2020年高二第二学期第一次月考(理科)A

紫荆中学2019-2020学年度第二学期第一次月考
高二理科数学
(提示：时间120分钟，满分150分，答案全部写在答题卡上)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则lim
h→0f(x0＋h)－f(x0－h)
h的值
为()
A．f′(x0)B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()
A．1 B.1
2C．－
1
2D．－1
3．下列各式正确的是()
A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－1
5x
－6
4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
5．若函数f(x)＝1
3x
3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()
A．0B．2C．1D．－1
6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()
7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()
A．2B．1 C．0 D．由a确定
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()
A．－5 B．7 C．10 D．－19
9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是() A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
1
3
11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()
A. 5 B．2 5 C．3 5 D．2
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则
f(1)
f′(0)
的最小值为()
A．3 B.
5
2C．2 D.
3
2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡题中的横线上)
13．⎰20
π
(3x ＋sin x )d x ＝__________.
14．若曲线y ＝e －x
上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是
________．
15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________．
16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则当矩形的长为 cm 时，圆柱的体积最大值.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数
(1)y ＝e 2x ＋1
(2)y ＝5log 2(1－x )
18．(本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，求g (x )的单调区间和最小值.
19．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =．
（1）求函数()f x 的图象在x =e 处的切线方程； （2）求函数()f x 的最小值.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .
(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；
21．(本小题满分12分)设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.
（1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性；
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a ，
(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
答案：
一、选择题 BACDA DCACA AC
二、填空 13. 3π28＋1 14. (－ln 2,2) 15. (－2,2) 16. 20
3 三、解答题
17.【解】(1)函数y ＝e 2x ＋1可看作函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1的复合函数，
∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u )′(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x
＋1
（2）函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5
u ln 2＝5
(x －1)ln 2
.
18.
【解】 由题意知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x ， ∴g ′(x )＝x －1
x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间. 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间. 因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点. 所以g (x )的最小值为g (1)＝1.
19.【解】 【解】
（1）()ln 1f x x '=+， 所以函数()f x 的图象在e x =处的切线斜率(e)ln e 12k f '==+=. 又
()e e f =，切点坐标为()e,e ，
所以函数()f x 的图象在e x =处的切线方程为()2
e e y x =-+，即2e y x =-.
（2）函数()ln f x x x =的定义域为(0+)∞，
， 令()ln 1=0f x x '=+，得1
e
x =
. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()
f x 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减； 当1+e x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
，
时，()0f x '>，()f x 在1+e
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增. 所以函数()f x 的最小值为11e e
f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
20.【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12.
当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.
∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m . f (x )极大值＝f (2)＝16＋m . ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.
(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎨⎧ f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎨⎧
－16＋m ＜0，
16＋m ＞0，
∴－16＜m ＜16.
∴m 的取值范围为(－16,16)． 21.
22.【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤x
ln x在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝
x
ln x，则g′(x)＝
ln x－1
(ln x)2
，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－2
x＝
x－2
x，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.
所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．。