2019届高三理科数学一轮复习 导数与函数的单调性
高三一轮总复习理科数课件：--导数与函数的单调性 .ppt..
A．2 和－2
B．2 和 0
C．0 和－2
D．1 和 0
解析：由 f(x)＝x3－3x， 求导得 f′(x)＝3x2－3，由 3x2－3＝0，得 x＝±1，在[－1，2]上有一个极值， 且 f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2. 则可得最大值和最小值分别为 2 和－2.故选 A.
答案：A
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3．函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x 的极值点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－x2x＋1，由 f′(x)＝0 得 6x2－2x＋1＝0，方程无解， 因此函数无极值点．故选 A.
答案：A
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4．给出下列命题： ①f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
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3
考点疑难突破
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第一课时 导数与函数的单调性
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判断或证明函数的单调性
[典 例 导 引] 已知函数 f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)，a＞0.讨论 f(x)的单调性． 【解】 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8.
求函数的单调区间
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上 讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进 行分类讨论.
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考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
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答案 C
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（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
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所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
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（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
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2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
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02
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证明（判断）函数的单调性 【例1】 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
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2019年高考数学一轮复习导数在函数中的应用——单调性
第16讲 导数在函数中的应用——单调性1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是(D)A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)内单调递增，则a 的最大值是(B)A ．4B ．3C ．2D ．1依题意，f ′(x )＝3x 2－a ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≤3x 2对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以a ≤3.3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时(B)A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由图象的对称性知，当x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，选B.4．设f ′(x )是函数f (x )的导数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D)因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，y ＝f (x )为增函数(或减函数)，故选D.5．若函数f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围为 (－∞，－1] .由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立．即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x 在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，所以只要b ≤－1即可．6．已知f (x )为R 上的可导函数，y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的递增区间是 (－∞，2) ，递减区间是 (2，＋∞) .由图象可知：当x <0时，e f ′(x )>1，f ′(x )>0；当0<x <2时，e f ′(x )>1，f ′(x )>0；当x >2时，e f ′(x )<1，f ′(x )<0.故f (x )在区间(－∞，2)内单调递增，在区间(2，＋∞)内单调递减．7．(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．8．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是(A) A ．1<a ≤2 B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3因为f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x(x >0)， 令f ′(x )≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－9≤0，x >0，得0<x ≤3. 因为f (x )在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，所以1<a ≤2. 9．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 (－∞，2ln 2－2) .因为f (x )＝x 2－e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －e x －a ，因为函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝2x －e x －a >0有解，即a <2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，所以a <2ln 2－2.10．已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a ＞0.设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性．由f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝－2ln x －2－2a x ＋2x －2a ，所以g ′(x )＝－2x ＋2a x 2＋2＝2(x 2－x ＋a )x 2， 令φ(x )＝x 2－x ＋a ，则Δ＝1－4a .(1)当Δ＝1－4a ≤0时，即a ≥14时，φ(x )≥0恒成立，即g ′(x )≥0恒成立． 所以g (x )在(0，＋∞)单调递增．(2)当0<a <14时，记φ(x )＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＝1－1－4a 2，x 2＝1＋1－4a 2， 因为x 1·x 2＝a >0，x 1＋x 2＝1>0，所以x 1>0，x 2>0.所以φ(x )≥0，即g ′(x )≥0的解为0<x ≤1－1－4a 2，x ≥1＋1－4a 2. 所以g (x )在0<x ≤1－1－4a 2，x ≥1＋1－4a 2时单调递增． 综上：当a ≥14时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当0<a <14时，g (x )在(0，1－1－4a 2]，[1＋1－4a 2，＋∞)上单调递增，在(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)上单调递减．。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
2019年高中数学·第一轮复习 第13讲 导数与函数的单调性
第13讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) (3)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－3，1)上f (x )是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．在区间(3，5)上f (x )是增函数解析：选C ．由图象可知，当x ∈(4，5)时，f ′(x )>0，故f (x )在(4，5)上是增函数． (教材习题改编)函数f (x )＝x 3－3x ＋1的单调增区间是( ) A ．(－1，1) B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )>0得，x <－1或x >1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.(教材习题改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数解析：选D.因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A ．(0，1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A ．由f ′(x )＝1－1x <0，得1x >1，即x <1，又x >0，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)．(教材习题改编)函数f (x )＝sin x ＋kx 在(0，π)上是增函数，则实数k 的取值范围为________．解析：因为f ′(x )＝cos x ＋k ≥0， 所以k ≥－cos x ，x ∈(0，π)恒成立． 当x ∈(0，π)时，－1<－cos x <1， 所以k ≥1. 答案：k ≥1不含参数的函数的单调性[典例引领](1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．【解析】 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′<0，得0<x <1， 所以单调递减区间为(0，1)． (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.【答案】 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间．[注意] (1)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． (2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数．[通关练习]1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：选B ．由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B ．2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在(0，1e)上递增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递减 解析：选D.因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为(1e ，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选D.含参数的函数的单调性[典例引领]讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0； 当x ∈( 1－a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增．解决含参数的函数单调性问题应注意2点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．[通关练习]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．解：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立， f (x )在R 上单调递增．②当1－a >0，即a <1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2－4(1－a )2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ； 令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)； f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． 综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．已知函数的单调性求参数[典例引领]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可． 而G (x )＝(1x －1)2－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x －1)2－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞)．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题． [注意] (1)注意利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(2)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．[通关练习]已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 又f (x )的单调递减区间为(－1，1)， 所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3， 所以实数a 的取值范围为(0，3)．利用导数研究函数单调性的方法(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解，并注意函数f (x )的定义域．(2)含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．(3)已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．利用导数研究函数的单调性应注意4点 (1)求单调区间应遵循定义域优先的原则．(2)注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．(3)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (4)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D.由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息： ①f ′(x )＞0时，－1＜x ＜2； ②f ′(x )＜0时，x ＜－1或x ＞2； ③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C ．根据信息知，函数f (x )在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C ．3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A ．因为f (x )＝x sin x ， 所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )． 所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数． 所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． 5．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析：选B ．由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B ．6．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)7．(2018·张掖第一次诊断考试)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，因为函数f (x )在区间(12，3)上单调递减，所以f ′(x )≤0在区间(12，3)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(12)≤0f ′(3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－a 2＋1≤09－3a ＋1≤0，解得a ≥103，所以实数a 的取值范围为[103，＋∞)．答案：[103，＋∞)8．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎤－1，12 9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)， 单调减区间为(0，5)．10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1， 所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．1．(2017·高考山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A ．对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x，因为e 2>1，所以e x f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x ，因为e 3<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x 不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cosx －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选B ．依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．3．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A ．因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．4．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)5．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －k e x， 又因为f ′(1)＝1－k e＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x， 设h (x )＝1x－ln x －1(x >0)， 则h ′(x )＝－1x 2－1x<0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．6．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 此时f ′(x )＝2(x ＋1)2， 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2. 当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0， f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0， f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0， 设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a， x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a. 由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0， 所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 答案： B
解析： 要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析： 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数． 答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
练规范、练技能、练速度
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
导数与函数的单调性(高三一轮复习)
例1 (1)(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( BD )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝ex－e－x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 (2)函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( A )
∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
解法二：y′＝1－
a2 x2
，依题意知1－
a2 x2
≥0，即a2≤x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
关键能力 互动探究
命题点1 不含参函数的单调性
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 6—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( ×) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函 数．( √ ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调 性．( √ )
— 16 —
思维点睛►
讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2019高考理科数学一轮复习：第二篇 第11节 第一课时 利用导数研究函数的单调性(30)
3
27
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
10
3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( D )
(A)(-∞,-2] (B)(-∞,-1]
(C)[2,+∞)
(D)[1,+∞)
解析:因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k- 1 . x
2019年7月10日
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考查角度2:根据导函数零点大小与定义域的关系讨论函数的单调区间 【例2】 (2017·冀州月考)设函数f(x)=aln x+ x 1 ,其中a为常数.
x 1
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
解:(1)由题意知 a=0 时,f(x)= x 1 ,x∈(0,+∞). x 1
2019年7月10日
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知识梳理自测 考点专项突破
2019年7月10日
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3
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0吗?f′(x)>0是否是 f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?
第11节 导数在研究函数中的应用
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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考纲展示 1.了解函数的单调性与导数的 关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件;会用导数求函数的极大 值、极小值(其中多项式函数不超过三 次);会求闭区间上函数的最大值、最 小值(其中多项式函数不超过三次). 3.会用导数解决实际问题.
2019年高三一轮总复习理科数学课件：2-11-1导数与函数的单调性
解析：①错误．f′(x)＞0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定．如函数 f(x)＝x3 在(－ ∞，＋∞)上单调递增，
但 f′(x)≥0. 所以 f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． ②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个． ③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值 大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等． ④错误．对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 只是 x0 点为极值点的必要条件，如 y＝x3 在 x＝0 时 f′(0)＝0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极值点． ⑤正确．当函数仅在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值． 答案：③⑤
【解】 因为 g(x)＝13x3－a2x2＋2x＋5， 所以 g′(x)＝x2－ax＋2. (1)解法一：因为 g(x)在(－2，－1)内为减函数， 所以 g′(x)＝x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立． 所以gg′ ′－ －21≤ ≤00， ， 即41＋＋2aa＋＋22≤≤00. ， 解得 a≤－3. 即实数 a 的取值范围为(－∞，－3]．
[自 主 演 练] 设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴 相交于点(0,6)． (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
解：(1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)， 故 f′(x)＝2a(x－5)＋6x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a. 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)， 由点(0,6)在切线上，可得 6－16a＝8a－6，解得 a＝12.
2019年高三理科数学一轮复习：函数、导数及其应用检测(解析版附后)
2019年高三理科数学一轮复习：函数、导数及其应用检测（解析版附后）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝1－3x ＋1log 12(2x ＋1)，则函数的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19 B ．－9 C ．19D ．93．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 35．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－37．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．108．函数y ＝1ln|e x－e －x |的部分图象大致为( )9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝010．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，那么=⎰dx x f )(21( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B.72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2D ．－(4＋2ln 2)11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )C ．2D ．412．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33e ，eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33eC ．⎝⎛⎭⎪⎫0，33eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.15．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.16．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立．(1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log 2x2.(1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值．19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x ，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1.(1)求a，b，c，d的值．(2)当x∈[0，＋∞)时，判断函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a x－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值．(2)若f(1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0恒成立的t的取值范围．(3)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f(x)＝x－(a＋1)·ln x－ax(a∈R)，g(x)＝12x2＋e x－x e x.(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值．(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e ax(a∈R)．(1)当a＝－2时，求函数g(x)＝x2f(x)在区间(0，＋∞)内的最大值．(2)若函数h(x)＝x2f(x)－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a的取值范围．2019年高三理科数学一轮复习：函数、导数及其应用检测（解析版）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝1－3x ＋1log 12(2x ＋1)，则函数的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [答案] A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19 B ．－9 C ．19 D ．9[答案] C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b [答案] D4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3 [答案] B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2[答案] D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10[答案] C 8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )[答案] D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0[答案] D10．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，那么=⎰dx x f )(21( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B.72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2D ．－(4＋2ln 2)[答案] A11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D12．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33e ，eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33eC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33eD ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．[答案] (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. [答案] －615．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.[答案] 1816．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.[答案] 2 016三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立．(1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．[解] (1)F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log 2x2.(1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0， 即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4. (2)因为f (x )＝log 2x2·log2x 2.＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14. 当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x ，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1.(1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性．[解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x ，所以⎩⎨⎧ f (0)＝b ＝1，f ′(0)＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1， g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎨⎧g (0)＝d ＝1，g ′(0)＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1. (2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x ＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数． 20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数.(1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围．(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x －a －x (a ＞0且a ≠1)．因为f (1)＜0，所以a －1a ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4，所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5.(3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x ，因为f (x )＝2x －2－x 为增函数，x ≥1，所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)·ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x 2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数．f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e .综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－a e .(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值． 由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e ，又g ′(x )＝(1－e x )x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－a e ＜1，即a ＞e 2－2e e ＋1， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1. 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e ax (a ∈R )．(1)当a ＝－2时，求函数g (x )＝x 2f (x )在区间(0，＋∞)内的最大值．(2)若函数h (x )＝x 2f (x )－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，函数f (x )＝e －2x ，所以函数g (x )＝x 2e －2x ，所以g ′(x )＝2x e －2x ＋x 2e －2x ·(－2)＝2x (1－x )e －2x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以在区间(0，＋∞)内g (x )的最大值是g (1)＝e －2.(2)因为函数h (x )＝x 2f (x )－1＝x 2e －ax －1， 所以h ′(x )＝2x e －ax ＋x 2(－a )e －ax＝e －ax (－ax 2＋2x )，令h ′(x )＝0，因为e －ax ＞0，所以－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a (a ≠0)．又h (x )在(0,16)内有两个零点，所以h (x )在(0,16)内不是单调函数，所以2a ∈(0,16)，解得a ＞18.①又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，16时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数， 所以在(0,16)上h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝4a 2e －2－1.令4a 2e －2－1＞0，解得－2e ＜a ＜2e .② 又⎩⎨⎧ h (0)＜0，h (16)＜0，即⎩⎨⎧－1＜0，256e－16a －1＜0， 解得a ＞12ln 2.③解①②③组成不等式组，解得12ln 2＜a ＜2e .所以实数a 的取值范围是12ln 2＜a ＜2e .。
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2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间 内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增 (减)的充分条件.
区间内是减函数
导数法
利用导数判断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某 个区间内)的单调性
[例1] 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)
的单调性．
[解]
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝
a－1 x
＋2ax＝
2ax2＋a－1 x.
(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法
(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的 定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方 程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无 定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定 义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符 号，从而确定单调区间．
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
解析：对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是kπ－π4，kπ＋π4(k
∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，
f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，
f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>
[方法技巧] (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不
可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应 基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号， 得单调区间．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
()
解析：依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－ 2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，所以f(x)的单调递增区间是 (2，＋∞)．故选D. 答案：D
2．[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是 ( )
A．f(x)＝sin 2x
x，
知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.
所以f(x)＝x4＋45x－ln x－32，则f′(x)＝x2－44xx2－5， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
[方法技巧] 导数法证明或讨论函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤
(1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论：当f′(x)>0时，函数f(x)在(a，b)内单调 递增；当f′(x)<0时，函数f(x)在(a，b)内单调递减． [提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且 定义法 x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)与0的大小关系来确定函
数f(x)的单调性
利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某
图象法
个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数； 若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个
(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝
1－a 2a
，则当x
∈ 0，
1－a 2a
时，f′(x)<0；当x∈
1－ 2aa，＋∞ 时，
f′(x)>0，故f(x)在 0， ＋∞上单调递增．
1－a 2a
上单调递减，在
1－2aa，
3 3
或x<－
3 3
，∴函数f(x)＝
x3－x在
－∞，－
3
3
和
33，＋∞上单调递增；对于D，f′(x)
＝－1＋1x＝－x－x 1，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋
ln x在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B. 答案：B
3．[考点二] 函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为
求函数的单调区间
[例2] 已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲
线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)
的单调区间． [解] 对f(x)求导得f′(x)＝14－xa2－1x，
由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝
1 2
2019届高三理科数 学一轮复习
导数与函数的单调 性
2020/8/1
突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
基础的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
()
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,2)
解析：对于函数y＝12x2－ln x，易得其定义域为(0，＋∞)，
y′＝x－
1 x
＝
x2－1 x
，令
x2－1 x
<0，又x>0，所以x2－1<0，解
得0<x<1，即函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为(0,1)．
答案：A
4.[考点一]已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)＝1x－a>0， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a， 当0<x<1a时，f′(x)＝1－xax>0； 当x>1a时，f′(x)＝1－xax<0，