2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学试卷(理科)
长沙市长郡中学2018届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析)
长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1 B。
2 C。
D。
【答案】C【解析】，的虚部为，，故选C。
2. 已知集合，集合，则A. B。
C。
D.【答案】B【解析】，，故选B。
3。
长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为A。
25B。
35C. 13D. 23【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的2人恰为一男一女的概率为P=C31C21C52=610=35，故选B。
4. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12−a8=8,a10−a6=4，则S23=A。
23 B. 96 C. 224 D。
276【答案】D【解析】∵{a n}是等差数列，可设首项为a1，公差为d，由a4+a12−a8=8,a10−a6=4,可得{a1+7d=84d=4⇒{a1=1d=1,∴S23=23×1+23×222×1=276，故选D。
5. 已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为A. √2B。
√3C. 2D. √5【答案】C【解析】设右焦点F2(c,0)关于渐近线：y=bax的对称点为F0，则F0在y=−bax上F2F0交于Q，由点到直线距离公式可得F2Q= b,ΔF1F2F0为直角三角形，三边分别为2a,2b,2c，由对称性知,∠F2OQ=∠F0OQ=∠F1OF0=60∘,∴2c=4a,e=ca=2,故选C.6。
下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. f(x)=sinx B。
【高三数学试题精选】2018湖南省高考理科数学试卷答案解析
2018湖南省高考理科数学试卷答案解析
5 c 2018年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
一选择题
4【答案】A
【解析】第项展开式为 ,
则时, ,故选A
【考点定位】二项式定理
5【答案】c
【解析】当时,两边乘以可得 ,所以命题为真命题 ,当时,因为 ,所以命题为假命题,所以②③为真命题,故选c
【考点定位】命题真假逻辑连接词
6【答案】D
【解析】当时,运行程序如下, ,当时, ,则 ,故选D
【考点定位】程序框图二次函数
7【答案】B
【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 ,则 ,故选B
【考点定位】三视图内切圆球
【考点定位】指对数函数方程
二填空题
13【答案】
【解析】由题可得 ,故填
【考点定位】绝对值不等式
14【答案】
【解析】求出约束条中三条直线的交点为 ,
且的可行域如图,所以 ,则当为最优解时, ,当为最优解时, ,。
2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷(一)数学(理科)(附答案)
2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷（一）数学（理科）（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．2.若，则等于（ ）A ．BC ．D．3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）{}|||2A xx =<{}|13B x x =<<A B I {}|21x x -<<{}|23x x -<<{}|23x x <<{}|12x x <<(1)z i i +=||z 1212(0,)+∞3y x =1ln||y x =||2x y =cos y x =A ．B ．C ．D ．5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（ ） A ．B ．C ．D ．7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定24354120316386π-83π-()sin(2)3f x x π=+ϕϕ6π3π512π712π8.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99.在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（ ） A ． B ．C ．D ．与关系不确定11.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：{}n a 13a 312a 22a 8967a a a a +=+ABC ∆A B C abc ABC ∆S 222()S a b c =+-tan C =34-43-344322221x y a b-=1F 2F O P 12PF F ∆I I x A 2F PI B e ||||OB e OA =||||OA e OB =||||OB OA =||OA ||OB OMN ∆A B OM ON OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u rx y R ∈P ABNM 12y x y +++12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦R >{}|(,),,D a a x y x R y R ==∈∈r r>111(,)a x y =u r 222(,)a x y =u u r 12a a >u r u u r12x x >12x x =12y y >>①若，，，则； ②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中的系数是，则实数 ． 14.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为 ．15.已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今 年．（已知） 16.已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为 ．1(1,0)e =u r 2(0,1)e =u u r 0(0,0)=r120e e >>u r u u r r 12a a >u r u u r 23a a >u u r u u r 13a a >u r u u r 12a a >u r u u r a D ∈r 12a a a a +>+u r r u u r r0a >r r 0(0,0)=r12a a >u r u u r 12a a a a ⋅>⋅r u r r u ur 25(ax 5x 80-a =l C C l C A B ||12AB =P C l ABP ∆14C 14C 14C a x b b a kx b ae -=x k 14C 76.7%2log 0.7670.4≈-()|2018||2017||1||1||2017||2018|f x x x x x x x =-+-++-+++++++……x R ∈2(32)(1)f a a f a -+=-a n 222sin cos22()3cos sin 22x xg x kx x x =-+0x ≥m 3m n +=k三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和． 18.如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面； （2）求二面角的余弦值．{}n a {}n b 12a =121n n n a a a +=+1n n b a =-0n b ≠1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 12n nn c b ={}n c n n T ABCD DE ⊥ABCD //AF DE 6DE =2AF=BD M //AM BEF A BE C --19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．20.已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．X n n 1F 2F 22221(0)x y a b a b+=>>(P -2PF y M 2PM MF =u u u u r u u u u r2F x l l 2222x y a b +=+A B C D 11F A F B λ⋅=u u u r u u u r 2,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1F CD ∆S21.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．()x xf x e e-=+e x ()1xmf x e m -≤+-(0,)+∞m a 0[1,)x ∈+∞3000()(3)f x a x x <-+1a e -1e a -xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C AB ||AB =l ()||f x x a =-1a >2a =()4|4|f x x ≥--x |(2)2()|2f x a f x +-≤{}|12x x ≤≤a长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（理科）答案 一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）∵，∴，由， ∴，化简得， ∵， ∴，即（）， 而， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴，即，∴（）． （2）由（1）知，，∴，∴， 两式相减得，， 故． 18.（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，DCBDA ADDBC CB 2-36229213k ≥1n n b a =-1n n a b =+121n n n a a a +=+12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++11n n n n b b b b ++-=0n b ≠+1111n n n n n n b b b b b b ++-=+1111n n b b -=*n N ∈111111121b a ===--1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(1)1n n n b =+-⨯=1(*)n b n N n =∈111n n a n n+=+=*n N ∈2n nnc =1212222n n n T =+++…2311122222nn n T +=+++ (12111)11(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++-=-=-- (2)22n nn T +=-BE K B K KM BD ⊥BD M 123KM DE ==DE ⊥ABCD //AF DE AF ⊥ABCD∴，∴，且．∴四边形为平行四边形，可知，∴平面， ∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．（2）如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，设平面的法向量为，由可得． 设平面的法向量为，由可得，因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角余弦值为．AF BD ⊥//FA KM FA KM =FAMK //AM FK //AM BEF 13MK BM ED BD ==M BDB (3,0,0)A (3,3,0)B (0,0,6)E (0,3,0)C (3,3,6)EB =-u u u r (0,3,0)AB =u u u r (3,0,0)BC =-u u u rAEB 11(,,1)n x y =r 1113360,30,x y y +-=⎧⎨=⎩(2,0,1)n =r BCE 22(,,1)m x y =u r 2223360,30,x y x +-=⎧⎨=⎩(0,2,1)m =u r A BE C --1cos |5θ=-=-A BE C --15-19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为． （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，所以，其中0,1,2， (10)设， 若，则，； 若，则，．所以当或，可能最大，，所以的取值为．20.解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线， 又，∴，于是，且，解得，， X 30463101(0)30C C P X C ===21463103(1)10C C P X C ===12463101(2)2C C P X C ===03463101(3)6C C P X C ===X 13119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y 3~(10,)5Y B 101032()()()55kkkP Y k C -==k =101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55k k k k k k C P Y k k t P Y k k C ----=-====-1t > 6.6k <(1)()P Y k P Y k =-<=1t < 6.6k >(1)()P Y k P Y k =->=6k =7()P Y k =664107731032()()(6)75532(7)6()()55C P Y P Y C ====1>n 62PM MF =M 2PF OM 12PF F ∆12OM F F ⊥112PF F F ⊥1c =221112a b+=22a =221b c ==∴椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．． ∵，∴，解得． 由消得，设，， 则设，则， ∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为． 21.解：（1）由条件知在上恒成立，令（），则，所以对于任意成立． 2212x y +=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =+11(,)Ax y 22(,)B x y 221,3,x ty x y =+⎧⎨+=⎩22(1)220t y ty ++-=12221t y y t +=-+12221y y t =-+111122(1,)(1,)F A F B x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r 1112(1)(1)x x y y =+++1212(2)(2)ty ty y y =+++21212(1)2()4t y y t y y =++++22224222411t t t t -=--+=++112,13F A F B ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r 22222131t t -≤≤+211,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(2)210t y ty ++-=33(,)C x y 44(,)D x y 112341||||2F CD S F F y y ∆=⋅-===21t m +=S ==43,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦S m 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦57S ⎡∈⎢⎣⎦1F CD ∆S 57⎡⎢⎣⎦(1)1x x x m e e e --+-≤-(0,)+∞x t e =0x >1t >21111111t m t t t t -≤-=--+-++-1t >因为，∴， 当且仅当，即时等号成立．因此实数的取值范围是． （2）令函数，则， 当时，，，又，故， 所以是上的单调递增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值， 故，即． 与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，试比较与的大小． 构造函数（），则， 再设，，从而在上单调递减， 此时，故在上恒成立，则在上单调递减．综上所述，当时，； 当时，；111131t t -++≥=-1113111t t -≥--++-2t =ln 2x =m 1(,]3-∞-31()(3)x x g x e a x x e =+--+21'()3(1)x x g x e a x e=-+-1x ≥10x x e e->210x -≥0a >'()0g x >()g x [1,)+∞()g x [1,)+∞1(1)2g e e a -=+-0[1,)x ∈+∞00300(3)0x x e ea x x -+--+<(1)0g <120e e a -+-<12e e a -+>1a e -1e a -(1)ln a e -(1)ln e a -ln 1e e -ln 1a a -ln ()1x h x x =-1x >211ln '()(1)x x h x x --=-1()1ln m x x x =--21'()x m x x-=()m x (1,)+∞()(1)0m x m <='()0h x <(1,)+∞ln ()1x h x x =-(1,+)∞1(,)2e e a e -+∈11a e e a --<a e =11a e e a --=当时，．22.解：（1）由，可得的极坐标方程．（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为（）， 由，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，于是，，由得，， 所以的斜率为或． 23.解：（1）当时，当时，由得，解得；当时，由得无解；当时，由得，解得，故不等式的解集为．（2）令，则 由，解得， 又知的解集为，所以于是解得．(,)a e ∈+∞11a e e a-->cos x ρθ=sin y ρθ=C 212cos 110ρρθ++=l θα=R ρ∈A B 1ρ2ρl C 212cos 110ρρα++=1212cos ρρα+=-1211ρρ=12||||AB ρρ=-==||AB =23cos 8α=tan α=l 33-2a =26,2,()|4|2,24,26,4,x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()4|4|f x x ≥--264x -+≥1x ≤24x <<()4|4|f x x ≥--4x ≥()4|4|f x x ≥--264x -≥5x ≥{}|15x x x ≤≥或()(2)2()h x f x a f x =+-2,0,()42,0,2,,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩|()|2h x ≤1122a a x -+≤≤|()|2h x ≤{}|12x x ≤≤11,212,2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩3a =。
2018年湖南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2018年湖南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√22. 已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=()A.{x|−1<x<2}B.{x|−1≤x≤2}C.{x|x<−1}∪{x|x>2}D.{x|x≤−1}∪{x|x≥2}3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4. 设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=()A.−12B.−10C.10D.125. 设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0, 0)处的切线方程为（）A.y=−2xB.y=−xC.y=2xD.y=x6. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=()A.3 4AB→−14AC→B.14AB→−34AC→C.3 4AB→+14AC→D.14AB→+34AC→7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.28. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2, 0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→⋅FN→=()A.5B.6C.7D.89.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)10. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2+p311. 已知双曲线C:x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.412. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3√34B.2√33C.3√24D.√32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018湖南省高考数学试题(理科数学)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==- 2.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 9122π+B. 9182π+C. 942π+D. 3618π+4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.参照附表，得到的正确结论是A ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A.12B.1C. 27.设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A.（1，1 B.（1++∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为A.1B. 12填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷(二)理科数学试题(解析版)
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由，得，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。
【数学】湖南省(长郡中学、衡阳八中)等十四校2018届高三第二次联考数学理科试题含解析
2018届高三·十四校联考第二次考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D。
2. 复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故复数（为虚数单位）的共轭复数为故选B.3. 下列有关命题的说法中错误的是（）A. 设，则“”是“”的充要条件B. 若为真命题，则，中至少有一个为真命题C. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D. 命题“，且”的否定形式是“，且”【答案】D【解析】A．设，则，则当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，函数）在上是增函数，则若，则，即|成立，则“”是“”的充要条件，故A正确；B若为真命题，则，中至少有一个为真命题，正确；C命题的逆命题是若的图象不经过第四象限，则是幂函数，错误比如函数的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C正确，D．命题“，且”的否定形式是，故d 错误.故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．4. 已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式的解集为，．二项式的展开式式的通项公式为令，求得，可得展开式的常数项是故选B．5. 若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得令求得故函数的增区间为故选：D．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，该几何体为组合体，下面是正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，高为，上面是正方体，边长为，该几何体表面积为故选C.7. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学、、、四类课外书各借1本，共种方法；乙、丙、丁、戊四位同学、、三类课外书各借1本，共有中方法，故方法总数为60种.故选C.8. 如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个三角直角形，且长轴与直径的夹角为.故选D.9. 一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，是以为周期的周期函数，故又故选B．【大家】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．10. 已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出出可行域如图所示，，表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值，到可行域的最小距离即为到直线，则的最小值为故选A.11. 过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.12. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．【答案】【解析】同理设向量，的夹角为则向量在向量上的投影为即答案为-1.14. 已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由，得，当时，；当时，，所以数列的通项公式为.故答案为．15. 三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：20π．.....................【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键．16. 已知是以为周期的上的奇函数，当，，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题可得函数在上的解析式为在区间，关于的方程恰好有个不同的解，当时，由图可知，同理可得，当时，即答案为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及正弦定理得，由此可求角的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，，为锐角三角形，的范围为，则，，利用正弦函数的性质即可得的取值范围.（1）由及正弦定理得，所以，.（2），，所以，，为锐角三角形，的范围为，则，∴的取值范围是，∴.18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，于.（1）求证：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，证明，∴，∵，∴，由此可证平面，即可证明. （2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.根据空间向量求面面角的方法即可求二面角的余弦值.（1）连接，∵，，是公共边，∴，∴，∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴.（2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，，所以，，，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.19. 随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：岁以下岁或岁以上（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：元（谢谢支持）元元现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为，求的分布列和数学期望. 参与公式：临界值表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据列联表，计算观测值，通过对照题目中的数值表，即可得出统计结论．（2）的可能取值为，，，，，求出相应概率值，得到分布列.求出数学期望.试题解析：试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系.（2）的可能取值为，，，，，，，，，，.20. 已知椭圆：.（1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题根据，，不妨令椭圆方程为，当时，得出，从而得到椭圆的标准方程；（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，∴，，由此得到为定值.试题解析：（1），即，，不妨令椭圆方程为，当时，，得出，所以椭圆的方程为.（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，即，∴，，∴为定值.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于等价于，对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．试题解析：（1）对函数求导得，令，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）当时，由（1）可知，，，不等式成立等价于当时，恒成立，即对恒成立，因为时，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，而，，所以，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以函数单调递减；当时，，，所以函数单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，因为，又，且，所以的最大整数值是.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，其中正确变形得到等价命题对恒成立，是解题的关键.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.（1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号.（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.23. 已知函数，.（1）求的解集；（2）若有两个不同的解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）分类讨论可得函数解析式，由此可得的解集；（2）结合图象易得试题解析：（1），若，可得.（2）结合图象易得2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞15．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.1517．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC ＝8，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：B．2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵iz＝﹣1+i，∴z＝，∴，则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞1【解答】解：∵2m＞2n＞1，∴m＞n＞0，∴，m＜，ln（m﹣n）与0的大小关系不确定，πm﹣n＞1．因此只有D正确．故选：D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.151【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的两个数x，y，求x2+y2≤1的概率，∵x∈（0，1），y∈（0，1），对应的平面区域面积为：1×1＝1，而x2+y2＜1对应的平面区域的面积为：π，故由题意可得：＝，解得：π＝3.144，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有＝36（种），故选：C．9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝3；取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥2；∴e＝＝＝≤＝，∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故选：B．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．【解答】解：变量x，y满足条件的可行域如图：目标函数的几何意义是，分母是可行域内的点与坐标原点的距离，分子是直线x﹣y＝u，如图中的红色线，当红色线经过D时目标函数取得最大值．最大值为：＝．故选：C．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin60°×＝，AO1＝＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝6BE，∴DE＝2.5，在△DEO1中，O1E＝＝，∴OE＝＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，最小面积为π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]【解答】解：∵f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x），∴e x[f（′x）+f（x）]＝2x+3，∴e x f（x）＝x2+3x+c，∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1∴f（x）＝（x2+3x+1）e﹣x，∴f′（x）＝﹣（x2+x﹣2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，可得：x＝1时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，∵f（1）＝，f（﹣2）＝﹣e2＜0，f（﹣1）＝﹣e，f（0）＝1＞0，f（﹣3）＝e3＞0∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．故m的取值范围是（﹣e，0]，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是﹣11．【解答】解：∵＝（2x+1）•（1﹣+﹣+﹣+），故它的展开式中的常数项是1﹣12＝﹣11，故答案为：﹣11．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为3．【解答】解：等比数列{b n}满足，∴lna n+1﹣lna n＝lnb n，∴lna2018﹣lna2017＝lnb2017，lna2017﹣lna2016＝lnb2016，……，lna2﹣lna1＝lnb1，∴lna2018﹣lna1＝ln（b1•b2•……b2017）＝ln＝ln1＝0，∴a2018＝a1＝3．故答案为：3．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC＝8，则四边形ABCD的面积为．【解答】解：如图，连接AC，可得∠DCB＝105°在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BC2+BA2﹣2BCBA cos60°＝48．∴AB2＝AC2+BC2，∴∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∠DCA＝∠DAC＝15°．∴tan15°．∴四边形ABCD的面积为12×）+8＝24﹣4．故答案为：24﹣4．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为[﹣1﹣，1+]．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON＝，OM＝1，∴＝+，此时λ+μ＝1+；同理可得：＝+＝﹣﹣，此时λ+μ＝﹣1﹣；∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故答案为：[﹣1﹣，1+]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．∴OC＝，OD＝，CD＝，∵OD2＝OC2+DC2＝10，∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，∴CD⊥PO．∵P A＝PB＝AB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥底面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥面ABCD…（6分）（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．在Rt△OCD中，CM＝＝，在Rt△PCD中，CN＝＝，所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…（12分）19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）100﹣100×10×（0.04+0.02×2）＝20（人）（Ⅱ）由已知条件可知：[20，50）内人数为：100﹣100×10×（0.04+0.02+0.02+0.01）＝10；[20，30）人数为2人，[30，40）人数为3人，[40，50）人数为5人．X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝，所以X的分布列为．（Ⅲ）第五组．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由△BF1F2为等腰直角三角形可得b＝c，直线BF1：y＝x+b被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2，即BF1＝2，所以a＝2，，所以椭圆的方程为．（2）若直线l的斜率不存在，则．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），即则，，，由题意点O为△P AC重心，设P（x0，y0），则，，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△P AC的面积＝＝＝．综上可得△P AC的面积S为定值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．【解答】解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）＝1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）＝f（x）﹣ax3＝x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）＝，令h（x）＝，则h′（x）＝，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）＝0，则x ≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）＝0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a＝，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x＝（）2n，则＜（）2n，∴请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是，∴，∴直线l的极坐标方程是，由，消参数得x2+（y﹣2）2＝4，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．…5分（Ⅱ）将θ＝β分别带入ρ＝4sinθ，，得|OP|＝4sinβ，，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是．…10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
2018湖南高考数学[理科]高考试题[版][附答案解析]
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考数学(理科)(含答案)
长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}26,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82．已知变量,x y 成负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =+C ．29.5y x =-+D ．0.4 4.4y x =-+3．已知命题()0:,0p x ∃∈-∞，0023xx<，命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan sin x x >，则下列命题为真命题的个数是（ ）①p q ∨；②()p q ∨⌝；③()p q ⌝∧；④()p q ∧⌝. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知()f x 为奇函数，函数()f x 与()g x 的图象关于直线1y x =+对称，若()14g =，则()3f -=（ ） A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．47．已知实数,x y 满足1x y ≤+，且11y -≤≤，则2z x y =+的最大值（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．68．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．78 B ．83π- C ．83 D ．73π- 9．若函数()()sin 3cos f x x x x ωω=+∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A ．13 B ．32 C ．43 D ．2310．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确的是（ ）A ．平面DMN ⊥平面11BCCB B ．三棱锥1A DMN -的体积为定值C ．DMN ∆可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()()[)()[)11sin 2,2,21,21sin 22,21,22,2n n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n ∈N ），若数列{}n a 满足()()*m a f m m =∈N ，数列{}m a 的前m 项的和为m S ，则10596S S -=（ ）A ．909B ．910C ．911D ．91212．已知函数()e x a f x x -=+，()()ln 24e a x g x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21-B ．ln 21--C ．ln 2-D ．ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知60,a a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()21sin 2a ax x dx --+=⎰ ．14．已知向量,a b r r 满足：1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，若c xa yb =+r r r，其中0x >，0y >且2x y +=，则c r 的最小值是 ．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3nf 的前100项和为 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，在面对角线1A D 上取点M ，在面对角线1CD 上取点N ，使得MN ∥平面11AAC C ，当线段MN 长度取到最小值时，三棱锥11A MND -的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.（1）求,,,a b c d 的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？ （3）在（2）的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2c =，3C π=.（1）当()2sin 2sin 2sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点. （1）求证：1C E ∥面1A BD ；（2）若1AB ⊥面1A DB ，求二面角11B A D B --的余弦值.20．已知数列{}n a 满足14a =，()1*1324n n n a a n n -+=+-∈N . （1）是否能找到一个定义在*N 的函数()12n f n A B n C -=⋅+⋅+（A B C 、、是常数）使得数列(){}n a f n -是公比为3的等比数列，若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由；（2）记123n n S a a a a =++++L ，若不等式23n n S n p ->⨯对任意*n ∈N 都成立，求实数p 的取值范围.21．已知()()2e1xf x axx -=++.（1）当0a ≤时，求证：()1f x ≤；（2）当0a >时，试讨论方程()1f x =的解的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线12cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆22cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.23．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()2122f x x x a a =++---.若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围. （2）已知()21f x x =+，a b ≠，求证：()()f a f b a b -<-.长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10:ACBDC 11、12：AB二、填空题13．2π 14．3 15．5031- 16．1 三、解答题17．解：（1）由题意知0.0650.3b =⨯=，1000.330a =⨯=，10.050.350.30.10.2d =----=，1000.220c =⨯=.（2）三个组共60人，所以第三组应抽306360⨯=人， 第四组应抽206260⨯=人，第五组应抽106160⨯=人.（3）X 的所有可以取的值分别为1,2,3()4311327P X ===； ()()21322324424142327C C C C C P X +===（或()()243422142327C P X -===）； ()12134244339C C C P X ===（或()234344339C A P X ===）. 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 18．解：（1）由()2sin 2sin 2sin A B C C ++= 得()()4sin cos sin sin A A A B A B +-=+ 得2sin cos sin cos A A B A =， 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，433a =，233b =， 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩.解得233a =，433b =，故三角形的面积为123sin 23ABC S ab C ∆==. （2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=. 由()()2243434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到. 19．解：（1）设1AB 与1A B 交于F ，连接DF EF 、， ∵11EF BB CC ∥∥，则EF 与1C D 平行且相等. ∴四边形1EC DF 为平行四边形.∴1C E DF ∥，又DF ⊂面1A DB ，1C E ⊄面1A DB ， ∴1C E ∥面1A BD.（2）以BC 的中点O 为原点，分别以OB OA 、方向为x 轴和z 轴正方向，以1CC 方向为y 轴正方向，建系如图，设CO x =，1AA y =，则有(),0,0B x ，()20,0,4A x -，()1,,0B x y ，()210,,4A y x -，,,02y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴2,,02y BD x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，∴()21,,4BA x y x =--uuu r ，∴()21,,4AB x y x =--uuu r由1AB ⊥面1A DB ，则1110,0B A BA B A BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r.则()22222120,240,x y x y x ⎧-+=⎪⎨⎪-+--=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以面1A BD 的法向量为()11,2,3AB =-uuu r，又设面11A B D 的法向量为(),,n a b c =r ，()12,1,0DB =uuu r，()111,0,3A B =-uuu u r ，110A B n ⋅=uuu u r r ，10DB n ⋅=uuu r r ，所以2030a b a c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3a =， 则()3,23,1n =-r，∴13536cos ,484B A n -==-⋅uuu r r . 所以二面角11B A D B --的余弦值为64.20．解：（1）∵()()113n n a f n a f n +-+=-⎡⎤⎣⎦， ∴()()1313n n a a f n f n +=++-， 所以只需()()11324n f n f n n -+-=-，∵()()()113222n f n f n A Bn B C -+-=-⋅-+-，∴1A -=，24B -=-，20B C -=， ∴1A =-，2B =，1C =. 即()1221n f n n -=-++∴()()1131n n a f n a f --=-=⎡⎤⎣⎦()1134223n n ---=⨯，∴()112323n n n a f n --=⨯+=⨯1221n n --++.（2）()2121333n n S -=++++-L ()()11223521n n -++++++++⎡⎤⎣⎦L L 2322nnn n =-++∴2322n nn S n n -=-+，由23nn S n p ->⨯，得32222133n n n n nn np -+-<=-.设3223n n n nnb -+=， 则()111221113n n n n n b b +++-+-=--+()11222122242333nn n n n n n n n ++----+==，当4n ≥时，()110111211n n n n C C ----=+≥+221111n n n n n C C C -----++++≥L ()221221n n n +-=>- ∴4n ≥时，1n n b b +>.容易验证，当13n ≤≤时，1n n b b +≤， ∴()4min 7381n p b b ==， ∴p 的取值范围为73,81⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 21．解：（1）要证()()21e 11x f x ax x -≤⇒++≤， 只要证2e 10xax x ---≥（*）令()2e 1xh x ax x =---，则()e 21xh x ax '=--，而()e 20xh x a ''=->，所以()h x '在(),-∞+∞上单调递增，又()00h '=，所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， ∴()()min 00h x h ==，即()0h x ≥，（*）式成立 所以原不等式成立.（2）问题转化为函数()2e 1xh x ax x =---的零点个数.而()e 21xh x ax '=--，()e 2xh x a ''=-.令()0h x ''=，解得ln 2x a =.所以()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增. 所以()()min ln 222ln 21h x h a a a a ''==--， 设2m a =，()ln 1g m m m m =--， 而()()11ln ln g m m m '=-+=-，则()g x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增， 所以()()max 10g m g ==，即()min 0h x '≤（当1m =即12a =时取等）. 1°当12a =时，()min 0h x '=，则()0h x '≥恒成立. 所以()h x 在R 上单调递增，又()00h =，则()h x 有一个零点；2°当12a >时，ln 20a >，()()min ln 20h x h a ''=<， 有()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增， 且x →+∞时，()e 210x h x ax '=--> 则存在10x >使得()10h x '=，又()00h '=这时()h x 在(),0-∞上单调递增，在()10,x 上单调递减，()h x 在()1,x +∞上单调递增 所以()()100h x h <=，又x →+∞时，()2e 10x h x ax x =--->，()00h = 所以这时()h x 有两个零点； 3°当102a <<时，ln 20a <，()()min ln 20h x h a ''=<. 有()h x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增， 且x →-∞时，()e 210xh x ax '=-->，则存在20x <使得()20h x '=.又()00h '=，这时()h x 在()2,x -∞上单调递增，在()2,0x 上单调递减，()h x 在()0,+∞上单调递增. 所以()()200h x h >=.又x →-∞时，()2e 10xh x ax x =---<，()00h =.所以这时()h x 有两个零点； 综上：12a =时，原方程一个解；当12a ≠且0a >时，原方程两个解. 22．解：（1）当3πα=时，1C 的普通方程为()32y x =-，2C 的普通方程为224x y +=.联立方程组()22324y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得1C 与2C 的交点为()1,3-，()2,0.（2）1C 的普通方程为sin cos 2sin 0x y ααα--=.A 点坐标为()22sin ,2cos sin ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为2sin cos sin x y ααα⎧=⎨=-⎩（α为参数），P 点轨迹的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 故P 点是圆心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆.23．解：（1）()f x 的最小值为232a a --，由题设，得223a a -<，解得()1,3a ∈-.（2）证明：∵()()2211f a f b a b -=+-+2222221111a b a b a b a b a b --+==++++++， 又a b a b +≤+=222211a b a b +<+++. ∴22111a ba b +<+++. ∵a b ≠，∴0a b ->.∴()()f a f b a b -<-.。
湖南省长郡中学2018届高三月考(二)数学(理科)试题Word版含答案
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三考试卷（二）数 学（理科）命题人：长郡中学高三理科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}x x x A 5|2<=的真子集的是（ ）A ．{}5,2B ．()∞+，6 C ．()5,0 D ．()5,1 2.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．231-B ．23C ．434-D ．433.已知复数i 1z +=，则下列命题中正确的个数为（ ）①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）A ．2±B ．2- C.2 D ．2±5.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A ．24B ．18 C.12 D ．96.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数)(,2131x x x x <都有()()2112x f x x f x >，记),3(31),1(),2(21--===f c f b f a 则c b a ,,之间的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >> C.a b c >> D ．b c a >> 7.5)21)(2(x x -+展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．30 B ．70 C.90 D ．-1508. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．()2x x f = B ．()x xx f = C.()xx xx ee e e xf --+-= D ．()x x f = 9.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin 3πx x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()x g y =的图象，则()x g y =图象的一条对称轴是（ ） A ．12π=x B ．6π=x C.3π=x D ．32π=x 10.以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“⌝ p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．1 11.已知函数()a x x f ++-=13（e e x e,1≤≤是自然对数的底数）与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,03-e B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e e D ．)[∞+-,43e 12.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()1-x f 为偶函数，当[]1,0∈x 时，()+=x x f ，若函数()()b x x f x g --=恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ） A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,412,412 B ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,252,212 C. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,414,414 D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,4154,414 第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知21,e e 是互相垂直的单位向量，若213e e -与21e e λ+的夹角为60，则实数λ的值是 ． 14.已知20π<<x ，且10242sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，则=+x x cos sin ． 15.已知数列{}n a 的通项为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=5,41ln 5,15n n a n n n a n ，若{}n a 的最小值为431，则实数a 的取值范围是 ．16.已知球的直径B A SC ,52，=是该球球面上的两点，若452=∠-∠=BSC ASC AB ，,则棱锥ABC S -的表面积为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()(),2sin 62cos 32sin R m x m x x x f ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ212=⎪⎭⎫⎝⎛πf . （1）求m 的值；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若32,2=⎪⎭⎫⎝⎛=B f b ，ABC ∆的面积是3，求ABC ∆的周长.18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差()C x 10 11 13 12 8 6 就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据3至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程a bx y+=ˆ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：()x b y a x x y yx x x n xyx n yx b ni ini iini ni ii-=---=--=∑∑∑∑===-,)())((1211221.19. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，满足1,311==b a ，1022=+S b ，3232a b a =-.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）令⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n b n S c n n n ,,2，设数列{}n c 的前n 项和n T ，求n T 2.20. 已知函数()12+=ax x x f ，其中R a ∈，且0≠a .（1）设()()()x f x x h 32-=，若函数()x h y =图象与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合；（2）求函数()||x f y =在[]1,0上的最大值. 21. 已知函数())(ln R a x x ax x f ∈+=.（1）若函数()x f 在区间[)+∞,e 上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1=a 且Z k ∈时，不等式)()1(x f x k <-在),1(+∞∈x 上恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 24πθρ.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()0,2p 作斜率为1的直线l 与圆C 交于B A ,两点，试求||1||1PB PA +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()R a a x x x f ∈---=|,2|2|. （1）当3=a 时，解不等式()0>x f ；（2）当)2,(-∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，求a 的取值范围.炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（二）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DACCB 6-10:BBCCB 11、12：AD二、填空题13.33 14.5102 15.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,6ln 8 16.16 三、解答题17.【解析】（1)∵函数())(2sin 62cos 32sin(R m x m x x x f ∈+⎪⎭⎫⎝⎛+++=π）π， ∴2212116sin 66cos 36sin 12=++=+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛m m f ππππππ，解得1=m .（1）1=m 时，()x x x x f 2sin 62cos 32sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ x x x x x 2sin 2sin 212cos 232cos 232sin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x 2sin 2cos 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πxABC ∆中，33sin 22,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πB B f b ，∴233sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ， 又π<<B 0，∴3433πππ<+<B ， ∴323ππ=+B ，3π=∴B ；∵ABC ∆的面积是3433sin 21sin 21====ac ac B ac S π， 4=∴ac ，4cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ，∴8422=+=+ac c a ， ∴()164282=⨯+=+c a ，∴4=+c a ，∴642=+=++c b a ， ∴ABC ∆的周长为6.18. 【解析】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A ,因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，所以31155)(==A P . (2) 由数据求得24.11==y x ，由公式求得718=b ，再由730-=-=x b y a . 所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y. （3）当10=x 时，2227150,7150ˆ<-=y；同样，当6=x 时，212778,778ˆ<-=y ，所以该小组所得线性回归方程是理想的.19. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公式为q ， 由32222,10a b a S b s =-=+.得⎩⎨⎧+=-+=++dq d d q 23243106，解得{22==q d .∴12,12)1(23-=+=-+=n n n b n n a .（2）由12,31+==n a a n 得)2(+=n n S n ， 则n 为奇数，2112+-==n n S c n n ， n 为偶数，12-=n n c .∴)()(24212312n n n c c c c c c T +++++++=-)222(1211215131311123-++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n).14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n20. 【解析】（1）①若()0=x f 恰有一解，且解不为23，即042=-a ，解得2±=a ； ②若()0=x f 有两个不同的解，且其中一个解为23，代入得012349=++a ，解得613-=a ，检验满足0>∆；综上所述，a 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--2,2,613. （2）①若02≤-a，即0≥a ，函数()x f y =在[]1,0上单调递增，故()a f y +==21max ；②若120<-<a，即02<<-a 时， 此时042<-=∆a ，且()x f 的图象的对称轴在()1,0上，且开口向上；故()(){}{}⎩⎨⎧-<-≥+=+==1,11,22,1max 1,0max max a a a a f f y ，③若12≥-a，即2-≤a 时， 此时()()(){}{}⎩⎨⎧-<---≥=--=-=≤+=3,23,12,1max 1,0max ,021max a a a a f f y a f ，综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧-<---<≤--≥+=3,213,11,2max a a a a a y .21. 【解析】（1）∵()x x ax x f ln +=，∴()x a x f ln 1'++=，又函数()x f 在区间[)+∞,e 上为增函数， ∴当e x ≥时，0ln 1≥++x a 恒成立，∴2ln 1)ln 1(max -=--=--≥e x a ，即a 的取值范围为[)+∞-,2. （2）当1>x 时，01>-x ，故不等式()()()11-<⇔<-x x f k x f x k ，即1ln -+<x xx x k 对任意1>x 恒成立.令()1ln -+=x xx x x g 则()2)1(2ln '---=x x x x g ， 令())1(2ln >--=x x x h ， 则())(0111'x h xx x x h ⇒>-=-=在），（∞+1上单调递增. ∵()04ln 2)4(,03ln 13>-=<-=h h ， ∴存在)4,3(0∈x 使0)(0=x h即当01x x <<时，0)(<x h ，即0)('<x g ，当0x x >时，0)(>x h ，即0)(;>x g ，∴)(x g 在），（01x 上单调递减，在）（+∞,0x 上单调激增.令02ln )(000=--=x x x h ，即2ln 00-=x x ，())4,3(1)21(1)ln 1()(00000000min ∈=--+=-+==x x x x x x x x g x g ，∴0min )(x x g k =<且Z k ∈， 即3max =k .22. 【解析】（1）由⎪⎭⎫⎝⎛+=4cos 24πθρ，可得,sin 4cos 4θθρ-=∴θρρρsin 4cos 42-=，∴y x y x 4422-=+，即()()82222=++-y x ；（2）过点)02(，P 作斜率为1直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222， 代入()()82222=++-y x 得04222=-+t t ，B A ,对应的参数为21t t 、，则4,222121-=-=+t t t t ，由t 的意义可得261111212121=-=+=+t t t t t t PB PA . 23. 【解析】（1）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤->-=23,1223,352,1x x x x x x x f ，当2>x 时，01>-x ，即1<x ，解得φ∈x ；当223≤≤x 时，035>-x ，即35<x ，解得3523<≤x ； 当23<x 时，01>-x ，即1>x ，解得231<<x ；综上所述，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<351|x x .（2）当)2,(-∞∈x 时，()0<x f 恒成立022<---⇔a x x|2|2a x x -<-⇔恒成立a x x -<-⇔22或22-<-x a x 恒成立 32+>⇔a x 或2-<a x 恒成立， ∴当)2,(-∞∈x 时，23-<x a ①或2+>x a ②恒成立， 解①，a 不存在；解②得：4≥a . 综上知，4≥a .。
【数学】湖南省长沙市长郡中学2018届高三高考模拟卷(二)数学(理)试题
长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|2A x x =≤，{}|03B x x =<<，则A B = （ ） A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|23x x <<D ．{}|23x x ≤<2.若1iz i =-+，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.若221mn>>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．ln()0m n -> D ．1m nπ->5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π6.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.126B ．3.144C ．3.213D ．3.1517.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)16π-对称B ．关于点(,0)16π对称 C ．关于直线16x π=对称D ．关于直线4x π=-对称8.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ） A ．144种B ．48种C ．36种D ．72种9.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||6AF BF +=，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A．(0,3B．(0,3C．3D．[310.已知变量x ，y 满足条件,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则目标函数z =）A ．12B ．1 CD11.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且对任意的实数x 都有'()(23)()x f x e x f x -=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,0]e -B ．2[,0)e -C ．[,0)e -D ．2(,0]e -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.61(21)(1)x x+-的展开式中的常数项是 ． 14.已知数列{}n a 的首项为3，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10091b =，则2018a 的值为 ．15.如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒，28AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为 ．16.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O ，并且1OA e = ，2OB e = ，若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成12e e λμ+，λ、R μ∈的形式，则λμ+的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2sin()cos()244f x x x x ππ=--+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值及相应的x 值． 18.如图，已知在四棱锥P ABCD -中，O 为AB 中点，平面POC ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，2PA PB BC AB ====，3AD =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）求二面角O PD C --的余弦值．19.1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20,30)，[30,40)，…，[80,90)，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于60本的人数；（2）一只阅读量在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20,40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X 表示所选学生阅读量在[20,30)内的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，与y 轴正半轴交于点B ，若12BF F ∆为等腰直角三角形，且直线1BF 被圆222x y b +=所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于点A 、C ，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC ∆的重心，探求PAC ∆的面积S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S 的取值范围．21.设函数()ln(f x x x =-．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有3()f x ax ≤，试求a 的取值范围；（3）令62111()ln ()922n n n a ⎡=++⎢⎣（*n N ∈），试证明：1213n a a a +++<…．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x =C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θβ=（其中5012πβ<≤）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求||||OP OM 的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．炎德∙英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科）答案一、选择题1-5:BDADD 6-10:BBCBC 11、12：AA 二、填空题13.11- 14.315.24-16.1⎡-⎣三、解答题17.解：（1）()sin(2)2cos 222sin(2)26f x x x x x x ππ=-=+=+，所以()f x 的最小正周期是π． （2）因为02x π≤≤，所以02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，当6x π=时，max ()2f x =；当2x π=时，min ()1f x =-．18.（1）证明：∵//AD BC ，AB BC ⊥，2BC AB ==，3AD =，∴OC，OD =CD ，222OD OC DC =+， ∴OC CD ⊥，∴CD ⊥平面POC ， ∴CD PO ⊥，∵PA PB AB ==，O 为AB 中点， ∴PO AB ⊥，∴PO ⊥底面ABCD ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）如图建立空间直角坐标系O xyz -，则P ，(1,3,0)D -，(1,2,0)C ，∴OP = ，(1,3,0)OD =-，(1,CP =-- ，(2,1,0)CD =-，设平面OPD 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，平面PCD 的法向量为222(,,)n x y z =，则由0,0,OP m OD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1110,30,x y =-+=⎪⎩取11y =，得13x =，10z =，即(3,1,0)m = ，由0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222220,20,x y x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，得2y =，25z =，即n =，∴cos ,4||||m n m n m n ⋅<>===⋅． 故二面角O PD C --19.解：（1）10010010(0.040.022)20-⨯⨯+⨯=（人）． （2）由已知条件可知：[20,50)内的人数为：10010010(0.040.020.020.01)10-⨯+++=，[20,30)内的人数为2人，[30,40)内的人数为3人，[40,50)内的人数为5人． X 的所有可能取值为0，1,2，3032351(0)10C C P X C ===，2132353(1)5C C P X C ===，1232353(2)10C C P X C ===， 所以X 的分布列为1()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1BF ：y x b =+被圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2a =，b c ==22142x y +=． （2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，即221,42,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩则122412km x x k +=-+,21222(2)12m x x k -=+,121222()212m y y k x x m k +=++=+, 由题意点O 为PAC ∆重心，设00(,)P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=，所以01224()12km x x x k =-+=+，01222()12m y y y k =-+=-+，代入椭圆22142x y +=，得 2222222421(12)(12)k m m k k +=++，整理得22122k m +=， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积121213||3|||||22S AC d x x x x m =⋅=-⋅=-⋅||m =3||2m ===综上可得PAC ∆的面积S为定值2． 21.解：（1）函数()f x 的定义域为R ．由'()10f x =-≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令33()()ln(g x f x ax x x ax =-=-+-，则'()g x =，令2()3)1h x ax =--，则23(16)9'()x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，'()0h x ≤，从而()h x 是[0,)+∞上的减函数， 注意到(0)0h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以'()0g x ≤，进而()g x 是[0,)+∞上的减函数， 注意到(0)0g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即3()f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在上，总有'()0h x >，从而知，当x ∈时，3()f x ax >；（iii ）当0a ≤时，'()0h x >，同理可知3()f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1[,)6+∞．（3）在（2）中，取19a =，则[0,3x ∈时，31ln(9x x x -+>，即31ln(9x x x +<，取21()2n x =，621111()ln ()()9224n n nn a ⎡=+<⎢⎣，则1211(1())1441314n n a a a -+++<<-…． 22.解：（1）∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴直线l的极坐标方程是cos ρθ=由2cos ,22sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩消参数得22(2)4x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．（2）将θβ=分别代入4sin ρθ=，cos ρθ=||4sin OP β=，||OM =∴||2||2OP OM β=，∵5012πβ<≤，∴5026πβ<≤，∴0222β<≤，∴||||OP OM 的取值范围是(0,2．23.解：（1）()(1)5f x f x ++<，即|21||21|5x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，解得：5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，解得：1524x <<．综上可知，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥a c b +≥，a b c +≥，则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=， 即1118a b c a b c---⋅⋅≥．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=e a a e e m 解得112-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试理数试题(解析版)
绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4.已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5.已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，则__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15.已知，，则__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的取值范围．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴， 又∵，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③， 将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；（2）或.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，· 设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（Ⅰ），，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．（Ⅱ）记商家总利润为元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，∴，解得（舍去负值），∴抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由可得，则，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.【解析】试题分析:（Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．则，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，则，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）．将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设，，∵三点共线，则①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。
【数学】湖南省长沙市长郡中学2018届高三下学期考前冲刺最后一卷数学(理)试题
2018届长郡中学高考最后一卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{|ln 0}M x x =>1{|1}x N x e -=≤M N = A ． B ． C ． D ．∅{0}{1}R2.设为虚数单位，若复数满足，则（ ）i z 11z i z-=+1z -=A ．BC ．D 123.用一平面去截一正方体后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是（ ）A B ． C ． D ．35924.中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”是对世界数学文化遗产的一大杰出贡献.“割圆术”是以圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积，并“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.在割圆过程中，当正多边形的边数很大n 时，下列哪个近似表达式准确体现这一逼近思想，使面积误差逐渐接近于零的？（ ）A ．B ．C ．D ．2sin n n ππ≈2tan n n ππ≈22sin n n ππ≈2tan n nππ≈5.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）SA ．B ．C ．D ．3723246.已知正项等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（ ）{}n a 3a 13a 6102a a +A ．B ．． D ．1267.已知，则二项式的展开式中的系数为（ ）1m π=⎰43m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x A ． B ． C ． D ．32-3212-128.已知定义在上的偶函数的最小值为，则R ()(,)f x x a x b a b R =-+-∈2（ ）()()(0)f a f b f +-=A ． B ． C ． D ．01239.某地精准扶贫正在进行验收，验收组要对一自然村庄户贫困户进行验收.验收方案对入户8顺序作如下规定：甲贫困户须是第一户验收，乙贫困户不能是末尾一户验收，丙贫困户须放在末尾两户验收，则验收组入户方案共有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．1320504014401520种10.若方程的唯一解是，则实数的取值范围是（ ）2ln 20a x x --=1x =a A ． B ． C ． D ．[1,0]-[1,){2}-+∞- [0,){2}+∞- (,1]-∞-11.设椭圆，斜率为的直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，22221(0)x y a b a b+=>>1l F A 两点，且与共线，则椭圆的离心率为（ ）B OA OB + (5,2)a =-ABC12.已知函数，，，若对于任9()482f x x x =----[0,1]x ∈32()32(1)g x x m x m m =--≥意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）1[0,1]x ∈2[0,1]x ∈12()()f x g x =m A ． B ． C ． D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[1,2]31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足O (2,1)A (1,4)B -P ，其中，且，则点的轨迹方程为 ．OP mOA nOB =+ ,m n R ∈1m n +=P 14.已知实数，满足约束条件，则的最大值是 ．x y 2211x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩32z x y =+15.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，过22(0)x py p =>F P Q 56PFQ π∠=弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最小值为 ．PQ M l 1M 1PQ MM 16.已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.{}k a k k S *11()2k k k S a a k N +=⋅∈11a =设（为给定正整数，），，.则 11k k k b k n b a ++-=n 2n ≥1,2,,k n =⋅⋅⋅11b =12n b b b ++⋅⋅⋅+=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足ABC ∆A B C a b c .2sin 6a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）求；A （2）若，，求，的值.2a =ABC ∆b c 18.在四棱锥中，平面，，直角梯形中，P ABCD -PD ⊥ABCD 1PD =ABCD，，.//AB DC AD DC ⊥112AB AD CD ===（1）求证：平面平面；PBC ⊥PBD （2）设为棱上一点，，试确定的值，使二面角为.Q PC PQ PC λ= λQ BD P --60 19.某市医院消化内科外聘知名专家，建立专家门诊.假定前来就诊每位患者的专家会诊时间是相互独立的，且都是整数分钟.为了了解会诊情况，医院对某一天患者被会诊所需要的时间进行了统计，其结果如下：会诊所需时间（分钟）234567频率0.10.20.30.20.10.1从第一个患者开始被会诊时计时（用频率估计概率）.（1）估计第三个患者恰好等待分钟开始被会诊的概率；6（2）若用表示第分钟未已被会诊完的患者数，求的分布列和数学期望.x 4x 20.已知直线：与椭圆：相交于，两l ()y x m m R =+∈C 22221(0)x y a b a b+=>>M N 点，椭圆的离心率为.e （1）若椭圆的焦距为，，线段，求的值；212e =247MN =m （2）若，（为坐标原点），证明：.1a =OM ON ⊥ O 2222222(1,0)m e m e m m +=+<≠21.已知函数，.()2x f x e =+x R ∈（1）求证：曲线与有唯一公共点；()y f x =21()32g x x x =++（2） 已知，试比较与的大小.a b ≠22a b f +⎛⎫- ⎪⎝⎭()()f a f b a b --（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，xOy l 232x t y t=+⎧⎨=+⎩t O 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x C 2cos ρθ=（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；l C （2）直线与曲线交于，两点，求.l C A B AB 23.[选修4-5：不等式选讲]设.()21f x x x =++-（1）求的解集；()5f x x ≥-（2）若不等式对任意不等于零的实数恒成立，求的取值范围.131()f x λλλ++-≤λx。
数学---湖南省长沙市长郡中学实验班2018届高三(上)选拔考试试卷(理)(解析版)
湖南省长沙市长郡中学实验班2018届高三（上）选拔考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2C．D．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|ln x＜2}，则A∩B=（）A．{0} B．{1}C．{0，1} D．∅3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96C．224 D．2765．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣2809．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96πC．192+100πD．256+100π10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+111．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣x ln x﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin A cos2A﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】由复数z==的虚部为1，得，即a=2．∴z=1+i．则|z|=．故选：C．2．B【解析】集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|ln x＜2}={x|0＜x＜e2}，则A∩B={1}．故选：B．3．B【解析】长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，基本事件总数n==10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m==6，选取的2人恰为一男一女的概率为p==．故选：B．4．D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，∴a1+7d=8，4d=4，解得d=1=a1．则S23=23+=276．故选：D．5．C【解析】双曲线C：﹣=1的左焦点为F（﹣c，0），渐近线方程为y=±x，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由题意可得=﹣，（*）且（0﹣m）=•（m﹣c），可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e==2．故选：C．6．C【解析】逐一考查所给选项中函数的性质：A．f（x）=sin x是定义域上的奇函数，函数不具有单调性，不合题意；B．f（x）=x3+1是定义域上的非奇非偶函数，函数单调递增，不合题意；C．是定义域上的奇函数，函数单调递增，符合题意；D．是定义域上的奇函数，函数单调递减，不合题意；故选：C．7．B【解析】模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3，i=3满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3+ln=ln5，i=5满足条件S＜2，执行循环体，S=ln5+ln=ln7，i=7满足条件S＜2，执行循环体，S=ln7+ln=ln9＞2，i=9此时，不满足条件S＜2，退出循环，输出i的值为9．故选：B．8．A【解析】令x=1，可得：（1+a）7=﹣1，解得a=﹣2．∴的通项公式：T r+1==（﹣2）r x14﹣3r，令14﹣3r=2，解得r=4．∴含x2项的系数==560．故选：A．9．C【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与直三棱柱的组合体，且组合体的底面积与俯视图相同；如图所示，∴俯视图的面积为S底=π•52+×8×6=+24，∴该几何体的体积是V几何体=（+24）×8=100π+192．故选：C．10．B【解析】设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．11．D【解析】由题意，AB=AC=4，BC=2，底面是等腰三角形，过A作BC垂直交于D，AD⊥BC，且D是BC中点．可得AD=1．底面外接圆半径r=8．SA⊥底面ABC，AB=AC=4∴SC=SB．D是BC中点．∴SD⊥BC．平面S﹣BC﹣A的二面角是∠SDA，二面角正切值为4，∴AS=4AD．可得AS=4．外接球R2=解得：R2=68球O的表面积S=4πR2=272π．故选：D．12．A【解析】令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2ln x，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．二、填空题13．﹣2【解析】作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（﹣2，4），由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移y=﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z=3x+y的最小值：﹣2．故答案为：﹣2．14．【解析】∵=（，m），=（m，），且•=1，∴==1，解得m=1，∴=（1，），∴||==．故答案为：．15．【解析】由cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，可得cos cosα+sin sinα+sinα=．即cosα+sinα=．∴sin（α+）=．∵﹣＜α＜0，∴﹣＜α+＜，∴cos（α+）=则cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=故答案为：．16．2+2【解析】数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵4sin A cos2A﹣cos（B+C）=sin3A+，∴4sin A cos2A+cos A=sin3A+，∴2cos A sin2A+cos A=sin2A cos A+cos2A sin A+，整理可得：cos A+sin A=，∴可得：sin（A+）=，∵A∈（0，），可得：A+∈（，），∴A+=，可得：A=．（Ⅱ）∵A=，b=2，∴S△ABC=sin A==c．又∵由正弦定理，可得：，∴c===+1，∵B，C为锐角，可得：B∈（30°，90°），可得：tan B∈（，+∞），可得：∈（0，3），可得：c=+1∈（1，4），∴S△ABC=c∈（，2）．18．（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，∵BA=BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D．（Ⅱ）过A1作A1E⊥C1D于E，由（I）可知BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1E，又BD∩C1D=D，∴A1E⊥平面BC1D，∴∠A1DE为直线A1D与平面BC1D所成角，即sin∠A1DE=，∴cos∠A1DE=±．设AA1=x，则A1D=C1D=，在△A1DC1中，由余弦定理得：=±，解得x=2或x=8．∴AA1=2或8．19．解：（Ⅰ）由题意可得：，则：，所以y关于x的线性回归方程为，当x=10时，百斤=550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤．（Ⅱ）记商家总利润为Y元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣800=4200元，当30＜X≤70时，两台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000=10000元，故Y的分布列为所以EY=4200×0.2+10000×0.8=8840元，③安装3台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣1600=3400元，当50≤X≤70时，两台光照控制仪运行，此时Y=5000+5000﹣800=9200元，当30＜X＜50时，三台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000+5000=15000元，故Y的分布列为所以EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．20．解：（Ⅰ）根据题意，抛物线E：y2=2px，则其焦点为，由抛物线的定义可得d2=|PF|，则d1+d2=d1+|PF|，其最小值为点F到直线x﹣y+4=0的距离，∴，解得p=4（舍去负值），∴抛物线E的方程为y2=8x；证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得，则，所以y1+y2=k1（x1﹣1）+k1（x2﹣1）；∴AB的中点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，则直线MN的斜率，则k=（k1+k2）=﹣2，则直线l的方程kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0可化为y=kx﹣k（k1+k2），即y=kx+2，令x=0可得y=2，∴直线l恒过定点（0，2）．21．解：（Ⅰ）因为f（0）=b﹣1，所以过点（0，b﹣1），（2，﹣2）的直线的斜率为k=﹣，而f′（x）=﹣，由导数的几何意义可知，f′（0）=﹣b=﹣，所以b=1，所以f（x）=﹣1，则F（x）=ax+﹣1，F′（x）=a﹣，当a≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在R上单调递减；当a＞0时，由F′（x）=a﹣=0，得x=﹣ln a，当x∈（﹣∞，﹣ln a）时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，当x∈（﹣ln a，+∞）时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．（Ⅱ）不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，即不等式e x+cx﹣c≥0恒成立，设g（x）=e x+cx﹣c，g（x）=e x+c，若c≥0，则g′（x）＞0，函数g（x）单调递增且不存在最小值，不满足题意；当c＜0时，由g′（x）=e x+c=0，得x=ln（﹣c），当x∈（﹣∞，ln（﹣c））时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln（﹣c），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（ln（﹣c））=﹣2c+c ln（﹣c），要使得g（x）≥0恒成立，只需﹣2c+c ln（﹣c）≥0恒成立，由于c＜0，所以有ln（﹣c）≤2，解得﹣e2≤c＜0，即当c∈[﹣e2，0）时，g（x）≥0恒成立，即e x+cx﹣c≥0恒成立，也即不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，所以实数c的取值范围为[﹣e2，0）．22．证明：不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间（0，1],把区间（0，1]分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a，b，c）,将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即a，b，c中至少有两个数是相邻的,假设a与b相邻，则另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，a、b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．23．解：（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，∴曲线M是以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|=ρ1，|OC|=ρ2，∵O，A，C三点共线，则①，将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（sinθ+cosθ）﹣6=0，∴，代入①得：，用代θ得：又∵l1⊥l2，∴，∴，∵sin22θ∈[0，1]，∴．。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试数学(理)试题【含解析】
湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若复数1aiz i =+（其中a R ∈， i 为虚数单位）的虚部为1，则z =（ ）A. 1B. 2C. D. 122．已知集合{}2|230,A x x x x =+-≤∈Z ，集合{}|ln 2B x x =<，则A B ⋂=（ ）A.{}0 B. {}1 C. {}0,1 D. ∅3．长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（ ） A. 25 B. 35 C. 13 D. 234．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41281068,4a a a a a +-=-=，则23S =（ ）A. 23B. 96C. 224D. 2765．已知F 为双曲线()2222:10,0xy C a b a b -=>>的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B. C. 2D. 6．执行如图所示的程序框图，若输入1,0i S ==，则输出的结果为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 11 7．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为1- ，则含2x 项的系数为（ ） A. 560 B. 560- C. 280 D. 280- 8．某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）A. 19296π+B. 25696π+C. 192100π+D. 256100π+ 9．已知椭圆22:195x y C +=，若直线l 经过()0,1M ，与椭圆交于A B 、两点，且23MA MB =-，则直线l 的方程为（ ） A. 112y x =±+ B. 113y x =±+ C. 1y x =±+ D. 213y x =±+ 10．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上， SA ⊥底面,4,15A B C A B A C ==S BC A --的正切值为4，则球O 的表面积为（ ） A. 240π B. 248π C. 252π D. 272π此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号11．已知函数()()2ln 22f x x x x k x =--++在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 9ln21+105⎛⎤ ⎥⎝⎦， B. 9ln21+104⎛⎤ ⎥⎝⎦， C. 7ln21+104⎛⎤⎥⎝⎦， D. 7ln21+105⎛⎤⎥⎝⎦，第II 卷（非选择题）二、填空题12．若实数,x y 满足2{20 320x y x y x y +≤+≥--≤，则3z x y =+的最小值为__________．13．设3,4a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1,4b m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且·1a b =，则b =__________．14．已知()cos sin 6παπα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．15．在数列{}n a中，首项不为零，且()*1,2n n a n N n -=∈≥， n S 为{}n a 的前n 项和．令*2+110,n n n n S S T n N a -=∈，则n T 的最大值为__________．三、解答题16．在锐角ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()24sin cos sin3A A B C A +=（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 5,8BA BC AC ===， D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证： 1BD A D ⊥；（Ⅱ）若直线1A D 与平面1BC D 所成角的正弦值为45，求1AA 的长．18．某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y （百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤？ （Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 附：回归方程系数公式： 1221,n i i i n i i x y nxy ba yb x x nx ∧∧∧=-=-==--∑∑． 19．已知P 是抛物线()2:20E y px p =>上一点， P 到直线40x y -+=的距离为1d ， P 到E 的准线的距离为2d ，且12d d +的最小值为 （Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）直线()11:1l y k x =-交E 于点,A B ，直线()22:1l y k x =-交E 于点,C D ，线段,AB CD 的中点分别为,M N ，若122k k =-，直线MN 的斜率为k ，求证：直线12:0l kx y kk kk ---=恒过定点． 20．已知函数()1x b f x e =-（b R ∈， e 为自然对数的底数）在点()()0,0f 处的切线经过点()2,2-． （Ⅰ）讨论函数()()()F x f x ax a R =+∈的单调性； （Ⅱ）若x R ∀∈，不等式()()11x e f xc x ≤-+恒成立，求实数c 的取值范围． 21．设1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a 是5个正实数（可以相等）． 证明：一定存在4个互不相同的下标i ， j ， k ， l ，使得12i k j l a a a a -<．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为1{ 1x y ββ=+=+（β为参数），在极坐标系中，直线1l 的方程为： 1αθ=，直线2l 的方程为22παθ=+．（Ⅰ）写出曲线M 的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设1l 与曲线M 交于,A C 两点， 2l 与曲线M 交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试数学（理）答 案1．C 【解析】()()()i 1i i i 1i 1i 1i 22a a aaz -===+++-, z 的虚部为1，1,2,1i,2aa z z ∴===+=选C.2．B【解析】{}{}{}2|230,|313,2,1,0,1A x x x x Z x x =+-≤∈=-≤≤=---, {}{}{}2|2|0,1B x lnx x x e A B =<=<<∴⋂=,故选B.3．B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的2人恰为一男一女的概率为11322563105C C P C ===，故选B.4．D【解析】{}n a 是等差数列，可设首项为1a ，公差为d ，由41281068,4a a a a a +-=-=，可得11781{ { 441a d a d d +==⇒==， 23232223112762S ⨯∴=⨯+⨯=，故选D.5．C【解析】设右焦点()2,0F c 关于渐近线l ： by x a =的对称点为0F ，则0F 在by x a =-上20F F 交l 于Q ，由点到直线距离公式可得2F Q b =， 120F F F ∆为直角三角形，三边分别为2,2,2a b c ，由对称性知， 201060F OQ F OQ FOF ∠=∠=∠=， 24,2cc a e a ∴===，故选C.6．B【解析】执行程序框图，第一次循环， 1,ln32i S ==<；第二次循环， 3,ln52i S ==<；第三次循环， 5,ln72i S ==<；第四次循环， 7,ln92i S ==>；结束循环，输出 9i =，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．A【解析】因为二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为1-，所以()711,2a a +=-=-，722x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()7214317722r r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令21432,4,r r x -==项的系数为()44572560T C =⋅-=，故选A. 8．C 【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为8和6的直角三角形，高为8，半圆柱的底面半径为5，高为8，所以该几何体的体积为2118685819210022ππ⨯⨯⨯+⋅⨯=+，故选C. 9．B 【解析】设直线l 斜率为k ， ()()1122,,,A x y B x y ， 122,233MA MB x x =-∴=-，由1y kx =+与22195x y +=联立可得， ()225918360k x kx ++-=，则12212212185936{ 5923k x x k x x k x x +=-+-=+=-，解得13k =±，故选B. 10．D 【解析】设BC 中点为D ，可得1AD =，则SDA ∠是“二面角S BC A --” 的平面角，由于“二面角S BC A --” 的正切值为4， =44SA AD ∴=，由余弦定理知，1616607cos ,2448CAB sin CAB +-∠==∠=⨯⨯，由正弦定理知， ABC ∆外接圆直径216r ==，设S ABC -外接球半径为R ，则2222441616=272R SA r =+=+， ∴球O 的表面积为24272R ππ=，故选D. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 11．A 【解析】函数()()2ln 22f x x x x k x =--++在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，等价于()2y k x =+与()f x 的图象有两个交点，设()22y k x =+与()f x 的图象相切，切点为()()00020,,2x y y k x =+，则200000022{ 21y x x lnx x lnx k =-+--=，解得0021,3,1x y k ===，因为关于x 的方程，()y f x =与()2y k x =+有两个交点， 9ln21105k ∴<≤+，故选A.【方法点睛】判断方程()y f x = 零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x = 零点个数就是方程()0f x = 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.12．2-【解析】画出2{20 320x y x y x y +≤+≥--≤表示的可行域如图，由图知，直线3x y z +=平移经过点()2,4A -时， z 有最小值为2342-⨯+=-，故答案为2-.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.13【解析】由3131,,14444a b m m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111,,14bb ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，故答案为4.14．725-【解析】()3cos 62sin sin παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭4665sin ππαα⎛⎫⎛⎫=+=∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2cos 2cos 212sin 366πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 24712525⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 故答案为725-. 15．)21 【解析】数列{}n a 首项112,n na a +==，所以数列{}n a 是公比为的等比数列，11n n a a +∴=⨯，)1111112n n n a S a ⎛⎫-⎪⎡⎤==⨯-⎢⎥⎣⎦， )()2121111312n n n a Sa ⎛⎫- ⎪==⨯-， 所以)()2+110103110=2n n n n n n n SS T a ⎡⎤⨯--+⎢⎥-⎣⎦=⨯，设(),0n t t =>，令()210991010=4t t f t t t t -+-⎛⎫==-++≤-⎪⎝⎭,当且3t =时取等号， ()4n T f t =≤= )21，即n T 的最大值为)21，故答案为)21.16．(1) 3A π=；（2）⎝. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得sin 3Aπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而可得结果；（Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得22sin 2sin 31sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(1tan B ∈，∴()1,4c ∈， 又∵1sin 2ABC S bc A ∆==，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵A B C π++=，∴()cos cos B C A +=-①，又∵32A A A =+，∴()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+②，又sin22sin cos A A A =③， 将①，②，③代入已知得：2sin2cos sin2cos cos2sin A A A A A A A =+整理得sin A A =，即sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴233A ππ+=，即3A π=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得23B C π+=，∴23C B π=-，∵ABC ∆为锐角三角形， ∴20,32B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由正弦定理得： 2sin sin cB C =，∴22sin 2sin 31sin sin B C c B B π⎛⎫-⎪⎝⎭===+， 又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(1tan B ∈，∴()1,4c ∈，又∵1sin 2ABC S bc A ∆==，∴ABC S ∆∈⎝．17．(1)证明见解析；（2）2或8.【解析】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得1BD AA ⊥，由等腰三角形的性质可得BD AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面11ACC A ，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以D 为原点， DB 为x 轴， DC 为y 轴，过D 点平行于1AA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()10AA λλ=>，求出平面1BC D 的一个法向量及1DA ，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ∴1BD AA ⊥， ∵BA BC =， D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥， 又1,AC AA A AC ⋂=⊂平面111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，∴BD ⊥平面11ACC A ，又1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,BD AC AA ⊥⊥ 平面ABC ，故以D 为原点， DB 为x 轴， DC 为y 轴，过D 点平行于1AA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -（如图所示）， 设()10AA λλ=>，则()()()()110,4,,3,0,0,0,4,,0,0,0A B C D λλ-，∴()()()110,4,,0,4,,3,0,0DA DC DB λλ=-==，· 设平面1B C D 的一个法向量(),,n x y z =， 则1·0{ ·0n DC n DB ==，即40{ 30y z x λ+==，则0x =，令4z =可得， y λ=-，故()0,,4n λ=-， 设直线1A D 与平面1BC D 所成角为θ， 则111·4sin cos ,5·n DA n DA n DA θλ====， 解得2λ=或8λ=，即12AA =或8． 18．(1) 500；（2）2. 【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得21065540.314555b ∧-⨯⨯==-⨯，由a y b x ∧∧=-可得 2.5a ∧=，即可得回归方程，再将10x =时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果. 试题解析：（Ⅰ） 24568344455,455x y ++++++++====， 55222222112344546485106,24568145i i i i i x y x ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++=∑∑， 21065540.314555b ∧-⨯⨯==-⨯， 40.35 2.5a y b x ∧∧=-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.3 2.5y x ∧=+， 当10x =时， 0.310 2.5 5.5y ∧=⨯+=百斤＝550斤， 所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是500斤． （Ⅱ）记商家总利润为Y 元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，一台光照控制仪运行，此时50008004200Y =-=元，当3070X <≤时，两台光照控制仪都运行，此时5000500010000Y =+=元，故Y 的分布列为所以42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=元，③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，一台光照控制仪运行，此时500016003400Y =-=元，当5070X ≤≤时，两台光照控制仪运行，此时500050008009200Y =+-=元，当3050X <<时，三台光照控制仪都运行，此时50005000500015000Y =++=元，故Y 的分布列为所以34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+；(2) 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19．(1) 28y x =；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ） 12d d +的最小值等价于点F 到直线40x y -+=的距离，=4p =，从而可得结果；（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由()218{1y xy k x ==-可得()2222111280k x k x k -++=，由中点坐标公式以及斜率公式可得MN 的斜率()122k k k =+=-，直线l 的方程120kx y kk kk ---=可化为2y kx =+，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）抛物线E 的焦点为,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得2d PF =，则121d d d PF +=+，其最小值为点F 到直线40x y -+=的距离，=4p =（舍去负值）， ∴抛物线E 的方程为28y x =． （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由()218{ 1y x y k x ==-可得()2222111280k x k x k -++=， 则21122128k x x k ++=，所以()()12111211y y k x k x +=-+- ()11212k x x k =+- 2111282k k k +=- 2211112828,k k k k +-== ∴AB 的中点M 的坐标为2121144,k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得点N 的坐标为2222244,k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线MN 的斜率12221212221244244k k k k k k k k k -==-+++-，则()122k k k =+=-， 则直线l 的方程120kx y kk kk ---=可化为()12y kx k k k =-+，即2y kx =+，令0x =可得2y =，∴直线l 恒过定点()0,2． 【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 20．(1) 当0a ≤时，函数()F x 在R 上单调递减；当0a >时，函数()F x 在(),ln a -∞-上递减，函数()F x 在()ln ,a -+∞上单调递增；（2）)2,0e ⎡-⎣. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出()'f x ，由过点()()0,1,2,2b --的直线的斜率为()()'1210022b b k f b ---+==-==--可得1b =，讨论两种情况，分别由()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式0x e cx c +-≥恒成立，利用导数研究()x g x e cx c =+-的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果. 试题解析：（Ⅰ）因为()01f b =-，所以过点()()0,1,2,2b --的直线的斜率为()121022b b k ---+==--，而()x bf x e '=-，由导数的几何意义可知， ()102b f b +=-=-'，所以1b =，所以()11x f x e =-．则()()111,x x F x ax F x a e e '=+-=-，当0a ≤时， ()0F x '<，函数()F x 在R 上单调递减；当0a >时，由()10x F x a e =-='得ln x a =-，当(),ln x a ∈-∞-时， ()0F x '<，函数()F x 单调递减，当()ln ,x a ∈-+∞时， ()0F x '>， 函数()F x 单调递增．（Ⅱ）不等式()()11x e f x c x ≤-+恒成立，即不等式0x e cx c +-≥恒成立，设()(),x x g x e cx c g x e c =+-=+'，若0c ≥，则()0g x '>，函数()g x 单调递增且不存在最小值，不满足题意；当0c <时，由()0x g x e c ='+=得()ln x x c =-，当()(),ln x c ∈-∞-时， ()()0,g x g x '<单调递减；当()()ln ,x c ∈-+∞时， ()()0,g x g x '>单调递增，所以()()()()()()ln ln ln 2ln c g x g c e c c c c c c -≥-=+--=-+-，要使得()0g x ≥恒成立，只需()2ln 0c c c -+-≥恒成立，由于0c <，所以有()ln 2c -≤，解得20e c -≤<，即当)2,0c e ⎡∈-⎣时， ()0g x ≥恒成立，即0x e cx c +-≥恒成立，也即不等式()()11x e f x c x ≤-+恒成立，所以实数c 的取值范围为)2,0e ⎡-⎣．21．证明见解析.【解析】试题分析：可设12345a a a a a ≤≤≤≤，则12a a ， 34a a ， 15a a ， 23a a ， 45a a 都属于区间(]01，，由抽屉原理知，区间102⎛⎤ ⎥⎝⎦，或112⎛⎤⎥⎝⎦，中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同． a 、b 对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，考虑以下5个分数： 12a a ， 34a a ， 15a a ， 23a a ， 45aa ，①它们都属于区间(]01，．把区间(]01，分成两个区间： 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，和112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由抽屉原理知，区间102⎛⎤ ⎥⎝⎦，或112⎛⎤ ⎥⎝⎦，中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a ， b ， c ）． 将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（12a a 与45a a 是相邻的），即a ， b ， c 中至少有两个数是相邻的．假设a 与b 相邻，则12a b -<． 另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同． 于是， a 、b 对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立． 22．(1) 以()1,1为圆心，（2）⎡⎤⎣⎦. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线M 的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设1OA ρ=， 2OC ρ=，曲线M 的方程化成极坐标方程，将曲线M 的方程化成极坐标方程得： ()22sin cos 60ρρθθ-+-=，∴()12122sin cos { 6ρρθθρρ+=+=-，1=?2ABCD S AC BD =，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）由1{ 1x y ββ=+=+（β为参数）消去参数β得： ()()22118x y -+-=， ∴曲线M 是以()1,1为圆心，（Ⅱ）设1OA ρ=， 2OC ρ=， ∵,,O A C 三点共线，则12AC ρρ=-=①， 将曲线M 的方程化成极坐标方程得： ()22sin cos 60ρρθθ-+-=，∴()12122sin cos { 6ρρθθρρ+=+=-，代入①得：AC = 用2πθ+代θ得：BD =又∵12l l ⊥，∴1=?2ABCD S AC BD ， ∴ABCD S ∵[]2sin 20,1θ∈，∴ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦。
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叶图： （1）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 家，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布 列与数学期望； （2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽 取 10 户，若抽到 n 户月用水量为二阶的可能性最大，求 n 的值．
2018 年湖南省长沙市长郡中学高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 A={x||x|＜2}，B={x|1＜x＜3}，则 A∩B 等于（ ） A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜2} 2．（5 分）若 z（1+i）=i（其中 i 为虚数单位），则|z|等于（ ） A． B． C．1 D．
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数
是（ ）
A．y=x3 B．y=
C．y=2|x| D．y=cosx
4．（5 分）执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）
A．1 B． C． D．2 5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形， 两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
．
15．（5 分）已知 14C 的半衰期为 5730 年（是指经过 5730 年后，14C 的残余量占
原始量的一半）．设 14C 的原始量为 a，经过 x 年后的残余量为 b，残余量 b 与原
始量 a 的关系如下：b=ae﹣kx，其中 x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖
南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14C 的残余量约占原始量约占原始量的 76.7%．请
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 8．（5 分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 3a1，
ห้องสมุดไป่ตู้
，2a2 成等差数列，
则
等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9 9．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S， 且 2S=（a+b）2﹣c2，则 tanC=（ ） A． B． C． D．
第 2 页（共 30 页）
10．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1 的左、右焦点分别 F1、F2，O 为双曲线的中心，
P 是双曲线右支上的点，△PF1F2 的内切圆的圆心为 I，且⊙I 与 x 轴相切于点 A， 过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 B，若 e 为双曲线的率心率，则（ ） A．|OB|=e|OA| B．|OA|=e|OB| C．|OB|=|OA| D．|OA|与|OB|关系不确定
是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）令 cn=
求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
18．（12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，且 DE=6，AF=2． （1）试在线段 BD 上确定一点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF； （2）求二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值．
第 1 页（共 30 页）
A． B． C．
D．
6．（5 分）将函数
的图象向右平移 φ 个单位，得到的图象关于
原点对称，则 φ 的最小正值为（ ） A． B． C． D．
7．（5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如 下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 （）
11．（5 分）如图，在△OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，若 =x +y
（x，y∈R），且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界），则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ]B．[ ， ]C．[ ， ]D．[ ， ] 12．（5 分）在实数集 R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”， 类似的，我们在平面向量集 D={ | =（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称 “序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量 =（x1，y1）， =（x2， y2），“ ＞＞ ”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2 且 y1＞y2”．按上述定义的关系“＞＞”， 给出如下四个命题： ①若 =（1，0）， =（0，1）， =（0，0），则 ＞＞ ＞＞ ； ②若 ＞＞ ， ＞＞ ，则 ＞＞ ； ③若 ＞＞ ，则对于任意 ∈D， + ＞＞ + ； ④对于任意向量 ＞＞ ， =（0，0），若 ＞＞ ，则 • ＞ • ． 其中正确命题的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
第 3 页（共 30 页）
13．（5 分）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是﹣80，则实数 a=
．
14．（5 分）已知直线 l 过拋物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，
B 两点且|AB|=12，P 为 C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为
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19．（12 分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原 则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立 （0，10]
（10，15]
（15，+∞）
方米）
从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎
数 a 共有 n 个，
（x≥0）的最大值为 m，且 m+n=3，
则实数 k 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（12 分）已知数列{an}，{bn}满足 a1=2，2an=1+anan+1，bn=an﹣1，bn≠0
（1）求证数列
你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今
年．（已知 log20.767≈﹣0.4）
16 ． （ 5 分 ） 已 知 f （ x ） =|x ﹣ 2018|+|x ﹣ 2017|+…+|x ﹣ 1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足 f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整