5-2 化二次型为标准形

５－２ 化二次型为标准形包括四个内容：１、满秩线性变换与合同矩阵；２、用正交变换化实二次型为标准形； ３、用配方法化二次型为标准形； ４、惯性定理与实二次型的规范形。

５．２．１满秩线性变换与合同矩阵一、满秩线性变换与正交变换复习：Ｐ２１：－６行至Ｐ２２：－１行，线性变换及其矩阵表示 定义：［Ｐ１９４：－６行至Ｐ１９５：８行］ 由变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ到ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的实线性变换⎩⎨⎧=CYX )9.5()8.5(矩阵形式代数形式。

当矩阵Ｃ是可逆矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为满秩（可逆）线性变换。

当矩阵Ｃ是正交矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为正交变换。

正交变换是满秩变换，但满秩变换不一定是正交变换。

二、经过满秩线性变换后，原二次型矩阵与新二次型矩阵的关系设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）的矩阵为Ａ，则ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０），得ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ＝（ＣＹ）ＴＡ（ＣＹ）＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｇ（Ｙ） （５．１０） ｇ（Ｙ）是关于变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ的二次型，并且（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，所以ＣＴＡＣ是对称矩阵。

可见，经过满秩线性变换后，新二次型的矩阵为：ＣＴＡＣ。

定义５．２［Ｐ１９６：３－７行］ｎ阶方阵Ａ与Ｂ合同：Ａ Ｂ。

合同变换，合同变换的矩阵。

定理：满秩线性变换前后，两个二次型的矩阵是合同的。

［从两方面详细讲述］思考题（１）［Ｐ２０５］若二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）经过满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化成了二次型ｆ＝ＹＴＢＹ，问Ａ与Ｂ的关系是什么？本章中心问题：［Ｐ１９５：－６行至－１行］实二次型−−−−→−满秩实线性变换标准形（只含平方项的二次型）ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２ （ＡＴ＝Ａ）实对称矩阵Ａ ＣＴＡＣ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d21 实对称矩阵−−−→−合同变换实对角矩阵。

三、矩阵合同关系的性质：１、矩阵合同关系具有：［Ｐ１２５：４题；Ｐ２３７有解答］（１）自反性：每一个ｎ阶方阵Ａ，有Ａ与Ａ合同。

（２）对称性：若Ａ与Ｂ合同，则Ｂ与Ａ合同。

（３）传递性：若Ａ与Ｂ合同，Ｂ与Ｃ合同，那么Ａ与Ｃ合同。

２、（保对称性）如果Ａ与Ｂ合同，则Ａ是对称矩阵⇔Ｂ是对称矩阵。

证明：必要性：设Ａ与Ｂ合同，且Ａ是对称矩阵，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，ＡＴ＝Ａ。

所以ＢＴ＝（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，Ｂ是对称矩阵。

充分性：设Ａ与Ｂ合同，且Ｂ是对称矩阵；即Ｂ与Ａ合同，且Ｂ是对称矩阵；据必要性的证明知，Ａ是对称矩阵。

３、（保秩性）如果Ａ与Ｂ合同，则秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

证明：如果Ａ与Ｂ合同，则在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，其中ＣＴ也是可逆矩阵，于是，秩（Ｂ）＝秩（ＣＴＡＣ）＝秩（ＡＣ）＝秩（Ａ）。

４、二次型ｆ的标准形ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２中，系数非零平方项的个数就是ｆ的秩；故标准形中非零平方项的个数由二次型ｆ自身唯一确定。

证明：设作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０）化二次型为标准形，即ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２（ＡＴ＝Ａ）有ＣＴＡＣ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d21，所以 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝秩（ＣＴＡＣ）＝ＣＴＡＣ主对角线上非零元的个数 ＝标准形中系数非零平方项的个数。

作业：Ｐ２１５： ４［Ｐ２３７有证明］ Ｐ２１６：１、填空题（２）、（５）。

先讲５．２．３配方法，后讲５．２．２正交变换法５．２．３用配方法化二次型为标准形例５．４ ［Ｐ２０２］ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） 既含ｘ１２项，又含ｘ１１项，用配方法＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１］ 按ｘ１集项，提出ｘ１２项的系数＋５ｘ２２＋５ｘ３２－８ｘ２ｘ３ ＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１＋（ｘ２－ｘ３）２］ 配上ｘ１一次项系数－２（ｘ２－ｘ３）２＋５ｘ２２＋５ｘ３２－８ｘ２ｘ３ 一半的平方＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ２ｘ３ 转化为将ｘ２，ｘ３的二次型＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３［ｘ２２－34ｘ２ｘ３＋94ｘ３２］－34ｘ３２＋３ｘ３２＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３（ｘ２－32ｘ３）２＋35ｘ３２。

只含平方项，不含交叉项令⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=33322321132x y x x y x x x y ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x ， （５．１６）得ｆ的标准形为：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｙ１２＋３ｙ２２＋35ｙ３２。

标准形（５．１６）是所作的满秩线性变换，其矩阵为Ｃ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10032103111。

注：此时必有ＣＴＡＣ＝diag ｛２，３，35｝，二次型ｆ的秩＝标准形中系数非零平方项的个数＝３。

例５．５［Ｐ２０３］只含交叉项，不含平方项，先作过渡变换，使它出现平方项。

ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１ｘ２－ｘ２ｘ３ 用非零交叉项ｘ１ｘ２作过渡变换令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y （５．１７）得 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）－（ｙ１－ｙ２）ｙ３＝ｙ１２－ｙ２２－ｙ１ｙ３＋ｙ２ｙ３ 出现ｙ１２项和含ｙ１的交叉项＝（ｙ１２－ｙ１ｙ３＋41ｙ３２）－41ｙ３２－ｙ２２＋ｙ２ｙ３ 按ｙ１集项、配方 ＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２２－ｙ２ｙ３＋41ｙ３２）＋41ｙ３２－41ｙ３２＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２－21ｙ３）２只含平方项、不含交叉项令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=333223112121y z y y z y y z ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112121y z z z y z z y ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10021102101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z （５．１８）化ｆ为标准形：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｚ１２－ｚ２２．将（５．１８）代入（５．１７），得化ｆ为标准形的满秩线性变换为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10021102101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z ， 该满秩线性变换的矩阵为：Ｃ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011111。

说明：必有ＣＴＡＣ＝diag ｛１，－１，０｝，二次型ｆ的秩标准形中系数非零平方项的个数＝２。

小结：化二次型为标准形，关键是消去交叉项，分为两种情况：（１） 含有平方项和交叉项的二次型，用把二次多项式配成完全平方的方法化之。

如：例５．４［Ｐ２０２］。

（２） 只有交叉项，没有平方项的二次型，先用平方差公式作过渡变换，再配方。

如：例５．５［Ｐ２０３］。

作业：Ｐ２１５： ７（１）、（２）。

Ｐ２１７： ３（１）、（２）。

５．２．２用正交变换化实二次型为标准形 （４．４求实对称矩阵的正交标准形）复习：本章中心问题。

１、在５．２．３我们已经会用配方法求满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ为标准形，即求满秩矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ为对角形——Ａ的合同标准形。

２、在４．４实对称矩阵的对角化知：任意ｎ阶实对称矩阵Ａ，必存在ｎ阶正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ＝diag ｛λ１，λ２，…，λｎ｝，其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。

３、据２得定理５．１［Ｐ１９７：６－１０行］：任意实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ），总存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ为正交矩阵），化ｆ为标准形ｆ＝λ１ｙ１２＋λ２ｙ２２＋…＋λｎｙｎ２其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。

４、用正交变换化实二次型为标准形的步骤：Ｐ２０１：９行至Ｐ２０２：３行。

５、思考题（２）［Ｐ２０５］：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，问Ｄ的主对角线上元素必是Ａ的特征值吗？在什么情况下，Ｄ的主对角线上元素是Ａ的全部特征值？解：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，Ｄ的主对角线上元素不一定是Ａ的特征值。

如例５．４中实对称矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222合同于对角矩阵Ｄ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3532，但Ａ的特征值为：λ１＝λ２＝１，λ３＝１０。

当存在正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ为对角矩阵时，Ｄ的主对角线上元素一定是Ａ的全部特征值。

Ｐ２１６填空题（４）、二次型ｆ（ｘ１，ｘ２）＝２ｘ１２＋２ｘ２２－２ｘ１ｘ２经正交变换化成的标准形是 。

（不必求出正交矩阵） 解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112。

A E -λ＝2112--λλ＝2111)1(--λλ＝)3)(1(--λλ。

Ａ的全部特征值为：λ１＝１，λ２＝３。

所以Ａ可经过正交变换化成标准形：ｙ１２＋３ｙ２２［或３ｙ１２＋ｙ２２］。

例５．１［Ｐ１９７］求一个正交变换，把下边二次型化为标准形：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３。

解：［Ｐ１９７－Ｐ１９８，掌握］必须求出正交矩阵Ｐ。

例５．３［Ｐ１９９］求一个正交变换，把二次型ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ２－４ｘｙ＋８ｙ２化成标准形。

解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--8225。

A E -λ＝8225--λλ＝4)8)(5(---λλ＝36132+-λλ＝)9)(4(--λλ Ａ的全部特征值为：λ１＝４，λ２＝９。

对λ１＝４，解方程组（４Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由 ４Ｅ－Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4221→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0021，通解为：ｘ１＝２ｘ２（ｘ２任意）。

一个基础解系为ξ＝（２，１）Ｔ，单位化，得ｅ１＝（52，51）Ｔ，ｅ１为属于λ１＝４的单位特征向量。

对λ２＝９，解方程组（９Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由９Ｅ－Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1224→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1212→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0012，通解为：ｘ２＝－２ｘ１（ｘ１任意）。

一个基础解系为：ξ２＝（１，－２）Ｔ，单位化，得ｅ２＝（－51，52）Ｔ，ｅ２为属于λ２＝９的单位特征向量。

令Ｐ＝（ｅ１，ｅ２）＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-52515152，则Ｐ为正交矩阵，且作正交变换 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝Ｐ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-52515152⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ，化ｆ为标准形 ｆ（ｘ，ｙ）＝４2x '＋９2y '。