第十二章 概率与统计

第十二章 概率与统计

1、[文] 一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：[10，20]，2；[20，30]，

3；[30，40]，4；[40，50]，5；[50，60]，4；[60，70]，2. 则样本在区间[10，50]上的频率为 . 1．[文] 0.7 2. (文)某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A. 15，5，25 B. 15，15，15 C. 10，5，30 D. 15，10，20 2. (文)D 【思路分析】： 每20人中抽取1人 【命题分析】：考察抽样方法。

3、(理)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 A ．20 B ．25 C ．30 D ．40

3、(理)Ｂ【思路分析】： 抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为1652

525=C ，

2516

5

80=⨯=ξE 【命题分析】：考察等可能事件的概率的求法及数学期望的求法。

4．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：),40,30[;3),30,20[;2),20,10[

3),70,60[;3),60,50[;5),50,40[;4，则样本在区间)50,10[内的频率是（ ）

A ．0.05

B ．0.25

C ．0.50

D ．0.70

4．D 【思路分析】：7.020

5

432=+++=

P ，故选D.

【命题分析】：考查频率的计算方法. 5、(理)随机变量ξ的分布列为120

1

)(-=

=ξk k P (*N k ∈ ， )162≤≤k ，则=ξE _______ .

5、(理) 3

34

1201360= +⨯+⨯=

ξ3221(120

1

E …)1615⨯+ 3

346068060120)(23172162322===+⋯++=C C C C .

6．对甲乙两学生的成绩进行抽样分析，各抽取5门功课，得到的观测值如下：

甲：70 80 60 70 90 乙：80 60 70 84 76

那么，两人中各门功课发展较平稳的是 ．

【思路分析】：7474S 104S 70.4x x ====甲乙甲乙，，，，故S S >甲乙. 【命题分析】：考察抽样分析、期望（平均数）的应用 7、（12分）

[理]甲、乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏，由甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…. 规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获胜，一旦决出胜负游戏便结束.

（Ⅰ）若限定每人最多掷两次，求游戏结束时抛掷次数ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若不限定两人抛掷的次数，求甲获胜的概率. 7[理]、【思路分析】

(Ⅰ) 抛掷一次出现的点数共有6×6 = 36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了

(1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1)共6个结果，

∴抛掷一次出现的点数之和为7的概率为

6

1

366= ………………………… 2分 ξ可取1 , 2 , 3 , 4

P (ξ=1) =61，P (ξ=2) =3656165=⨯，P (ξ= 3) =21625

61)65(2=⨯

P (ξ= 4) =216

125

1)65(3=⨯

∴ξ的概率分布列为

E ξ= 1×

61+ 2×365+ 3×21625+ 4×216125=216

671 …………………………… 8分 (Ⅱ) 不限制两人抛掷的次数，甲获胜的概率为：

P =61+ (65)2×61+ (65)4×6

1

+ …

= 116)

6

5(161

2=-. ……………………………………………… 12分 【命题分析】主要考查等可能事件，互斥事件，相互独立事件，随机事件的概率分布、数学期望，无穷递缩等比数列各项的和等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 8、 (理)袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球. 已知每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分. 用ε表示任取2个球的得分，求：

(1)ε的分布列； (2)ε的数学期望.

8、(理)(1)(2)E ξ＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝14

9

．

9、（本题满分12分）（理）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在

无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，试回答下列问题。（1）求抽取次数x 的概率分布；（2）求平均抽取多少次可取到好电池。 9、解：理：（1）ξ可取的值为1、2、3，则52)1(=

=ςp ，10

3

4352)2(=-==ςp 10

1

534152)3(=⋅⋅=

=ςp 抽取次数x 的概率分布为

（2

）10

105ξE 即平均抽取1.5次可取到好电池 10、（文）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一

节电池检验为止，直到取到好电池，请回答下列问题。

…… 6分

（1）求抽取3次才能取到好电池的概率；（2）求抽取次数x 至少为2的概率。 10、文：（1）10

1

334152)3(==⋅=

=ςp （2）52531)1(1)2(=-

==-==ξςp p

（本题主要考查随机事件发生的概率的能力，包括互斥事件、对立事件、独立事件发生的概率） 11．从5名女生和2名男生中任选3人参加兴趣小组，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数。 （12′）

①求ξ的分布列及数学期望；

②求“ξ ≤1”的概率。

11．[思路分析](1)ξ可能取的值为0,1,2。p ==)(k ξ)2,1,0(3

7

35

2=-R C C C k k ∴ξ的分布列为

ξ的数学期望为7

6

7127170=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………8′

(2)由(1)得“所选3人中男生人数1≤ξ”的概率为 )1()0()1(=+==≤ξξξp p p 7

6

7472=+=…………………………………………………………………12′ [命题分析]

本题考察随机变量的分布列数学期望及概率知识。 12．（本小题满分12分）

某数学教师在讲数学归纳法的概念时，用围棋子作教具，他在口袋里装有4粒白色围棋子和2粒黑色围棋子，每次摸出一粒后，不再放回，让学生猜测下次摸出围棋子的颜色。 （1） 求这位老师前两次摸出的围棋子同色的概率； （2） 若前四次中摸出白色围棋子数记为,ξ求ξE 。 12． 解：（1）设前两次摸出的围棋子中同为白色的概率为P 1，同为黑色的概率为P 2，

则.15

7

5162536421=⋅+⋅=

+=P P P 5分 （2）设摸出两粒白色围棋子记为事件A ，摸出三粒白色围棋子记为事件B ，摸出四粒白色围棋子记为事件C ，则

52)(4624==C C A P ，158)(461234=⋅=C C C B P ，151

)(46

44==C C C P 8分 ∴ =⨯+⨯+⨯=151********ξE 3

8

12分

13．（12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，

B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A 队队员胜的概率 B 队队员负的概率

A 1对

B 1

32 31

A 2对

B 2 52 5

3