概率论例题
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概率论例题
例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数。试求(1)(X,Y )的联合概率分布律;(2)求Y 的分布律(列)。
解:X 可能的取值是0,1,2,…..,k ,…,n ,... P{X =k }=
!
k e k λ
λ-
Y 可能的取值是0,1,2,…,r ,…,k
P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=
!
k e k λ
λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k
当r>k 时,P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布
P{Y = r }=∑+∞
===0
},{k r y k x P =∑+∞
====0
}/{}{k k x r y P k x P =∑
+∞
=--r
k r k r r k k
q p C e k λλ!
=∑+∞
=--+--r k r k r
q r r k k k k p e )(!)
1()1(!
1)
(λλλ =∑+∞=---r k r
k r
rq r k r p e )()!
(1!1)(λλ
=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律
∑+∞
==0
}{r r y P = 1 ?
例2. 解 因为η只取非负值,所以当0y ≤时,
2()()
()
F y P y P y ηηξ=<=<
=
当
0y >时
2()()())
F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<
2
2
2
2
12()t t t dt dt dt ξ--===
2
20
u u y
y
e
-
-=
=⎰
⎰
所以
20
,0()0,0u y y F y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰
1
y --⎧
这样平均来说,可以减少40%的工作量.
例4.按规定,某车站每天8:00-9:00,9:00-10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立. 其规律为
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X (以分计). X 的分布律为
在上表中,例如
其中A 为事件“第一班车在8:10到站”,B 为“第二班车在9:30到站”. 候车时间的数学期望为
32132
()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636
E X =⨯⨯⨯⨯⨯(分).
例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计),规定:
1X ≤, 一台付款1500元; 12X <≤ ,一台付款2000元;
23X <≤,一台付款2500元;3X >,一台付款3000元.
设寿命X 服从指数分布,概率密度为
10
1, 0 ()100 , 0x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤
试求该商店对上述家电收费(Y 元)的数学期望.
解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率,即有
1
/10
0.10
1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰
≤ 2
0.20.310
1
1{12}d 0.086110
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤,
3/10
0.20.321{23}d 0.077910
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤, 0.310
3
1{3}d 0.0740810
x P X e x e ∞
-->===⎰
. 一台收费
得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □
例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.
由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ,故有
{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.
又由于X 和Y 相互独立,得到()max ,M X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤
即有
()()()m a x X Y F z F z F z =.
类似地,可得到()min ,N X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.
即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为
1, 0 ()0.0 , 0x e x f x x θθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩
,
≤,
若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.
解 (1,2)k X k =的分布函数为
1,0,()0,0.
x e x F x x θ-⎧⎪
->=⎨⎪⎩≤
由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为
22min 1, 0()1[1()] 0, 0
x
e x F x F x x θ-⎧⎪
->=--=⎨⎪⎩≤
因而N 的概率密度为