5-2 化二次型为标准形

５－２ 化二次型为标准形

包括四个内容：１、满秩线性变换与合同矩阵；

２、用正交变换化实二次型为标准形； ３、用配方法化二次型为标准形； ４、惯性定理与实二次型的规范形。

５．２．１满秩线性变换与合同矩阵

一、满秩线性变换与正交变换

复习：Ｐ２１：－６行至Ｐ２２：－１行，线性变换及其矩阵表示 定义：［Ｐ１９４：－６行至Ｐ１９５：８行］ 由变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ到ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的实线性变换⎩⎨

⎧

=CY

X )9.5()8.5(矩阵形式代数形式。

当矩阵Ｃ是可逆矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为满秩（可逆）线性变换。 当矩阵Ｃ是正交矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为正交变换。 正交变换是满秩变换，但满秩变换不一定是正交变换。 二、经过满秩线性变换后，原二次型矩阵与新二次型矩阵的关系

设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）的矩阵为Ａ，则

ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ

＝Ａ）

作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０），得

ｆ（Ｘ）＝ＸＴ

ＡＸ＝（ＣＹ）Ｔ

Ａ（ＣＹ）＝ＹＴ

（ＣＴ

ＡＣ）Ｙ＝ｇ（Ｙ） （５．１０） ｇ（Ｙ）是关于变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ的二次型，并且

（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，所以ＣＴ

ＡＣ是对称矩阵。

可见，经过满秩线性变换后，新二次型的矩阵为：ＣＴ

ＡＣ。

定义５．２［Ｐ１９６：３－７行］ｎ阶方阵Ａ与Ｂ合同：Ａ Ｂ。 合同变换，合同变换的矩阵。

定理：满秩线性变换前后，两个二次型的矩阵是合同的。［从两方面详细讲述］

思考题（１）［Ｐ２０５］若二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ

＝Ａ）经过满秩线性变换Ｘ＝Ｃ

Ｙ化成了二次型ｆ＝ＹＴ

ＢＹ，问Ａ与Ｂ的关系是什么？

本章中心问题：［Ｐ１９５：－６行至－１行］

实二次型

−−−−→−满秩实线性变换

标准形（只含平方项的二次型）

ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２ （ＡＴ

＝Ａ）

实对称矩阵Ａ ＣＴ

ＡＣ＝⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡n d d d

2

1 实对称矩阵

−−−→−合同变换实对角矩阵。

三、矩阵合同关系的性质：

１、矩阵合同关系具有：［Ｐ１２５：４题；Ｐ２３７有解答］

（１）自反性：每一个ｎ阶方阵Ａ，有Ａ与Ａ合同。 （２）对称性：若Ａ与Ｂ合同，则Ｂ与Ａ合同。

（３）传递性：若Ａ与Ｂ合同，Ｂ与Ｃ合同，那么Ａ与Ｃ合同。 ２、（保对称性）如果Ａ与Ｂ合同，则Ａ是对称矩阵⇔Ｂ是对称矩阵。

证明：必要性：设Ａ与Ｂ合同，且Ａ是对称矩阵，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴ

ＡＣ＝Ｂ，

ＡＴ＝Ａ。所以ＢＴ＝（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴ

ＡＣ，Ｂ是对称矩阵。

充分性：设Ａ与Ｂ合同，且Ｂ是对称矩阵；即Ｂ与Ａ合同，且Ｂ是对称矩阵；据

必要性的证明知，Ａ是对称矩阵。

３、（保秩性）如果Ａ与Ｂ合同，则秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

证明：如果Ａ与Ｂ合同，则在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，其中ＣＴ

也是可逆矩阵，

于是，秩（Ｂ）＝秩（ＣＴ

ＡＣ）＝秩（ＡＣ）＝秩（Ａ）。

４、二次型ｆ的标准形ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２

中，系数非零平方项的个数就是

ｆ的秩；故标准形中非零平方项的个数由二次型ｆ自身唯一确定。 证明：设作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０）化二次型为标准形，即

ｆ＝ＸＴ

ＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ

（ＣＴ

ＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２

＋ｄ２ｙ２２

＋…＋ｄｎｙｎ２

（ＡＴ

＝Ａ）

有ＣＴ

ＡＣ＝⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡n d d d

2

1，所以 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝秩（ＣＴ

ＡＣ）＝ＣＴ

ＡＣ主对角线上非零元的个数 ＝标准形中系数非零平方项的个数。 作业：Ｐ２１５： ４［Ｐ２３７有证明］ Ｐ２１６：１、填空题（２）、（５）。

先讲５．２．３配方法，后讲５．２．２正交变换法

５．２．３用配方法化二次型为标准形

例５．４ ［Ｐ２０２］

ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） 既含ｘ１２项，又含ｘ１１

项，用配方法

＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２

＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３

＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１］ 按ｘ１集项，提出ｘ１２

项的系数

＋５ｘ２２＋５ｘ３２

－８ｘ２ｘ３ ＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１＋（ｘ２－ｘ３）２

］ 配上ｘ１一次项系数

－２（ｘ２－ｘ３）２＋５ｘ２２＋５ｘ３２

－８ｘ２ｘ３ 一半的平方

＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３ｘ２２＋３ｘ３２

－４ｘ２ｘ３ 转化为将ｘ２，ｘ３的二次型

＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２

＋３［ｘ２２

－

34ｘ２ｘ３＋94ｘ３２］－34ｘ３２＋３ｘ３２

＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３（ｘ２－32ｘ３）２＋3

5ｘ３２

。只含平方项，不含交叉项

令⎪

⎩

⎪⎨⎧=-=-+=3

3322321132x y x x y x x x y ，即⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x ， （５．１６）

得ｆ的标准形为：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｙ１２＋３ｙ２２＋35ｙ３２

。 标准形

（５．１６）是所作的满秩线性变换，其矩阵为Ｃ＝⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡

-100321

03111。 注：此时必有ＣＴ

ＡＣ＝diag ｛２，３，3

5｝，

二次型ｆ的秩＝标准形中系数非零平方项的个数＝３。

例５．５［Ｐ２０３］只含交叉项，不含平方项，先作过渡变换，使它出现平方项。 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１ｘ２－ｘ２ｘ３ 用非零交叉项ｘ１ｘ２作过渡变换

令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011011⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y （５．１７）

得 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）－（ｙ１－ｙ２）ｙ３

＝ｙ１２－ｙ２２－ｙ１ｙ３＋ｙ２ｙ３ 出现ｙ１２

项和含ｙ１的交叉项