第八章 单方程回归模型的几个专题
第八章 单室模型
表观分布容积(V)
V X 0 / C0
Drug with low Vd
Drug with high Vd
high tissue binding
血药浓度－时间曲线下面积AUC
AUC Cdt 0 C0e dt
kt
0
C0 k
X0 Vk
清除率(Cl)
dX kX dt kV Cl C C
药物应主要经肾排泄， 药物较多以原型经肾排泄，且此过程符
合一级动力学过程。
1．尿排泄速度与时间的关系（速度法）
原型药物从尿液中排泄
X Xu
ke
其中，X为t时间体内药物的量，Xu为t时间排泄于 尿中原型药物累积量。
速度方程：
dXu = keX dt
dXu -kt = ke· X0e dt
lgC
k 2.303
t
3、基本参数(k和C0)求解
作图法：
C
lgC
k 2.303
t
t
最小二乘法：
（线性回归法）
4、其它参数的求解
半衰期(t1/2)
C0 k 0.693 lg t1/ 2 lg C0 t1/ 2 2 2.303 k
t1/2的临床意义:
(1)是体内药量或血药浓度下降一半所需要 的时间，反映药物在机体贮留的时间。
得
Xu
ke X 0 kt Xu e k
上式两边取对数得
lg( X u
k Xu ) t lg X u 2.303
式中 ( X u X u ) 项为待排泄原型药物的量， 简称亏量。
第八章经典假设下的横截面数据单方程线性回归模型的Stata实现优质PPT
在我们的问题中为reg wage educ exper age kidslt6 kidsge6 dta这个数据集中共有753条观测记录，代表753个女性，每条观测记录包括22个变量。
mroz.dta这个数据集包含了22个变量，我们仅介绍将具体使用到的 变量。mroz.dta是一个关于女性就业方面的数据集，每条记录代表一 个女性。inlf是一个二值变量，它取值1时表示女性有工作，取值0表 示女性没有在工作；hours表示女性在1975一整年工作的小时； kidslt6表示该女性小于6岁孩子的个数；kidsge6表示6到18岁孩子的 个数；age表示年龄；educ表示教育年限；wage表示小时工资； huseduc表示该女性丈夫的教育年限；faminc表示家庭收入； fathereduc表示该女性父亲的教育年限；exper表示已经工作的年数 ；lwage表示工资的对数；expersq表示经验的平方。
predict 其中
n即ew为控v女ar性制的教育了回报年龄、阅历、女性小于6岁孩子的数量、6
到18岁的孩子这些变量对工资的影响 。 dta这个数据集包含了22个变量，我们仅介绍将具体使用到的变量。
huseduc表示该女性丈夫的教育年限； 我们要研究的是对于女性而言，其受教育的年数是否对其工资有影响。
t问es题t命：令女检性验教r系育e数的g的回关r报系e，s以s检验、教育p回r报e是否d等i于c经t验、的回t报e为s例t命令。regress、
其中 即为女性的教育回报
predict、test是一组命令，它们完成各种简单和 regress depvar indepvars
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
单方程回归模型的几个专题
.单方程回归模型的几个专题一、名词解释1、虚拟变量2、模型设定误差3、工具变量4、工具变量法5、变参数模型；6、分段线性回归模型7、虚拟变量模型答案：1、把质的因素量化而构造的取值为0和1的人工变量。
2、在设定模时如果模型中解释变量的构成、模型函数的形式以及有关随机误差项的若干假定等内容的设定与客观实际不一致，利用计量经济学模型来描述经济现象而产生的误差。
3、是指与模型中的随机解释变量高度相关，与随机误差项不相关的变量。
4、用工具变量替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量的方法。
5、由于引进虚拟变量，回归模型的截距或斜率随样本观测值的改变而系统地改变7、二、简答题1、模型中引入虚拟变量的作用是什么？答案：（1）可以描述和测量定性因素的影响；（2）能够正确反映经济变量之间的关系，提高模型的精度；（3）便于处理异常数据。
2、虚拟变量引入的原则是什么？答案：（1）如果一个定性因素有m方面的特征，则在模型中引入m-1个虚拟变量；（2）如果模型中有m个定性因素，而每个定性因素只有两方面的属性或特征，则在模型中引入m个虚拟变量；如果定性因素有两个及以上个属性，则参照“一个因素多个属性”的设置虚拟变量。
（3）虚拟变量取值应从分析问题的目的出发予以界定；（4）虚拟变量在单一方程中可以作为解释变量也可以作为被解释变量。
3、虚拟变量引入的方式及每种方式的作用是什么？答案：（1）加法方式：其作用是改变了模型的截距水平；（2）乘法方式：其作用在于两个模型间的比较、因素间的交互影响分析和提高模型的描述精度；（3）一般方式：即影响模型的截距有影响模型的斜率。
4、判断计量经济模型优劣的基本原则是什么？答案：（1）模型应力求简单；（2）模型具有可识别性；（3）模型具有较高的拟合优度；（4）模型应与理论相一致；（5）模型具有较好的超样本功能。
5、模型设定误差的类型有那些？答案：（1）模型中添加了无关的解释变量；（2）模型中遗漏了重要的解释变量；（3）模型使用了不恰当的形式。
【STATA精品教程】第八章-经典假设下的横截面数据单方程线性回归模型的Stata实现
本章结束，谢谢观看！
10
本章介绍横截面数据、单方程、经典条件下 的线性回归分析的stata实现，对于其他回归
分析的实现方法在下面的章节中将会为大家 介绍
Stata的回归分析——regress、predict、test 命令
• Stata提供了范围异常广泛的回归程序。本章我们 介绍用于回归分析最基本的三个Stata命令—— regress、predict、test命令。regress、predict、 test是一组命令，它们完成各种简单和多元的普 通最小二乘法回归。regress命令用于完成因变量 对自变量的回归，其后续命令predict可以计算预 测值、残差，另一后续命令test检验用户指定的 假设。由于这组命令的连贯性，我们选用同一个 例子来说明它们的使用方法。
ห้องสมุดไป่ตู้现示例
• 问题：女性教育的回报 • 我们要研究的是对于女性而言，其受教育的年数 是否对其工资有影响。在考虑这个问题时，我们 控制了年龄、经验、女性小于6岁孩子的数量、6 到18岁的孩子这些变量对工资的影响 。
数据集
• mroz.dta是一个用来做劳动经济学研究的标准横截面数据集，它 收集了美国1975年有关女性工作的各种数据。mroz.dta这个数据 集中共有753条观测记录，代表753个女性，每条观测记录包括22 个变量。
• 目标 • 1.展示如何用regress命令估计
的w参ag数e 。其0 中1edu即c 为2女ag性e 的3教ex育p e回r 报4kidslt6 5kidsge6 u 2.展示如何用regr1 ess命令的后续命令predict来给出因变量
第八章 单方程回归模型的相关专题
(8-6)
此时产生的后果如下： （1）过度拟合模型（8-6）的OLS估计量是 无偏的（也是一致的）。即:
E ( 0 ) 0 , E ( 1 ) 1
和 E ( 2 ) 0
（2）标准的置信区间和假设检验仍然是有效 的。 （3）从回归方程（8-6）中估计的α却不是最 优的。
第四，模型(8-13)或其等价方程(8-14)都假定每 单位解释变量变化所带来的概率的变化率是一 个常数，并由斜率值直接给出。 表示家庭收入每增加一个单位，拥有住房 所有权的概率就会增加个单位，而并未考虑家 庭收入的水平，这是与实际相背离的。 考虑到“收益递减”规律，在不同家庭收 入水平条件下，每增加一个单位的家庭收入， 促使拥有住房所有权增加的概率值是不尽相同 的。
3、不正确的函数形式 用进口支出函数（8-1）来说明 如果使用如下形式的进口支出函数：
ln Yi 0 1 ln X 1 i 2 ln X 2 i v i
（8-7）
边际与弹性是不一样的
4、测量误差 如果研究者在使用中没能运用真正 的Yi 和Xi ，而是采用了含有测量误差的 替代变量Y*i和Xi*，使模型变为：
第八章
单方程回归模型的相关专题
本章我们将介绍在实际研究当中非常 有用的几个专题。这些专题是： 模型选择：标准和检验 虚拟因变量模型 自回归模型与分布滞后模型
§8.1 模型选择：标准和检验 一、“好的”模型具有的特性 第一，具有节省性（parsimony） 第二，具有可识别性 第三，具有较高的拟合优度 第四，具有理论一致性 第五，具有较强的预测能力
Yi 0 1 X i u i
Yi——住房所有权状况， 拥有住房所有权取值为l，反之则取为0 Xi家庭收入
新教材2023版高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件
巩固训练1 (1)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对 父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177
则y对x的经验回归方程为( ) A．yො＝x－1 B．yො＝x＋1 C．yො＝88＋12x D．yො＝176
教材要点
要点一 一元线性回归模型
我们称ቊE
Y e
= bx + a = 0，D
+ e
e=，σ2为Y关于x的一元线性回归模型❶，其中
Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未 知参数，a称为___截__距___参数，b称为___斜__率___参数；e是Y与bx＋a之 间的_随__机_误__差__．
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方 程可能是( )
A．yො＝－10x＋200 B．yො＝10x＋200 C．yො＝－10x－200 D．yො＝10x－200
答案：A
解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x>0时，yො <0不合题意，∴C 错．故选A.
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选 择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表：
8.2 一元线性回归模型及其应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
课标解读 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的 统计意义． 2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计 方法，会使用相关的统计软件． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
新知初探·课前预习
解析：令x＝15，所以yො＝0.76×15＋0.4＝11.8.
第八章8.2一元线性回归模型及其应用PPT课件(人教版)
三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
解 作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y不具有线性相关关系，根据已有知识可 以发现样本点散布在某一条指数函数型曲线 y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数.
年份
2015 202X 202X 202X 202X
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元) 5
6
7
8
10
(1)求 y 关于 t 的经验回归方程y^＝b^ t＋a^ ；
n
tiyi－n t y
i＝1
参考公式：b^ ＝
n
t2i －n
t2
，a^ ＝
y
－b^
t
i＝1
解 由题意可知，n＝5， t ＝1nn ti＝155＝3， i＝1
来比较两个模型的拟合效果，R2 越 大 ，模型
n
yi－ y 2
i＝1
拟合效果越好，R2 越 小 ，模型拟合效果越差.
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以 横轴为对称轴的水平带状
区域内 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.
2.残差平方和法
n
(yi－y^i)2
残差平方和 i＝1
第八章统计回归模型
第八章--统计回归模型第八章 统计回归模型回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.一、多项式回归(1) 一元多项式回归一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10.如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下：p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值.[p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差.2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下：Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y.[Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值.3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下：[Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05.4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下：polytool(x,y,m)；polytool(x,y,m,alpha)；用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05.例1 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s . t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30 s(cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13t (s) 8/30 9/3010/30 11/30 12/30 13/30 14/30 s(cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下：%%%输入数据t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];%%%多项式系数拟合[p,S]=polyfit(t,s,2);则得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s . %%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下：y=Columns 1 through 1111.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754Columns 12 through 14113.7759 129.5637 146.4389dalta=Columns 1 through 110.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816Columns 12 through 140.0829 0.0865 0.0937%%%交互式画图polytool(t,s,2);polytool所得的交互式图形如图8-1所示.图8-1(2) 多元二项式回归多元二项式回归模型的一般形式为εββββ∑≤≤+++++=m k j k j jk m m x x x x y ,1110....多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n ⨯m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：linear(线性)：mm x x y βββ+++= 110；purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj jjj m m x x x y 12110ββββ ； interaction(交叉)：∑≤≠≤++++=m k j k j jk m m x x x x y 1110ββββ ； quadratic(完全二次)：∑≤≤++++=m k j k j jk m m x x x x y ,1110ββββ .例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量. 需求量100 75 80 70 50 65 90 100 11060 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 30价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9解 选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=. %%%输入数据 x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];x=[x1' x2'];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]';%%%多元二项式回归rstool(x,y,'purequadratic');得如下结果：图8-2得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y （x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y （x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方单击”Export ”，在出现的窗体中单击”ok ”按钮，则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta,rmse ，得结果： beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.00011.8475rmse =4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=，剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.二、多元线性回归多元线性回归模型的一般形式为011...m m y x x βββε=++++. 在Matlab 统计工具箱中使用函数regress 实现多元线性回归.具体调用格式为：b=regress(Y,X) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y ...21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m x x x x x x x x x X ...1..................1...1212222111211.对于一元线性回归，取1=m 即可.b 为输出向量；b ，bint 表示回归系数估计值和它们的置信区间；r 表示残差；rint 表示残差的置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2R 、F 值、与F 值对应的概率P 、2s 的值.相关系数2R 越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1-->-m n m F F α时拒绝0H ，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率α<P 时拒绝0H ，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出. 例3 已知某湖泊八年来湖水中COD 浓度实测值(y )与影响因素，如湖区工业产值(x 1)、总人口数(x 2)、捕鱼量(x 3)、降水量(x 4)的资料，建立y 的水质分析模型.湖水浓度与影响因素数据表 x 11.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477 x 20.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575 x 32.170 2.554 2.676 2.713 2.8233.088 3.122 3.262x40.89221.1610.53460.95891.02391.04991.10651.1387y 5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95 解作出因变量y与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.图8-3 y与x1的散点图图8-4 y与x2的散点图图8-5 y与x3的散点图图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：%%%输入数据x1=[1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477];x2=[0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575];x3=[2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262];x4=[0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.04991.1065 1.1387];x=[ones(8,1) x1' x2' x3' x4'];y=[5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95];%%%多元线性回归[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);得如下结果：b =-13.984913.19202.42280.0754-0.1897bint =-26.0019 -1.96791.4130 24.9711-14.2808 19.1264-1.4859 1.6366-0.9638 0.5844r =-0.06180.02280.01230.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274 rint =-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486 stats =0.9846 47.9654 0.0047 0.0123 故回归模型为：43211897.00754.04228.21920.139849.13x x x x y -+++-=，此外，由stats 的值可知9846.02=R，9654.47=F ，0047.0=P 。
计量经济学单方程回归模型的几个专题
建估计模型时，样本容量越大则估计误差越小。如果能同时获得变量的时序(shí xù)数 据和横截面数据(简称为TS—CS数据)，是否可以将它们“混合”成一个样本来估计模型？只要 模型参数不随时间而改变，并且在各个横截面之间没有差异，就可以使用混合样本估计模型 。
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在EViews软件中，生成D2数据的EViews命令是GENR D2= @SEAS(2)，D3、D4 类似。以时间t为解释(jiěshì)变量（1982年1季度取t = 1，EViews命令是：GENR T= @TREND(1981：1)）的煤销售量（yt）模型回归结果如表7.1.5所示。
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由此可以看出，我国城镇居民人均消费函数的特点：1997年前后两个 时期的回归结果在截距与斜率项上不同。1997年前我国城镇居民边际消费 倾向为0.80，1997年以后，边际消费倾向在下降（仅为0.71）。
7.1.3 虚拟变量的特殊应用
1．虚拟变量在季节调整模型中的应用
使用虚拟变量也可以反映季节因素的影响。例如，利用季度数据分析 某公司利润y与销售收入x之间的相互关系时，为研究四个季度对利润的季 节性影响，引入三个虚拟变量(设第1季度为基础(jīchǔ)类型)：
拟(xūnǐ)变量D定义如下：
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例7.1.11 中国储蓄函数。表7.1.2给出了中国1978-2003年城镇居民人均可支配 收入、人均消费性支出（单位：元）数据。以1997年为界，判断1997前和1997年后 的两个时期(shíqī)中国的城镇居民人均可支配收入——人均消费关系是否已经发生 变化。
模型结构的稳定性检验主要有两个用途：一是分析模型结构对样本变化的敏感性， 如多重共线性检验；二是比较两个(或多个)回归模型之间的差异情况，即分析模型结 构是否发生了显著变化。
第八章 单方程回归模型的几个专题
第八章 单方程回归模型的几个专题8.1虚拟变量（dummy variable ）8.1.1 概念与用作在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响，同时还受定性变量影响。
例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质等因素的影响。
这些因素也应该包括在模型中。
为此人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与数值变量一样在回归模型中得以应用。
构造的规则是当某种属性存在时，人工变量取值为1；当某种属性不存在时时，取值为0。
在计量经济学中，我们把反映定性因素变化，取值为0或1的人工变量称为虚拟变量。
习惯上用D 表示。
如：引入虚拟变量的作用主要有三个：1）可以描述定性因素的影响；2）能够正确反映经济变量的相互关系，提高模型的精度；3）便于处理异常数据。
当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式。
一是直接剔除；二是平滑掉；三是设置虚拟变量。
8.1.2 虚拟变量的设置 1、设置规则1）一个因素多个属性：若定性因素有M 个不同的属性，或相互排斥的类型，在模型中则只能引入M-1个虚拟变量，否则会引起完全多重共线性。
2）多个因素多个属性：每个因素的引入方法均按上述原则。
2、引入方式：1）加法方式（截距移动） 设有模型，y t = β0 + β1 x t + β2D + u t ,其中y t ，x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D = 0 或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=+++=++1)(012010D u x D u x tt t t βββββ0204060204060X Y图8.1 测量截距不同D = 1或0表示某种特征的有无。
反映在数学上是截距不同的两个函数。
若β2显著不为零，说明截距不同；若β2为零，说明这种分类无显著性差异。
例：中国成年人体重y （kg ）与身高x （cm ）的回归关系如下：–105 + x D = 1 (男)y = - 100 + x - 5D =– 100 + x D = 0 (女)注意：① 若定性变量含有m 个类别，应引入m -1个虚拟变量，否则会导致多重共线性，称作虚拟变量陷阱（dummy variable trap ）。
人教A版高中数学选择性必修第三册精品课件 第8章 成对数据的统计分析 一元线性回归模型及其应用
请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系?
提示:画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直
线表示变量之间的相关关系.
2.(1)用 x 表示父亲的身高,Y 表示儿子的身高,e 表示随机误差.假定随机误差
e 的均值为 0,方差为与父亲身高无关的定值 σ2,则它们之间的关系可以表示
n
∑
(2) 决定系数 R2 的计算公式为 R2=1-i=1
^ 2
( - )
2
2
.在
R
表达式中,
∑
(y
i-) 与经
2
∑ ( -)
=1
验回归方程无关,残差平方和 ∑
=1
=1
^ 2
(yi- ) 与经验回归方程有关.因此
R2 越大,表
示残差平方和 越小 ,即模型的拟合效果 越好 ;R2 越小,表示残差平方和越大,
即模型的拟合效果 越差 .
3.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的决定
系数R2如下,其中拟合效果最好的模型是(
)
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
R2
0.98
0.80
0.50
0.25
A.模型1
答案:A
B.模型2
C.模型3 D.模型4
合作探究 释疑解惑
探究一
经验回归方程
【例1】 随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,
^ ^
最小二乘法,求得的, 叫做 b,a 的 最小二乘估计 .
3.(1)在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y关于x
7.单方程回归模型的几个专题
Y ( 1 2 D) ( 3 4 D) X u 即：Y 1 2 D 3 X 4 ( DX ) u
0 其中，D={ 1 战时 平时
此式等价于下列两个单独的回归式：
战时：Y 1 3 X u 平时：Y ( 1 2 ) （ 3 4）X u
log Y 2.82 0.64 log X 0.48 log P (0.42) (0.03) (0.12)
R 2 0.99
回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹 性是0.48，这两个系数都显著异于0。
例2．柯布-道格拉斯生产函数 生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一 种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为
非线性回归方法的步骤
1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）; 2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值 ˆ ; （拟合值） Y 3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2; 4．对一个或多个参数的估计值作微小变动； ˆ Y ˆ 、残差平方和∑e2； 5．计算新的Y预测值 Y 6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于 老估计值，则以它们作为新起点； 7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。 8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。
r=2 r
Yt=β 1+β 2Xt + ut
ˆ , ˆ 将OLS法应用于此模型，可求得β 1和β 2的估计值 1 2
从而可通过下列两式求出a和b估计值：
ˆ ˆ) log( a 1 ˆ ˆ b
2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如
ˆ 和 ˆ ，而 BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 1 2
第8章 单方程回归模型预测
f
~ N (0,1)
• 当 2未知时,用 2 • 其中有 • 所以:
2 s2 s (1 T 1 ) f 2 T ( X t X ) ˆ Y Y • 进而得到: t T 1 T 1 ~ t (T 2) sf ˆ t s Y Y ˆ t s • 置信区间为 Y T 1 0.05 f T 1 T 1 0.05 f
第8章 单方程回归模型预测
• 8.1 无条件预测 • 8.2 误差项序列相关情形下的预测 • 8.3 有条件预测
8.1 无条件预测
• 无条件预测是解释变量在整个预测区间 上必须全部已知. • 8.1.1 预测误差 • 8.1.2 预测的评价
8.1.1 预测误差(1)
ˆ Y ˆT 1 Y • 预测误差的定义: T 1 T 1 • 预测误差的性质:1)期望值为0;2)预测误差的方差是最小 的. ˆ Y 2 Y N ~ ( 0 , ) • 由于预测误差服从 ,我们用标准化: T 1 T 1 ˆ ˆ • 预测区间为: YT 1 0.05 YT 1 YT 1 0.05 • 如果实际值落在95%的置信区间内,模型是符合要求的; 落在置信区间以外,则是模型需要修正的证据. • 关于作为评价模型可靠性的方法与古典的统计量不同: 有很显著的t统计量和可决系数的单方程回归模型,不能 很好的预测(预测区间内发生了结构变化).而回归参数 不显著的方程,可能有好的预测.
作业
ˆ ˆYT ˆ (1 ˆ ) ( X T 1 ˆX T ) Y T 1
• 例8.3 利率预测 • 例8.4 烟煤需求量预测
8.3 有条件预测
• 我们前面的讨论全部假设解释变量是已 知的.但在事前预测的情况下,有些解释变 量可能需要预测其未来值.那么,X值的随 机性质,使得当X值本身也需要预测时,预 测误差95%的置信区间的宽度回增大. • 一般情况下,很难获得一般预测误差的公 式.
新教材2023高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件新人教A版选择性必修
分是随机的.
(2)如果 e=0,那么 Y 与 x 之间的关系就可用一元线性函数模型来
描述.
【思考】
在线性回归模型 Y=bx+a+e 中,e 产生的原因主要有哪
几种?
提示:e 产生的原因主要有以下几种:
(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差;
宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,3,…,8)数据作了初步处理,得到散点图(如
图)及一些统计量的值如下.
且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单
价应定为多少(利润=销售收入-成本)?
1
解:(1)因为=6×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,
1
=6×(90+84+83+80+75+68)=80,
所以=+20=80+20×8.5=250,
所以经验回归方程为=-20x+250.
匀地分布在水平带状区域中,带状区域越窄,说明模型的拟合精度
越高,经验回归方程预测的精度也越高.
【跟踪训练】
2.红铃虫是一种害虫,一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集
了 7 组观测数据.用 4 种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方
程并进行残差分析,进一步得到如下 4 幅残差图,根据残差图,拟合效
.R2 越大,模型的拟合效果越好;R2 越
【思考】
残差分析的意义是什么?
提示:一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画
数据的效果进行分析,借助残差分析还可以对模型进行改进,使
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第八章 单方程回归模型的几个专题8.1虚拟变量（dummy variable ）8.1.1 概念与用作在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响，同时还受定性变量影响。
例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质等因素的影响。
这些因素也应该包括在模型中。
为此人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与数值变量一样在回归模型中得以应用。
构造的规则是当某种属性存在时，人工变量取值为1；当某种属性不存在时时，取值为0。
在计量经济学中，我们把反映定性因素变化，取值为0或1的人工变量称为虚拟变量。
习惯上用D 表示。
如：引入虚拟变量的作用主要有三个：1）可以描述定性因素的影响；2）能够正确反映经济变量的相互关系，提高模型的精度；3）便于处理异常数据。
当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式。
一是直接剔除；二是平滑掉；三是设置虚拟变量。
8.1.2 虚拟变量的设置 1、设置规则1）一个因素多个属性：若定性因素有M 个不同的属性，或相互排斥的类型，在模型中则只能引入M-1个虚拟变量，否则会引起完全多重共线性。
2）多个因素多个属性：每个因素的引入方法均按上述原则。
2、引入方式：1）加法方式（截距移动） 设有模型，y t = β0 + β1 x t + β2D + u t ,其中y t ，x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D = 0 或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=+++=++1)(012010D u x D u x tt t t βββββ 0204060204060X Y图8.1 测量截距不同D = 1或0表示某种特征的有无。
反映在数学上是截距不同的两个函数。
若β2显著不为零，说明截距不同；若β2为零，说明这种分类无显著性差异。
例：中国成年人体重y （kg ）与身高x （cm ）的回归关系如下：–105 + x D = 1 (男)y = - 100 + x - 5D =– 100 + x D = 0 (女)注意：① 若定性变量含有m 个类别，应引入m -1个虚拟变量，否则会导致多重共线性，称作虚拟变量陷阱（dummy variable trap ）。
② 关于定性变量中的哪个类别取0，哪个类别取1，是任意的，不影响检验结果。
③ 定性变量中取值为0所对应的类别称作基础类别（base category ）。
④ 对于多于两个类别的定性变量可采用设一个虚拟变量而对不同类别采取赋值不同的方法处理。
如：1 (大学) D = 0 (中学) -1 (小学)。
例1：市场用煤销售量模型（file: Dummy1）我国市场用煤销量的季节性数据（1982-1988，《中国统计年鉴》1987，1989）见下图与表。
由于受取暖用煤的影响，每年第四季度的销售量大大高于其它季度。
鉴于是季节数据可设三个季节变量如下：1 （4季度） 1 （3季度） 1 （2季度） D 1 = D2 = D3 =0 （1, 2, 3季度） 0 （1, 2, 4季度） 0 （1, 3, 4季度）β0β0+β2D = 1 D =0250030003500400045005000550082838485868788Y250030003500400045005000550082838485868788Y2731.03+57.15*T全国按季节市场用煤销售量数据（file: Dummy1）数据来源：《中国统计年鉴》1989。
注：以季节数据D 1为例，EViews 命令是D1= @seas(4)。
以时间t 为解释变量（1982年1季度取t = 1）的煤销售量（y ）模型如下：y = 2431.20 + 49.00 t + 1388.09 D 1 + 201.84 D 2 + 85.00 D 3 (1)(26.04) (10.81) (13.43) (1.96) (0.83) R 2 = 0.95, DW = 1.2, s.e. = 191.7, F=100.4, T =28, t 0.05 (28-5) = 2.07由于D 2，D 3的系数没有显著性，说明第2，3季度可以归并入基础类别第1季度。
于是只考虑加入一个虚拟变量D 1，把季节因素分为第四季度和第一、二、三季度两类。
从上式中剔除虚拟变量D 2，D 3，得煤销售量（y ）模型如下：y = 2515.86 + 49.73 t + 1290.91 D 1 (2)(32.03 (10.63) (14.79)R 2 = 0.94, DW = 1.4, s.e. = 198.7, F = 184.9, T =28, t 0.05 (25) = 2.06进一步检验斜率是否有变化，在上式中加入变量t D 1，y = 2509.07 + 50.22 t + 1321.19 D 1 - 1.95 t D 1 (3)(28.24) (9.13) (6.85) (-0.17)R 2 = 0.94, DW = 1.4, s.e. = 202.8, F = 118.5, T =28, t 0.05 (24) = 2.06由于回归系数 -1.95所对应的t 值是 -0.17，可见斜率未发生变化。
因此以模型 (2) 作为最后确立的模型。
若不采用虚拟变量，得回归结果如下，y = 2731.03 + 57.15 t (4)(11.6) (4.0)R 2 = 0.38, DW = 2.5, s.e. = 608.8, T = 28, t 0.05 (26) = 2.06与（2）式相比，回归式（4）显得很差。
2、乘法方式（斜率变化）以上只考虑定性变量影响截距，未考虑影响斜率，即回归系数的变化。
当需要考虑时，可建立如下模型：y t = β0 + β1 x t + β2 D + β3 x t D + u t ,其中x t 为定量变量；D 为定性变量。
当D = 0 或1时，上述模型可表达为，y t =⎩⎨⎧=++++=++1)()(0312010D u x D u x tt tt ββββββ 通过检验 β3是否为零，可判断模型斜率是否发生变化。
20406080100204060XY010203040506070204060T Y图8.5 情形1（不同类别数据的截距和斜率不同） 图8.6 情形2（不同类别数据的截距和斜率不同）例2：用虚拟变量区别不同历史时期（file:dummy2）中国进出口贸易总额数据（1950-1984）见上表。
试检验改革前后该时间序列的斜率是否发生变化。
定义虚拟变量D 如下0 （1950 - 1977）D =1 （1978 - 1984）中国进出口贸易总额数据（1950-1984） （单位：百亿元人民币）年 trade time D time D 年trade time D time D 1950 0.415 1 0 0 1968 1.085 19 0 0 1951 0.595 2 0 0 1969 1.069 20 0 0 1952 0.646 3 0 0 1970 1.129 21 0 0 1953 0.809 4 0 0 1971 1.209 22 0 0 1954 0.847 5 0 0 1972 1.469 23 0 0 1955 1.098 6 0 0 1973 2.205 24 0 0 1956 1.087 7 0 0 1974 2.923 25 0 0 1957 1.045 8 0 0 1975 2.904 26 0 0 1958 1.287 9 0 0 1976 2.641 27 0 0 1959 1.493 10 0 0 1977 2.725 28 0 0 1960 1.284 11 0 0 1978 3.550 29 1 29 1961 0.908 12 0 0 1979 4.546 30 1 30 1962 0.809 13 0 0 1980 5.638 31 1 31 1963 0.857 14 0 0 1981 7.353 32 1 32 1964 0.975 15 0 0 1982 7.713 33 1 33 1965 1.184 16 0 0 1983 8.601 34 1 34 1966 1.271 17 0 0 1984 12.010 35 1 35 1967 1.122 18 0 0以时间time 为解释变量，进出口贸易总额用trade 表示，估计结果如下： trade = 0.37 + 0.066 time - 33.96D + 1.20 time D(1.86) (5.53) (-10.98) (12.42)0.37 + 0.066 time (D = 0, 1950 - 1977) =- 33.59 + 1.27 time (D = 1, 1978 - 1984)上式说明，改革前后无论截距和斜率都发生了变化。
进出口贸易总额的年平均增长量扩大了18倍。
例3：香港季节GDP 数据（单位：千亿港元）的拟合（虚拟变量应用, file:dummy6）1.01.52.02.53.03.54.090919293949596979899000102GDP1.01.52.02.53.03.54.090919293949596979899000102GDP1.6952+0.0377*T1990~1997年香港季度GDP 呈线性增长。
1997年由于遭受东南亚金融危机的影响，经济发展处于停滞状态，1998~2002年底GDP 总量几乎没有增长（见上图）。
对这样一种先增长后停滞，且含有季节性周期变化的过程简单地用一条直线去拟合显然是不恰当的。
为区别不同季节，和不同时期，定义季节虚拟变量D2、D3、D4和区别不同时期的虚拟变量DT 如下（数据见附录）：1 （1998:1~2002:4） DT =0 （1990:1 ~1997:4）得估计结果如下：GDP t = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D 2 + 0.2098 D 3 + 0.2349 D 4+ 1.8338 DT - 0.0654 DT t(50.8) (64.6) (3.7) (9.9) (11.0) (19.9) (-28.0)R 2 = 0.99, DW = 0.9, s.e. = 0.05, F=1198.4, T =52, t 0.05 (52-7) = 2.01对于1990:1 ~1997:4 GDP t = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D 2 + 0.2098 D 3 + 0.2349 D 4 对于1998:1~2002:4GDP t = 2.9911 + 0.0014 t + 0.0775 D 2 + 0.2098 D 3 + 0.2349 D 4如果不采用虚拟变量拟合效果将很差。