第五章多元函数微积分习题

第五章、多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ).

A. 若00

lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z

x ∂∂和z

y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;

C. 若在00(,)x y 处z

x ∂∂和z

y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;

D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=2

2z

y ∂∂.

5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ).

A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;

B. 可微⇒可导⇒连续;

C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;

D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.

6．设3ln 10(,)x

I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I =

A. ln300(,)y

e dy

f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰

C. ln3300(,)dy f x y dx ⎰⎰

D. 3ln 10(,)x

dy f x y dx ⎰⎰

二、填空题

1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ______.

2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =__________.

3．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D

dxdy π=⎰⎰, 则a = 。

4． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D

dxdy =⎰⎰

5.(,)f x y =则(2,1)_________.x f =

6.2

3

(,)(1)arccos 2y f x y xy x x =+-, 则(1,)_________.y f y = 7．设x y u z =, 则_________.du =

8．设ln x z y

=, 则22__________.z x ∂=∂ 9. 积分2220y x

dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 三、计算题

1．计算二重积分()⎰⎰+D

dxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,0=+==y x y x

所围成的闭区域。 2．改变二次积分()dx y x f dy I y

y ⎰⎰=2202,的积分次序。 3．计算二重积分()⎰⎰+D

dxdy y x 23, 其中D 是由直线1,0,0-===x y y x

所围成的闭区域。

4．改变二次积分()dx y x f dy I y ⎰⎰=010

,的积分次序。 5．计算二重积分()⎰⎰+D dxdy y x 23其中D: .10,10≤≤≤≤y x

6．改变二次积分()dx y x f dy I y ⎰⎰-=1112,的积分次序。

四．应用题

1．将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的

边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？

2．从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.