两向量的内积

§1.3
两向量的内积
一 向量内积的定义和性质 二 用坐标计算向量的内积 三 方向角和方向余弦
实例
→
F
M1
θ
s
M2
r 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 r r 表示位移， r 到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力 F 所作的功为 r r r W =| F || s | cosθ (其中θ 为 F 与 s 的夹角 的夹角) 其中
为空间两点. 为空间两点.
d = AB = ?
d = AB
由 AB = OB − OA
o
y
x
= ( x2 , y2 , z 2 ) − ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ),
AB =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 )
r r r r 若 a 、中 有 一 个 是 零 向 量 ， 则 a ⋅ b = 0 . b
r r r 由 定 义 易 知 | a |= a ⋅ a ; r r r r r r r r a ⋅b 当 a ≠ 0, b ≠ 0时 ，cos ∠ ( a , b ) = r r . | a || b |
r r r r 命题 1.3.1 若a与b互相垂直当且仅当a ⋅ b = 0.
cosα =
cos β =
x x2 + y2 + z2
y x + y +z
2 2 2
,
,
cosγ =
z x + y +z
2 2 2
.
方向余弦的特征
cos α + cos β + cos γ = 1
2 2 2
r x r r err = r = r , |r | r
y r, r
z r r
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 方向角 r 方向角： 非零向量 r 的方向角： 、β 、 γ α
z
0 ≤ α ≤ π,
0 ≤ β ≤ π,
•M γ β oα
0 ≤ γ ≤ π.
y
x
z
r 设 r = OM = ( x , y , z )
由图分析可知
C B
的高通过O点，证明了三高交于一点.
例 用向量法证明余弦定理
c = a + b − 2ab cos C.
2 2 2
证明： 如图， r uuu uuur uuu r r r r c = AB = AC + CB = a − b r r r r r r r r r r r r c ⋅ c = ( a − b) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + b ⋅ b − 2a ⋅ b 故 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C.
i =1
定理1.3.1 在直角坐标系中，两向量的内积等于 定理 它们的对应坐标的乘积之和.
向量的模与空间两点间距离公式
r r = OM
z
= OP + OQ + OR
R(0,0, z )
由勾股定理
r r = OM
=
r r
•
M ( x, y, z)
o
2 2 2
y
Q ( 0 , y ,0 )
r r r 由 OP = xi , OQ = yj , OR = zk .
r r r r 证 (⇐) Q a ⋅ b = 0, | a |≠ 0, | b |≠ 0, ⇐ r r π ∴ cosθ = 0, θ = , ∴ a⊥b .
方向是任意的, 故显然是垂直的。
2 r r 当a或b 有一个是零向量时 ，由于零向量的
r r ∴θ = π , ∴ cosθ = 0, (⇒) Q a⊥b , ⇒ 2 r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ = 0.
•M( x, y, z)
γ β oα
x
r x =| r | cos α y r y =| r | cos β r z =| r | cos γ
向 量 的 方 向 余 弦
方向余弦通常用来表示向量的方向. 方向余弦通常用来表示向量的方向.
向量方向余弦的坐标表示式 当
x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 时，#39;O
α
γ
A
D 'A ' C
例 证明三角形的三条高交于一点。
证明： ∆ABC边AB, CA上的高交于O点，以O为始点，以 设 rrr A, B, C为终点的向量分别记为a，c. b， r r r A r 由CO ⊥ BA, 得c ⋅ (a − b) = 0, a r r r 由BO ⊥ AC , 得b ⋅ (c − a ) = 0, r r O r r r b c 以上两式相加，可得a ⋅ (c − b) = 0. 所以OA ⊥ BC，即：∆ABC中BC边上

= (cos α , cos β , cos γ ). r 上式表明， 上式表明，以向量 r 的方向余弦为坐标的向 r r 量就是与 r 同方向的单位向量 e r .
r 与方向余弦成比例的任一个数组 (λ , µ ,υ ), 都称为向量 a的 一组方向数，即如 r 则 (λ , µ ,υ )为 a的一组方向数.
2 2
2
空间两点间距离公式
三 方向角与方向余弦
空间两向量的夹角的概念： 空间两向量的夹角的概念：
r r 向量a 与向量 b 的夹角
r r r r ϕ = (a , b ) = (b , a ) (0 ≤ ϕ ≤ π)
r r r r a ≠ 0, b ≠ 0,
r b
ϕ
r a
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 向量与一轴 的夹角 特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 规定它们的夹角可在 与π 之间任意取值
r rr 对任意的向量a, b , c及实数λ，向量的内积满足以下规律：
(1) (2) (3) (4)
r r r r a ⋅ b = b ⋅ a, r r r r (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b), r r r r r r r ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c, r r r r a ⋅ a ≥ 0, 等号当且仅当a =0时成立.
有 OP = x , OQ = y , OR = z ,
OP + OQ + OR x
P ( x , 0, 0 )
N
r ∴ r = x2 + y2 + z2
向量模的坐标表示式
设 A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y2 , z 2 )
z
A( x 1 , y 1 , z 1 ) B( x2 , y2 , z2 )
u uu r r ∑ aib j ei ⋅ e j .
3
ur uu ur r 可见，只要知道坐标向量e1 , e2 , e3之间的内积，就可以求出任意 ur uu ur r 两个向量的内积，这九个数称为仿射标架{O; e1 , e2 , e3 }的度量参数.
ur uu ur r 如果{O; e1 , e2 , e3}是直角标架，则有 u uu 1 r r i= j ei ⋅ e j = i ≠ j. 0 故由上式得： r r 3 a ⋅ b = ∑ ai bi .
c a B C A b
r r r r r r r 例 证明向量 c 与向量(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a 垂直 垂直.
证
r r r r r r r [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⋅ c r r r r r r r r = [(a ⋅ c )b ⋅ c − ( b ⋅ c )a ⋅ c ] r r r r r r = (c ⋅ b )[a ⋅ c − a ⋅ c ]
λ : µ : υ = cos α : cos β : cos γ
注：一个向量的方向余弦是唯一的，但方向数 有无数多组。
=0
r r r r r r r ∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ]⊥c
二 用坐标计算向量的内积
ur uu ur r r r 取仿射标架{O; e1 , e2 , e3},设向量a =(a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), 则有
3 r r 3 u r u r a ⋅ b=(∑ ai ei ) ⋅ (∑ bi ei ) = i =1 i =1 i , j =1
(1), 证明： (2), (4)由定义容易证明，下只证（3）： r r r r r r 若a, b, c中有零向量，则等式成立.下设a, b, c皆为非零向量. uuu r uuu r uuur r uuur r r r r uuu uuur r 如图：设OA= a， =b， =c， = a + b. ∠(OA, OC ) = α , OB OC OD uuu uuur r uuur uuur ∠(OB, OC ) = β , ∠(OD, OC ) = γ .过点A, B, D分别向OC所在 直线作垂线，垂足分别是A ', B ', D '，则 r r r r r r r uuuu r (a + b) ⋅ c =| a + b | ⋅ | c | ⋅ cos γ =| c || OD ' | r r r r r r r a ⋅ c + b ⋅ c =| c | (| a | cos α + | b | cos β ). 由平面几何知识易证： r r r r | a + b | cos γ =| a | cos α + | b | cos β , r r r r r r r 因而(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c