泰勒中值定理
泰勒中值定理
泰勒中值定理一、泰勒中值定理若)(x f 在含有0x 的某个区间I 内具有直到1n +阶导数，则当x I ∈时，有()20000000()()()()'()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n ''=+-+-++-+ ，其中拉格朗日型余项(1)0()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ+=-+位于0x 与x 之间．当0n =时，泰勒中值定理就是拉格朗日中值定理．取00x =，()(1)2(0)(0)()()(0)'(0),2!!(1)!n n n nf f f f x f f x x x x x n n ξξθ+''=+++++=+ 位于0与x 之间，(0,1)θ∈，其为n 阶麦克劳林公式．二、基本函数的高阶导数公式⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-mn x A m n n m n x n m n mn m !0)()( 1)()(!)1(1+±-=⎪⎭⎫ ⎝⎛±n n m a x n a x ， nn n a x n a x )()!1()1()][ln(1)(±--=±-，a a a nx n x ln )()(=， )2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=；()()()()()()12120[()()]()(),[()()][()][()]nn n n n kn k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑； 三、基本函数的麦克劳林展开式(1)2(1)(1)(1)(1)12!!mnm m m m m n x mx x x n ---++=+++++ ,1x < (2) ++-++-+-=++1)1(432)1ln(1432n x x x x x x n n )11(≤<-x (3) ++++++=!!3!2!1132n x x x x e n x)(+∞<<-∞x (4) +--+-+-=--)!12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n )(+∞<<-∞x (5) +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )(+∞<<-∞x 当0x →时，有233(1)(1)(2)(1)1()2!3!mm m m m m x mx x x o x ---+=++++12332111(1)1()2816x x x x o x +=+-++,233ln(1)()23x x x x o x +=-++2331()1!2!3!x x x x e o x =++++,23233ln ln ln 1()1!2!3!xa a a a x x x o x =++++355sin ()3!5!x x x x o x =-++,244cos 1()2!4!x x x o x =-++,3552tan ()315x x x x o x =+++3553arcsin ()640x x x x o x =+++,355arctan ()35x x x x o x =-++例1、求下列高阶导数)()(x yn（1）设502)54(+=x y ，则!100450)100(⋅=y ．（2）设232+-=x x x y ，求)(n y ． 解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y． （3）设x y x y=-，则1(2,1)1!(1),2!()n n n n n n z n x z n y y x y ++∂∂=-=⋅∂-∂ （3）设x x y 44cos sin +=，则)24cos(4)4(cos 41)43()1()()()(πn x x y n n n n +=+=-．（4）设n n x x x y )4(cos )2(2π-+=，求)()(x f n ，)1()(n f ．解：()()()0()[(1)][(2)(cos )]4nn k n k nn n k n k x f x C x x π-==-+∑ 21)(2!3|)4(cos)2(!)1(n n x nnnnn n xx n C f=+==π．（5）设函数2()sin f x x x =，求 (2009)(0)f．解：321221sin [(1)]3!(21)!n n x x x x x x n --=-++-+- 52131(1)3!(21)!n n x x x n +-=-++-+- 则(2009)(0)12009!2007!f =，故(2009)(0)20082009f=⨯． 注（1）： 若01()nn f x a a x a x =++++ ，则()(0)()(0)(0)!n n f f x f f x x n '=++++ ，于是()(0)!n n f a n =，故()(0)!n n f n a =． 注（2）：若求(2009)()4fπ，则只能用莱布尼兹公式完成．例2、计算下列极限（1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦； （1）解：原式33303033000tan ~()sin 113!lim lim sin lim 6x x x x x x o x x x x x x x →→→+-=+==． （2）解：原式22222200(1)[()]()122lim lim 2x x x xx x x o x o x x x →→-+-+-+===-． （3）解：原式21222()ln(1)12lim lim 2x t x x t o x t t t t =∞-∞→∞→∞+-+=== 或（泰勒）2221111lim (())22x x x o x x x →∞⎡⎤=--+=⎢⎥⎣⎦．例3、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．解：10lim )lim x tx t bt aax b t =→+∞→--=3021001(2)()1()223lim lim 0333a t t t t o t bt o t t b b t t =→→++-⎡⎤==++-=-=⎢⎥⎣⎦∴ 32,1==b a ． 例4、当0→x 时，x x33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．解：（一）tan tan 00003331(tan )ln 3lim lim lim3limx x x x xk k kx x x x x x x x x -→→→→---== 3330()ln 33ln 3lim 3k k x x x o x x x =→++-==故3=k ． 解：（二）tan 0000333(tan )tan lim ln 3lim ln 3lim lim3x x k k k x x x x x x x x x xξξξ→→→→---== 33300()tan ln 33ln 3lim ln 3lim 3k k k x x xx o x x x x x x =→→++--==，故3=k ． 例5、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值．解： 由条件可知),()0()0()(h h f f h f ο+'+=).()0(2)0()2(h h f f h f ο+'+= 所以)0()2()(f h bf h af -+=).()0()2()0()1(h h f b a f b a ο+'++-+从而⎩⎨⎧=+=-+0201b a b a ,可得⎩⎨⎧-==12b a ．注（1）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，则当0x →时，有 ()(0)()(0)(0)()!n n n f f x f f x x x n ο'=++++ ．证明：()0(0)()[(0)(0)]!lim n nn x f f x f f x x n x→'-+++ ()1'10(0)'()(0)''(0)(1)!lim n n L Hn x f f x f f x x n nx --→'-----= ()2'20(0)''()''(0)(2)!lim (1)n n L Hn x f f x f x n n n x--→----=- (1)(1)()'0()(0)(0)lim !n n n L Hx f x f f x n x --→--== (1)(1)()01()(0)[lim (0)]0!n n n x f x f f n x--→-=-=．注（2）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有(1)n +阶导数，利用注（1）的结论，则有()(1)10(0)()(0)(0)(0)!lim (1)!n nn n x f f x f f x xf n x n ++→'---=+ ．例6、设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2lim 3x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．解：当0x →时，22''(0)()(0)(0)()2!f f x f f x x x ο'=+++46226ln(1)()23x x x x o x +=-++于是，422602()ln(1)lim 3x x f x x x x →++-=4566601''(0)1[(0)](0)[]()22!3lim x f f x f x x x x ο→'-++++= 201[(0)](0)''(0)12lim []2!3x f f xf x →'-+=++故有1(0),2f ='(0)0f =，而''(0)122!33f +=，即2''(0)3f =．例7、设函数)(x f 在(1,1)-内任意阶可导， ()(0)0n f ≠，1,2,n = ，且满足泰勒公式 (1)()1(0)()()(0)'(0),(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θ--=++++- (0,1)θ∈，求0lim x θ→．解：()()(1)0()(0)lim (0)0n n n x f x f f xθθ+→-=≠(1)()1()()100(0)(0)()(0)'(0)()(0)(1)!!lim !limn n n nn n n x x f f f x f f x x xf x f n n n x x θ--+→→-------= (1)(1)(0)(0)!(1)!1n n f f n n n ++==++则01lim 1x n θ→=+． 例8、设()f x 在(0,)+∞内满足''()1f x ≤，且lim ()x f x →+∞存在，求证：lim '()0x f x →+∞=．解：当(0,)x ∈+∞时，任取0ε>，有2'()()()'(),(,)2f f x f x f x x x ξεεεξε+=++∈+则()()''()()()''()'()22f x f x f f x f x f f x εξεξεεεε+-+-=-≤+ 1()()2f x f x εεε≤+-+ 注意到lim ()x f x →+∞存在，有1lim '()lim[()()]22x x f x f x f x εεεε→+∞→+∞≤+-+=于是00lim '()lim lim '()lim 02x x f x f x εεε++→+∞→+∞→→=≤=故lim '()0x f x →+∞=．练习题1、设xx x f +-=11)(，则nn n x n x f )1(!2)1()()(+⋅⋅-=． 2、设函数)1ln()(2x x x f +=，则当3≥n ，2!)1()0(1)(--=-n n fn n ． 3、设222xy x y=-，则(2,1)n nz y ∂=∂ 1(1)![1]3nn n +-+．4、设函数()(1)sin f x x x x =-，则(2010)(0)f =2010-．5、计算下列极限（1）0x →=14-（2）0x x →=1（3）30arctan lim ln(12)x x x x →-=+16- （4）0tan 22tan lim sin 33sin x x x x x →-=-12-（5）22201cos lim()sin x x x x →-=43（6）30sin(sin )sin[sin(sin )]lim sin x x x x →-=166、若0)(6sin lim 30=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x xf x x ，则206()lim x f x x →+=36． 7、设2)()1l n (lim 220=+-+→x bx ax x x ，则------------------------------------------AA 25,1-==b aB 2,0-==b aC 25,0-==b a D 2,1-==b a8、当0,1cos cos 2cos3x x x x →-对于无穷小x 的阶数为2．9、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则-------------------------AA 1,21==b aB 1,1==b aC 1,21=-=b a D 1,1=-=b a10、当230,(1)1()x x e ax bx cx o x →++=++是比2x 高阶的无穷小，试确定,,a b c ．121,,633a b c ==-=11、当0,()ln(1)1xx f x ax bx→=-++关于无穷小x 的阶数最高，试确定,a b ．11,2a b ==-12、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．。
-第21讲泰勒中值定理精品文档35页
由极限知识可知, 此时应有
0 x l x 0 if( m x ) f(x 0 ) f( ( x x 0 ) x x 0 ) ( 2 x 0 ) a 2 (x x 0 ) 2
我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要 补充什么条件. 运用罗必达法则, 得
0lifm (x)f(x 0) 2 a 2(x x 0)
则 F ( x 0 ) 0 ,G ( x 0 ) 0 ;
F ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 ,G ( x 0 ) 2 ( x 0 x 0 ) 0 ,
假F 设 (x),G(x),F(x),G (x)满足柯西中 ,
F ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 )
想一想, 如何求出这里的待定函数.
由(x 于 ) f(x ) f(x ( 0 x ) x f 0 ) ( 2 x 0 )x ( x 0 ),
如 ,令 果 F ( x ) 分 f ( x ) f ( x 0 ) 子 f ( x 0 ) x ( x 0 ),
分G (母 x)(xx0)2,
该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式.
式中 o((xx0)2)称为二阶皮亚. 诺余项
运用罗必达法则计算极限.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带 皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式.
一. 带皮亚诺余项的泰勒公式
设 f ( x ) C k ( N ( x 0 )( ) k 0 , 1 , 2 , , n 1 ) ,
e x xn1 (n 1)!
估 计 误 差
e 的近 似计算 公式
例2
求f(x)sixn的 n阶马克劳 . 林公式
( ) 解 f(n )(x ) sixn n
泰勒公式泰勒中值定理ppt课件
证:
+
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数
泰勒多项式逼近
6
4
2
2
4
6
4
2
2
4
O
泰勒多项式逼近
6
4
2
2
4
6
O
4
2
2
4
思考与练习
误差
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
麦克劳林公式
类似可得
其中
其中
麦克劳林公式
已知
其中
因此可得
麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
计算
解:
原式
泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家,
他早期是牛顿学派最
优秀的715)
《线性透视论》(1719)
他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .
他是有限差分理论的奠基人 .
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家,
著作有:
《流数论》(1742)
《有机几何学》(1720)
《代数论》(1742)
在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的
泰勒公式(泰勒中值定理)
m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x) k
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
o(x4 x4
)
7 12
第四节
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) 若在f公(式x)成立的f区(间x0上)
f (0)x f (x0 )(x
f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (有x误差fx估(0nn计))!(2式0)
xn
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) ( x0 n!
泰勒中值定理证明题
泰勒中值定理证明题【泰勒中值定理证明题】引言：泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数在某一点和它在一阶导数所确定的切线，来研究函数在某一区间内的性质。
本文将对泰勒中值定理进行全面评估，并展示其深度和广度，希望能为您对该定理的理解提供帮助。
1. 泰勒中值定理的基本概念1.1 定理的表述泰勒中值定理可以表述为：给定一个区间[a, b]上的连续可导函数f(x)，则在[a, b]内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
该定理为我们研究函数在某一区间内的变化提供了重要依据。
1.2 理解函数的导数在理解泰勒中值定理之前，我们需要明确函数的导数概念。
函数的导数描述了函数在某一点的变化率，是函数增长或减少的速度。
导数为我们揭示了函数曲线的切线和斜率的关系。
2. 泰勒中值定理的证明2.1 一阶泰勒公式的推导我们从一阶泰勒公式开始推导。
根据泰勒中值定理，我们知道f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，可以将这个表达式进一步拆解为f(b) = f(a) +f'(c)(b - a)。
2.2 使用拉格朗日中值定理为了证明泰勒中值定理，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，对于一个连续可导的函数f(x)，在[a, b]区间内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
将此结果代入一阶泰勒公式中，得到f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)。
证明完毕。
3. 泰勒中值定理的应用3.1 函数曲线与切线的关系泰勒中值定理使得我们能够通过函数在某一点的导数，来了解函数曲线在该点附近的变化情况。
通过连接函数在某一点的切线，我们可以推测函数的增长或减少趋势，并进一步研究函数在其他点上的性质。
3.2 近似计算与误差分析泰勒中值定理还可用于近似计算，并进行误差分析。
通过取泰勒级数中的有限项，我们可以近似计算出函数在某一点附近的数值，而可以通过增加级数项来提高精度。
泰勒中值定理
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
(n) f (0) 2 f ( 0 ) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) 2 2 ! n ! x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 ) ( n1) 2 ! , 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 f ( x ) M ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
当在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x) M 时 M n 1 Rn ( x) x x0 (n 1)! n Rn ( x) o(( x x0 ) ) ( x x0 )
带拉格朗日余项的泰勒公式
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当
则f ( x)在x0 1处的三阶泰勒公式为 1 1 2 f ( x) 1 5( x 1) 10 ( x 1) 12 ( x 1)3 2! 3!
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明中值定理泰勒公式罗必塔法则（MVTFLR）是在微积分领域具有重要意义的三个公式，它们通常被称为“三大定理”。
它们存在于数学中已有一段时间，并且被广泛用于解决各种数学问题，如求解微分方程等。
本文尝试用统一的方法来证明这三个定理，从而为这些定理的应用提供更有效的证明。
首先，我们考虑中值定理。
中值定理可以简单地说是：“如果一个函数在给定区间上连续，则必存在某一个点，其函数值与该区间的上、下限的平均值相等。
”为了证明这一定理，我们需要引入定义域的概念。
定义域是指函数的定义范围，它可以被定义为一个集合，即所有可以作为函数输入值的数。
在中值定理中，我们考虑由[a,b]作为定义域，其中a<b。
根据函数值的定义，我们可以得出：函数值=定义域点f(x)将函数值表示成f(x)后，我们可以将中值定理表示成：存在x∈[a,b],使得f(x)=(b-a)/2经过上述推理，中值定理就可以转化为证明存在定义域中某一点的函数值等于该定义域的上、下限的平均值，即证明函数值连续的定理。
其次，考虑泰勒公式。
泰勒公式可以简单地说是：“任何一个函数都可以在某一点附近用其一阶导数的无穷级数表示，而该无穷级数的和即为函数本身。
”为了证明泰勒公式，我们首先考虑一般函数在点上函数值的定义。
我们可以将函数值表示成f(x)，将函数在某一点p处的导数表示成f’(p)。
如果函数f(x)在点p处是连续的，那么存在一个正数T使得： |f(x)-f(p)|<T*|x-p|如果对于给定的T，我们可以将此式变换为f(x)=f(p)+T*(x-p)+O(|x-p|^2)接下来，我们将上述式子展开：f(x)=f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2其中q是[p,x]上的某一点。
同样的推理过程，我们也可以得出f(x)的三阶、四阶等等，即f(x)可以表示成f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2+...+f^(n)(p)*(x-p)^n+O(|x-p|^(n+1))，因此我们就可以证明函数f(x)可以用其一阶导数的无穷级数表示，即泰勒公式的证明。
泰勒中值定理
泰勒中值定理泰勒中值定理在数学和物理方面有重要应用。
我国著名科学家华罗庚先生在解决了一系列的数学问题之后，自信地写下：“泰勒公式可能还没有发现。
”这个宣言为我们的研究指明了方向，开辟了道路。
今天我就来介绍一下泰勒中值定理及它的重要性。
首先从事的是奥古斯丁，他想尽办法证明了拉格朗日中值定理，证明并不成功，这也证明了他的不足。
后来又出现了柯西，而且对拉格朗日中值定理做了补充，虽然他证明了柯西中值定理，但还是远不够完善，也有缺陷。
于是泰勒走上了证明拉格朗日中值定理的艰难历程。
泰勒早期的证明不被人理解，后来他用自己的严密推理、巧妙计算，终于证明了拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理证明的成功为微积分奠定了基础。
这是人类的第二次大飞跃。
我想，如果当时这两个伟人没有相互配合，一定会导致数学史上的一场灾难！当然，泰勒也得到了别人的尊敬与赞赏。
有一位伟人曾说：“微积分中最困难的部分已经被泰勒解决了。
”这是多么高的评价呀！150多年过去了，我们现在看到的是由微积分学家莱布尼兹与泰勒于1709年提出的。
但是，这只是一种形式的表述，至今尚未找到使微积分与其它数学内容更好地结合起来的途径。
微积分是十九世纪以后才产生的，那么，为什么数学家们不直接去寻找这些结合点呢？是他们懒惰吗？当然不是。
当时一些德国数学家反对笛卡尔学派的绝对观点，坚持把数学作为科学看待，并以数学为武器，支持法国大革命，因此有不少德国数学家到法国来。
例如，数学家华林（ Wallin）和雷尔（ Rey）。
因此，数学家们很希望用微积分的方法来解决自己提出的问题，但是，遗憾的是，那时微积分只是在天文学中应用，用微积分的概念来处理几何图形不是很方便，所以解决不了天文学的问题。
直到1795年，微积分才作为一门独立的学科得以确立，并由此开创了一个新的领域——微分几何。
可以说，微积分是数学史上又一座里程碑。
如今，微积分仍然具有广泛的应用，可以帮助工程师们解决工程技术中遇到的问题。
泰勒公式
泰勒公式泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .接下来就要求误差的具体表达式了。
泰勒中值定理1和2的区别
泰勒中值定理1和2的区别
泰勒中值定理是数学中有关函数性质的一种重要定理，定理1以及定理2都是泰勒中值定理的不同变种。
这两个定理都有其独特的性质，两者之间又有许多相似之处。
首先来看泰勒中值定理1，它是一种函数极限关系，它告诉我们，当函数f在某一端点p处可导时，其切线正比于函数f在该端点上的导数。
这个定理用来证明与函数连续性有关的定理，也可以用来证明偏导数的存在性、求导数的表达式以及微分的基本定理等。
泰勒中值定理2也是一种函数极限关系，它解释了一个函数在某点处的导数正比于该函数在某点处的曲线斜率。
定理2可以用来证明函数连续性、求极值点及拐点、求微分、积分以及克朗伊恩变换。
定理1与定理2的区别在于，前者表达的是函数f在端点p处的导数与其切线的正比关系，而后者则表达的是函数f在某点处的导数与曲线斜率的正比关系。
定理1和定理2之间也有些相似之处，比如它们都是建立在函数的极限上的，并且都具有实际的数学意义，同时都可以用来证明函数连续性，求导数等。
不过，定理1与定理2也有本质的区别，定理1关于函数f在某一端点p处的导数，而定理2则是关于函数f在某一点处的导数。
这意味着定理1只能在端点上讨论，而定理2可以在定点上讨论，从而更容易讨论广泛的函数性质。
此外，定理1可以用来证明偏导数的存在性、求出导数的表达式以及微分的基本定理，而定理2可以用来证
明拐点、极值点以及积分和克朗伊恩变换等问题。
总之，泰勒中值定理1和定理2都是数学领域中重要的定理，两者都有其独特的性质，但是它们之间也有着本质的不同，每一个定理都有其适用的范围，在使用上也有所不同。
泰勒Taylor中值定理.
( n 1 )
( x)
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 )k k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
n
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(1 ) (1 ) Rn ( x0 ) Rn Rn n ( n 1)(1 x0 ) ( n 1)(1 x0 )n 0 ( 2 ) Rn n( n 1)( 2 x0 )n1 ( 2在x0与1之间)
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) ( 在 x 0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)! 拉格朗日形式的余项
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几点说明：
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
2.取 x 0 0 , 在0 与 x 之间,令 x
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
(0 1) ( n 1) f (x ) n 1 x 则余项 Rn ( x ) ( n 1)!
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（2） x0 0 （麦克劳林公式）
f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x 2! n!
f ( ) n1 x (n 1)!
(整理)第三节Taylor中值定理
第三节Taylor中值定理Taylor（1685-1731，英国）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。
他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。
1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。
最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。
他假定z随时间均匀变化，则为常数。
上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作麦克劳林定理。
1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。
他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。
他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。
另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
一、引入常用近似公式x e x +≈1，x x ≈sin |(|x 充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧泰勒公式（Taylor's theorem）和泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）是微积分中重要的定理，用于用已知函数的其中一点的信息推导出该函数在附近任意点的近似值。
下面将对这两个定理的系统理论和使用技巧进行详细阐述。
1. 泰勒公式（Taylor's theorem）：泰勒公式是一个逼近函数的公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要逼近的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等是函数在点a的各阶导数。
公式可以继续扩展至更高阶导数。
泰勒公式的推导涉及到多项式的展开，通过使用导数的定义进行求解，存在其中一种程度的复杂性。
然而，在实际应用中，我们通常使用该公式的前几项进行近似计算，而不需要考虑无穷多项的求和。
在使用泰勒公式时，需要满足以下条件：-要求函数f(x)在开区间(a,b)上具有至少n+1阶连续导数；-近似点a必须在开区间(a,b)内；-近似点a必须在函数f(x)在(a,b)范围内的一些点，即a∈(a,b)。
2. 泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）：泰勒中值定理是泰勒公式的一个推广，它包含了一个误差项。
泰勒中值定理的形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是余项，它表示在使用泰勒公式展开的前n项进行近似时产生的误差。
余项的具体形式为：R_n(x)=(x-a)^n/(n!)*(f^(n+1)(c))其中，c是a和x之间的一些点。
高等数学4-3泰勒中值定理
(k 0,1, , n) ,
则称之为 f (x) 的在 x0 的 n 阶近似多项式。
3/23
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
f (x) f (a) f (a)(x a) f ( ) (x a)2 ， 介于x 与a 之间，
2 则
f (a)(x a) f (x) f (a) f ( ) (x a)2 ，
2
27-23
2021/1/5
续解 故
lim[
xa
1 f (x)
f (a)
1 ] f (a)(x a)
Peano型余项只给出了余项的阶，无法估计余项的大 小。
6/23
注
(1) 当 x0 0 时的泰勒公式（多项式）称为麦克劳林 公式（多项式）:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f ( (n1) ) xn1
(n 1)!
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
9/23
⑵ 微分中值定理之间的关系
罗尔 中值定理
f (a) f (b)
g(x) x
拉格朗日 中值定理
n0
柯西 中值定理
泰勒 中值定理
四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) ex ,
简述泰勒中值定理和拉格朗日中值定理之间的区别与联系
简述泰勒中值定理和拉格朗日中值定理
之间的区别与联系
泰勒中值定理和拉格朗日中值定理是两个关于函数的定理,它们都涉及函数的插值问题。
但是,这两个定理在插值的类型和应用范围方面有所不同。
泰勒中值定理是一个关于多项式的定理,它指出,在给定的一段区间内,任意一个函数都可以用一个多项式去逼近。
泰勒中值定理通常用来求解函数的近似值或者求解函数的极值问题。
拉格朗日中值定理是一个关于插值多项式的定理,它指出,在给定的一些数据点上,任意一个函数都可以用一个插值多项式去逼近。
拉格朗日中值定理通常用来求解函数的插值多项式,或者通过已知的数据点来求解函数的形式。
总的来说,泰勒中值定理更多地关注函数的近似值,而拉格朗日中值定理更多地关注函数的插值多项式。
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2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
1 1 取x = 1, e ≈ 1 + 1 + +L+ 2! n!
其误差
e 3 Rn < . < (n + 1)! (n + 1)!
例2 解
求 f ( x) = sin x 的
n 阶麦克劳林公式. 阶麦克劳林公式.
f
( n)
f ( x ) = sin x
f ( 0) = 0 f ′′′(0) = −1 f
差 Rn( x) = f ( x) − P ( x) 误 n
二、Pn和Rn的确定
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x0 点相交 若在
y
y = f (x)
Pn ( x0 ) = f ( x0 )
2.若有相同的切线 若有相同的切线
′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 )
3.若弯曲方向相同 若弯曲方向相同
( −1) n Rn ( x ) = x n+1 ( n + 1)(1 + θ x ) n +1
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x2n+1 sin x = x − + −L+ (−1)n + o( x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)!
2n x2 x4 x6 n x cos x = 1 − + − + L+ (−1) + o( x2n ) 2! 4! 6! (2n)!
n n+1
2
3
n+1
x2 x4 x6 x2n n cos x = 1− + − +L+ (−1) + R2n+1 2! 4! 6! (2n)! π cos(θ x + ( 2n + 1) ) 2 x 2 n+ 2 R2 n +1 ( x ) = ( 2n + 2)!
x2 x3 xn ln(1+ x) = x − + −L+ (−1)n−1 + Rn( x) 2 3 n
x x x ln(1 + x) = x − + −L+ (−1) + o( x ) 2 3 n+1 1 = 1 + x + x2 + L+ xn + o( xn ) 1− x m(m − 1) 2 m (1 + x) = 1 + mx + x +L 2! m(m − 1)L m − n + 1) n ( x + o( xn ) + n!
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
x2 x4 x6 x2n n cos x = 1− + − +L+ (−1) + R2n+1 2! 4! 6! (2n)! π cos(θ x + ( 2n + 1) ) 2 x 2 n+ 2 R2 n +1 ( x ) = ( 2n + 2)!
x2 x3 xn ln(1+ x) = x − + −L+ (−1)n−1 + Rn( x) 2 3 n
点的区间上满足柯西中值定理的条件, 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
′ ′ ′ Rn(ξ1 ) Rn(ξ1 ) − Rn( x0 ) n = (n + 1)(ξ1 − x0 ) (n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′′ Rn(ξ2 ) (ξ2在x0与ξ1之间 ) = n−1 n(n + 1)(ξ2 − x0 )
n
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) M n+1 Rn ( x) = ( x − x0 ) ( x − x0 )n+1 ≤ (n + 1)! (n + 1)! Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
注意到 f
x
( n+1)
(θx) = eθ
x
代入公式,得 代入公式 得
x n+1
x x eθ e = 1 + x + +L+ + x n! (n + 1)! 2!
2 n
(0 < θ < 1).
x2 xn 由公式可知 e x ≈ 1 + x + +L+ 2! n! 估计误差 (设 x > 0)
eθx ex Rn ( x) = xn+1 (0 < θ < 1). < (n + 1)! (n + 1)!
f ( x) ≈ f ( x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) +α ]
x 2.设f (x)在 0 处可 ,则 导, 2.设 导 有
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +L+ x 2! n! + O( xn )
五、简单的应用
例1
阶麦克劳林公式. 求 f ( x) = e 的n 阶麦克劳林公式.
x
Q f ′( x) = f ′′( x) = L= f (n) ( x) = e x , 解 ∴ f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = L= f (n) (0) = 1
第三节
泰勒中值定理
问题的提出 Pn和Rn的确定 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor) 麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin) 简单的应用 小结
一、问题的提出
1.设 续, 1.设 f (x)在x0处连 ,则 续 有
( x ) = sin( x + n ) 2
π
f ′( 0 ) = 1
(4)
f ′′(0) = 0
( 0) = 0
代入Taylor公式得： 公式得： 代入 公式得
x3 x5 x 2 n −1 sin x = x − + − L + ( −1) n + R2 n 3! 5! ( 2n − 1)!
2n + 1 sin(θ x + π) 2 R2 n ( x ) = x 2 n+1 ( 2n + 1)!
差 误 R( x) = f ( x) − P( x) 可 计 估
设 数 f (x)在 有x0的 区 (a, b) 内 有 到 函 含 开 间 具 直
(n + 1)阶 数 P(x) 为 项 函 导 , 多 式 数
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + L+ an( x − x0 )n n
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
（如下图） 如下图）