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全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总及详细答案

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全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总含详细答案

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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ， 由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.5．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()210k -≤， 得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．10．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及答案

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及答案

全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kk k-+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1. 【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝， ∴x 1＝2，x 2＝24．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）t = 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解

2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解

专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝09．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解： △()2241280k k =-⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．9k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，∴()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选B ．3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)100=-+y x ；(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总附答案一、一元二次方程1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V ＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12． 4．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥， 解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=Q ， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．5．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣16．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，7．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．8．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋62x 2＝1－621＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝326.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.9．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总含答案解析

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．2．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，依题意得：7.5-x ≤2x ，解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根9．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1．综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。

全国中考数学一元二次方程的综合中考模拟和真题分类汇总含答案

全国中考数学一元二次方程的综合中考模拟和真题分类汇总含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长为10．【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．3．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．7．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

2020-2021全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编含答案

2020-2021全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编含答案

2020-2021全国各地中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编含答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值． 【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．3．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．4．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12x x ==1222y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴．∴1233,22x x +-==．（2）（y+2）2=12，∴或，∴1222y y =-+=--5．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=324n+-，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)，综上所述，n=0. 6．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.7．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时，与之间的函数关系式；8．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.【答案】9．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.10．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()ab a 1b 14++ ；探究三：（8）()()3ab a 1b 12++ ；【结论】：①()()()abc a 1b 1c 18+++ ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】（3）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论； (拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB 上共有()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×1×1=()a a 12+ ，故答案为()a a 12+ ；探究二：（5）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ， 由题意得33(1)8x x =1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．11．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围；（2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1． 【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a 的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a 的值. 试题解析：（1）∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即22﹣4×1×（a ﹣2）≥0，解得a≤3； （2）由题意可得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=a ﹣2， ∵x 12x 22+4x 1+4x 2=1，∴（a ﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1， ∵a≤3， ∴a=﹣1．12．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0． 当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1； 当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1． 综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.13．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 考点：一元二次方程的应用．14．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1； 当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．15．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．。

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总附答案

全国中考数学一元二次方程的综合中考真题分类汇总附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1，x2=12．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b2﹣4ac=9＞0∴732±∴x1=5，x2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得135x +=，235x -=. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

中考数学 一元二次方程 综合题及答案

中考数学 一元二次方程 综合题及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣14．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.5．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．6．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

全国备战中考数学一元二次方程的综合备战中考真题分类汇总附答案

全国备战中考数学一元二次方程的综合备战中考真题分类汇总附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-==;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1． 【答案】x 13x 2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3， 解得：x 13，x 2=133．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12．4．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：5．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=6．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝16x2＝161＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝16x2＝16(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.7．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()210k -≤， 得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b94=3k b+⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；() 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？ 【答案】（1）2280；（2）15 【解析】 【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多， 设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=． 解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

2024年中考数学《一元二次方程及其应用》真题含解析

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含答案解析

2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含答案解析

2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含答案解析一、一元二次方程 1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1． （2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-==;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．6．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时，与之间的函数关系式；7．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】8．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=9．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．10．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12， 即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.11．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-. 【解析】 分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b94=3k b+⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.13．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ 的长为42cm ?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm ；(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设P 、Q 经过t 秒，使△PBQ 的面积为8cm 2，则PB=6-t ，BQ=2t ，根据三角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x 秒后线段PQ 的长为2cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断． 【详解】(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2， 则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ， ∵∠B ＝90°，∴12(6－t)× 2t ＝8， 解得t 1＝2，t 2＝4，∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2； (2)设x 秒后，PQ ＝2 cm ， 由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32， 解得x 1＝25，x 2＝2， 故经过25秒或2秒后，线段PQ 的长为2 cm ；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵（a b-）2=a﹣2ab+b≥0∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b ab a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，1x-＞0，则也可以按公式a+b ab a=b时取等号）来计算；（2）将y27101x xx++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。

全国中考数学一元二次方程的综合中考模拟和真题分类汇总附答案

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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 13x 2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 13，x 2=133．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1＋2x 2＝－1－22）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x2.10．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x2。

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含详细答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含详细答案

全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总含详细答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值． 【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．3．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．4．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=15．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5代入原方程可求出m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m ）2﹣4（4m 2﹣1）=4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根．将x =5代入原方程，得：25﹣20m +4m 2﹣1=0，解得：m 1=2，m 2=3．当m =2时，原方程为x 2﹣8x +15=0，解得：x 1=3，x 2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．7．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1 【解析】 【分析】设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】解：设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321xx =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．8．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根． （2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2． 【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．9．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答． 【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人， 依题意得：7.5-x ≤2x ， 解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人； （2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50 答：m 的值为50． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．10．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

中考数学 一元二次方程 综合题含详细答案

中考数学 一元二次方程 综合题含详细答案
【答案】x1=4，x2=﹣5．
【解析】
【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．
【详解】
当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，
【详解】
解： 依题意得 ，
，
又 ，
的取值范围是 且 ；
解：不存在符合条件的实数 ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程 的两根分别为 ， ，
由根与系数的关系有： ，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
，
，
由 知， ，且 ，
不符合题意，
因此不存在符合条件的实数 ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3= =6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a= 线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
6．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
（探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2= =3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．
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一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根， ∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣14．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ， 由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=()() 332m mm--±+，∴x1=-3m，x2=1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．7．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0， 1﹣k ﹣3+3k ＝0 解得k ＝1； (2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+= 24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克 年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.10．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4． 【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0， 解得m≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．。

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