等差数列习题课
必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案
第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。
高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的定义和通项公式课后习题(含解析)
§2等差数列2.1等差数列第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{a n2}B.{1a n} C.{3a n} D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{a n2},{1a n},{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A.34B.-34C.-67D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=a5-a18=2-88=-68=-34.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n }中,若a 1=7,a 7=1,则a 5= . 答案:37.在等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12>31,则公差d 的取值范围是 . 解析:设此数列的首项为a 1,公差为d ,由已知得{a 1+4d =10,a 1+11d >31,①②②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(√a n ,√a n -1)在直线x-y-√3=0上,则数列{a n }的通项公式为a n = .解析:由题意知√a n −√a n -1=√3(n ≥2),∴{√a n }是以√a 1为首项,以√3为公差的等差数列, ∴√a n =√a 1+(n-1)d=√3+√3(n-1)=√3n. ∴a n =3n 2.答案:3n 29.已知数列{a n },{b n }满足{1a n +b n}是等差数列,且b n =n 2,a 2=5,a 8=8,则a 9= .解析:由题意得1a2+b 2=19,1a8+b 8=172,因为{1a n +b n }是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-772×6,所以1a 9+b 9=172−772×6=-1432,所以a 9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.解析:设a n =3n-1,公差为d 1,新数列为{b n },公差为d 2,a 1=2,b 1=2,d 1=a n -a n-1=3,d 2=d14=34,则b n =2+34(n-1)=34n+54,b 29=23,令a n =23,即3n-1=23.故n=8. 答案:811.若一个数列{a n }满足a n +a n-1=h ,其中h 为常数,n ≥2且n ∈N +,则称数列{a n }为等和数列,h 为公和.已知等和数列{a n }中,a 1=1,h=-3,则a 2 016= . 解析:易知a n ={1,n 为奇数,-4,n 为偶数,∴a 2016=-4.答案:-412.已知a ,b ,c 成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a ,b ,c 的值. 解由已知,得{2b =a +c ,a +b +c =33,2lg (b -5)=lg (a -1)+lg (c -6),∴{b =11,a +c =22,(b -5)2=(a -1)(c -6),解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9. 13.导学号33194005已知无穷等差数列{a n },首项a 1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }. (1)求b 1和b 2; (2)求{b n }的通项公式;(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项? 解(1)∵a 1=3,d=-5,∴a n =3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n }中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…, ∴{b n }的首项b 1=a 3=-7,b 2=a 7=-27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项,即b n =a m , 则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n =a m =a 4n-1=8-5(4n-1)=13-20n (n ∈N +).∴{b n }的通项公式为b n =13-20n (n ∈N +).(3)b 110=13-20×110=-2187,设它是{a n }中的第m 项,则8-5m=-2187,则m=439. 14.导学号33194006已知数列{a n }满足a 1=15,且当n>1,n ∈N +时,有an -1a n=2a n -1+11-2a n,设b n =1a n,n ∈N +.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n ∈N +时,an -1a n=2a n -1+11-2a n⇔1-2a n a n=2a n -1+1a n -1⇔1a n-2=2+1an -1⇔1a n−1a n -1=4⇔b n -b n-1=4,且b 1=1a 1=5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n =b 1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n =1b n=14n+1,n ∈N +.∴a 1=15,a 2=19,∴a 1a 2=145.令a n=14n+1=145,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.。
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
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[点评] 解决此类问题要认真阅读理解所给出的定义，并 将其与所学知识相联系，寻求解题方法．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索Leabharlann 才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
数列
第二章 数 列
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第二章
2．3 等差数列的前 n 项和
第二章 数 列
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第二章
第 2 课时 等差数列习题课
第二章 数 列
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(2)解：∵S1＝18(a1＋2)2.∴a1＝18(a1＋2)2. 解得 a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2， ∴bn＝12an－30＝12(4n－2)－30＝2n－31. 令 bn<0 得 n<321， ∴S15 为前 n 项和的最小值． 故 S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31 ＝－225.
第二章 2.3 第2课时
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解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
第二章 2.3 第2课时
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[点评] 解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数 (公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用 等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在 一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结 规律．
等差数列习题课
东平高级中学高二年级学案班级： 姓名： 学生编号：1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100SA ．80B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13SA ．390B ．195C ．180D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 109、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S nn ，则88a b = .三．解答题（5×15分）1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}a的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62,{nS 6 =－75,求：（1）}a的通项公式a n及前ｎ项的和S n；{n（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.参考答案 一、选择题1-5 B A C B C 6-10 C B A B A 二、填空题1、02、63、16504、-105、36、6 三．解答题1、n a n 2.0=，393805251=+++a a a ．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩ ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列,∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴14d =，∴172(1)44n n b n +=+-⨯=1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴43nn ab -=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
等差数列习题课
等差数列习题课一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 6的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】选B.因为等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，所以a 3＋a 6＋a 9＝27，所以3a 6＝27，所以a 6＝9.2．已知等差数列{a n }的公差d≠0，S n 是其前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝－15，a 2＋a 4＋a 6＝－21，则18 S 3的值是( )A ．－5B ．－58C ．－98D ．－18【解析】选C.由等差数列性质知3a 3＝－15，3a 4＝－21， 故a 3＝－5，a 4＝－7，则a 2＝－3. 则18 S 3＝18 ×3（a 1＋a 3）2 ＝3a 28 ＝－98 .3．在数列{}a n 中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，则( ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2【解析】选D.因为点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，所以a n －a n －1＝ 3 ，所以数列{}a n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列．所以数列{}a n 的通项公式为 a n ＝ 3 ＋(n －1)·3 ＝ 3 n. 所以a n ＝3n 2.4．若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A ．14 B ．24 C ．26 D ．28【解析】选C.当n≤3时，a n ≤0，b n ＝|a n |＝－a n ＝6－2n ，即b 1＝4，b 2＝2，b 3＝0.当n>3时，a n >0，b n ＝|a n |＝a n ＝2n －6， 即b 4＝2，b 5＝4，b 6＝6，b 7＝8.所以数列{b n }的前7项和为4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【解析】选A.因为a 5＝5，S 5＝15，所以5（a 1＋5）2 ＝15，所以a 1＝1.所以d ＝a 5－a 15－1＝1，所以a n ＝n.所以1a n a n ＋1 ＝1n （n ＋1） ＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项的和为：T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101 ＝1－1101 ＝100101 .6．(多选题)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值为( )A ．1B ．12 C ．2 D ．3【解析】选AB.本题考查等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则a na 2n＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12 或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝______．【解析】因为a 2＝3，a 3＋a 4＝9，所以a 2＋a 3＋a 4＝12，即3a 3＝12，故a 3＝4，a 4＝5，所以a n ＝n ＋1，所以a 1a 6＝2×7＝14. 答案：148．已知数列{a n }满足a n ＝11－2n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝________． 【解析】原式＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 6＋a 7＋a 8) ＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34. 答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }中，a 7＝6，a 10＝－3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|的值． 【解析】(1)因为a 7＝6，a 10＝－3，故⎩⎨⎧a 1＋6d ＝6a 1＋9d ＝－3，解得a 1＝24，d ＝－3，则a n ＝－3n ＋27， 数列的前n 项和公式为：S n ＝n×24＋n （n －1）2 ×(－3)＝－32 n 2＋512 n ， 注意到数列{a n }单调递减，且a 8>0，a 9＝0， 所以S n 的最大值＝S 8＝S 9＝108.(2)因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)＝2S 9－S 20，由于S 9＝108，S 20＝－90，即|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝306.10．已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．【解析】(1)①当n ＝1时，a 21 ＋3a 1＋2＝6S 1＝6a 1， 即a 21 －3a 1＋2＝0，又因为a 1∈(0，2)，解得a 1＝1. ②对任意n ∈N *，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n 知 a 2n ＋1 ＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1，两式相减，得a 2n ＋1 －a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，由a n >0得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2得b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ＋1 ＝n 3n ＋1 . 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13（n ＋1）＋1 －n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）>0，所以T n ＋1>T n ，即数列{T n }是递增数列， 所以t≤4T n ，t 4 ≤T n ，t 4 ≤T 1＝14 ，t≤1， 所以实数t 的最大值是1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋n ＋1，S n ＝10，则n ＝( ) A ．90 B ．119 C ．120 D ．121【解析】选C.因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1 －n ，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫2－1 ＋⎝⎛⎭⎫3－2 ＋…＋(n ＋1 －n )＝n ＋1 －1＝10，故n ＋1＝121 ，故n ＝120.2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＜0，a 8＋a 9＞0，a 8·a 9＜0.则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．8B ．9C ．15D ．16【解析】选D.因为等差数列{a n }，首项a 1<0，a 8＋a 9>0，a 8·a 9<0，所以a 8<0，a 9>0， 由S n ＝12 n(a 1＋a n )，可得S 15＝15a 8<0，S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8(a 8＋a 9)>0，所以使前n 项和S n >0成立的最小自然数n 的值为16.3．已知函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，且函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f(a 50)＝f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50【解析】选B.因为函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，又因为函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 50)＝f(a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 4．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】选ABD.由S 5＜S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5＜a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6，即a 6＞0，又因为S 6＝S 7，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7， 所以a 7＝0，故B 正确；同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，因为d ＝a 7－a 6＜0，故A 正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，可得2(a 7＋a 8)＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．因为S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，所以S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共20分)5．在等差数列{}a n 中，S n 为其前n 项的和，若S 4＝12，S 8＝40，则S 16＝________. 【解析】设等差数列的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝12S 8＝8a 1＋8×72d ＝40，解得a 1＝32 ，d ＝1，所以S 16＝16×32 ＋16×152 ×1＝144. 答案：1446．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＋a 8＝6，S 5＝－5，则a 6＝________，S n 的最小值为________．【解析】依题意得：⎩⎨⎧2a 1＋8d ＝6，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a 6＝－5＋10＝5，S n ＝－5n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－6n ， 当n ＝3时，S n 的最小值为－9. 答案：5 －97．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________．【解析】因为数列{a n }中，当整数n>1时， S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立⇔S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2⇔a n ＋1－a n ＝2(n>1).所以当n≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以S 15＝14a 2＋14×132 ×2＋a 1＝14×2＋14×132 ×2＋1＝211. 答案：2118．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 1≤3，3≤a 1＋S 3≤6，则a 2a 1的取值范围是________．【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝2a 2， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2， 又3≤a 1＋S 3≤6，所以3≤a 1＋3a 2≤6. 由1≤a 1≤3得13 ≤1a 1≤1.所以1≤a 1＋3a 2a 1≤6，即1≤1＋3a 2a 1≤6，所以0≤a 2a 1 ≤53 .即a 2a 1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18 (a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12 a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值． 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18 (a 1＋2)2， 解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18 (a n ＋2)2－18 (a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. 因为a n ∈N *，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n≥2). 故数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，因为b n ＝12 a n －30，且由(1)知，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2(n ∈N *)， 所以b n ＝12 (4n －2)－30＝2n －31.故数列{b n }是单调递增的等差数列． 令2n －31＝0，得n ＝1512 .因为n ∈N *，所以当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<….故当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12 ×15＝－225. 10．已知等差数列{a n }(n ∈N *)满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，所以b n ＝14n （n ＋1） ＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 . 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4（n ＋1） ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1 (n ∈N *). 【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求H n . 【解析】(1)因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.所以{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，所以d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n.故a n ＝10－2n(n ∈N *).(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n>5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n<5时，a n >0.设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .所以当n>5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－9n ＋40，当n≤5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.所以H n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n≤5，n 2－9n ＋40，n>5 (n ∈N *).11．数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *). (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 为等差数列，并求出{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n≥2都有B 3n －B n >m 20 成立，求正整数m 的最大值．【解析】(1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1 ＝112－a n－1 ＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1 ， 即1a n ＋1－1 －1a n －1＝－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 是首项为－2，公差为－1的等差数列，1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1 .(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋13（n ＋1） － 1n ＋1 －…－13n ＝－1n ＋1 ＋13n ＋2 ＋13n ＋3 ＋13n ＋1＝13n ＋2 －23n ＋3 ＋13n ＋1 >23n ＋3 －23n ＋3 ＝0，所以C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又因为n≥2，所以(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13 ＋14 ＋15 ＋16 ＝1920 ，m 20 <1920 ，m<19. 又因为m ∈N *，所以m 的最大值为18.。
习题课等差数列的性质的综合问题答案
习题课 等差数列的性质的综合问题答案一、等差数列的实际应用例1 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( )A ．15.5尺B ．12.5尺C ．9.5尺D ．6.5尺答案 D解析 设该等差数列为{a n }，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长分别记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，公差为d ，由题意可得，a 1＋a 4＋a 7＝37.5，即a 4＝12.5，又a 12＝4.5，所以d ＝a 12－a 412－4＝－1. 所以立夏的日影子长为a 10＝a 4＋6d ＝12.5－6＝6.5(尺)．反思感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练1 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 答案 2029解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米．由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米．二、等差数列中项的设法例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1， 所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意得2a ＝2且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟 等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程(组)求出a 1和d ，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a －d ，a ，a ＋d ，此时公差为d .若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，此时公差为2d .若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练2 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73； 当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13. 综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13. 三、等差数列的综合应用例3 若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172. 反思感悟 解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 答案 27解析 方法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.方法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6， 解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.1．知识清单：(1)等差数列的实际应用．(2)等差数列中项的设法．(3)等差数列的综合应用．2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：对等差数列的性质不理解而致错．1．已知等差数列1，a 1，a 2,9，则a 2－a 1的值为( )A ．8B ．－8C ．±8 D.83答案 D解析 根据等差数列1，a 1，a 2,9知，1和9是该数列的第一项和第四项，所以a 2－a 1＝9－14－1＝83. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝10，a 3＋a 6＝14，则a 5＋a 8等于( )A ．12B ．22C ．24D ．34答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 3＋a 6－()a 2＋a 52＝14－102＝2， 故a 5＋a 8＝a 5＋a 2＋6d ＝10＋6×2＝22.3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…，下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列答案 C解析 因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为________钱．答案 76解析 由题意，设这五人所得钱分别为a ＋2d ，a ＋d ，a ，a －d ，a －2d ，则a ＋2d ＋a ＋d ＝a ＋a －d ＋a －2d ，且5a ＝5，所以a ＝1，d ＝16， 所以乙所得为a ＋d ＝76(钱)．1．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，则a 7等于( )A ．1B ．8C ．4D ．2答案 D解析 因为各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0， 所以2a 7－a 27＝0，解得a 7＝2或a 7＝0(舍去)．2．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C解析 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列．又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.3．已知等差数列{a n }的首项是2，公差为d (d ∈Z )，且{a n }中有一项是14，则d 的取值的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7答案 C解析 等差数列{a n }的首项是2，公差为d (d ∈Z )，有一项是14，∴设第n 项为14，有a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)d ＝14，即(n －1)d ＝12，由n ∈N *知，n －1>0，n －1∈N *，而12＝1×12＝2×6＝3×4，∴d 的取值有1,2,3,4,6,12.4．若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为( )A ．98B ．88C ．78D ．68答案 A解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )a (a ＋d )＝－36，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝－5.∴这三个数为－1,4,9或9,4，－1.∴它们的平方和为98.5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等的实根C ．有两个不等的实根D ．不能确定有无实根答案 A解析 因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，所以a 5＝3，则方程为x 2＋6x ＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．(多选)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2 021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 BCD解析 由2 021是该数列的一项，得2 021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3,4和5.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4. ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.9．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40， 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32. 又四个数成递减等差数列，所以d <0， 所以d ＝－32， 故所求的四个数为11,8,5,2.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由． 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)， 所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12. (2)假设存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n－1－1a n －1 ＝3－a n 2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12， 又1a 1－1＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( ) A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0 答案 D解析 由数列{}12n a a 为递减数列，得11122n n a a a a <－，再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.12．已知在数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7等于( ) A.109 B.1011 C.1211 D.1312答案 D解析 设b n ＝1a n －1，则{b n }为等差数列， 因为a 2＝32，a 5＝98，所以b 2＝2，b 5＝8， 所以数列{b n }的公差d ＝b 5－b 23＝2， 所以b 7＝b 5＋2d ＝8＋4＝12，即1a 7－1＝12， 所以a 7＝1312. 13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( ) A.53B.103C.56D.116 答案 A解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ， 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556， ∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53. 14．在等差数列{a n }中，a 2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－32，－1 解析 ∵等差数列{a n }从第5项开始为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 5<0，a 4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋3d <0，a 2＋2d ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋3d <0，3＋2d ≥0， 解得－32≤d <－1.15．一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其三边a ，b ，c 也成等差数列，则该三角形的形状为________． 答案 等边三角形解析 由三边成等差数列，得2b ＝a ＋c ，三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则2B ＝A ＋C 且A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－ac .即(a ＋c )2＝4a 2＋4c 2－4ac ，整理得a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .所以在三角形中A ＝C ，B ＝π3，则A ＝C ＝B ＝π3. 所以该三角形为等边三角形．16．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台．在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)．比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n )．当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少．因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．。
等差数列习题课教案
等差数列习题课教案第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生复习数列的概念，引入等差数列的定义。
通过示例，让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。
1.2 等差数列的性质引导学生探究等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，第n项的公式等。
通过练习题，让学生掌握等差数列的性质，并能够运用性质解决问题。
第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式推导引导学生复习数列的通项公式，引入等差数列的通项公式推导过程。
通过示例，让学生理解等差数列通项公式的推导过程，并能运用通项公式求解等差数列的第n项。
2.2 等差数列的通项公式应用引导学生运用等差数列的通项公式解决实际问题，如求等差数列的前n项和、某项的值等。
通过练习题，让学生熟练掌握等差数列的通项公式，并能够灵活运用。
第三章：等差数列的前n项和3.1 等差数列前n项和的公式引导学生复习数列的前n项和的概念，引入等差数列前n项和的公式。
通过示例，让学生理解等差数列前n项和的公式，并能运用公式计算等差数列的前n项和。
引导学生探究等差数列前n项和的性质，如前n项和的公式中的参数关系等。
通过练习题，让学生掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用性质解决问题。
第四章：等差数列的求和公式4.1 等差数列求和公式的推导引导学生复习数列的求和公式，引入等差数列求和公式的推导过程。
通过示例，让学生理解等差数列求和公式的推导过程，并能运用求和公式计算等差数列的和。
4.2 等差数列求和公式的应用引导学生运用等差数列求和公式解决实际问题，如求等差数列的和、某项的值等。
通过练习题，让学生熟练掌握等差数列求和公式，并能够灵活运用。
第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列在实际问题中的应用引导学生运用等差数列的知识解决实际问题，如人口增长模型、物体运动等。
通过示例，让学生理解等差数列在实际问题中的应用，并能够解决实际问题。
5.2 等差数列的综合练习提供一些综合性的练习题，让学生综合运用等差数列的知识解决问题。
等差数列的性质习题课
a sn1 sn 1 1 n = 1 ∴ = = sn sn1 sn sn1 2a 2 n 1 1 1 ∴ = sn sn1 2 1 ∴数 { }是 差 列 列 等 数 sn
1 1 1 （） 2Q = sn sn1 2 1 1 1 1 5 ∴ = + (n 1)×( ) = n + 2 2 6 sn s1
作业： 作业：等差数列测试卷B
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意： 不一定成立的 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的； 上面的命题中的等式两边有相同数目的项 相同数目的项， ②上面的命题中的等式两边有相同数目的项， 成立吗？ 如a1+a2=a3 成立吗？
4数 {a }的 项 s 列 前 和 n n 2 + bn a 成 差 列 s = an 等 数 n n a 且 差 = 2a， 1 = s1 . 公 d
1 (x < 2) 6 已 例 ： 知f (x) = 2 x 2 1 (1)求 (x) f 1 1 2 若 = f (an )求 n a （） a1 =1, an+1 1 (x < 2) 解 Qy = ： 2 2 x
1 1 ∴x 2 = 2 ∴x = +2 2 y y
2
1 ∴f （ ) = x + 2( x > 0) 2 x
6 6 ∴an = sn sn1 = 5 3n 5 3(n 1)
18 ∴a = n (3n 5)(3n 8)
6 ∴s = n 5 3n
练习： { 练习：已知数列 an }满足an + 3sn sn1 = 0(n ≥ 2) 1 1 a1 = .(1)求证 }成等差数列 { 3 sn （）求 an }表达式. 2 {
高中数学课时素养评价4...等差数列习题课含解析选择性第二册
六等差数列习题课(25分钟·50分)一、选择题（每小题5分,共20分）1。
已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,S m—1=16，S m=25,a1=1（m≥2，且m∈N),则m的值是()A.4 B。
5 C.6 D.7【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d，因为S m—1=16,S m=25，a1=1(m≥2，且m∈N），所以a m=S m-S m-1=25—16=9=1+(m-1)d，m+d=25，联立解得m=5,d=2.2.数列｛a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数为（)A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为a n==—,所以S n=a1+a2+…+a n=（—1）+（—）+…+（—)=-1,令-1=10，得n=120.3。
已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+1,则|a1｜+｜a2｜+…+|a10| 的值为 ()A。
61 B.62 C.65 D.67【解析】选D。
对n分情况讨论当n=1时，S1=a1=-2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=（n2-4n+1)—[（n-1）2—4(n—1)+1]=2n—5,所以a n=由通项公式得a1<a2<0<a3〈a4<…〈a10所以|a1|+｜a2|+…+｜a10|=—（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10-2S2=102-4×10+1—2×(-3）=67。
4.据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在达到离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是()A。
10分钟 B.13分钟C。
15分钟D。
20分钟【解析】选 C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为a n，则a1=2,公差d=2,a n=2n，S n=·n=240,解得n=15或n=—16(舍去）.二、填空题(每小题5分,共10分）5.已知数列{a n｝的前n项和S n=3+2n，则a5=______，a n=________。
等差数列习题课
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1·a2＝2，S5＝15，则 a4＝( )
A．3
B．4 或 13
C．4 或123
D．3 或123
a1·a2＝2
a1（a1＋d）＝2
【解析】选 C.因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， S5＝15
，即5（a1＋ 2 a5）＝15 ，
解得 a1＝1 或 a1＝－4，当 a1＝1 时，d＝1，解得 a4＝4；当 a1＝－4 时，d＝72 ，此时
6．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则 an＝______；Sn＝______． 【解析】设等差数列{an} 的公差为 d，
因为 S4＝0，a5＝5，
a1＋4d＝5， 所以根据等差数列前 n 项和公式和通项公式得：
4a1＋6d＝0，
解方程组得：a1＝－3，d＝2， 所以 an＝－3＋n－1 ×2＝2n－5，Sn＝n2－4n. 答案：2n－5 n2－4n
【解析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{an} ，其中 a1＝193，d＝13，an＝193＋13(n－1)＝13n＋180，
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{bn} ，其中 b1＝97，d＝－0.5，bn＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n， 则数列{an} 与数列{bn} 的前 n 项和为 3 000×2＝6 000. 又因为数列{an} 的前 n 项和为12 n×(193＋13n＋180)＝12 n×(373＋13n)， 数列{bn} 的前 n 项和为12 n×(97＋97.5－0.5n)＝12 n×(194.5－12 n)，
.
当 n＝19 时，S19＝190.
当 n＝20 时，S20＝210>200.
2022秋新教材高中数学习题课一等差数列等比数列的综合新人教A版选择性必修第二册
习题课(一) 等差数列、等比数列的综合一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B．n－1C.n－1D．解析：选B 因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以＝，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故S n ＝n－1.2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于( )A．130 B．120 C．55 D．50解析：选C 在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.3．[多选]已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜9，则k可以是( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选AB ∵S n＝n2－9n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10.又a1＝S1＝－8，符合上式．∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜9，解得7.5＜k＜9.5，∴k＝8或9.故选A、B.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12解析：选D ∵{a n}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.6．已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3－2a＋3a7＝0，数列{b n}是等比数列，且b6＝a6，则b1b7b10等于( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：选D 根据等差数列的性质，得a3＋a7＝2a5，a5＋a7＝2a6.又a3－2a＋3a7＝0，所以2a5＋2a7－2a＝0，即2a6＝a，解得a6＝2或a6＝0(舍去)，所以b6＝a6＝2，则b1b7b10＝b2b6b10＝b＝8.二、填空题7．对于项数为m(m≥3)的有穷数列{a n}，若存在项数为m＋1的等比数列{b n}，使得b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m，则称数列{b n}为{a n}的“等比分割数列”．已知数列7,14,38,60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)解析：取一个首项为6，公比为2的数列即满足b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m.答案：6,12,24,48,968．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1·b n＝0.若b n＝3n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0，所以－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1.由b n＝3n－1，得a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.答案：(n－1)3n＋1三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝3S n＋1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由a n＝3S n＋1，得a n＋1＝3S n＋1＋1，两式相减，得a n＋1－a n＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1，即＝－.又a1＝3S1＋1＝3a1＋1，得a1＝－，所以a2＝－×＝.(2)由(1)知，数列{a n}是首项为－，公比为－的等比数列，所以a n＝×n－1＝n.10．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝a，a≠0，前n项和为S n，且，，成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为A n，若A2 021＝，求实数a的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由2＝·，即a＝a1·a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以a n＝a＋(n－1)a＝na.(2)因为S n＝＝，所以＝，所以A n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.又A2 019＝＝，所以a＝2.11．(2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<.解：(1)设等比数列{a n}的公比为q.∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝.∴a n＝n－1，∴b n＝＝n n.(2)证明：由(1)得，S n＝＝＝＝－×n－1.T n＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n n， ①则T n＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n＋1. ②①－②，得T n＝1＋2＋3＋…＋n－n n＋1＝－n n＋1＝－×n，∴T n＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，且3＋2n>3，∴当n为正整数时，T n<.。
等差数列习题课
等差数列习题课一、学习目标：1、进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n 项和公式；2、理解等差数列的性质，等差数列前n 项和公式的性质应用；3、等差数列通项公式、前n 项和公式的应用。
二、重难点：对等差数列通项公式、前n 项和公式的考查是本课时的重点和难点。
三、课内探究：1、已知S n ,求a n 类型。
例1、已知数列{n a }的前n 项和为2320522n S n n =-+,求数列{n a }的通项公式a n .变式训练：已知数列{n a }的前n 项和为S n ，当n N +时，满足S n =-3n 2+6n, 求数列{n a }的通项公式a n .2、求数列{|a n |}的前n 项和问题。
例2、在等差数列{n a }中，a 1=-60,a 17=-12, 求数列{|a n |}的前n 项和.变式训练：在等差数列{n a }中，S 2=16，S 4=24，求数列{|a n |}的前n 项和A n .3、两个等差数列前n 项和之比问题。
例3、有两个等差数列{a n }、{b n },其前n 项和分别为S n , T n ,若n n S T =723n n ++，求55a b 。
4、等差数列的应用。
例4、从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售。
4月一日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件，（1）记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n(1≤n ≤30),求a n 与n 的关系；（2）求4月份该款服装的总销售量；（3）按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行，试问，该款服装在社会上流行是否会超过10天？说明理由。
变式训练：甲乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m,(1) 甲乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m,那么开始运动后几分钟第二次相遇？。
新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.2.2等差数列习题课课件新人教A版选择性必修第二册
①式的两边同除以SnSn-1得:
1 Sn1
1 Sn
2即：1 Sn
1 Sn1
2，
所以数列 { 1是} 首项为2,公差为2的等差数列,
Sn
所以 S1n=2+2(n-1)=2n,即:Sn=21n ,则
an
2SnSn1
1 （n 2n(n 1)
【类题·通】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相 距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前
【习练·破】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【素养·探】 在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过 对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和. 将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
2.3 等差数列的前n项和的性质(习题课)
工具
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公 式． 2.理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应
用．
3.掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用.
工具
1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的
热点． 2.常与函数、不等式结合命题． 3.多以选择题和解答题的形式考查.
解析： (1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4， 当 n＝1 时，a1＝S1＝－1 不适合上式，
－1 ∴an＝ 2n－4
n＝1， n≥2.
工具
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n 1n－(－1)n(n－1)
工具
[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关 系式， 求通项 an 有如下关系
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1 .特别当 n≥2
n≥2 时，若求出 an 也符合 n＝1，可直接写成 an＝Sn－Sn－1， 否则分段表示． ,
工具
1.(1) 已知数列 {an} 的前n项和Sn ＝ n2 － 3n＋ 1，求通项公式 an ； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1·n，求通项公式an.
解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. 13a1＋a13 ∴S13＝ ＝13×8＝104. 2
(2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 1 又 d＝2，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
人教版高二数学《等差数列前n项和的性质及应用》习题课含答案解析
4．2.2 第二课时 等差数列前n项和的性质及应用(习题课)[A级 基础巩固]1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10C．11 D．12解析：选B ∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10，故选B.2．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )A．－2 B．－1C．0 D．1解析：选B 等差数列前n项和S n的形式为S n＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若OB―→＝a1OA―→＋a200OC―→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )A．100 B．101C．200 D．201解析：选A 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝2002(a1＋a200)＝100.4．若数列{a n}的前n项和为S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35C．66 D．100解析：选C 易得a n＝Error!|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令a n＞0则2n－5＞0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使S n达到最大值的n是( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选C ∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴a n＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令a n＞0，∴41－2n＞0，∴n＜41 2，∴n≤20.6．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.答案：57．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝________.解析：∵a n＝Error!∴a n＝2n－10.由5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.答案：88．若数列{a n}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和S n<0的最大自然数n是________．解析：由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{a n}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和S n<0的最大自然数n＝405.答案：4059．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：由a1＝9，d＝－2，得S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．法二：由(1)知a1＝9，d＝－2＜0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴n≤5时，a n＞0，n≥6时，a n＜0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解：∵a1＝13，d＝－4，∴a n＝17－4n.2；解得－247<d<－3，B选项正确．由于S13＝a1＋a132×13＝13a7<0，而S12>0，所以S n<0时，n的最小值为13.由上述分析可知，n∈[1,6]时，a n>0，n≥7时，a n<0；当n∈[1,12]时，S n>0，当n≥13时，S n<0.所以当n∈[7,12]时，a n<0，S n>0，S na n<0，且当n∈[7,12]时，|a n|为递增数列，S n为正数且为递减数列，所以数列{S n a n}中最小项为第7项．故选A、B、C、D.12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C a m＝S m－S m－1＝2，a m＋1＝S m＋1－S m＝3，所以公差d＝a m＋1－a m＝1，由S m＝m(a1＋a m)2＝0，得a1＝－2，所以a m＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.13．已知等差数列{a n}的公差d>0，前n项和为S n，且a2a3＝45，S4＝28.(1)则数列{a n}的通项公式为a n＝________；(2)若b n＝S nn＋c(c为非零常数)，且数列{b n}也是等差数列，则c＝________.解析：(1)∵S4＝28，∴(a1＋a4)×42＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，又∵a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴Error!解得Error!∴a n＝4n－3.(2)由(1)，知S n＝2n2－n，∴b n＝S nn＋c＝2n2－nn＋c，∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c.又∵{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．答案：(1)4n －3 (2)－1214．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )∈N*，≤6时，{S n}单调递增；当。
等差数列习题课教案
等差数列习题课教案第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，引出等差数列的定义。
通过示例，让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。
1.2 等差数列的性质探讨等差数列的通项公式，引导学生通过观察、归纳得出公式。
引导学生理解等差数列的性质，如公差、首项、末项等，并学会运用性质解决问题。
第二章：等差数列的求和2.1 等差数列的前n项和公式引导学生通过观察、归纳等差数列的前n项和公式。
通过例题，让学生学会运用前n项和公式计算等差数列的和。
2.2 等差数列的求和性质引导学生探讨等差数列的求和性质，如分组求和、错位相减等。
通过例题，让学生学会运用求和性质简化计算过程。
第三章：等差数列的通项公式3.1 等差数列的通项公式推导引导学生回顾等差数列的性质，引导学生通过观察、归纳等差数列的通项公式。
通过示例，让学生理解通项公式的含义，并学会运用通项公式解决问题。
3.2 等差数列的通项公式的应用引导学生学会运用通项公式求等差数列的第n项、首项、末项等。
通过例题，让学生学会运用通项公式解决实际问题。
第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系引导学生理解等差数列与一次函数、二次函数等函数的关系。
通过例题，让学生学会运用函数的知识解决等差数列问题。
4.2 等差数列在实际问题中的应用引导学生学会将等差数列的知识应用到实际问题中，如人口增长、物体运动等。
通过例题，让学生学会运用等差数列解决实际问题。
第五章：等差数列的练习题讲解5.1 选择题练习给出选择题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。
5.2 填空题练习给出填空题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。
5.3 解答题练习给出解答题，让学生独立完成，并通过讲解答案，帮助学生巩固等差数列的知识。
第六章：等差数列的图像与性质6.1 等差数列的图像引导学生回顾数列图像的概念，引出等差数列的图像。
数学学案：等差数列习题课——等差数列习题课
数学人教B必修5第二章2.2 等差数列习题课——等差数列习题课1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质的应用．3．掌握等差数列前n项和之比的问题，及其实际应用．题型一已知S n求a n【例1】已知数列{a n}的前n项和S n＝－错误!n2＋错误!n，求数列｛a n}的通项公式a n.分析：求a1→错误!→错误!→错误!反思：数列｛a n｝的前n项和S n与通项a n的关系已知数列{a n｝的通项就可以求数列{a n}的前n项和S n；反过来，若已知前n项和S n也可以求数列{a n}的通项公式a n。
∵S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，∴S n－1＝a1＋a2＋a3＋…＋a n－1(n≥2)．在n≥2的条件下，把上面两式相减可得：a n＝S n－S n－1（n≥2），当n＝1时,a1＝S1,所以a n与S n有如下关系：a n＝错误!注意：a n＝S n－S n－1并非对所有的n∈N＋都成立,而只对n≥2的正整数成立．由S n求通项公式a n时,要分n＝1和n≥2两种情况,然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．题型二数列｛｜a n|｝的求和问题【例2】在等差数列｛a n｝中，a1＝－60,a17＝－12，求数列｛｜a n｜｝的前n项和．分析：先分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．反思：等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n|}的前n项和，可分为以下情形：（1)等差数列｛a n}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n｜｝就等于数列｛a n}，可以直接求解．(2）在等差数列{a n}中，a1＞0,d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n｝分成两段处理．(3)在等差数列｛a n}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列｛a n｝分成两段处理．总之，解决此类问题的关键是找到数列{a n}的正负分界点．题型三等差数列前n项和的比值问题【例3】等差数列{a n},{b n｝的前n项和分别为S n，T n，若错误!＝错误!，求错误!.分析：本题可把“项比”转化成“和比",也可把“和比”转化为“项比”．反思：本题的关键是建立通项和前n项和的内在联系，解法一侧重于待定系数法，而解法二应用整体代换思想．1已知在等差数列{a n}中,a7＋a9＝16,a4＝1,则a12的值是( )．A．15 B．30 C．31 D．642等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( ）．A．12 B．18 C．24 D．423若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )．A．13项B．12项C．11项D．10项4设2a＝3,2b＝x,2c＝12,且a，b，c成等差数列，则x的值为________．5设等差数列{a n}满足a3＝5,a10＝－9.(1）求{a n}的通项公式；(2)求｛a n｝的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．答案：典型例题·领悟【例1】解：a1＝S1＝－错误!×12＋错误!×1＝101。
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成等差数列
等差数列{an} ,bn的
前n项和分别为 Sn和Tn，
S13 1955 ,则 a7 T13 1999 b7
例6 一项数为偶数的等差数列，奇数 项之和为24，偶数项 之和为30， 若最 后一项比第一项大 21 ，求此数列的
2
首项、公差、及项数.
17 2n 0 17 2(n 1) 0
n 8.5 n 7.5 n N n 8
S8最大。
在等差数列{an}中
an 17 2n, n等于几时， Sn最
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
在等差数列{an}中
11a20 0
a1a200,d0 0
a19 0, a20 0
Sn最大时，n 19或20
解：方法三（只适合填空题）
14 19.5 25
Sn An2 Bn
S25 S14
n 14 25 19.5 2
n 19或20
4、已知数列 {an }前n项和 S n2 9n
n
（1）求证：{an } 为等差数列；
解：方法一
S14 S25
14 13d
25 24d
14a1 2 25a1 2
a1 19d
Snnna最1 12大900时,n，d即109a或ann12000
解：方法二 S25 S14 0
a15 a16 a17 ... a24 a25 0
(a15 a25) (a16 a24 ) ... a20 0
等差数列习题课
等差数列中有关通项问题
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
等 差 数 列an 中 ，
若m n p q, 则am an a p aq
等差数列中有关前n项的和问题
Sn=
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
已知等差数列an，公差为d ,
共有2n项，则 S偶 S奇
（2）求 Sn 的最小值及相T应n n
（3）记数列
{a n
} 的前项和为
，
求的表达式
则a13+a14+ a15+a16+a17+a18= -95 .
若函数f ( x)满足 f ( x 1) f ( x 1) 2x2 8x 8 f ( x 1) f ( x 1) 4( x 2) 且f ( x 1), 1 , f ( x)成A P，
2 求x的值。
解：aann100
S奇 S偶
已知等差数列an，公差为d ,
共有2n 1项，则 S奇 S偶 S奇 S偶
例3. 求集合M={m|m=7n，nN ，且m<100} 的元素个数，并求这些元素的和.
735
例4. 一个等差数列的前10项的和为100， 前100项的和为10，求它的前110项的和.
S110=-110
等差数列{an},求证
3
3
a1= 2
d=
2
2n=8
课堂练习 1. 在等差数列{an}中， a1-a5-a9-a13+a17=-6，则S17= 102 .
2. 在等差数列{an}中， a5+a10+a15+a20 =20，则S24=
120
.
3. 在等差数列{an}中，S6=65， a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，
an 2n 24,
n等 于 几 时 ， Sn最 小 。11或者12
在等差数列{an}中
a1 0,d 0, Sn有最大值aann100 a1 0,d 0, Sn有最小值 aann100
Sn An2 Bn,配方，看对称轴
在等差数列{an}中
a1 0, S14 S25, n为何 值时Sn最大。