2017年中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题

一、选择题

1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，

点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题

1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE=

∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4

．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD

与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5

，其中正确的结论是（填

入正确结论的序号）．

三、解答题

1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2

+bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形

是平行四边形时，求出点M 的坐标；

（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．

2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：

2

yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．

（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，

求S△OAC：S△OAD的值；

（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与

y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°BC，=16cm，AD是斜边

BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，

与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止

运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关

于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CP是D等腰

三角形？

4.（2014年湖南衡阳10分）二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△的面积为APCS，试求出S与

点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△B相O似C？

5.（2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，

点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

6.（2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、

BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：

（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△CO的B形状，并证明你的结论；

（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；

（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△A相B似C？若存在，请求出此

时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

7.（2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=23，∠AOC=60°，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．

（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．

（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．

①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；

②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三

角形与△PE相F似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8.（2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），

C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△C相O似B？若存在，试求出

点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BD的A度数．