第五章多元函数微积分习题
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一、选择题1. z = In yjx~ - y 的定义域是A. ｛（X, v ） |x 2 > V ）;B. ｛（X, v ） | X 2 > y ｝ ：C. ｛（X, v ） |x 2 < y ｝ ：D. ｛（X, V ）|x 2 < V ）.2.函数z = /(x, y)在点(x 0, v 0)处对y 的偏导数是A lim /(心 + 山，几+勺)—/(X 。
，％)r 丘皿 g + 心,％ + △『)—/(x°,几) C Um /(Xo + Ax, X )) —/(兀,几).D lim /(Xo ，%+4v) —/(Xo’o)AXTO A X'R TO A X3. 如果/(x, y)具有二阶连续偏导数，则空华卫= (D )oxoyA . o ；B . ^21； c. ^21； D . ^2).a%2 dy2dydx4. 函数z = /(x,y)在点(无)，％))处连续是函数在该点处可微分的(B )A.充分但不必要条件；B.必要但不充分条件；C.必要且充分条件；D.既不充分也不必要条件. 5. 设z= I 1 =,则下列结论中正确的是(C )1 、一 2 (2)A.在xoy 平面上连续；B.在xoy 平面上，只有((C.在圆周x 2 + v 2 = 1上间断；D.在x' + y~ < 1内连续 二、计算题1.已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-1)和/(" + 2v, z/v). 解:因为 /(x, v) = X'v + 2xyB.在xoy 平面上，只有(0,1)、(1,0)为间断点; D.Sx 2 + v 2 < 1 内连续.lim ［（1 + （—2 巧））］五f ｛u + 2v, uv ） = （M + 2v ）MV + 2（M + 2v ） • uv2.求下列极限: y->0⑵lim （l — 2号）厂・解：lim （l-2xy ）xyx —>0 y->0:MJ 心+ 1-26.求u - cos(xyz)的全微分 5 , du , du , du ,角牛:du — —- dx + —- dy + ~~ dzdx dy dz=-sin(xyz) • yzdx - sin(xyz) • xzdy - sin(xyz) • xydz =-sin(xyz) • {yzdx + xzdy + xydz)7.计算Jl.023 + 1.973近似值（结果保留两位小数）:氓兀+ 丁 解：lim =-l皿厂+“3.证明lim ------- 不存在.锻兀V +（—V ）证明:当点p （x,y ）沿直线y = 0趋近于点（0,0）时，有心2 X 2 02 lim x —>oy->0lim _: ----------- - = lim — ---------------- - = 0 :+(x —y)~ :二：x-+(x —0)~ 当点p(x,y)沿直线y= x 趋近于点(0,0)时，有2 2 2 2lim ° °° ；二广丁+(*-丁)- 2 2X V雹/亍+⑺“尸_1不存在2 , /x2 11丁1丄°y +(兀一刃4.设 f(x,y,) = xy 2 + y 2+x 2,求人(0,0,1),九(0,-1,0)和心2,0,1).因此lim —y XT O y 2yTO A解：/(x, y, z) = xy 2 + yz 2 + zx 2f x =y 2 +2zx, f y =2xy + z 2, f z = 2yz + x 2 由 f xx =2z 得几(0,0,l)=2xl = 2由 f yz = 2z 得几(0,-1,0)=2x0 = 0 由 /,v = 2x 得尢(2,0,l) = 2x2 = 4a 3z a 3z5.设z = xe^,求县和菩. dy ox dy解：—=x-e xy • x = x 2e xydx• x = x 3e xy乔|厂 3宀八 + 2 . y =少 + X3 yk“(3 + *解：设 /(“) = JF+J ?,贝ij /(1.02,1.97)= 71.023 +1.973 取兀=1, y = 2, Ax = 0.02, Ay =—0.03 ,于是三、求下列偏导数x 工 dz e dzv + ve~u f u = xy , v =—,求亍和p. y dx oy ——du dz 3v v _u ( v—= ------- 1 = e y — ve - y + \ue + edx du dxdvdx2.求由方程F + v 3 + z 3 = 2QZ — 1所确定的隐函数Z = /(x, v)的偏导数生和$ . ox dy解：令 F (兀,y,z) =兀3+ y 3 + z 3 - 2xyz +1 = 0Fy = 3y 2 一 2xz, F ； — 3z 2 一 2xy3b -2xz3z 2 -2xy3.设z = f{x 2 -y\e xy y 且/具有一阶连续偏导数，求z 的一阶偏导数. 解：设 u = x 2 -y 2, v = e xyz = /(s)X=1尸Vl 3+23 =V9=3x=l尸271.023 +1.973 2后+于 3j_+ 丁3=/(1,2)+人(1,2)心 + 厶(1,2)®= 3 + |x0.02 + 2x(-0.03) = 2.95x=l尸21.已知z = ue 解：力32dz _ dz du dz 3v dx du dy 3v dy( \(e v-ve~u\ x + (ue v+e~u\\ y )X兀 —xy ._ y 兀x ----- e yx + xye y •— - -- =az-axaz -血以 所3x 2 - 2yz3z 2 -2xy ,2= e^.y-^.y + ^ 丄 + 严丄x ------2Uy= ------- r • xe y1 +w 2v2 x 5e y~ l + x 6e 2y其中/具有连续的偏导数，求字、当和字.ax oy dz解：设a = x ,包=/ +艺.％ +妙.也=^+y0 + yZ 艺 dx dx dp dx Bq dx dx dp Bq du _df dp+。
多元函数微积分复习题.docx
多元函数微积分复习题、单项选择题1 •函数f x,y 在点X o ,y °处连续是函数在该点可微分的（B ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•2 •设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件；（C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.CA. 若 lim = A,则必有 lim f (x, y) = A 且有 lim f (x, y) = A ；x %x =x o y >y oy >y oB. 若在（X o ,y °）处''z 和2都存在,则在点（X o , y °）处z - f （x, y ）可微； ex cyC.若在（x 0,y 0）处三和三存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x, y ）可微; ex cy5. 二元函数z =f （x,y ）在点（x °,y 。
）处满足关系（）.CA. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续；B. 可微=可导=连续；C. 可微二•可导，或可微=连续，但可导不一定连续；D.可导=连续，但可导不一定可微.j4科・6. 向量a=3,-1, -2, b = 1,2,-1，则 aLb 二 （A ）（A ） 3 （B ）-3（C ）-2（D ） 2D.若 -2三和 :x -2z 都存在,则. 2 :y -2:z q 2 . ■y；：2 z5.已知三点 M( 1, 2, 1), A (2, 1, 1), B (2 !, 1, 2) ，贝U MM AB =( C)(A) -1 ； (B) 1(C) 0 ；(D) 27—、T6.已知三点M(0, 1, 1), A (2, 2,1), B 2, 1, 3) ，则 | MA AB |= ( B)(A) - .2;(B)2、2(C)- 2 ;(D)-2;7 .设D 为园域x 2寸乞2ax (a 0),化积分 F(x,y)d 匚为二次积分的正确方法r>是D2aa2a :竹-x 2A. 0 dx f(x, y)dy- _aB.20dxf (x, y)dya 2acos0C. °d a f(「cos ),「sin J 「d 「2a cos -iD.2小 o 一 fLcosd, 5 ^)-d ■- ~23 ln x8 .设I = j dx o f (x, y)dy ,改变积分次序，则I 二 ___________ - Bcos -, 9.二次积分f(Pcosq P s in 日)P d P 可以写成 __________________________ . D 1 y -ydy 0 f(x,y)dx B. 1 1 0dx 0f(x, y)dyD.10 .设「是由曲面x 2 y^2z 及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I =川f (x, y, z)dxdydz 表示为三次积分，I= ___________ . C2... 1 .A . d r d 「2 f(「cosd 「sin=z)dzJ 0J 0』0 \ '2兀 2 £B. d » ! d 「2 f (「cos=,「sin r, z)「dz*0‘0‘0\ ' 1 'A. C.ln3e y0 dy 0 f(x,y)dx B. ln3 3dy°f(x,y)dxD.ln33dy e y f(x, y)dx 3ln x1dy 0 f (x, y)dx11今20dy 0 f(x, y)dx1x -x 2dx 0 f (x, y)dyA. C.2兀 2 2C . ° dr ° d ；： | f f ( Tcosr,「sinr, z) ?dz~22兀 2 2D . d d「f(「cosv,「sinv,z)「dz-o p - o11.设L为x0y面内直线段，其方程为贝U P x, y dx 二L(A) a(C) 012 .设L为x0y面内直线段，其方程为(A) a(C) 0 L:y二a, c_x_d，贝U Px, ydy 二L(B) c(D) dQ Q13.设有级数7 u n,则lim u n二0是级数收敛的心y(A) 充分条件；(B) 充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D) 必要条件；Q Q14.幂级数' nx nn珀的收径半径R =(A) 3 (B) 0(C) 2 (D) 115.幕级数v -x n的收敛半径R-n =1 n(A) 1 (B) 0(C) 2 (D) 3oO oO16 .若幕级数a n X n的收敛半径为R，则a a n X n 2的收敛半径为n =0 n=0(A) R (B) R2(C) 、R (D) 无法求得oO17.若limu n =0,则级数"U n()F n三DA. 收敛且和为B.C. 发散D. 收敛但和不一定为可能收敛也可能发散Q Q18.若a u n为正项级数，则()n =1(B) c (D) dQ QQ QC.若V U n 2 ,则7 U n 也收敛D.nJ n 二Q Q19. 设幕级数v C n x n 在点x=3处收敛,则该级数在点x = -1处（）An 4A.绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数「Sin ^X（x = 0）,则该级数（） Bn4n!A.是发散级数B. 是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散：、填空题1•设 f(x, y)=sinx+(y_1)ln(x 2+y 2)，则 f 「(0,1) = __________ 1___.2. _______________________________________________ 设 f (x, y )=cosx + (y -1 $n (x 2 + y 2 )，贝U f x (0,1) = _____________________________ 0 _____ 3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是「i f x, y dxdy = f 'cos] 's in ； i'd d -DD4 .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是111 f x, y, z dxdydz ： 111 f H cos 「，' sin ,zl ： d 「d 「dzQQ5 .柱面坐标下的体积元素_dv = T dd z6 .设积分区域 D : x 2 y 2 - a 2,且 dxdy =9二，则 a = _3D3则 11dxdy a 24DA.若 lim u n=0,则u n 收敛n =1 B.若v u n 收敛,则u n 2收敛Bn 4nJ若v u n 发散,n 4则 lim u n =7. 设D 由曲线=asin^,8. 设积分区域D为仁x2• y2乞4 , .. 2dxdy 6-19. 设f x, y 在［0 , 1］上连续，如果o f x dx =3,1 1则 0 dx 0 f x f ydy= _______ 9.20. 设 D 为园域 x 2+y 2"2,若"(X 2+y 2 )dxdy = 8 兀，则 a= ______________ . 2D21. 设 I = JJJ2dxdydz,其中 0 : x 2 + y 2+z 2 兰 a 2, z^O ,则 1= ___________ .a 3Q 310. 设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则设L 为连接(1,0)与(0, 1) 贝U J (x - y )ds = ______L两点的直线段,.012. 等比级数「aq nn =1(a = 0)当 qc1时，等比级数□aaq n =4收敛.13 .当_P>1—时,旳1p -级数v —-是收敛的.P14.当Q Q时，级数V-1心丄是绝对收敛的.n p15 .若 f (X ，y) = J xy +Z则 f x (2,1)二16.若 2f(x, y)=xy 3(x -1)arccos —,贝U f 2x(1,y)=3y 217 .设 u 二 z xy ,贝q du 二z xy I y In xdx xln zdy18.设 z=y lnx ,则—2 =exln y(ln y -1) mx2yx22219.积分0 dx x/dy 的值等于1.4二、计算题1.求过点-2,0,1 且与平面2x-5y ・4z-8=0平行的平面方程•解：已知平面的法向量n= (2, -5, 4),所求平面的方程为2( x +2)-5( y -0)+4( z -1)=0即 2 x -75y +4z = 02•求经过两点Mi ( -1 , -2, 2)和M2 (3, 0, 1)的直线方程。
多元函数微积分学
3
0
,
解得
yx
1,1,1
9 16
，
zx
1,1,1
1 ,从而T 16
1,
9 16
,
1 16
。从而
所求曲线在点(1,1,1)的切线方程为 x 1 y 1 z 1, 16 9 1
法平面方程为16(x 1) 9( y 1) (z 1) 0,
即 16x 9 y z 24 0.
1． 设 f (x, y, z) xy2z3,其中x, y, z 满足方程 g(x, y, z) x2 y2 z2 3xyz 0.
续；（2）两个偏导数连续；（3）可微；（4）两个偏导数
存在，则（ ）
（A）2 3 1； （C）3 4 1；
（B）3 2 1； （D）3 1 4。
5．设 f x 是区域 D :1 x2 y2 4上的连续函数，则
f x2 y2 dxdy等于（ ）。
D
（A）2π 2 1
x
f
阐点 述击 观此 点处
题 历 。 添 加 正 文 ， 文 字
选 届 是 您 思 想 的 提
讲 试 炼 ， 请 尽 量 言 简 意 赅 的
分 学
多 元 函 数 微 积
试卷一（２００５年４月）
选择题：(每小题4分，共20分)
1.
设有直线 L1
:
x
1 1
y5 2
z 8 与直线 1
L2
:
x 2
y y
6 ，则 z3
联立(2),(3),(4)求得切点为(2,1,1),代入(1),得所求切平面方程为
4x 2y 3z 3.
2. 在曲面 2x2 3y2 2z2 2xz 6上求与平面 z 0 的距离最大的 点的坐标.
微积分习题答案第五章 多元函数微积分(1)
练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物面z y x =+ (2)圆锥面）(4222z y x =+(3) 椭球面）(19164222=++z y x (4) 圆柱面）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= (2) y x e z yx -+=+3解：⎩⎨⎧≥-≥00y x y 解：0≥-y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥y x x y 200 {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为∴ 函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((3). ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径)0,0(0p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①0(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=当沿轴(此时趋于时，1),(lim ,1)0,(),(00===→→y x f x f y x f y x②当）时，，趋于（沿直线00)0(),(≠=x kx y y x p)0(111),(≠≠+-=+-=k kkkx x kx x y x f综合①②可知函数极限不存在，证毕。
练习5.21． 求下列函数的偏导数 ①;,,33yz x z xy y x z ∂∂∂∂-=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=∂∂-=∂∂ ②;,,)ln(yzx z xy z ∂∂∂∂=求解：[])ln(21.1.)ln(2121xy x y xy xy x z ==∂∂-[])ln(21.1.)ln(2121xy y x xy xy y z ==∂∂-③yx x z y x x z z ∂∂∂∂∂+=222,),ln(求解：yx x y x x z +++=∂∂1.)ln( 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x xz x x z ++=+-+++=+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂222)()(01)ln()(y x yy x x y x y x x y x y x z y y x z +=+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂④;,3zy x ue u xyz∂∂∂∂=求解；2,()xyz xyz xyz z xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y∂∂==+=+∂∂∂ xyzxyz xyz z xye xyz z e xyz z e xyz z zy x u z z y x u )()2()()(2223+++=+∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++2．设yf y f ey x f y xy ∆-∆+=→∆)1,2()1,2(lim,),(02则解：22(1)00(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e y y +∆∆→∆→+∆-=∆∆未定式22(1)0(2)10lim 1y y e y +∆∆→+∆⋅-= =4 2e3．设z y x u u u z y x u +++++=）处求，，在点（111),1ln(32解：3211z y x u x +++=3212zy x yu y +++=32213zy x z u z +++= 23434241|)1,1,1(=++=++∴z y x u u u 4．设02,2=∂∂+∂∂=yz y x z xez y x求证 证明：22221xxy y z e y e x y-∂=⋅=∂Q22331(2)2x xy y z e x xy e y y-∂=⋅⋅-=-∂Q 22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---∂∂∴+=+⋅⋅-=-⋅+∂∂=0 证毕 练习5.31． 求下列函数的全微分（1）求z=xy 在点（2，3）处，当时的全增量与全微分与2.01.0-=∆=∆y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-⨯=--+=∆f f z30.12(0.2)0.1x y dz z x z y y x x y =∆+∆=∆+∆=⨯+⨯-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：dy yx y dx x z dz 2212+++∂∂=dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求 解：()()udu dx x z dy x y dz x∂=++++∂ dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=2．计算下列各式的近似值（分析运用公式01000()(,)f x x y y f x y f xx f y y ''+∆+∆≈+∆+∆） （1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=∆==∆==y y x x x y x f y取 y y f x x f y x f y y x x f ∆'+∆'+≈∆+∆+=),()()1.10(0001003.2 01.0ln 1.010)2,10()2,10(12⋅+⋅+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+ 解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=∆==∆=y y x x 原式23(1,1)(10.03,10.02)11)|(0.02)f x -=+-≈+-+- =0+005.002.04103.031=⨯-⨯ (3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 180,4,180,30000πππ=∆=-=∆=y y x x则 原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)()64180180x y f f f ππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ⨯+-+⋅=11)2180180x x ππ+-+⋅ =0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
《高等数学》多元函数微分学部分 练习题答案
八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。
高数典型题解-多元函数的微积分
15.设 z xy ln y ，试用两种方法求 dz . 解法一：
z z 1 y ln y , x ln y xy x ln y 1 , x y y
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dz
z z dx dy y ln y dx xln y 1dy . x y
多元函数的微积分
（一）多元函数微分
1.表达式 lim f x, y lim lim f x, y 成立吗？
x x0 y y0 x x0
y y0
答：不一定. 例如： lim
x 0 y 0
xy xy 0. 不存在，而 lim lim 2 2 x 0 y 0 x y
y
的近似值.（了解！ ）
y 1
解：令 f x, y x ，则 f x x, y yx 取 x 1, x 0.01, y 3, y 0.01 ,
, f y x, y x y ln x
则
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11.若 z (1 x ) ，求
xy
z z ， . x y
解：取对数得 ln z xy ln(1 x) , 两边对 x 求导，得
1 z 1 , y ln(1 x) xy z x 1 x
z xy (1 x) xy y ln(1 x) , x 1 x z (1 x) xy ( xy )' y ln(1 x) x(1 x) xy ln(1 x) . y
12.若 f ( x, y ) x ( y 1) ln sin 解： f x ( x,1) = [ f ( x,1)]x = ( x ) x =1. 13. z e
高等数学(下)多元函数微积分试题
x2 y2 0 x2 y2 0
,则在点（0，0）处（
）
（B）连续但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。
2
多元函数微积分
6、设平面区域 D： ( x 2) ( y 1) 1，若 I 1
2 2
( x y)
D
2
d ， I 2 ( x y)3 d 则有（
D
） （A）
I1 I 2 ； （B） I1 I 2 ；
7、设 z x ，结论正确的是（
y2
（C） I 1 I 2 ； ）
（D）不能比较。
2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z （A） （B） （C） （D） 0； 0； 0； 0。 xy yx xy yx xy yx xy yx
( xy cos x cos y)dxdy (
D
)
(D) 0 。
cos x sin ydxdy
D1
；
(B) 2
xydxdy
D1
； (C) 4
xydxdy ；
D1
19、下列命题正确的是（
）
(A) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在该点处连续； (B) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在； (C) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续； （D） 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处的二阶偏导数都存在， 则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续。 20、下列论述正确的是（ ）
多元函数的积分学;微分方程
多元函数积分学；微分方程 试题1. 求22()Dx y dxdy +⎰⎰，D y ≤≤.2. 设(,)f x y 为有界闭区域{}222(,)D x y x y a =+≤上的连续函数，求201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰.3.求I=)Dy d σ⎰⎰，D ：由224x y +≤和22(1)1x y ++≥围成.4.求I=110xdx --⎰⎰.5.交换212(,)xdx f x y dy -⎰的积分次序.6.交换积分次序：111422104(,)+(,)yydy f x y dx dy f x y dx ⎰⎰⎰.7.求22max(,)xy De dxdy ⎰⎰，其中：{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.8.设区域222:D x y R +≤，求2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰.9.设区域{}22:(,)1,0D x y x y x +≤≥，求I=2211Dxydxdy x y+++⎰⎰.10.设(,)f x y 为连续函数，222()(,)x y t F t f x y dxdy +≤=⎰⎰，求()F t '.11.求Dσ,其中D 是由直线0)y a a =->和直线y x =-所围成的区域.12.设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，试证：21()()()bb a af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.13.设()f x 在[,]a b 上连续， 试证：11()()=()()()bybn n aaady y x f x dx b t f t dt n N n -+--∈⎰⎰⎰.14.求Dσ,其中D 为22+1x y =的上半圆与222x y y +=的下半圆所围成的区域.15.设{}22=(,)0,0D x y x y x y +≤≥≥,22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，求22[1]Dxy x y dxdy ⋅++⎰⎰.16.设(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中：{}=(,)01,01D x y x y ≤≤≤≤，求：I=(,)xyDxyf x y dxdy ''⎰⎰.17.求2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞==++∑∑.1.求方程tan cos y y x x '+=的通解.2.求方程22x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.3.求方程2ln xy y x x '+=满足119x y ==-的特解.4.解方程2223(36)(64)0y yx dy y x x dx +++=.5.设()f x 有连续的导函数，且对任意常数a 和b ，有2()()()a b f a b e f b e f a +=+，(0)f e '=，求()f x .6.求方程30xy y '''+=的通解.7.求方程20yy y '''+=满足初始条件01x y ==，012x y ='=的特解.8.求方程21y y '''=+的通解.9.解方程4dy y dx x=+(0,0)y x >≠.10.求方程22420250d x dxx dt dt-+=的通解.11.求方程(4)61280y y y y ''''''-+-=的通解.12.求方程(4)5360y y y ''+-=的通解.13.求方程424220d x d xx dt dt++=的通解.14.求方程(4)0y y -=的通解.15.求方程8252cos y y y x '''++=之通解.16.求方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中1a >.17.设线性无关的函数1y ，2y ，3y 均为二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 为任意常数，试说明1122123(1)c y c y c c y ++--为非齐次线性方程的通解.18.设12(sin cos )x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求方程.19.设123cos 2sin 2x y c e c x c x =++123(,,c c c 常数)为某三阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程.20.设2sin x ，2cos x 是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，12,c c 为常数，则不能构成该方程通解的是（ ）A ．2212cos sin c x c x + B. 12cos 2c c x + C. 2212sin 2tan c x c x + D. 212cos c c x +21.求方程2322cos x y y y x xe x '''-+=-+的通解.22.若连续函数()f x 满足关系式：20()=()ln 22x tf x f dt +⎰，求()f x 表达式.23.设()y y x =在(,)-∞+∞内有二阶导数，且0y '≠，()x x y =是()y y x =的反函数，试求微分方程232(sin )()0d x dxy x dy dy++=的通解.24.求方程222420d y dyxx y dx dx++=(0)x >的通解.25.设1()y x x =，22()x y x x e =+，23()(1)x y x x e =+是二阶常系数线性方程12()y a y a y f x '''++=的三个特解，求该方程的通解及该方程.27.设1y ，2y 为一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，12y y λμ+ 为该方程的解，12y y λμ-为该方程对应的齐次方程的解，求λ和μ的值.28.设()y y x =为二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==之特解，求20ln(1)lim()x x y x →+.30.设()y y x =满足20()()xty t dt x y x =+⎰，求()y x .。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
多元函数微分学习题
多元函数微分学习题第五部分多元函数微分学第1页共27页第五部分多元函数微分学（1）[选择题]简单问题1-36，中等问题37-87，困难问题88-99。
?x?3y?2z?1?01．设有直线l:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线l()2倍？Y10z？3.0（a）平行于？。
（b）在路上？。
（c）垂直于？。
（d）然后呢？歪曲回答：C?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处()? （x，y）？(0,0)? 0，（a）连续，偏导数存在（b）连续，偏导数不存在（c）不连续，偏导数存在（d）不连续，偏导数不存在a:c?x?u?v?u?()3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，u?v22?xy?u?v?(a)十、五、uy（b）（c）（d）u？似曾相识？似曾相识？似曾相识？答案：B4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()（a）如果f（x，y）在点（x0，Y0）是连续的，那么f（x，y）在点（x0，Y0）是可微的。
(b)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
(c)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。
(d)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。
答：d5．函数f(x,y,z)?(a)(,答：a3.x2？y2？点（1，±1,2）处Z2的梯度为（）1?121?121?121?12,)(b)2(,,)(c)(,,)(d)2(,,)3333339999991第五部分多元函数微分学第2页，共27页6．函数z?f(x.y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)是函数存在全微分的（）。
（a）。
充分条件（b）必要和充分条件（c）必要条件（d）回答c既不充分也不必要7．对于二元函数z?f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。
求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。
21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。
22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。
4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。
5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)
多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。
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第五章、多元函数微积分复习题
一、单项选择题
1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( ).
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ).
A. 若00
lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0
lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z
x ∂∂和z
y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;
C. 若在00(,)x y 处z
x ∂∂和z
y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;
D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=2
2z
y ∂∂.
5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ).
A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;
B. 可微⇒可导⇒连续;
C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;
D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.
6．设3ln 10(,)x
I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I =
A. ln300(,)y
e dy
f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰
C. ln3300(,)dy f x y dx ⎰⎰
D. 3ln 10(,)x
dy f x y dx ⎰⎰
二、填空题
1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ______.
2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =__________.
3．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D
dxdy π=⎰⎰, 则a = 。
4． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D
dxdy =⎰⎰
5.(,)f x y =则(2,1)_________.x f =
6.2
3
(,)(1)arccos 2y f x y xy x x =+-, 则(1,)_________.y f y = 7．设x y u z =, 则_________.du =
8．设ln x z y
=, 则22__________.z x ∂=∂ 9. 积分2220y x
dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 三、计算题
1．计算二重积分()⎰⎰+D
dxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,0=+==y x y x
所围成的闭区域。
2．改变二次积分()dx y x f dy I y
y ⎰⎰=2202,的积分次序。
3．计算二重积分()⎰⎰+D
dxdy y x 23, 其中D 是由直线1,0,0-===x y y x
所围成的闭区域。
4．改变二次积分()dx y x f dy I y ⎰⎰=010
,的积分次序。
5．计算二重积分()⎰⎰+D dxdy y x 23其中D: .10,10≤≤≤≤y x
6．改变二次积分()dx y x f dy I y ⎰⎰-=1112,的积分次序。
四．应用题
1．将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的
边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
2．从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.。