平面向量基本定理优秀公开课

M
r
ur e1
a
u ur e2
r
urA a e1
u ur
u u u ru u u u ru u u rO e 2
如 图 O C O M O N
C NB
u u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u r
Q O u u M u r 1 O u rA 1 u e u r 1 O N 2 O B 2 e 2
O C 1 e 1 r2 e 2u r u u r 即 a 1 e 1+2 e 2
5
给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗？
N
ur e1
u ur e2
r
a
A
ur
B
e1
u ur
e2 r
C
O
a
u u u ru u u u ru u u r 如 图 O C O M O N M
13
例例23、如图，已知梯形ABCD，AB//CD， 且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
请大家动手, 在图中确定一组基
uuuur 底 ,将 向 量 MN用 这 组基底表示出来.
DM C
A
N
B
14
1、若 e1， e2是表示平面内所的有一向组量基底，
则下面的四组向能量作中为不基底(的 2) 是
有且只存有在 一对实数，1 , 2 ,
使 a1e12e2
在一 性性
（ 2 ） 基底：把不共线的向量 e 1 , e 2 叫做这一平面内
思考： 所上有述向表量达的式一中组的基底1,． 2 是否唯一？
( 3 )正交分解： 一个平面向量用一组基底 e 1 , e 2 ,
表示成： a1e12e2 称它为向量的分解．
v 射任务的是“长征二号F”运载火箭 。 1
v2
vv1 v2
3
探究:
给依定照平速面度内的两分个解不，共平线面的内向任量一e向1, 量e2,a可可 表作示怎平样面的内分任解一呢向？量a吗？
平行四边形法则
a
e2
e2
e1
ae1 e2
e1
4
给定平面内两个不共线的向量e1, e2, 可表示该平面内任一向量a吗？
当 e 1 , e 2 , 互相垂直时，称为向量的正交分解．
9
平面向量基本定理
一维直线
a = e
二维平面
a=1e12e2
思想有多远，就能走多远！
10
（1）一个平面内，可作为基底的向量有 无数 对。
(1)(3)
11
例 例11、如图， A平 B的 C 行 D 对 四 A角 和 C 边 B线 相 D 形交
必修系列 数学4
平面向量基本定理
P
f
－
f
1
G
向量共线定理：
如果有一个 ，实 使 b数 a(a0),那么b与a是共线向量；
2
v 2011年11月3日1时43分，神舟八号与天宫一号第
一次交会对接圆满成功，中国成为世界第三个独
立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担
“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发
M ， A Ba ,A D b，试a 用 、 b表 基 M 示 、 M 底 C、 M A和 B M D
解 A： CA B A D ab
因为平行四边形的对角线互相平分 D
C
M C1A C 1a1b MA 2M C21a21b
b
A
M
M1 B D B 12 (A 2B A) D 1a1ba
B
22 M D M B1b1a
可以互相讨论下，但要小声点
7
r
r
ur e1
a
u ur a
e2
若 a 0 , 取 120, 使01e12e2
若 a 与 e 1 ( e 2 ) 共线，则 2 0 (1 0),
使 a1e12e2
8
（１）平面向量基本定理
如果 e 1 , e 2 , 是同一平面内两个不共线向量， 存 唯
那么对于这一平面的任意向量 a ,
试用基a,底 b表示向P量 Q.
解法一：PQ PA AD DQ
C D
PQ PC CB BQ
P
Q
2PQ AD CB a b
PQ 1 a 1 b
A
B
22
Hale Waihona Puke Baidu
16
3、设 P,Q分别是四A边B形 C的 D对角A线 C与BD
的中点 BC， a,DAb,并且 a,b不是共线向量，
试用基a,底 b表示向P量 Q.
求 证 ： A,B,D三 点 共 线 。 B
证明 AD ： AB BC CDA
C
( 3 e 1 2 e 2 ) ( 4 e 1 e 2 ) ( 8 e 1 9 e 2 )
15e110e25(3e12e2) 5AB
AD与AB共线.
又 A与 D A有 B 公共 A， 的所 A 起 ,B,D 以 三 点点 . 共
u u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u r
Q O u u M u r 1 O u r A 1 u e u r 1 O N 2 O B 2 e 2
O C 1 e 1 r2 e 2u r u u r 即 a 1 e 1+2 e 2
6
大家有疑问的，可以询问和交流
(1)e1e2和 e1e2； (2)3e12e2和 4e26e1； (3)e13e2和 e23e1；(4)e2和 e1e2；
2、已 A知 B中 CD ， 是 B的 C 中点A ， ,BA则 C用
表示A 向D 量
A
B
C
D
15
3、设 P,Q分别是四A边B形 C的 D对角A线 C与BD
的中点 BC， a,DAb,并且 a,b不是共线向量，
22
22
12
u 例 A 例uB u r3 2=.3 ｅ uu １ r设 -ｅ 2 u ｅ u １ u r， u ｅ 2 u r, u 2 ru B 是 uC u r平 =4 ｅ 面 uu １ r内 +ｅ u的 u 2 r,u C 一 uD u r组 =8 基 ｅ uu １ r底 -9 ， ｅ uu 2 r如 ,果D
C D
P
Q
A
E
B
17
1、平面向量基本定理
2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一，关键是不共线
(2)实数对
、
1
2
的存在性和唯一性
３、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理
18
1.非常学案P37 自主测评2、3、4 2.预习2.3.2平面向量的坐标运算.
19
谢谢大家
20