空间向量点坐标求法

AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角
形,AB=BC=2，CD=SD=1.
（I）证明： SD⊥平面SAB ；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小
z
பைடு நூலகம்
解析：（I）设S（x, y, z )(x >0, y >0, z >0)
由
x
得
又∵ 解得
得 y= , z=
（II） arcsin
y ∴ S（1, , )
∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，已知AB ⊥ɑ, BC ɑ, CD⊥BC, CD与平
面ɑ成30 °角， AB=BC= CD=2.
（1）求线段AD的长；
z
（2）求二面角D-AC-B的正弦值。 分析：建系如图，设D(x,y,z),
B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)
由CD⊥BC(y轴) ,知 y=2
，
例2 如图，一张平行四边形的硬纸ABC0D中， AD=BD=1,AB= 2 .沿它的对角线BD折起，使
点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
ON OD1 D1N 0, 2 2, 2 3
N 0, 2 2, 2 3
∵ ON DD1 0
0 4 112 0,
1
故
N 0,
3 2
,
3 2
4
向量法
A1
z
D
C
A N O
D1
B C1 y
x
B1
求空间直角坐标下点的坐标的方法:
一、投影法
将空间点P分别投影到 x轴、 y轴、z 轴
D
C
(3)设B ( x, y, z ), 则
A
B1B x 2, y 2, z, D1D 0, 2, 2 3
又∵ B1B D1D , 比较得 x 2, y 4, z 2 3
D1
∴点B坐标为 2, 4, 2 3
A1 x
B
O C1 y B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
x
y
又由CD=2，且CD与平面ɑ成30 °角
得x=﹣CDcos 30 °=﹣ , z=CDsin30 °=1 ∴ D（﹣ , 2, 1 )
ACD的距离为 .
z
解析一：
O
x
E
y
E
d=
=
解得 x= ，y=
∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= 2，
AB=AD= 2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平面
z
ACD的距离为 .
解析二：平面ACD的平面方程为
即
O.
x
E
y
E
到平面
的距离
=
解得 x= ，y=
广西玉林高中
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面体高为 2 3 ，
顶点D在底面A1B1C1D1的射 影 O是C1D1中点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
射影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
D1 O
C1
y
(2) G 4 , 0, 2 3
3 3
A1
公式法
x
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ，
顶点D在底面A1B1C1D1的射 影 O是C1D1中点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
z
(3) B;
向量法
，
x
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1,
y
B
)
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2，
AB=AD= 2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平面
ACD的距离为 .
z
O是 BD中点，
AO⊥平面SAB
.
O
E
y
x
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD=BD= 2，
AB=AD= 2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平面
所得投影点为A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)则点
P坐标为(a,b,c) 。
二、公式法 利用线段的中点坐标公式三角形的重心
坐标公式、距离公式、夹角公式等求出点的 坐标。 三、向量法 利用向量相等、垂直、共线等运算求出 点坐标。
例1. (2011广西高考题)如图，四棱锥S－ABCD中，
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ， 顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点. (4)若N为DD1上点，且ON⊥ DD1写出N坐标。
解: (4)∵D1, N, D 三点共线，可设 D1N DD1
即 D1N 0, 2, 2 3 0, 2, 2 3 ,
(2) G;
(3) B;
D A
C B
(4)若N为DD1上点，且 ON⊥ DD1写出N坐标。
D1 O
C1
A1
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ，
顶点D在底面A1B1C1D1的射 影 O是C1D1中点，设