2019届高三理科数学一轮复习 导数与函数的单调性

区间内是减函数
导数法
利用导数判断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某 个区间内)的单调性
[例1] 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)
的单调性．
[解]
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝
a－1 x
＋2ax＝
2ax2＋a－1 x.
(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
x，
知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.
所以f(x)＝x4＋45x－ln x－32，则f′(x)＝x2－44xx2－5， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间 内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增 (减)的充分条件.
求函数的单调区间
[例2] 已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲
线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)
的单调区间． [解] 对f(x)求导得f′(x)＝14－xa2－1x，
由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝
1 2
[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法
(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的 定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方 程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无 定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定 义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符 号，从而确定单调区间．
[方法技巧] (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不
可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应 基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号， 得单调区间．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是
A．(－∞，2)
3 3
或x<－
3 3
，∴函数f(x)＝
x3－x在
－∞，－
3
3
和
33，＋∞上单调递增；对于D，f′(x)
＝－1＋1x＝－x－x 1，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋
ln x在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B. 答案：B
3．[考点二] 函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
()
解析：依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－ 2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，所以f(x)的单调递增区间是 (2，＋∞)．故选D. 答案：D
2．[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是 ( )
A．f(x)＝sin 2x
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且 定义法 x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)与0的大小关系来确定函
数f(x)的单调性
利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某
图象法
个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数； 若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个
2019届高三理科数 学一轮复习
导数与函数的单调 性
2020/8/1
突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
[方法技巧] 导数法证明或讨论函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤
(1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论：当f′(x)>0时，函数f(x)在(a，b)内单调 递增；当f′(x)<0时，函数f(x)在(a，b)内单调递减． [提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论．
()
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,2)
解析：对于函数y＝12x2－ln x，易得其定义域为(0，＋∞)，
y′＝x－
1 x
＝
x2－1 x
，令
x2－1 x
<0，又x>0，所以x2－1<0，解
得0<x<1，即函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为(0,1)．
答案：A
4.[考点一]已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)＝1x－a>0， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a， 当0<x<1a时，f′(x)＝1－xax>0； 当x>1a时，f′(x)＝1－xax<0，
(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝
1－a 2a
，则当x
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∈ 0，
1－a 2a
时，f′(x)<0；当x∈
1－ 2aa，＋∞ 时，
f′(x)>0，故f(x)在 0， ＋∞上单调递增．
1－a 2a
上单调递减，在
1－2aa，
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
解析：对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是kπ－π4，kπ＋π4(k
∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，
f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，
f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>