DAN=∠BCM在DNA△和BMC中，{∠DNA=∠BMC，△AD=BC∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；∠ADE=∠CBF在ADE△和CBF中，{AD=BC，△∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE=FC，DE=BF，故③正确；∴DE−DN=BF−BM，即NE=MF，∵DE//BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM//FN，故②正确；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE=FC，△DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，360 4 3 2 3 ∴ BD = 2√2，∴ CD = 2√2 + 1，∴ OM = 1 CD = √2 + 1，即 OM 的最大值为√2 + 1；2 2 2故选：B ．根据同圆的半径相等可知：点 C 在半径为 1 的⊙ B 上，通过画图可知，C 在 BD 与圆 B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 OM 为最大值是点 C 的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB ．由题意，OA = OB = AB = 4，∴ S 弓形AmB = S扇形OAB − △?? AOB = 60⋅π⋅42 − √3 × 42 = 8 π − 4√3， ∴ S 阴 = 6 ⋅ (S半圆 − S 弓形AmB ) = 6 ⋅ (1 ⋅ π ⋅ 22 − 8 π + 4√3) = 24√3 − 4π，故选：A ．设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB 首先求出弓形 AmB 的面积，再根据S 阴 = 6 ⋅ (S 半圆 − S 弓形AmB )求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ ADE △，BDF ，△ CEG ，平行四边形 DEGF 的面积分别为S 1，S 2，S 3和 S ，过点 D 作DH//EC ，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而△ DFH≌△ EGC ，∴ △?? DFH = S 3，∵ DE//BC ，∴△ ADE∽△ ABC ，DE = 3，BC = 7，49×14，1349×14，∵△??ABC=14，∴S1=9∴△??BDH：S=(2×4)：3=2：3，∴△??BDH=2S，∴2S+S=14−3∴S=48．79故选：D．如图，设△ADE，△BDF△，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√332∴C(−3+√3,2)3设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√3+3)2=2，3∴a=3，2∴y=3(x+3)2，227= 1 2 2 故选：B ．设B(−3 − m, 2)，C(−3 + m, 2)，(m > 0)，可知BC = 2m ，再由等边三角形的性质可知C(−3 + 2 √3, 2)，设抛物线 3解析式y = a(x + 3)2，将点 C 代入解析式即可求 a ，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接 PF ，QF ，PC ，QC ，∵ P 、Q 两点分别为△ ACF △、 CEF 的内心，∴ PF 是∠AFC 的角平分线，FQ 是∠CFE 的角平分线，∴ ∠PFC = 1 ∠AFC = 30°，∠QFC = 1 ∠CFE = 30°， 22 ∴ ∠PFC = ∠QFC = 30°，同理，∠PCF = ∠QCF∴ PQ ⊥ CF ，∴△ PQF 是等边三角形，∴ PQ = 2PG ；△易得 ACF≌△ ECF ，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴ AC = 2√3，AF = 2，CF = 2AF = 4，∴ △?? ACF = 1 AF × AC = 1 × 2 × 2√3 = 2√3，过点 P 作PM ⊥ AF ，PN ⊥ AC ，PQ 交 CF 于 G ，∵点 P △是 ACF 的内心，∴ PM = PN = PG ，∴ △?? ACF = △?? PAF + △?? PAC + △?? PCF1 1 1= AF × PM + AC × PN + CF × PG 2 2 2 1 1 × 2 × PG + × 2√3 × PG + × 4 × PG 2 2 23+√3=√3−1=(3+√3)PG=2√3，∴PG=2√3∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1，180而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1，180解得，r=1，3故答案为：1．3求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y=ax2+bx+c得，16a−4b+c=0a=1{c=−4，解得，{b=3，4a+2b+c=6c=−4∴抛物线的关系式为y=x2+3x−4，a=1>0，因此①正确；对称轴为x=−3，即当x=−3时，函数的值最小，因此②不正确；22把(−8,y1)(8,y2)代入关系式得，y1=64−24−4=36，y2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax2+bx+c=−5，也就是x2+3x−4=−5，即方x2+3x+1=0，由b2−4ac=9−4=5>0可得x2+3x+1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵△将AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′F=D′E1√3=√3，3∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3=5√3π，故②正确；180°12∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F△与A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′=30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF=7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60=60⋅3，x+2x5解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3这个等量关系列出方程即可．5(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE△由ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°△，ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EP=DH，PF HF∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EP=DH，PF HF∴EP=PC．PF CF【解析】(1)由旋转的性质得出AB = AD ，∠BAD = 90°△，ABC≌△ ADE ，得出∠ADE = ∠B = 45°，可求出∠BDE的度数；(2)①由旋转的性质得出AC = AE ，∠CAE = 90°，证得∠FPD = ∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论；②过点 P 作PH//ED 交 DF 于点 H ，得出∠HPF = ∠DEP ，EP = DH ，证明△ HPF≌△ CDF(ASA)，由全等三角形的性 PFHF质得出HF = CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图 1 △中， A′B′C′即为所求．(2)如图 2 △中， AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出 A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB = 2√5，BC = √5，AC = 5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x = 1 A 1A 2 = A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x = 1；故答案为：上，直线x = 1；(2)把(−1,0)，(0, −3)，(2, −3)代入y = ax 2 + bx + c ，得：a −b +c = 0{c = −3，4a + 2b + c = −3a = 1解得：{b = −2，c = −3∴抛物线解析式为y = x 2 − 2x − 3，当x = −2时，m = 4 + 4 − 3 = 5；当x = 1时，n = 1 − 2 − 3 = −4；(3)画出抛物线图象，如图 1 所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A1A2=A3A4．故答案为：A1A2=A3A4．(1)观察表格中的数据，得到x=0和x=2时，y值相等都为−3，且其他y的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC=4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x<7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y=a(x−1)(x−5)，过点A(0,10)，∴10=5a，∴a=2，∴抛物线解析式为：y=2(x−1)(x−5)=2x2−12x+10；(2)当m=−2时，直线l2：y=−2x+n(n≠10)，∴直线l2：y=−2x+n(n≠10)与直线l1：y=−2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP,yP)，∴{yP=−2xP+nyP=−2xP+10∴ △?? ABE + △?? CEF = 5t + 5(4−t)2= 10t + 80− 40 = 10(√t − 2√2)2 + 40√2 − 40，(3)通过证明△CEF∽△BEA ，可得S △CEF =(CE)2，BE ，则，可求??=1×t ×10=2 CE ∵ n = 10与已知n ≠ 10矛盾，∴ l 1与l 2不相交，∴ l 2//l 1；(3)如图，、∵直线l 3：y = −2x + q 过点 C ，∴ 0 = −2 × 1 + q ，∴ q = 2，∴直线l 3，解析式为 L ：y = −2x + 2，∴ l 3//l 1，∴ CF//AB ，∴ ∠ECF = ∠ABE ，∠CFE = ∠BAE ，∴△ CEF∽△ BEA ，∴ S △CEF S △ABE = (CE)2，BE设BE = t(0 < t < 4)，则CE = 4 − t ，∴ △?? ABE = 1×t × 10 = 5t ，∴ △?? CEF = (BE )2 × △?? ABE = (4−t )2 × 5t = 5(4−t)2，√t ∴当t = 2√2时，△?? ABE + △?? CEF 的最小值为40√2 − 40．【解析】(1)先求出点 A ，点 B ，点 C 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；5t，△??CEF =5(4t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，∴阴影部分的周长= PA + PD + AD = √3r + r + π r = (√3 + 1 + π)r ． S △BFC ⏜ ⏜ 同理可得： S 3 S 3 ∴△ APC≌△ BPC(SAS)，∴ ∠ACP = ∠BCP = 30°，AC = BC ，∴ ∠APC = ∠ACP = 30°，∴ AP = AC ，∴ AP = AC = PB = BC ，∴四边形 APBC 是菱形；(3) ∵⊙ O 的半径为 r ，∴ OA = r ，OP = 2r ，∴ AP = √3r ，PD = r ，∵ ∠AOP = 90° − ∠APO = 60°，∴ AD = 60°π⋅r= π r ， 180∘ 3⏜ 3 3【解析】(1)连接 OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO = ∠PBO = 90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB = 60°时，四边形 APBC 是菱形，连接 OA ，OB ，由切线长定理可得PA = PB ，∠APC = ∠BPC = 30°，由“SAS ”可证△ APC≌△ BPC ，可得∠ACP = ∠BCP = 30°，AC = BC ，可证AP = AC = PB = BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出 AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD ，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1 + S 2 = S 3【解析】解：类比探究(1) ∵ ∠1 = ∠3，∠D = ∠F = 90°，∴△ ADB∽△ BFC ，∴ S△ADB = (AB )2，BCS △AEC S △BFC = (AC )2，BC∵ AB 2 + AC 2 = BC 2，∴ S 1 + S 2 = (AB )2 + (AC )2 = AB 2+AC2= 1，BC BC BC 2∴ S 1 + S 2 = S 3，故答案为：S +S =S ．。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
（）
A．40° 【答案】C
B．80°
C．20°
2
D．10°
【解析】由 △PAB 为等腰三角形求出 PAB 70 ，再证明 PA AC ，最后由 BAC PAC PA 得出答案.
【详解】
PA PB,P 40
PAB 为等腰三角形，且 PAB 180 40 70 2
PA 是 O 切线， A 为切点， AC 是直径 PA AC 即 BAC PAC PAB 90 70 20
2．分式
x2
x
x 1
2
的值为
0，则
x
的值为（
）
A． 1或 2
B．2
C． 1
【答案】B
x2 x 2 0
【解析】将该分式化为
|
x
|
1
0
，求解即可.
【详解】
x2 x 2 0 x 1
D． 2
x2 | x
x | 1
2 0
0
，解得
x
2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.
2019-2020 学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
一、单选题
1．化简 a a2 （ ）
A． a
B． a
C． a
D． a2
【答案】B
【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】
1
a
a2
a
a2
1 2 2
a2
1
2 a .
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C 等于（ ）
北京市清华大学附属中学2018-2019学年高一上期中考试数学试题
清华附中2018-2019学年度第一学期期中测试高一数学一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集，R U =集合{}{}，＜，＞1|0|x x B x x A ==则集合()=B A C U （ ） A.()0，∞- B.(]0，∞- C.()∞+，1 D.[)∞+，12.设命题，＜，1:2x R x p ∈∃则p ⌝为（ ）A.12＜，x R x ∈∀B.12≥∈∃x R x ，C.12≥∈∀x R x ，D.12=∈∃x R x ，3.下列函数中,既是奇函数又在R 单调递减的是( ) A.xy 1= B.x e y -= C.x y ln = D.x x y -= 4.已知，，，2log 2log 3log 5.032===c b a 那么A.c b a ＜＜B.b c a ＜＜C.a c b ＜＜D.b a c ＜＜5.“b a ＞”是“b a ＞“的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()x x x f 2log 12+-=的零点所在的一个区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛4181， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D.()21， 7.要得到()()x x g 2log 2=的图像,只需将函数()x x f 2log =的图像（ ）A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位8.函数()0110＜＜，＜＜b a a y b x -=+的图像为( )A B C D二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.函数()x x y -+-=211ln 的定义域是__________.10.已知，，a x a ==lg 24则=x ________.11.若()x f 为R 上的奇函数,当0＜x 时,()()，x x f -=2log 2则()()=+20f f _______.12.已知函数()x f 对于任意R x ∈满足f ()()，x f x f =-且当0≥x 时，()，12+-=ax x x f 若()x f 恰有4个零点,则实数a 的取值范围是_________.13.已知函数()，＞，，⎩⎨⎧≤+=1log 112x x x x x f 若()()，＞1+x f x f 则x 的取值范围是_________. 14.函数()[][]x x x f 33-=的值域是________.(注:其中[]x 表示不超过x 的最大整数)三、解答题(共6小题,19、20题每题14分，其余每题13分,共80分)15.已知集合{}{}.056|012|22＜，+-=≤+-=x x x B ax x x A(1)若，8=a 求；B A(2)若集合B A 中至少存在一个整数,求实数a 的取值范围。
2023-2024学年北京清华附中高一(上)期中数学试卷和答案
2023北京清华附中高一（上）期中数 学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1}B ．{0}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}2．命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（ ）A ．()21,0,0x x x ∀∈-+>B ．()21,0,0x x x ∀∈-+≤C ．()21,0,0x x x ∃∈-+>D ．()21,0,0x x x ∃∈-+≥3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=-4．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．45．已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（ ）A ．0a c +>B ．0a b +<C ．0ab >D ．0ac <6．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,8C ．[]1,8D ．[]1,8-7．已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y +的最小值是（ ）A B ．C ．32D ．2+8．若函数()22f x x ax =-+与函数()a g x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()()1,00,1-U B ．()(]1,00,1-U C ．()0,1D ．(]0,19．对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）A ．R x ∃∈，[][]442x x =+B ．R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C ．,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x y D ．,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10．已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ）A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题11．函数()f x =的定义域是 .12．已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x = ．三、双空题13．已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为 ；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是 ．四、填空题14．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是 .15．已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是 ．五、问答题16．求下列关于x 的不等式的解集．(1)23100x x -->；(2)4101x +≤-；(3)22(2)0x x a a ++-<．17．设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．(1)当2a =时，分别求R ,A B A B ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)当1k =时，求2212x x +的值；(3)若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．六、应用题19．某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．(1)请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；(2)在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？七、问答题20．已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；(3)是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.(1)设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；(2)设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．参考答案一、单选题1．【答案】B【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3．【答案】B【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6．【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7．【答案】C11．【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.三、双空题13．【答案】 ()0,∞+ [)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t >⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t ⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.四、填空题14．【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15．【答案】①②④16．【答案】(1)(,2)(5,)-∞-⋃+∞17．【答案】(1)R 2,3,2,3A B A B =-= ð(2)3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【详解】（1）由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；（2）由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18．【答案】(1)()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)1419．【答案】(1)()180138,0,100105y x x x =--∈+20．【答案】(1)()245f x x x =--(2)()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩(3)12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【详解】（1）因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.（2）由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.（3）因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21．【答案】(1){}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题一、单选题1=（ ）AB ．a -C ．aD ．2a【答案】B【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.【详解】()()11122222a a a a ⎡⎤=-⋅=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2．分式221x x x ---的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-或2B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】将该分式化为220||10x x x ⎧--=⎨-≠⎩，求解即可.【详解】2201x x x --=- 220||10x x x ⎧--=∴⎨-≠⎩，解得2x =故选：B【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题. 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】A【解析】连接BD ，EF 是ABD △的中位线可得BD 的长，根据边长判断90BDC ∠=可得答案.【详解】连接BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以EF 是ABD △的中位线，24BD EF ==，5BC =，3CD =，所以222BD CD BC +=，所以90BDC ∠=，4tan 3BD C CD == 故选：A.【点睛】本题考查了中位线、三角函数求值问题，属于基础题.4．如图，PA 、PB 是O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，40P ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．40°B ．80°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】由PAB △为等腰三角形求出70PAB ︒∠=，再证明PA AC ⊥，最后由BAC PAC PA ∠=∠-∠得出答案.【详解】,40PA PB P ︒=∠=PAB ∴为等腰三角形，且18040702PAB ︒︒︒-∠== PA 是O 切线，A 为切点，AC 是直径PA AC ∴⊥即907020BAC PAC PAB ︒︒︒∠=∠-∠=-=故选：C【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，属于基础题.5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A ．12B ．516C ．716D ．34【答案】D【解析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可.【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种： ()()1,2,1,4,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共12种， 故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是123164=. 故选：D【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 （ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】A 【解析】先根据矩形的特点求出BE 的长，再由翻折变换的性质得出CEF △是直角三角形，利用勾股定理即可得出CF 的长，再在Rt ABC 中利用勾股定理即可得出AB 的长.【详解】因为四边形ABCD 是矩形，8AD =，AEF 是AEB △翻折而成，所以3,BE EF AB AF ===，CEF △是直角三角形，835CE =-=，在Rt CEF 中，2222534CF CE EF =-=-=，设AB x =，在Rt ABC 中，222AC AB BC =+，即()22248+=+x x ，解得6x =，所以6AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变.属于较易题.7．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大，当点P 在CB 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】当点P 由点A 向点D 运动，即0≤x ≤4时，y 的值为0；当点P 在DC 上运动，即4＜x ≤8时，y 随着x 的增大而增大；当点P 在CB 上运动，即8＜x ≤12时，y 不变；当点P 在BA 上运动，即12＜x ≤16时，y 随x 的增大而减小．故选：B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势，属于基础题．8．若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上，②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数22410102x x x y x x⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】根据“友好点对”的概念知，函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象的交点个数即为函数y 的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可.【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象如下图所示：由图可知它们的交点有两个，所以函数y 的“友好点对”有2对.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.二、填空题9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于______【答案】1-【解析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】根据根与系数的关系得2,1a b ab +==-则()()()()22211a b a b ab a b -+-+=---=-故答案为：1-【点睛】本题主要考查了由一元二次方程的根求值，属于基础题.10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示.如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1k x k <<+，k 为整数，则k =______【答案】0【解析】由甲、乙、丙的图看出，2和6,1,3,2都相邻，可得出2的对面的数字和3的对面的数字，然后解方程1x m n +=即可.【详解】由图知，2和6,1,3,2都相邻，所以2的对面的数字为4，即m =4，3的对面的数字为6，n =6，所以方程1x m n +=即为146x +=，解得41log 6x +=，即()443log 61log 0,12x =-=∈， 因为x 满足1k x k <<+，k 为整数，所以k =0故答案为：0【点睛】本题主要考查正方体相对面问题以及指数方程的解法，还空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且8BF CF ==，则AB 的长为______【答案】6【解析】先判断出90BDC ∠=︒，然后在Rt BDF 中求出BD 的长度，继而在Rt ABD △中求出AB ．【详解】8BF CF ==，30FBC C ∴∠=∠=︒，30EBF CBF ∴∠=∠=︒（折叠的性质）， 60EBC ∴∠=︒，30ABD ∠=︒，90BDF ∴∠=︒，在Rt BDF 中，cos BD BF EBF =∠=在Rt ABD △中，cos 6AB BD ABD =∠==． 故答案为：6【点睛】本题考查了翻折变换的知识，涉及了解直角三角形的相关知识，解答本题的关键是判断出BDC ∠为直角，30ABD ∠=︒，难度一般．12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x 也可记为()2f x x =，当1x =时的函数值可记为()11f =）.已知()x f x x=，若a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，则()()()f a f b f c ++的所有可能值为______【答案】1或1-【解析】根据题意得0,0a c ><，0b >或0b <，进而得()()()f a f b f c ++的所有可能值为1或1-.【详解】解：因为a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，所以0,0a c ><，0b >或0b <，当0,0a c ><，0b >时，()()()1f a f b f c ++=，当0,0a c ><，0b <时，()()()1f a f b f c ++=-.故答案为：1或1-【点睛】本题考查函数值得求解，解题的关键在于由已知得0,0a c ><，0b >或0b <，是基础题.13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是______【答案】6【解析】分析各正方体的边长，利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】底层正方体的表面积为24，第2层正方体的棱长为2222⨯=1422⨯=，第3层正方体的棱长为2222⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭，每个面的面积为21412⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，，第n层正方体的棱长为1222n-⎛⨯⎝⎭，每个面的面积为1142n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，则该几何体为n层，则它的表面积为2151111244444402222n n--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯++⨯=-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，5140392n-⎛⎫->⎪⎝⎭，解得5112n-⎛⎫<⎪⎝⎭，∴该塔形中正方体的个数至少是6.故答案为：6【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.14．如图，三棱柱111ABC A B C-中，底面1AB=，2BC=，三个侧面都是矩形，13AA=，M为线段1BB上的一动点，则当1AM MC+最小时，BM=______【答案】1【解析】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，连接1AC ，此时11AM MC AC +=最小，再利用三角形相似求解.【详解】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11AB BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，如图所示：连接1AC 与1BB 交于点M 时， 11AM MC AC +=最小，因为1//BM CC ， 所以1ABM ACC ，所以1BM AB CC AC=， 即1312BM =+， 解得1BM =故答案为：1【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上.若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG的面积之和是______【答案】25【解析】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===，由勾股定理得22()25x x z ++=，22()25y y z +-=，两式相减得+=x z y ，从而可求得22x y +．【详解】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===， 则22()25x x z ++=，22()25y y z +-=， 两式相减得：2()()0x y x y z +-+=， ∵0x y +>，∴0x y z -+=，即+=x z y ， ∴2222()25x x z x y ++=+=． 故故答案为：25．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，题中证明+=x z y 是解题关键．16．如图，CD 为直角ABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE AC ⊥，设ADE ，CDB △，ABC 的周长分别是1p ，2p ，p ，当12p p p+取最大值时，AB =______【答案】2【解析】易证Rt ADE Rt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△，令BC a =，AB c =，即可求得212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++，根据二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为CD AB ⊥，DE AC ⊥ 所以易得Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△．令BC a =，AB c =，则2a DB c =，2a AD c c =-．于是212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++． 由二次函数性质知，当112(1)2a c =-=⨯-， 即12BC AB =时，12p p p +取最大值时，因为1BC =，所以2AB =故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x 的取值是解题的关键．17．如图放置的等腰直角ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为______【答案】42π+【解析】先根据题意画出点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象，再根据图象求面积即可得答案. 【详解】解：根据题意得点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象如图所示，其轨迹与x 轴围成的图形是由以2为半径的四分之一的圆弧，以2238的圆弧以及ABC 构成，故两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为：(222131222242482S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 故答案为：42π+ 【点睛】本题考查点的运动轨迹（圆），考查数形结合思想，是中档题.18．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）1234567 35791113 812162024 20283644 486480⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】12288【解析】设,m n a 表示第m 行的第n 个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出2,(21)2m m n a m n -=+-，从而得出这个数表中的第11行第7个数.【详解】设,m n a 表示第m 行的第n 个数由数表可知，每一行成等差数列，且第m 行的公差为12m - 则11,,(1)2m m n m a a n -=+-2,11,11,21,122m m m m m a a a a ----=+=+，则,11,111224m m mm a a ---=即数列,12m m a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为14的等差数列则,11(1)224m ma m -=+，即2,1(1)2m m a m -=+ 212,(1)2(1)2(21)2m m m m n a m n m n ---∴=+⋅+-+-=即9911,7(11141)224212288a =+-⨯=⨯= 故答案为：12288 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.三、解答题19．如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C .（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由. 【答案】（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+()03t ≤≤；（3）1t =或2；不是菱形；答案见解析.【解析】（1）由条件可得()0,1A ，()3,2.5B ，可求得直线AB 的解析式. （2）由t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+ ，2517144NP t t =-++，再根据s MN NP MP ==-得出答案.(3) 若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =,再分别计算能否为菱形.【详解】解：（1）抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，则()0,1A . BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C ,5175931442B y =-⨯+⨯+=,所以()3,2.5B设直线AB 的解析式为y kx b =+则1532b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩可得直线AB 的解析式为112y x =+ （2）点P 从O 点移动到C 点共要3秒,所以03t ≤≤t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+2517144NP t t =-++2517111442s MN NP MP t t t ⎛⎫==-=-++-+ ⎪⎝⎭251544t t =-+()03t ≤≤（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =所以当1t =或2时，四边形BCMN 为平行四边形. ①当1t =时，32MP =，4NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，52MC ==，故MN MC =，此时四边形BCMN 为菱形 ②当2t =时，2M P =，92NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，MC ==MN MC ≠，此时四边形BCMN 不是菱形.【点睛】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题.20．函数()f x ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使()00f x x =成立，则称以()00,x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点.（1）若函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若2a =，直线l ：()11y a x b =-+-与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在by x=的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ x ⊥轴，垂足是Q ，若四边形ABQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数()f x ，对任意的x 有()()f x f x -=-恒成立.下述命题“若函数()f x 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明.【答案】（1）0a >且9a ≠；3b =；（2）56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）正确；证明见解析. 【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程3x ax x b+=+有两个不等的实根，且互为相反数，转化为二次方程，利用根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）和2a =，求得:2l y x =-+，设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2AOB AOQP S S -=四边形△，列出方程，即可求解；（3）定义在R 上的奇函数()f x 必有()00f =，再设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，结合奇函数的定义得出()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点， 可得3x ax x b+=+有两个互为相反数的根00,x x -()00x ≠即()230x b x a +--=()x b ≠-有两个互为相反数的根00,x x -，带入得()()()2002003030x b x a x b x a ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，两式相减得()0230b x -=，所以3b =，方程变为20x a -=()3x ≠-，所以0a >且9a ≠.（2）由（1）得2a =，3b =，所以l ：2y x =-+，即()0,2A ，()2,0B设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2t >，所以(),0Q t ()2t > 又因为2AOB AOQP S S -=四边形△，所以131222222t t ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得52t =， 所以P 点的坐标56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭. （3）正确①在()()f x f x -=-，令0x =，可得()()00f f =-，所以()00f =， 所以()0,0为函数的不动点，②设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，则()00f x x =， 所以()()000f x f x x -=-=-，所以()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点. 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及合理应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l：()43y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标 【答案】（1）30BAO ∠=︒；（283；（3）()2,0-. 【解析】（1）由题意得()434,003A B ⎛- ⎝⎭，，，则3tan 3BAO ∠=，得出答案. (2) 由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上, 光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212F M MF F M MF F F ''+=+=可得出答案.(3) 对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，即可得答案. 【详解】解：（1）直线l ：)343y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 则()434,00A B ⎛- ⎝⎭，，由题4OA =，43OB =，所以3tan BAO ∠=，所以30BAO ∠=︒ （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上,在21AF F '△中，160F AO '∠=︒，11183AF AF AO FO '==-=，2163AF = 所以21AF F '△为直角三角形，1290AF F '∠=︒. 所以光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212833F M MF F M MF F F ''+=+== （3）如图（2）由对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，由几何知识可知，P '应为过原点O 且与l '垂直的直线与l '的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴cos602AP AP AO '==︒=，故点P 的坐标为()2,0-图（1）图（2） 【点睛】本题考查圆的性质、切线的性质，对称性，光线的反射原理，考查点关于直线的对称性以及最值问题，属于中档题.22．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【答案】（1）当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【解析】（1）n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，需满足条件()120092n n n S +=≤，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据21x n +-与n 的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当41n =与49n =两种情况是否符合题意即可.【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n 层放n 根，所以n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，由题意可知()120092n n n S +=≤，因为当62n =时，62626319532S ⨯==，当63n =时，63636420162S ⨯==， 所以当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而()1120092nx n n +-=，即()212200927741n x n +-=⨯=⨯⨯⨯，因1n -与n 的奇偶性不同，所以21x n +-与n 的奇偶性也不同，且21n x n <+-， 从而由上述等式得：721574n x n =⎧⎨+-=⎩或1421287n x n =⎧⎨+-=⎩或412198n x n =⎧⎨+-=⎩或492182n x n =⎧⎨+-=⎩， 共有4中方案可供选择；（Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知： 若41n =，则29x =，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm ，从而梯形的高为，且1010400++<，所以符合条件；若49n =，则17x =，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm ，从而梯形的高为，显然大于4m ，不合条件，舍去.综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.23．试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程()()2221430ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【答案】正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10【解析】将方程可化为()22212x a x +=+，分离参数可得()22122x a x +=+，根据题意可知()221212x x +≥+，解不等式求出x 整数解，然后代入()22122x a x +=+求出a 的值即可.【详解】解：原方程可化为()22212x a x +=+，易知2x ≠-，此时()22122x a x +=+因为a 是正整数，即()221212x x +≥+. 又()220x +>，则()22212x x +≤+即2280x x +-≤，解得42x -≤≤.因为2x ≠-且x 是整数，故x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，依次带入的表达式得41xa=-⎧⎨=⎩，36xa=-⎧⎨=⎩，110xa=-⎧⎨=⎩，3xa=⎧⎨=⎩，1149xa=⎧⎪⎨=⎪⎩，21xa=⎧⎨=⎩从而满足题意的正整数a的值有4个，分别为1，3，6，10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。
清华附中2019-2020学年度高一上学期期中考试数学试卷Word版
清华附中2019-2020学年度上学期期中考试高一数学试卷本试卷分为基础卷和附加卷，共150分；考试时间为1 20分钟．一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．请把答案填入表格)C(M∪N)等于 ( ) 1．已知集合U={a，b，c,d,e}，M={a，b，c}，N={b，c，d}，则U(A){e} (B){a，b，c} (c){a，d，e} (D)φ2．已知集合M={x|-4≤x≤7)，N={x|x2-x-6>O}，则M∩N= ( )(A){x|-4≤x<-2，或3<x≤7} (B){x|-4<x≤-2，或3≤x<7}(c){x|x≤-2，或x>3} (D){x|x<-2，或x≥3}3．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么 ( )(A)命题“非p”与命题“非q”的真值不同(B)命题“非p”与命题“非q”中至多有一个是真命题(C)命题“p”与命题“非q”的真值相同(D)命题“非p且非q”是真命题4．如果(x，y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1，2)在映射f下的原象是 ( ) (A)(3，-1)(B)(C)(D)(-1，3)5．函数的定义域为(A)(-2，1)∪(1-2) (B)[-2，1)∪(1，2)(C)(-∞，-2)∪(2，+∞) (D)(-∞，-2]∪[2，+∞)6．函数y=x2-4x+3，X∈[0，3)的值域为 ( )(A)[-1，2] (B)(0，3] (C)[-1，+∞) (D)[-1，3]7．已知函数，则f(4)的值为 ( )(A) (B) (C) (D)28．已知函数y=x2+2(a-1)x+2在(-∞，4)上是减函数，则a的取值范围是 ( )(A)[3，+∞) (B)(-∞，3] (C)[-3，+∞) (D)(-∞，-3]9．函数，(1≤x≤2)的反函数是 ( )10．己知函数是R上的减函数，则a的取值范围是( )(A)(0，1) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．点P(1，2)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，则a=____，b=_____．12．已知函数y=f(x)的定义域为[-1，1]，则函数y=f(3x-2)的定义域为___．13．定义域为R的函数f(x)满足：对于定义域内的任意实数都有f(-x)=f(x)．当x<0时，f(x)=x-x4，则当x>0时，f(x)=_____.1 4．设a>0且a≠1，如果函数y=a2x+2a x-1在区间[-1，1]上的最大值为14，则a=______．15．对于任意实数a，b，c，给出下列四个命题：(1)“a=b”是“ac=bc”的充要条件；(2)“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；(3)“a>b”是“a2>b2”的充分而不必要条件；(4)“a<5”是“a<3”的必要而不充分条件．其中正确命题的序号为____．三、解答题(本大题共4小题．共40分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(8分)用函数单调性的定义证明函数上是增函数．17．(10分)已知函数，求f(x)的反函数f-1(x)，并在所给的坐标系中画出函数y=f-1(x)的图象．18．(10分)已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的减函数，且对于任意的x∈[-1,1]都有f(-x)=-f(x)，若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0，求实数a的取值范围．19．(1 2分)已知函数f(x)=x2+ax+1，不等式f(x)≥0的解集为P，集合Q={x|0<x≤2}，若Q P，求a的取值范围．数学(附加)一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．如果函数F(x)=x2+x+a，(a>0)满足f(m)<0，则f(m+1)的值______________. (填“是正数”、“是负数”、“可能是正数也可能是负数”)2．已知关于x的不等式ax2+(2a+1)x+a>0的解集不是空集，则a的取值范围是__________．3．已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b，且f(3)=3，又f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，则a=__________，b=__________．4．关于x的方程x2+(m+1)x+2m=0的两根均在(-1，1)内的充要条件为m∈__________．5．已知函数的值域为[0，+∞)，则a的取值范围是__________.6．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．7．已知函数，f(1)+f(2)+……+f（2006）++……+的值为__________．8．有下列四个命题：(1)若函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象有公共点，则这些公共点一定在直线y=x上；(2)如果函数f(x)存在反函数，且在其定义域内是增函数，那么其反函数也是增函数：(3)若函数y=x2的值域是[0，4]，则它的定义域是[-2，2]；(4)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的一个充分而不必要条件是a≤1，或a≥2．其中正确的命题是__________．(填正确命题的序号)二、解答题(本大题共1小题，共10分；解答应写出文字说明或演算步骤)9．(10分)设函数厂(x)定义域为(0，+∞)，且满足：(1)函数f(x)在定义域上是增函数：(2)对定义域内的所有x，都有；(3)对定义域内的所有x，都有，求函数值f(1)．。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析全文
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？( )A. 500B. 516C. 517D. 6002. 如图，矩形ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD .上，N 是矩形两对角线的交点．若AB .=24，AD .=32，MD .=16，ED .=8，FD .=7，则下列哪一条直线是A 、C 两点的对称轴？( )A. 直线MNB. 直线ENC. 直线FND. 直线DN3. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFD =60°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( )A. 1B. √2C. √3D. 24. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列结论：①abc >0；②b 2−4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0， 正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A. 113B. 124C. 129D. 1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA. IC和I′A′平行，II′和L平行B. IC和I′A′平行，II′和L不平行C. IC和I′A′不平行，II′和L平行D. IC和I′A′不平行，II′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A. √2+1B. √2+12C. 2√2+1D. 2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A. 24√3−4πB. 12√3+4πC. 24√3+8πD. 24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A. 215B. 425C. 247D. 48711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A. (0,92)B. (0,272)C. (0,9)D. (0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B. 2C. 2√3−2D. 4−2√3二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．图象上的任意四点，现有以下结论：15.设A，B，C，D是反比例函数y=kx①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)16.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a>0；②当x=−2时，函数最小值为−6；③若点(−8,y1)，点(8,y2)在二次函数图象上，则y1<y2；④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______.(把所有正确结论的序号都填上)18.如图，在矩形ABCD中，AB=√3+2，AD=√3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F 的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√312π；③△A′AF ≌△A′EG ；④△AA′F ∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19. 某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35． (1)求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20. 如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． (1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EPPF =PCCF ．21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．24.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点MAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 为圆心，大于12于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>51623，即x至少为517．故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴ANAD =APAC，即2032=AP40，解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作ID⊥BA′于D，IE⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则ID//I′F，∵△ABC的内心为I，△A′B′C的内心为I′，∴ID=IE=IF，∠ICD−12∠ACB，∠I′A′C=12∠B′A′C，∴四边形IDFI′是矩形，∴II′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠ICD>∠I′A′C，∴IC和I′A′不平行，故选：C．作ID ⊥BA′于D ，IE ⊥AC 于E ，I′F ⊥BA′于F ，由内心的性质得出ID =IE =IF ，∠ICD =12∠ACB ，∠I′A′C =12∠B′A′C ，证出四边形IDFI′是矩形，得出II′//L ，证出∠ICD >∠I′A′C ，得出IC 和I′A′不平行，即可得出结论． 本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AB//CD ，∠DAE =∠BCF =90°，OD =OB =OA =OC ，AD =BC ，AD//BC ，∴∠DAN =∠BCM ，∵BF ⊥AC ，DE//BF ，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC =90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN =BM ，∠ADE =∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBFAD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE =FC ，DE =BF ，故③正确；∴DE −DN =BF −BM ，即NE =MF ，∵DE//BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM//FN ，故②正确；∵AB =CD ，AE =CF ，∴BE =DF ，∵BE//DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO =AD ，∴AO =AD =OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO =∠DAN =60°，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证△DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE= FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴CD=2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值是点C的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA=OB=AB=4，∴S弓形AmB =S扇形OAB−S△AOB=60⋅π⋅42360−√34×42=83π−4√3，∴S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)=6⋅(12⋅π⋅22−83π+4√3)=24√3−4π，故选：A．设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH=S3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，∴S1S△ABC =949，∴S1=949×14，∴S△BDH：S=(12×4)：3=2：3，∴S△BDH=23S，∴23S+S=14−949×14，∴S=487．故选：D．如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 3∴C(−3+23√3,2)设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√33+3)2=2，∴a=32，∴y=32(x+3)2，当x=0时，y=272；故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+23√3,2)，设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接PF，QF，PC，QC，∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=12∠AFC=30°，∠QFC=12∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等边三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=12AF×AC=12×2×2√3=2√3，过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵点P是△ACF的内心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=12AF×PM+12AC×PN+12CF×PG=12×2×PG+12×2√3×PG+12×4×PG=(1+√3+2)PG=(3+√3)PG =2√3，∴PG=√33+√3=√3−1∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1180，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1180，解得，r=13，故答案为：13．求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE =30°时，AE =AB ×tan30°=4√33； ②当∠AEB =30°时，AE =AB tan30∘=√33=4√3；③∠ABE =15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD 于F ，如下图所示，设AE =x ，则EA′=x ，EF =xsin60∘=2√3x 3， ∵AF =AE +EF =ABtan30°=4√33， ∴x +2√3x 3=4√33， ∴x =8−4√3，∴AE =8−4√3． 故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE =∠A′BE ，分3种情况讨论：当∠ABE =30°时或当∠AEB =30°时或当∠ABA′=30°时求AE 的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y =ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4，∴抛物线的关系式为y =x 2+3x −4，a =1>0，因此①正确； 对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把(−8,y 1)(8,y 2)代入关系式得，y 1=64−24−4=36，y 2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax 2+bx +c =−5，也就是x 2+3x −4=−5，即方x 2+3x +1=0，由b 2−4ac =9−4=5>0可得x 2+3x +1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′FD′E =√3=√33，∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F与△A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE= A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′= 30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF= 7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【解析】(1)由旋转的性质得出AB =AD ，∠BAD =90°，△ABC≌△ADE ，得出∠ADE =∠B =45°，可求出∠BDE 的度数；(2)①由旋转的性质得出AC =AE ，∠CAE =90°，证得∠FPD =∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论； ②过点P 作PH//ED 交DF 于点H ，得出∠HPF =∠DEP ，EP PF =DH HF ，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF =CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB =2√5，BC =√5，AC =5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x =1 A 1A 2=A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x =1；故答案为：上，直线x =1；(2)把(−1,0)，(0,−3)，(2,−3)代入y =ax 2+bx +c ，得：{a −b +c =0c =−34a +2b +c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3，当x =−2时，m =4+4−3=5；当x =1时，n =1−2−3=−4；(3)画出抛物线图象，如图1所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A 1A 2=A 3A 4．故答案为：A 1A 2=A 3A 4．(1)观察表格中的数据，得到x =0和x =2时，y 值相等都为−3，且其他y 的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a ，b ，c 的值确定出解析式，进而求出m 与n 的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l 1：y =−2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC =4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，当x 1>x 2≥5时，总有y 1>y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x <7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x >3时，y 随x 的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −5)，过点A(0,10)，∴10=5a ，∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n=10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2//l1；(3)如图，、∵直线l3：y=−2x+q过点C，∴0=−2×1+q，∴q=2，∴直线l3，解析式为L：y=−2x+2，∴l3//l1，∴CF//AB，∴∠ECF=∠ABE，∠CFE=∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =(CEBE)2，设BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，∴S△ABE=12×t×10=5t，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，∴∠APC =∠ACP =30°，∴AP =AC ，∴AP =AC =PB =BC ，∴四边形APBC 是菱形；(3)∵⊙O 的半径为r ，∴OA =r ，OP =2r ，∴AP =√3r ，PD =r ，∵∠AOP =90°−∠APO =60°，∴AD ⏜=60°π⋅r 180∘=π3r ， ∴阴影部分的周长=PA +PD +AD ⏜=√3r +r +π3r =(√3+1+π3)r ．【解析】(1)连接OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO =∠PBO =90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB =60°时，四边形APBC 是菱形，连接OA ，OB ，由切线长定理可得PA =PB ，∠APC =∠BPC =30°，由“SAS ”可证△APC≌△BPC ，可得∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，可证AP =AC =PB =BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD⏜，即可求解． 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1+S 2=S 3【解析】解：类比探究(1)∵∠1=∠3，∠D =∠F =90°，∴△ADB∽△BFC ，∴S △ADBS △BFC =(AB BC )2，同理可得：S △AECS △BFC =(AC BC )2， ∵AB 2+AC 2=BC 2，∴S 1S 3+S 2S 3=(AB BC )2+(AC BC )2=AB 2+AC 2BC 2=1，∴S 1+S 2=S 3，故答案为：S 1+S 2=S 3．。
2023-2024学年北京市清华大学附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{0}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}2．命题∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＜0的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0 B ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ≤0 C ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0D ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ≥03．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+1x，则f （﹣1）+f （0）＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．45．已知a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则下列结论一定正确的是（ ） A ．a +c ＞0B ．a +b ＜0C ．ab ＞0D ．ac ＜06．函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ∈[﹣2，2]的值域是（ ） A ．[﹣1，0]B ．[0，8]C ．[1，8]D ．[﹣1，8]7．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，则12x+1y的最小值是（ ）A ．√2B ．2√2C ．32+√2D ．2+√28．若函数f （x ）＝﹣x 2+2ax 与函数g(x)=ax 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（0，1] C ．（0，1）D ．（0，1]9．对∀x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，我们把f （x ）＝[x ]，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ） A ．∃x ∈R ，[4x ]＝4[x ]+2 B ．∀x ∈R ，[x]+[x +12]=[2x]C ．∀x ，y ∈R ，[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．∀x ，y ∈R ，[x ]＝[y ]，则|x ﹣y |＜110．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足： ①每个集合都恰有5个元素；②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为（ ）A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019年11月6日 清华附中将台路校区高19级 高一数学期中考试试题
高一第一学期期中考试数学（清华附中将台路校区高19级） 2019.11满分150分 考试时长120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．若集合{|12}A x x =-<<，{2B =-，0，1，2}，则AB =B A ．∅ B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{2-，0，1，2} 2．已知函数2()f x x =，{1x ∈-，0，1}，则函数的值域为 CA ．{1-，0，1}B ．[0，1]C ．{0，1}D ．[0，)+∞3．已知命题 ：“ ， ”，则命题 的否定为CA ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 4．在区间(0,)+∞上是减函数的是CA ．31y x =+B ．231y x =+C ．2y x =D ．2y x x =+5．已知条件:1p x >，条件:2q x …，则p 是q 的 AA ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0a >，0b >，2ab =，则2a b +的最小值为 AA ． 4B ．C ．D ．67．定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为 D A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年平均增长率为BA ．2q p + B ．21)1)(1(-++q p C ．pq D ．1)1)(1(-++q p二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．集合{1,2,3}的非空子集共有个.10．不等式|2|3x -<的解集是 .11．已知函数2()31f x x x =+-，则(2)f -=；若()9f α=，则α的值为.12．若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -= ．13．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x …，()2f x x =-，则(3)f -= . 14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．① 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；② 该小组人数的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15（本小题13分）已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值.16（本小题共13分）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ≥，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．17．（本小题共14分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-． （Ⅰ）当1m =-时，求A B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．18（本小题共14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，2()2f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．（Ⅲ）解不等式()0xf x >.19（本小题共13分）已知函数2()f x x ax b =++为偶函数，且有一个零点为2． （Ⅰ）求实数a ，b 的值．（Ⅱ）若()()g x f x kx =-在[0，3]上的最小值为5-，求实数k 的值．20（本小题共13分）已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[,]a b D ⊆，使得{|(),[,]}[,]y y f x x a b a b =∈=称区间[,]a b 为函数()y f x =的“和谐区间”.（Ⅰ）请直接写出函数()f x x =3的所有的“和谐区间”；（Ⅱ）若[,]()m m >00为函数()||f x x =-312的一个“和谐区间”，求m 的值； （Ⅲ）求函数()f x x x =-22的所有的“和谐区间”.（请将所有答案写在答题卡上，在试卷上作答无效！）。