第二章.Z变换及离散时间系统分析

y (n) =
k =−∞
∑ x ( k ) h ( n − k ) = x ( n) ∗ h ( n)
∞
3、LSI系统的转移函数
3、LSI系统的转移函数
对差分方程的两端取Z变换，得
Y ( z ) = −Y ( z ) ∑ a ( k ) z − k + X ( z ) ∑ b ( r ) z − r
1、Z变换的定义及其收敛域
将复变量表示为极坐标变量形式：令 z = re jω，则 X ( z ) 为
X ( re jω ) =
Im[z] R0 R+ Re[z]
n =−∞
∑ x ( n ) ( re ω )
j
∞
−n
=
n =−∞
−n
∑⎡ ⎣x (n) r
∞
−n
− jω n ⎤ ⎦e
当 r > 1 时， r 即使得
滤波器分类：用于线性滤波的 H ( z ) ，按频率特性可分 为低通、高通、带通和带阻四种。 数字滤波器设计原则：若使滤波器拒绝某一频率，应 在单位圆上相应的频率处设置一个零点；反之，若使 滤波器突出某一频率，应在单位圆内相应的频率处设 置一个极点。极点越接近单位圆，在该频率处幅频响 应幅值越大，形状越尖。
z >0
N 2 ≤ 0 ，则ROC是除去无穷远点的整个 z 平 b) 若 N1 < 0 ， 面，即 z < ∞ 。 N 2 > 0 ，则ROC是上述两种情况下ROC的公 c) 若N1 < 0 ， 共部分，即 0 < z < ∞ 。
Rx < z < ∞
1、Z变换的定义及其收敛域
1、Z变换的定义及其收敛域
2
2、Z变换的性质
2、Z变换的性质
Z变换的性质
① 线性 若
⎡ x1 ( n ) ⎦ ⎤ = X1 ( z ) ⎣ ⎡ ⎣ x2 ( n ) ⎤ ⎦ = X2 (z) ROC : R1 ROC : R2
② 时移性质 记 x ( n ) 的双边Z变换为X ( z ) ，将 x ( n ) 右移 k 个抽样周期 后所得序列 x ( n − k ) 的Z变换为
N
H ( z ) = gz N − M
∏( z − z ) ∏( z − p )
k =1 k r =1 N r
M
g 称为系统的增益因子。使分母多项式为零的 z 值，称为系统的极点；使分子多项式为零的点，称为 系统的零点。极零点分析是系统分析的主要内容之一。
因此，转移函数 H ( z ) 既可定义为系统抽样响应 h ( n ) 的 Z变换，又可定义为系统输出、输入Z变换之比。
X (z) =
n =−∞
令
z = e jω
X (z) =
其表示在平面上的r=1的圆，即单位圆。则有
n =−∞
∑ x (n) z
∞
−n
=
n =−∞
∑ x ( n )e
∞
− jω n
= X ( e jω )
∑ x (n) z
∞
−n
上式即为离散序列的傅里叶变换（DTFT）。也就是 说，单位圆上的Z变换，即是序列的傅里叶变换。 逆Z变换：由已知的 X ( z )及所给的ROC（收敛域）反求序 列 x ( n ) 的过程称为逆Z变换。 逆Z变换的方法：幂级数法（长除法）；部分分式法；留 数法（围线积分法）。
k −1 k ⎡ −n ⎤ ⎡ ⎣ x ( n + k )⎤ ⎦ = z ⎢ X ( z ) − ∑ x ( n) z ⎥ n =0 ⎣ ⎦
2、Z变换的性质
2、Z变换的性质
③ 序列的指数加权性质 若 则
n ⎡ ⎣a x ( n )⎤ ⎦ = X ( z / a)
④ 序列的线性加权性质 若 则
ROC : a R1 < z < a R2
与右边序列相反，左边序列的ROC应是以某一半径 ( Rx ) 为 R+ = Rx 。 圆的圆内部分，此时 R− = 0 ， 若 N 2 > 0 ，则ROC不包括原点，即 0 < z < Rx ；若 N 2 ≤ 0 ， 则ROC包括原点，即 z < Rx 。
Rx1 < z < Rx 2
若不存在该公共部分，则 X ( z ) 不收敛。
⎡ ⎤ = z −k ⎢ X + ( z ) + ∑ x ( n ) z −n ⎥ n =− k ⎣ ⎦
k −1 ⎡ ⎤ ⎡ x ( n + k )⎦ ⎤ = z k ⎢ X + ( z ) − ∑ x ( n ) z −n ⎥ ⎣ n=0 ⎣ ⎦
上式与双边Z变换的结果一致。 右边序列向左移位后的新序列与单边Z变换一致，即
数字滤波器的实现：比模拟滤波器灵活 方便。硬件或软件实现。硬件包括延迟 器、乘法器和加法器。软件实现时，是 一段线性卷积的程序。
第二章
Z变换及离散时间系统分析
第二章 Z变换及离散时 间系统分析
内容概要
1、Z变换的定义及其收敛域 2、Z变换的性质 3、LSI系统的转移函数 4、IIR系统的信号流图与结构 5、用Z变换求解差分方程
1、Z变换的定义及其收敛域
1、Z变换的定义及其收敛域
Z变换的定义
时域连续线性系统中，拉氏变换是傅里叶变换的推广， 时域离散信号与系统中，Z变换是离散序列的傅里叶变 换的推广。它将解离散系统差分方程的时域方法变换成 解代数方程的频域方法。
n =−∞
∑ x ( n) z
∞
−n
≤
n =−∞
∑ x ( n) z
∞
−n
<∞
对于给定序列 x ( n ) ， z 取何值时，其Z变换收敛？而取何 值时发散？使Z变换收敛的 z 的取值的集合称为 X ( z ) 的收 敛域（Region of Convergence，ROC）。
1
1、Z变换的定义及其收敛域
令 z=e
jω
，则可得
jω
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H (e
) = ge
j ( N − M )ω
∏ (e ω − z )
j
M
∏ (e ω − p )
j k =1 k
r =1 N
r
因此由极零图可得系统幅频响应和相频响应的几何解释：
H (e
jω
)=
M
g ∏ e jω − zr
M
∏eω−p
j k =1
r =1 N
k
j ( N − M )ω ⎤ + ∑ ⎡ arg ( e jω − zr ) ⎤ − ∑ ⎡ arg ( e jω − pk ) ⎤ ϕ ( e jω ) = arg ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣e ⎦ r =1 k =1
n
⎛1⎞ x ( n ) = − ⎜ ⎟ u ( −n − 1) ⎝2⎠
1 1 1 − z −1 2
Z变
换
序列Z变换是 z −1 的幂级数，可视为复变函数中的罗朗 级数，级数的系数即 x ( n ) 本身。级数收敛的充要条件是 x ( n ) z − n 满足绝对可和条件。即
X (z) =
上例说明，不同的序列可能具有相同的Z变换，因此序列 与其Z变换之间没有唯一对应关系，要解决唯一性问题， 需确定Z变换的收敛域。
n=0 −1
m =− k
∑ x ( m) z
∞
−m −k
z
对于因果序列 x ( n ) ，由于单边Z变换右移后得到序列中 的 x ( −k ) ~ x ( −1) 全为零，且因果序列的单边Z变换与双边 Z变换一样，即 X + ( z ) = X ( z ) ，因此，因果序列右移后的 单边Z变换为
−k + −k ⎡ ⎣ x ( n − k )⎤ ⎦ = z X (z) = z X (z)
∑ x ( n) z
−n
x ( n ) 可以是下列序列： 根据 N1 , N 2 取值不同， ¾ 有限长序列 N 2 > 0 ，则只有当 z = 0 时 X ( z )才趋于无穷， a) 若N1 ≥ 0 ， 因此这里的ROC是除去原点在内的整个 z 平面，即
b) 非因果序列
N 2 = ∞ ，其Z变换的收敛域为 此时N1 < 0 ，
转移函数的定义
⑤ 时域卷积性质 若
⎡ x ( n )⎦ ⎤ = X (z) ⎣ ⎡ ⎣ y ( n )⎤ ⎦ = Y ( z)
（transfer function，亦称传递函数） 描述LSI系统的四种方法： 频率响应 转移函数 差分方程 卷积关系
H ( e jω ) = H (z) =
N
则
⎡ x ( n ) ∗ y ( x )⎦ ⎤ = X ( z )Y ( z ) ⎣
¾ 左边序列
X (z) =
n =−∞
¾ 双边序列
∑ x ( n) z
∞
N2
−n
X (z) =
n =−∞
∑ x (n) z
∞
−n
=
n =−∞
∑ x ( n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n ) z −n
n=0
∞
作置换得
X ( z) =
n =− N 2
∑ x ( −n ) z
n
其收敛域是使上式中的两个级数都收敛的公共部分。若存 在该公共部分，则它为一个环域。即
⎡ ⎣ x ( n )⎤ ⎦ = X (z)
ROC : R1 < z < R2
⎡ ⎣ x ( n )⎤ ⎦ = X (z)
ROC : R1 < z < R2
d ⎡ nx ( n ) ⎦ ⎤ = −z X ( z) ⎣ dz
ROC : R1 < z < R2