第十二章概率与统计

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高等数学第12章概率论与数理统计

记作B A
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1）对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3）若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论：对于任一事件，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有

高中总复习第一轮数学第十二章概率与统计(理)12.1 离散型随机变量的分布列

第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。

八年级上册数学笔记第十二章

八年级上册数学笔记第十二章第十二章：统计与概率一、统计统计是指收集、整理、分析数据，并从中提取出有关规律性的结论和信息的一门学科。

在日常生活和工作中，我们常常需要进行统计，以便更好地了解某个领域的情况，做出科学和准确的决策。

以下是统计中常用的一些概念和方法。

1. 数据的收集数据的收集是统计的第一步。

主要有两种方式进行数据收集：直接观察和问卷调查。

直接观察是指通过实地观察和记录来收集数据，而问卷调查则是通过向被调查对象发放问卷，让其填写问题并回答的方式进行数据收集。

2. 数据的整理与处理收集到的数据需要进行整理和处理，以便更好地进行分析和总结。

常用的数据整理方法有：分类、汇总和整合。

同时，对数据进行图表化处理也是常见的方法，例如绘制折线图、柱状图、饼状图等。

3. 频数和频率在统计中，频数指某个特定数值或数值区间出现的次数，频率则是指频数与总次数的比值。

频数和频率可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。

4. 平均数、中位数和众数平均数是指一组数据的数值之和除以数据的个数，中位数是指将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值，众数则是指一组数据中出现次数最多的数值。

平均数、中位数和众数可以帮助我们了解数据的集中趋势。

二、概率概率是指某一事件发生的可能性大小。

在数学中，我们通过数字来表示概率的大小，通常介于0到1之间。

以下是概率中常见的一些概念和方法。

1. 试验和样本空间试验是指为了研究某个问题而进行的一系列操作，样本空间是指试验的所有可能结果的集合。

例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，而样本空间则是{正面，反面}。

2. 事件和事件的概率在试验的过程中，我们可以关注一些特定的结果，称为事件。

事件的概率是指该事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。

例如，抛一次硬币结果为正面的事件的概率可以表示为P(正面)。

3. 等可能事件和互斥事件等可能事件指每个事件发生的可能性相等，例如抛硬币的结果是正面或反面。

互斥事件指两个事件不能同时发生，例如抛硬币的结果不可能既是正面又是反面。

第十二章小学数学统计与概率教学练习题

第十二章小学数学统计与概率教学练习题
一、填空题
1、正方体的各面分别写着数字1、
2、
3、
4、
5、6，掷一下正方体，使得“2”朝上的可能性是（）。

2、口袋里有一个白球，一个红球和一个黑球，任意摸一个，有（）种可能结果，分别是（）
3、口袋里有2个黄球和一个红球，任意摸一个是黄球的概率是（）
二、名词解释
4、平均数
5、中位数
6、众数
三、简答题
7、在小学进行统计与概率知识教学有什么意义？
8、小学数学课程中统计与概率的主要内容是什么？
9、小学数学课程中统计与概率的教学目标是什么？
四、实践题
10、估计你们班所有同学一个月内丢弃多少个塑料袋，通过实际调查验证你的估计。

11、联系小学数学教学实际谈谈如何改善统计与概率的教学。

概率与统计

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口
是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1
是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
3
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
（Ⅱ） B C1 C2
8分
P(C1) C32[P( A)]2[1 P( A)] 3 0.22 (1 0.2) 0.096
P(C2 ) [P( A)]3 0.23 0.008
P(B) P(C1 C2 ) P(C1) P(C2 ) 0.096 0.008 0.104 12分
（B） 1
16
（C）
1 4
（D） 2
2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
4 ，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 C
5
12
A.
125
B. 16
125
C. 48
125
D. 96 125
解析
P
C32
( 4 )2 5
(1
4) 5
3.（2009辽宁）ABCD为长方形，AB＝2，
BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD
。.
0.98
【解析】P=1-0.2×0.1=0.98
课堂讲练结合
题型一互斥事件与对立事件的综合应用问题
例1 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率。
题型二相互独立事件同时发生的概率问题

高三数学第一轮复习第十二章《概率和统计》课件

• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用，数值表示解)析．任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，

第十二章概率与统计12-5

学
0.7，求该生在这次测试中的成绩的均值与方差．
·
《高考调研》高考总复习
第十二章概率与统计（选修Ⅱ）
【解析】 (1)EX＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋x6p6＝3.5，
E(2X＋3)＝2EX＋3＝10.
DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(x6－EX)2p6
＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋…＋(6－3.5)2]
解析依题意得x7＋x＋0.01.8＋＋0.23.7＋＋y＝101y＝8.9 ，即
x＋y＝0.6 7x＋10y＝5.4
，由此解得 y＝0.4.
大纲版数学
《高考调研》高考总复习
·
第十二章概率与统计（选修Ⅱ）
5 ． (09· 广东 ) 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
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大纲版
答案
5 12
1 4
数学
《高考调研》高考总复习
第十二章概率与统计（选修Ⅱ）
解析
a＋b＋c＝1112 －a＋c＋16＝0 a＋c＋13＝1
a＝152， ⇒b＝14，
c＝14.
大纲版数学
《高考调研》高考总复习
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第十二章概率与统计（选修Ⅱ）
第十二章概率与统计（选修Ⅱ）
思考题2 一次数学测验由25道选择题构成，每一个选
择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，每个选择正
确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某
学生选对任一题的概率为0.8，求此学生在这一次测验中的
成绩的期望与方差．

高中数学知识点第十二章-概率与统计

高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计．考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布．（3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n 0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p +q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q pk n k n k E k n k)!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。

八年级数学第十二章知识点

八年级数学第十二章知识点八年级数学第十二章主要讲述了概率的相关知识，这是一个非常有趣和实用的数学知识点。

在本章中，我们将学习到以下几个方面的内容：一、基本概率模型在概率理论中，一个实验的样本空间为所有可能的结果的集合。

例如，如果我们掷一枚硬币，那么样本空间就是{正面、反面}。

概率模型是抽象化的数学模型，它使用概率代表了一个特定事件的可能性。

二、计算概率的方法计算概率的方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。

对于古典概率，我们使用公式 P(A) = n(A)/n(S) 来计算一个事件的概率，其中 n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的总个数。

对于几何概率，我们使用 P(A) = S(A)/S(T) 来计算一个事件的概率，其中 S(A) 和 S(T) 分别表示实验图形 A 和总图形T 的面积。

对于统计概率，我们使用 P(A) = f(A)/n 来计算一个事件的概率，其中 f(A) 表示 A 事件发生的次数，n 表示实验总次数。

三、互斥事件和独立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如掷骰子时出现1 和出现2 就是互斥事件。

独立事件指的是两个事件不会互相影响，例如两次抽球的事件就是独立事件。

四、概率分布和期望值概率分布是指一系列离散或连续的变量的所有可能取值以及与这些取值相关联的概率。

期望值就是每个可能结果的概率乘以该结果的值的总和。

五、排列组合排列和组合都是概率学中非常重要的概念。

在排列中，我们考虑对一组元素进行有序排列的方式，而在组合中我们只关心元素的选择，而不关心它们的顺序。

六、统计学统计学是应用概率理论的一种重要方法。

在八年级数学第十二章的最后，我们将学习如何使用统计学来收集、分析和解释数据的基本原则。

总的来说，八年级数学第十二章主要介绍了概率理论的基本概念和相关的计算方法，以及统计学的基础概念。

这些知识点不仅可以让我们更好地理解概率和统计学的基本原理，还可以帮助我们更好地理解生活中的许多实际问题，如人口普查、投票分析等等。

107507-概率统计随机过程课件-第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度

第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度一、相关函数的性质平稳过程)(t X 的自相关函数)(τX R 是仅依赖于参数间距τ的函数。

它有如下性质：性质1 )(τX R 是偶函数，即)(τ-X R )(τX R =；（事实上)]()([)(ττ+=t X t X E R X ，)]()([)(ττ-=-t X t X E R X)()]()([ττττX R t X t X E =+--= ）性质2 2)0(|)(|X X X R R ψ=≤τ ，2)0(|)(|X X X C C στ=≤，就是说，自相关函数)(τX R 和自协方差函数 )(τX C 都在 0=τ 处达到最大值。

事实上（利用不等式|)(|XY E 212212][][EY EX⋅≤） |)]()([||)(|ττ+=t X t X E R X )0()]([)]([212212X R t EX t EX =+≤τ，|))]()(())()([(||)(|τττ+-+•-=t EX t X t EX t X E C X212212]))()(([]))()(([ττ+-+•-≤t EX t X E t EX t X E 2)0(X X C σ== 。

性质3 )(τX R 非负定。

即对任意实数n τττ,,,21 和任意函数)(τg 有0)()()(1,≥-∑=j i j i nj i X g g R ττττ 。

事实上)()()(1,j i j i nj i X g g R ττττ-∑= )()()]()([1,j i j i n j i g g X X E ττττ∑==0)]()([21≥=∑=i i ni g X E ττ。

性质4 如果)(t X 是以T 为周期的周期平稳过程，即满足 )()(t X T t X =+，那么，)(τX R 也是以 T 为周期的函数。

事实上)]()([)(T t X t X E T R X ++=+ττ)()]()([ττX R t X t X E =+=。

2024年高考数学总复习第十二章概率与统计真题分类49二项分布与正态分布

则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
即 pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，构造等比数列{pi＋λ}，
设 pi＋1＋λ＝25 (pi＋λ)，解得 λ＝－13 ，
则 pi＋1－13 ＝25 (pi－13 )，
高考·数学
4．(2023·新高考全国Ⅰ，21，12 分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：
若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的
命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮
的人是甲、乙的概率各为 0.5.
＝0.8.
故选 A.
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真题分类49 二项分布与正态分布
高考·数学
2．(2014·课标全国Ⅱ，5，5 分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
附：K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d），
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
真题分类49 二项分布与正态分布
高考·数学
解：(1)记“第 i 次投篮的人是甲”为事件 Ai，“第 i 次投篮的人是乙”为事件 Bi，
所以 P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.

2023版-43-成人入学考试资料-数学-第四部分-第十二章-概率与初步统计-概率(二)

第四部分-第十二章-概率与初步统计-概率（二）例题【例4】三名男生和两名女生站成一排。

其中两名女生恰好在两端的概率是多少？网校答案：网校解析：概率统计历年真题【例2013年-真题单选】17、将一颗骰子投2次，则2次得到点数之和为3的概率是（）。

A.1/36B.1/18C.1/9D.1/6网校答案：B网校解析：概率统计【例2013年真题】（理）17、一个箱子中有5个相同的球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中一次任取2个球，则这2个球的号码都大于2的概率为（）。

网校答案：网校解析：概率统计【例2014年真题】17、将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行。

则2本数学书恰好在两端的概率为（）。

网校答案：网校解析：概率统计【例2015年真题】17、甲乙两人独立地破解一个密码，设两人能破译密码的概率分别为p1，p2，则恰有一人能破译密码的概率为（）。

网校答案：网校解析：概率统计【例2016年真题】（文）16、若同学每次投篮命中概率为2/5，该同学投篮2次，只投中1次的概率为（）。

网校答案：网校解析：概率统计【例2017年真题】17、若1名女生和3名男生随机地站成一列，则从前面数第2名是女生是概率为（）。

网校答案：网校解析：概率统计【例2018年-真题单选】9、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，这2个数都是偶数的概率为（）。

网校答案：C网校解析：本题考查了概率的知识点。

这2个数都是偶数的概率为。

【例2018年真题】19、掷一枚硬币时，正面向上的概率为，掷这枚硬币4次，则恰有2次正面向上的概率是_______。

网校答案：网校解析：本题考查了贝努利试验的知识点。

恰有2次正面向上的概率是【例2019年-真题单选】17、甲、乙各自独立地射击一次，已知甲射中10环的概率为0.9，乙射中10环的概率为0.5，则甲、乙都射中10环的概率为（）。

A.0.2B.0.45C.0.25D.0.75网校答案：B网校解析：本题考查了独立事件同时发生的概率的知识点，甲乙都射中10环的概率P=0.9×0.5=0.45。