高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理

第章勃罗卡定理

勃罗卡

定理凸四边形

内接于

，延长、交于点．延长、交于点．与交于

点．联结，则． 证法如图，在射线上取一点，使得，，，四点共圆（即取完全四边形的密克尔

点），从而、、、及、、、分别四点共圆．

图321

M

F

O

L G N

E

D

C

B

A

分别注意到点、对

的幂，

的半径为，则

．

．

以上两式相减得

，

即． 同理，． 又由上述两式，有． 于是，由定差幂线定理，知． 证法如图，注意到完全四边形的性质．在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且，由此知为过点的的弦的中点，亦即知，，三点共线，从而． 同理，在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且，亦有． 于是，知为的垂心，故． 证法如图．注意到完全四边形的性质，在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且．联结、、、、． 此时，由密克尔点的性质，知、、、四点共圆，、、、四点共圆， 即有， 从而

，

即知点在的外接圆上． 同理，知点也在的外接圆上，亦即知为与的公共弦． 由于三圆，，两两相交，由根心定理，知其三条公共弦，，共点于．即知，，共线，故． 该定理有如下推论 推论凸四边形内接于，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，直线与直线交于点，则为完全四边形的密克尔点．

事实上，若设为完全四边形的密克尔点，则在上，且．

由勃罗卡定理，知，即．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而与重合，即与重合．

推论凸四边形

内接于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，为完全四边形

的密克尔点的充要条件是于．

推论凸四边形内接于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，则为的垂心．

事实上，由定理的证法即得，或者由极点公式

：

，

，两两相减，再由定差幂线定理即证．

下面给出定理及推论的应用实例．

例（年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点，，两对角线交于点，则圆心恰为的垂心．

事实上，由推论知为的垂心，再由垂心组的性质即知为的垂心．

例如图，凸四边形内接于，延长，交于点，延长，交于点，与交于点，直线交于点．求证：．

图322

F

A

证明由勃罗卡定理知，于点．

延长交于点，则在完全四边形中，点，调和分割，从而，，，为调和线束，而，于是平分，即．

延长交直线于点（或无穷远点），则知，调和分割，同样可得．

故．

例（年全国高中联赛题）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于，直线与交于点．

求证：若，则，，，四点共圆．

图32

3

证明用反证法．若，，，四点不共圆，则可设的外接圆与直线交于点，直线交直