概率论例题

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概率论例题

例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数。试求(1)(X,Y )的联合概率分布律;(2)求Y 的分布律(列)。

解:X 可能的取值是0,1,2,…..,k ,…,n ,... P{X =k }=

!

k e k λ

λ-

Y 可能的取值是0,1,2,…,r ,…,k

P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=

!

k e k λ

λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k

当r>k 时,P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布

P{Y = r }=∑+∞

===0

},{k r y k x P =∑+∞

====0

}/{}{k k x r y P k x P =∑

+∞

=--r

k r k r r k k

q p C e k λλ!

=∑+∞

=--+--r k r k r

q r r k k k k p e )(!)

1()1(!

1)

(λλλ =∑+∞=---r k r

k r

rq r k r p e )()!

(1!1)(λλ

=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律

∑+∞

==0

}{r r y P = 1 ?

例2. 解 因为η只取非负值,所以当0y ≤时,

2()()

()

F y P y P y ηηξ=<=<

=

0y >时

2()()())

F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<

2

2

2

2

12()t t t dt dt dt ξ--===

2

20

u u y

y

e

-

-=

=⎰

所以

20

,0()0,0u y y F y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰

1

y --⎧

这样平均来说,可以减少40%的工作量.

例4.按规定,某车站每天8:00-9:00,9:00-10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立. 其规律为

一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X (以分计). X 的分布律为

在上表中,例如

其中A 为事件“第一班车在8:10到站”,B 为“第二班车在9:30到站”. 候车时间的数学期望为

32132

()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636

E X =⨯⨯⨯⨯⨯(分).

例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计),规定:

1X ≤, 一台付款1500元; 12X <≤ ,一台付款2000元;

23X <≤,一台付款2500元;3X >,一台付款3000元.

设寿命X 服从指数分布,概率密度为

10

1, 0 ()100 , 0x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩

试求该商店对上述家电收费(Y 元)的数学期望.

解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率,即有

1

/10

0.10

1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰

≤ 2

0.20.310

1

1{12}d 0.086110

x P X e x e e ---<==-=⎰

≤,

3/10

0.20.321{23}d 0.077910

x P X e x e e ---<==-=⎰

≤, 0.310

3

1{3}d 0.0740810

x P X e x e ∞

-->===⎰

. 一台收费

得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □

例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.

由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ,故有

{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.

又由于X 和Y 相互独立,得到()max ,M X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤

即有

()()()m a x X Y F z F z F z =.

类似地,可得到()min ,N X Y =的分布函数为

(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.

即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为

1, 0 ()0.0 , 0x e x f x x θθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩

≤,

若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.

解 (1,2)k X k =的分布函数为

1,0,()0,0.

x e x F x x θ-⎧⎪

->=⎨⎪⎩≤

由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为

22min 1, 0()1[1()] 0, 0

x

e x F x F x x θ-⎧⎪

->=--=⎨⎪⎩≤

因而N 的概率密度为

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