四川省绵阳市高三数学上学期开学考试试题理

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四川省绵阳市第一中学高三数学理测试题含解析

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四川省绵阳市第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 定义两种运算:则函数()A. 是奇函数B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数参考答案:【知识点】函数奇偶性的判断. B4【答案解析】A 解析:根据题意得:,由得这时,所以因为,是奇函数,所以选A.【思路点拨】先利用新定义把f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最后看f (x)与f(-x)的关系得结论.2. 已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的值为16,则循环体的判断框内①处应填()(A)(B)(C)(D)参考答案:3. 已知当,时,,则以下判断正确的是()A. B.C. D. m与n的大小关系不确定参考答案:C【分析】设,利用导数求得函数在单调递增,再根据,即可求解,得到答案.【详解】由题意,设,则,当时,,单调递增,又由,所以,即,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用,其中解答中设出新函数,利用导数求得函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.4. 函数y=的图象可能是( )A.B.C.D.参考答案:B【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】当x>0时,,当x<0时,,作出函数图象为B.【解答】解:函数y=的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称.当x>0时,,当x<0时,,此时函数图象与当x>0时函数的图象关于原点对称.故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质,考查了分段函数的图象及图象变换的能力.5. 数列共有12项,其中,,,且,则满足这种条件的不同数列的个数为()A.84B.168C.76D.152参考答案:【知识点】数列问题;计数原理. D1 J1【答案解析】A 解析:满足且的数列前5项有4种情况,满足,,且的数列的第5至12项有种,所以满足题设条件的不同数列的个数为个.【思路点拨】由树图法求出满足题设条件的不同数列的个数.6. 设全集,则A.B.C.D.参考答案:B 7. 执行右面的框图,若输入的是,则输出的值是()A. B. C. D.参考答案:B第一次循环:,第二次循环:,第三次循环:,第四次循环:,第五次循环:,第六次循环:此时条件不成立,输出,选B.8. 若,且,则向量与的夹角为 ( )A.30° B.60° C.120°D.150°参考答案:C略9. 已知函数为偶函数,若将的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数,若,则等于 ( )(A)(B)(C)(D)参考答案:B略10. 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6点数的正方体玩具)先后抛掷2次,记第一次出现的点数为m,记第二次出现的点数为n,则m=2n的概率为()A. B. C. D.参考答案:B【分析】基本事件总数n=6×6=36,利用列举法求出m=2n(k∈N*)包含的基本事件有3个,由古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意得,基本事件总数有:种,事件“”包含的基本事件有:,,共3个,所以事件“”的概率为.故选B.【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法、古典概型等基础知识,是基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对任意实数K,直线:与椭圆:恰有一个公共点,则b取值范围是_______________参考答案:答案:[-1,3]12. 已知R上可导数学的图象如图所示,则不等式的解集为_______.参考答案:13. 已知满足对任意都有成立,则的取值范围是___ ____.参考答案:14. 从中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是(用数字作答).参考答案:6015. 曲线在点处的切线方程为.参考答案:【知识点】导数的几何意义。

2024届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学理科答案

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绵阳市高中2021级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.BCDAC ADBBD CC二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.714.15.916.-1三、解答题:本大题共6小题,共70分.17.解:(1)由a 1,a 2,a 4成等比数列,则4122a a a ⋅=,··································2分∴)6()2(1121+⋅=+a a a ,可解得21=a ,···················································································3分∴数列{a n }的前n 项和n n d n n a n S n +=⋅-⋅+⋅=212)1(;·······························5分(2)n n a n n n b b 2)2(2(21===++①,················································6分当1=n 时,221=+b b ,可得12=b ,························································7分可得1212+++=+n n n b b ②,······································································8分由②式-①式,得n n n n n b b 22212=-=-++,·············································9分∴22442222222)()()(b b b b b b b b n n n n n +-+-+-=--- 122224222+++=-- n n ·······································································11分14(14)114n --=+-413n -=.·························································································12分18.解:(1)∵38πωπ==T ,则83=ω,·······················································1分又2||1)8tan(3(πϕϕππ<=+=,f ,···························································2分∴8πϕ=,························································································4分∴883tan()(π+=x x f ;········································································5分(2)由题意,)88383tan()(πλ++=x x g ,···················································6分∵8tan(8tan )0(ππ-=-=-f ·································································7分∴)8tan(883323tan()0()4(ππλππ-=++-=,得由f g ·····································8分∴∈+-=+k k ,πππλ832783Z ,······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ,又,Z k k ,·····················································10分∴λ的最小值为74π.··········································································12分19.解:(1)∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数,∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩,解得:m =2.···························································5分(2)当m >0时,2x 2+m >0,∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点.································6分当m <0时,由()0f x =,解得:x =m -2,·································7分要使得f (x )仅有两个零点,则2m -=,··········································8分即22780m m -+=,此方程无解.故m =0,即32()24f x x x =+,·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-,则2()682(34)h x x x x x '=+=+,()0h x '>,解得:0x >或43x <-,()0h x '<解得:403x -<<,故()h x 在4()3,-∞-,(0),+∞上递增,在4(0)3,-上递减,···························10分又417(0327h -=-<,故函数()3y f x =-仅有一个零点.·························································12分20.解:(1)∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形,则cos C ≠0,∴cos B sin A =cos A sin B ,·········································································5分∴sin(A -B )=0,又A ,B 为△ABC 的内角,∴A=B ;···························································································6分(2)由△ABC 的面积S=2a ,∴S=12ab sin C=2a ,则b sin C=1,即1b=sin C ,··········································7分由S=12ac sin B=2a ,则c sin B=1,即1c =sin B ,··········································8分由(1)知A =B 则a=b ,∴2211c a-=sin 2B -sin 2C ,······································································9分又sin C =sin(A+B )=sin2B ,∴2211c a-=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ·················10分令sin 2B=t ,令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ,又因为0<sin 2B<1,即0<t<1,∴当t=83时,f (t )取最小值,且f (t )min =916-,············································11分综上所述:2211c a -的最小值为916-.·······················································12分21.解:(1)当2a =时,()(ln 22)ln f x x x x =-+,1ln 222(1)(ln 1)()(2)ln x x x x f x x x x x-+--+'=-+=,····································2分令()0f x '>得:11e x <<;令()0f x '<得:10ex <<或1x >,·······················3分∴()f x 的单调递减区间为:1(0e ,和(1+),∞;单调递增区间为:1(1)e.·····5分(2)2e ()x f x x ax a x-+-≤等价于ln 2e (ln )(ln 1)0≥x x x x a x x ---+--(*)·········6分令()ln t g x x x ==-,则1()x g x x-'=,∴()g x 在(01),上递减,在(1+),∞上递增。

四川省绵阳市数学高三上学期理数开学考试试卷

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四川省绵阳市数学高三上学期理数开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) (共12题;共24分)1. (2分)(2016·青海) 已知函数f(x)=lg(1-x)的定义域为M,函数的定义域为N,则M∩N=()A . {x|x<1且x≠0}B . {x|x≤1且x≠0}C . {x|x>1}D . {x|x≤1}2. (2分) (2018高三上·吉林月考) 在复平面内,复数的共轭复数的模为()A .B .C .D .3. (2分)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(ξ>8)=0.4,则P(ξ<0)=()A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.74. (2分)(2013·新课标Ⅰ卷理) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ,若Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A . 3B . 4C . 5D . 65. (2分)(2016·中山模拟) 某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示,该几何图形的体积或面积分别是()A . a3 , a2B . a3 ,C . a3 , a2D . a3 ,6. (2分)(2018·枣庄模拟) 若,则“ 的图象关于成中心对称”是“ ”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. (2分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为22,则输出的s的值为()A . 232B . 211C . 210D . 1918. (2分) (2016高一上·淮北期中) 函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是()A . f(1)<f()<f()B . f()<f(1)<f()C . f()<f()<f(1)D . f()<f(1)<f()9. (2分)(2016·绵阳模拟) 实数x,y满足不等式组,则ω= 的取值范围是()A . [﹣, ]B . [﹣1, ]C . [﹣1,1)D . [﹣,1)10. (2分)已知直线:y=kx﹣k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,则m的取值范围是()A . m≥3B . m≤3C . m>3D . m<311. (2分)双曲线的离心率e=2,则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为()A .B .C .D .12. (2分)若函数f(x)=1+sinx﹣x在区间[﹣6,6]上的值域是[n,m],则n+m=()A . 0B . 1C . 2D . 6二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)已知向量⊥ , =(1,2),| |=2 ,则向量的坐标是________.14. (1分)在(a+b)n的二项展开式中,若二项式系数的和为256,则二项式系数的最大值为________ (结果用数字作答).15. (1分)(2018·中原模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为,点,以为直径的圆与直线的交点为,且点在线段上,若,则双曲线的离心率为________.16. (1分)(2020·海南模拟) 已知函数,若函数只有一个零点,且,则实数的取值范围________.三、解答题 (共6题;共65分)17. (15分)(2017·南京模拟) 设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn ,且a1a5=64,S5﹣S3=48.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设有正整数m,l(5<m<l),使得am,5a5,al成等差数列,求m,l的值;(3)设k,m,l∈N*,k<m<1,对于给定的k,求三个数 5ak,am,al经适当排序后能构成等差数列的充要条件.18. (5分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明:CD⊥平面PBD;(Ⅱ)求二面角C﹣PB﹣D的平面角的余弦值.19. (10分)(2012·陕西理) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:办理业务所需的时间12345(分)频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2) X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.20. (10分)(2018·雅安模拟) 已知椭圆:过点,且离心率为 .(1)求椭圆的方程;(2)过的直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由.21. (15分)(2015·岳阳模拟) 已知函数(1)当a=1时,求函数f(x)在x=e﹣1处的切线方程;(2)当时,讨论函数f(x)的单调性;(3)若x>0,求函数的最大值.22. (10分)(2017·桂林模拟) 已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+3|.(1)解不等式f(x)≥8;(2)若不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) (共12题;共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共11题;共22分)1. (2分)(2013·山东理) 已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A . 1B . 3C . 5D . 92. (2分)函数的定义域为()A . (﹣5,+∞)B . [﹣5,+∞)C . (﹣5,0)D . (﹣2,0)3. (2分) (2016高三上·平罗期中) 已知平面向量,满足 =1, =2,且( + )⊥ ,则与的夹角为()A .B .C .D .4. (2分) (2016高二下·普宁期中) 等差数列{an}的公差为2,若a2 , a4 , a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A . n(n+1)B . n(n﹣1)C .D .5. (2分)已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则该双曲线离心率等于()A .B .C .D .6. (2分) (2016高一下·潮州期末) 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是()A .B .C .D .7. (2分)(2017·虎林模拟) 设函数若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1 , x2 ,x3 , x4 ,且x1<x2<x3<x4 ,则x3(x1+x2)+ 的取值范围是()A . (﹣3,+∞)B . (﹣∞,3)C . [﹣3,3)D . (﹣3,3]8. (2分) (2019高二上·集宁月考) 已知等差数列的前项和为,且,数列满足,则数列的前9项和为()A . 20B . 80C . 166D . 1809. (2分)(2017·聊城模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A . 2πB .C .D .10. (2分)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意,存在,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“集合”. 给出下列4个集合:①②M={(x,y)|y=ex-2} ③M={(x,y)|y=cosx}④M={(x,y)|y=lnx}其中所有“集合”的序号是()A . ②③ .B . ③④ .C . ①②④.D . ①③④.11. (2分)(2017·山东模拟) 已知函数f(x)= ,关于x的方程f2(x)﹣2af(x)+a﹣1=0(a∈R)有四个相异的实数根,则a的取值范围是()A . (﹣1,)B . (1,+∞)C . (,2)D . (,+∞)二、填空题: (共4题;共4分)12. (1分) (2017高三上·福州开学考) 不等式组的解集为D,若(a,b)∈D,则z=2a﹣3b 的最小值是________.13. (1分) (2018高一下·瓦房店期末) 在锐角三角形中,若,则________.14. (1分) (2017高三上·东莞期末) 设向量 =(x,2), =(1,﹣1),且在方向上的投影为,则x的值是________.15. (1分) (2018高一下·涟水月考) 在中,已知 ,则角的大小为________三、解答题: (共6题;共70分)16. (5分) (2017高一上·海淀期末) 已知如表为“五点法”绘制函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象时的五个关键点的坐标(其中A>0,ω>0,|φ|<π)x﹣f(x)020﹣20(Ⅰ)请写出函数f(x)的最小正周期和解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅲ)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.17. (15分)已知sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π).求值:(1)tanθ;(2)sinθ﹣cosθ;(3)sin3θ+cos3θ18. (15分)(2017·泰州模拟) 已知各项均不为0的数列{an}满足a1=a,a2=b,且an2=an﹣1an+1+λ(n≥2,n∈N),其中λ∈R.(1)若λ=0,求证:数列{an}是等比数列;(2)求证:数列{an}是等差数列的充要条件是λ=(b﹣a)2;(3)若数列{bn}为各项均为正数的等比数列,且对任意的n∈N*,满足bn﹣an=1,求证:数列{(﹣1)nanbn}的前2n项和为常数.19. (10分) (2020高二上·榆树期末) 某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示:(1)设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨,试写出关于的线性约束条件并画出可行域;(2)如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,试求该企业每天可获得的最大利润.20. (15分) (2016高二上·余姚期末) 已知关于x,y的方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0(1)当方程C表示圆时,求m的取值范围;(2)若圆C与直线l1:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|= ,求m的值;(3)在(2)条件下,若圆C上存在四点到直线l2:x﹣2y+b=0的距离均为,试求b的取值范围.21. (10分) (2016高二上·福州期中) 设函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题: (共11题;共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案:略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题: (共4题;共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题: (共6题;共70分) 16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学(理)试题word版含解析

2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学(理)试题word版含解析

2021届四川省绵阳市高三上学期开学考试数学(文)试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ,}05|{2<-∈=x x Z x B ,则=B A ( ) A .}2,1{ B .}3,2{ C .}3,2,1{ D .}4,3,2{ 【答案】A2.已知命题p :01,2>+-∈∀x x R x ,则p ⌝为( )A .01,2>+-∉∀x x R x B .01,0200≤+-∉∃x x R x C .01,2≤+-∈∀x x R x D .01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D 【解析】试题分析:p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ,选D.考点:命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ,p(x)”是真命题,需要对集合M 中的每个元素x ,证明p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M 中的一个特殊值x 0,使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x =x 0,使p(x 0)成立即可,否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为( ) A .8 B .9 C .10 D .11 【答案】B考点:等差数列4.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ,则y x z +=2的最大值为( )A .0B .1C .2D .23 【答案】C 【解析】试题分析:可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ,所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2,选C. 考点:线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 5.设命题p :1)21(<x ,命题q :1ln <x ,则p 是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】6.2016年国庆节期间,绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物,他有三张商场的优惠券,商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券A :若商品标价超过100元,则付款时减免标价的10%; 优惠券B :若商品标价超过200元,则付款时减免30元;优惠券C :若商品标价超过200元,则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ,并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多,则他购买的商品的标价应高于( )A .300元B .400元C .500元D .600元 【答案】B 【解析】试题分析:设购买的商品的标价为x ,则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>,选B.考点:不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象,可将x y 2sin 2=的图象向左平移( ) A .6π个单位 B .3π个单位 C .4π个单位 D .12π个单位【答案】A 【解析】试题分析:因为()sin 2322sin(2)3f x x x x π=+=+,所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ,选A.考点:三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y =Asin(ωx +φ),x ∈R 是奇函数⇔φ=k π(k ∈Z);函数y =Asin(ωx +φ),x ∈R 是偶函数⇔φ=k π+π2(k ∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x ∈R 是奇函数⇔φ=k π+π2(k ∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x ∈R 是偶函数⇔φ=k π(k ∈Z).8.已知αθθsin 2cos sin =+,βθ2sin 22sin =,则( ) A .αβcos 2cos = B .αβ22cos 2cos=C .02cos 22cos =+αβD .αβ2cos 22cos = 【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+,当)1,0[∈x 时,x x x f +-=2)(,设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,则=++543a a a ( )A .7B .87C .45D .14 【答案】A 【解析】 试题分析:23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======,所以3451247a a a ++=++=,选A.考点:函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去f “”,即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中,81cos =A ,4=AB ,2=AC ,则A ∠的角平分线D A 的长为( ) A .22 B .32 C .2 D .1 【答案】C考点:余弦定理11.如图,矩形ABCD 中,2=AB ,1=AD ,P 是对角线AC 上一点,25AP AC =,过点P 的直线分别交DA 的延长线,AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =,DC n DN =)0,0(>>n m ,则n m 32+的最小值是( ) A .56 B .512 C .524 D .548【答案】C 【解析】 试题分析:232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=,又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n==⇒+=,因此321941942423(23)()(12)(122)55555n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=,当且仅当23m n =时取等号,选C.考点:向量表示,基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方,则实数a 的取值范围是( )A .)(2,+∞B .)(1,+∞C .),213(+∞-D .),212(+∞- 【答案】A二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若向量)0,1(=a ,)1,2(=b ,)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直,则=x . 【答案】1 【解析】试题分析:(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒= 考点:向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式a ·b =|a ||b |cos θ;二是坐标公式a ·b =x 1x 2+y 1y 2;三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中,831=+a a ,且4a 为2a 和9a 的等比中项,则=5a . 【答案】13考点:等差数列 15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行,则)(x f 的极值点是 . 【答案】e 【解析】 试题分析:2(1ln )()a x f x x -'=,所以244(12)1()1a f e a e e -'==-⇒=,因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点:导数几何意义,函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异,过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上,而在点P 处的切线,必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≥x 时,3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ,不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t = 【解析】试题分析:由题意得0x <时,3()()f x f x x =-=-,即3()||f x x =,因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥,当0t =时,x R ∈,满足条件;当0t >时,5tx t x ≥≤-或,要满足条件,需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或;当0t <时,5tx x t ≥-≤或,要满足条件,需2123350t t t tt t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或;综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点:不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象(部分)如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式; (2)若),(30πα∈,且34)(=παf ,求αcos .【答案】(1))6sin(2)(ππ+=x x f (2)6215+考点:求三角函数解析式,给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知)(12*N n a S n n ∈-=.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若对任意的*N n ∈,不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)12-=n n a (2))643[∞+, 【解析】试题分析:(1)由和项求通项,要注意分类讨论:当1n =时,11a S =;当1n =时,11a S =解得11=a ;当2n ≥时,1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ;最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列,并求出等比数列通项(2)先化简不等式,并变量分离得k ≥nn 292-,而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题,即k ≥nn 292-的最大值,而对数列最值问题,一般先利用相邻两项关系确定其增减性:令n nn b 292-=,则1112211292272+++-=---=-n nn n n nn n b b ,所以数列先增后减,最后根据增减性得最值取法:n b 的最大值是6436=b .试题解析:(1)令111121a a S n =-==,,解得11=a .……………………………2分 由12-=n n a S ,有1211-=--n n a S ,两式相减得122--=n n n a a a ,化简得12-=n n a a (n ≥2), ∴ 数列}{n a 是以首项为1,公比为2 的等比数列,∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a .……………………………………………6分考点:由和项求通项,根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ,常用思路是:一是利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系,再求a n . 应用关系式a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2时,一定要注意分n =1,n ≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知12=c ,64=b ,O 为ABC ∆的外接圆圆心. (1)若54cos =A ,求ABC ∆的面积S ; (2)若点D 为BC 边上的任意一点,1134DO DA AB AC -=+,求B sin 的值. 【答案】(11442(2)552sin =B 【解析】考点:向量投影,正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.(1)判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数,并证明你的结论;(参考数据:4.12≈,4.26≈)(2)若存在)2,4(ππ∈x ,使得x kx x f cos )(2+>成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)有且只有1个零点(2)π22<k (2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>,整理得x x k sin <.…………7分 令x x x h sin )(=,则2sin cos )(xx x x x h -=', 令x x x x g sin cos )(-=,0sin )(<-='x x x g ,∴g(x)在)24(ππ,∈x 上单调递减, …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ,即0sin cos )(<-=x x x x g , ∴0sin cos )(2<-='xx x x x h ,即x x x h sin )(=在)24(ππ,上单调递减, ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ,即π22<k . ………12分 考点:函数零点,利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ,e e x g x-=)(.(1)讨论)(x f 的单调区间;(2)若1=a ,且对于任意的),1(+∞∈x ,)()(x f x mg >恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)a ≥0时,)(x f 的单调递增区间是)0(∞+,; 0<a 时,)(x f 的单调递增区间是)210(a-,;单调递减区间是)21(∞+-,a.(2)m ≥e 3.②当em 30<<时,令x x q x me x p x 2)(1)(=-=,. 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+,上单调递增,∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p . 由x x q 2)(=在)1[∞+,单调递增,于是2)(min =x q .∴min min )()(x q x p <. 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况: 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方,此时)()(x q x p <,即0)(<'x h ,故)(x h 在)1(∞+,单调递减,又0)1(=h ,故0)(<x h ,不满足条件. 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交,设第一个交点横坐标为x0,当)1(0x x ,∈时,)()(x q x p <,即0)(<'x h ,故)(x h 在)1(0x ,单调递减,又0)1(=h ,故当)1(0x x ,∈时,0)(<x h .∴)(x h 不可能恒大于0,不满足条件.……9分③当m ≥e 3时,令x x me x x 21)(--=ϕ,则21)(2-+='xme x x ϕ. ∵x ∈)1(∞+,,∴21)(2-+='xme x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e , 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+,上单调递增, 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ,即0)(>'x h , ∴)(x h 在)1(∞+,上单调递增,∴0)1()(=>h x h 成立. 综上,实数m 的取值范围为m ≥e3.………………………………………12分考点:利用导数求函数单调区间,利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a 恒成立,只需f(x)min ≥a 即可;f(x)≤a 恒成立,只需f(x)max ≤a 即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521(t 为参数),设点)1,1(P ,直线l 与曲线C 相交于B A ,两点,求||||PB PA +的值.【答案】(1)24y x =(2)415∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .……………………………10分考点:极坐标方程化为直角坐标方程,直线参数方程几何意义23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.(1)若1=a ,求不等式0)(≥x f 的解集;(2)若方程()f x x =有三个实数根,求实数a 的取值范围.【答案】(1))21[∞+-,(2)11a -<< (2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a .令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=,,,,,,12111211)(x x x x x x x x x x h 作出图象如右. ………………………8分于是由题意可得11a -<<.…………10分考点:绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.。

四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题

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一、单选题二、多选题1. 若函数是奇函数,则使得成立的的取值范围是A.B.C.D.2. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例关于贷款人的年收入(单位:万元)的Logistic ,模型:,已知当贷款人的年收入为8万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为( )(精确到0.01万元,参考数据:,)A .4.65万元B .5.63万元C .6.40万元D .10.00万元3. 若函数满足,且当时,,则( )A .-1B.C .0D.4. 若复数满足,则( )A.B.C.D.5. 设函数,则( )A .-8B .-6C .6D .86. 把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A .18种B .9种C .6种D .3种7.直线与圆相交于两点,则是“的面积为”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件8. 已知中,,,,点P 为边AB 上的动点,则的最小值为( )A .-4B .-2C .2D .49. 下列说法正确的是( )A.经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B .在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好C .设随机变量服从正态分布,若,则D .若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,则样本的方差不变10. 下列命题正确的有( )A .空间中两两相交的三条直线一定共面B .已知不重合的两个平面,,则存在直线,,使得,为异面直线C .过平面外一定点,有且只有一个平面与平行D .已知空间中有两个角,,若直线直线,直线直线,则或11. 设,为正实数,则下列不等式正确的是( )A.B.C.D.四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题12. 若,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是( )A.B.C.D.13. 已知集合,,若则实数的值为________14. 已知抛物线的焦点为F ,斜率为1的直线l 过F 与C 交于A ,B 两点,AB 的中点到抛物线准线的距离为8,则______.15. 已知,且,则等于______.16.已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)中,,,分别是角,,所对的边,,,且,求的面积.17. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合,借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况,通过中国互联网数据平台得到我国2015年-2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示,若用x 表示年份代码(2015年用1表示,2016年用2表示,依次类推),用y 表示市场规模(单位:亿元),试回答:(1)根据条形统计图中数据,计算变量y 与x 的相关系数r ,并用r 判断两个变量y 与x 相关关系的强弱(精确到小数点后2位);(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示,试求y 关于x 的线性回归方程,并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).附:线性回归方程,其中;相关系数;参考数据:.18. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知.(1)求角B 的大小;(2)求的取值范围.19. 如图,在三棱锥中,分别是AC ,PC 的中点.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值20. 如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,为等腰直角三角形,,,F是BC的中点.(1)在AD上是否存在点E,使得平面平面,若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.(2)为等边三角形,在(1)的条件下,求直线SE与平面SBC所成角的正弦值.21. 如图,为圆的直径,点在圆上,,矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.已知,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)设几何体、的体积分别为,求的值.。

2020-2021学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学(理科)试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=()A.(﹣1,1)B.(0,1)C.(﹣1,+∞)D.(0,+∞)2.(5分)已知复数是纯虚数,则实数a=()A.﹣2 B.4 C.﹣6 D.63.(5分)设随机变量ξ~N(2,4),若P(ξ>a+2)=P(ξ<2a﹣3),则实数a的值为()A.1 B.C.5 D.94.(5分)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)=()A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e5.(5分)设平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,若α∥β,则k=()A.2 B.﹣4 C.﹣2 D.46.(5分)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.(5分)若变量x,y满足约束条件,则ω=4x•2y的最大值是()A.100 B.240 C.500 D.5128.(5分)已知命题p:∃x0∈R,x02+ax0+a<0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是()A.[0,4] B.(0,4)C.(﹣∞,0)∪(4,+∞)D.(﹣∞,0]∪[4,+∞)9.(5分)把一枚质地均匀的硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“二次出现正面”为事件B,则P(B|A)等于()A.B.C.D.10.(5分)8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有()A.C83B.C83A83C.C83A22D.3C8311.(5分)如图,正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C,则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是()A.B.C.D.12.(5分)过点A(2,1)做曲线f(x)=x3﹣3x的切线,最多有()A.3条B.2条C.1条D.0条二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)13.(4分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是.14.(4分)的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2的系数为.15.(4分)已知复数z=x+yi,且|z﹣2|=,则的最大值为.16.(4分)已知实数x,y满足x﹣=﹣y,则x+y的最大值为.三、解答题(本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求ξ的分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.20.(12分)已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.2020-2021学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学(理科)试题参考答案一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=()A.(﹣1,1)B.(0,1)C.(﹣1,+∞)D.(0,+∞)【分析】求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再由并集运算得答案.【解答】解:∵A={y|y=2x,x∈R}=(0,+∞),B={x|x2﹣1<0}=(﹣1,1),∴A∪B=(0,+∞)∪(﹣1,1)=(﹣1,+∞).故选:C.【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.2.(5分)已知复数是纯虚数,则实数a=()A.﹣2 B.4 C.﹣6 D.6【分析】化简复数,由纯虚数的定义可得关于a的式子,解之可得.【解答】解:化简可得复数==,由纯虚数的定义可得a﹣6=0,2a+3≠0,解得a=6故选:D【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,涉及纯虚数的定义,属基础题.3.(5分)设随机变量ξ~N(2,4),若P(ξ>a+2)=P(ξ<2a﹣3),则实数a的值为()A.1 B.C.5 D.9【分析】直接利用正态分布的对称性,列出方程求解即可.【解答】解:由题意可知随机变量ξ~N(2,4),满足正态分布,对称轴为μ=2,P(ξ>a+2)=P(ξ<2a﹣3),则:,解得a=.故选:B.【点评】本题考查正态分布的基本性质是应用,考查计算能力.4.(5分)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)=()A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e【分析】已知函数f(x)的导函数为f′(x),利用求导公式对f(x)进行求导,再把x=1代入,即可求解;【解答】解:∵函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,(x>0)∴f′(x)=2f′(1)+,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=﹣1,故选B;【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则,解决此题的关键是对f(x)进行正确求导,把f′(1)看成一个常数,就比较简单了;5.(5分)设平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,若α∥β,则k=()A.2 B.﹣4 C.﹣2 D.4【分析】两个平面平行,可得法向量共线,列出关系式求出k即可.【解答】解:平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,∵α∥β,由题意可得,∴k=4.故选:D.【点评】本题考查平面的法向量,涉及平面与平面的位置关系,属基础题.6.(5分)设x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:由“|x﹣2|<1”得1<x<3,由x2+x﹣2>0得x>1或x<﹣2,即“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件,故选:A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.7.(5分)若变量x,y满足约束条件,则ω=4x•2y的最大值是()A.100 B.240 C.500 D.512【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,如图所示,ω=4x•2y=22x•2y=22x+y,设z=2x+y,即y=2x﹣z,由图象可知当直线经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大,由,解得:,即C(3,3),此时z的最大值为z=6+3=9,则ω=4x•2y的最大值是29=512,故选:D【点评】此题考查了简单线性规划,利用数形结合是解决本题的关键.8.(5分)已知命题p:∃x0∈R,x02+ax0+a<0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是()A.[0,4] B.(0,4)C.(﹣∞,0)∪(4,+∞)D.(﹣∞,0]∪[4,+∞)【分析】已知若命题p:∃x0∈R,x02+ax0+a<0.命题p是假命题,推出¬p是真命题,说明方程x2+ax+a≥0恒成立,根据判别式与根的关系进行求解;【解答】解:∵若命题p:∃x0∈R,x02+ax0+a<0.命题p是假命题,则¬p是真命题,说明方程x2+ax+a≥0恒成立,∴△=a2﹣4a≤0,解得0≤a≤4,故选:A.【点评】此题主要考查特称命题真假的判断以及一元二次方程根与判别式的关系,是一道基础题;9.(5分)把一枚质地均匀的硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“二次出现正面”为事件B,则P(B|A)等于()A.B.C.D.【分析】本题是一个条件概率,第一次出现正面的概率,第一次出现正面且第二次也出现正面的概率,代入条件概率的概率公式得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个条件概率,第一次出现正面的概率是P(A)=,第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)==,∴P(B|A)==,故选:A【点评】本题考查条件概率,本题解题的关键是看出事件AB同时发生的概率,正确使用条件概率的公式.10.(5分)8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有()A.C83B.C83A83C.C83A22D.3C83【分析】先考虑从8人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,利用分步计数原理可求.【解答】解:从8人中任选3人有C83种,3人位置全调,由于不能是自己原来的位置,因此有A22种,故有C83A22种.故选C.【点评】本题主要考查排列组合知识,关键是问题的等价转化.11.(5分)如图,正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C,则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是()A.B.C.D.【分析】由已知可得AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直,以O为原点,建立空间直角坐标系O﹣xyz,分别求出平面ACD和平面BCD的法向量,代入向量夹角公式,即可得到二面角A﹣CD﹣B的余弦值.【解答】解:∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,∴平面ABD⊥平面BCD,连接BD,A1C,相交于O,则AO⊥BD,∵平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD∴AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直,如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O﹣xyz.设正方形的棱长为1,则O(0,0,0),A(0,0,),C(,0,0),B(0,﹣,0),D(0,,0),=(0,0,)是平面BCD的一个法向量.=(,0,﹣),=(,,0),=(﹣,,0)设平面ACD的法向量=(x,y,z),则,即,即,令x=1,则y=1,z=1,解得=(1,1,1).从而|cos<,>|===,二面角A﹣CD﹣B的余弦值为,故选:B【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,解答的关键是分别求出平面ACD和平面BCD的法向量,利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法.12.(5分)过点A(2,1)做曲线f(x)=x3﹣3x的切线,最多有()A.3条B.2条C.1条D.0条【分析】设出切点,求出切点处的导数,写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程,再利用其导函数判断极值点,根据极值得到切点横坐标的个数,从而答案可求.【解答】解:设切点为P(x0,x03﹣3x0),f′(x0)=3x02﹣3,则切线方程y﹣x03+3x0=(3x02﹣3)(x﹣x0),代入A(2,1)得,2x03﹣6x02+7=0.令y=2x03﹣6x02+7=0,则由y′=0,得x0=0或x0=2,且当x0=0时,y=7>0,x0=2时,y=﹣1<0.所以方程2x03﹣6x02+7=0有3个解,则过点A(2,1)作曲线f(x)=x3﹣3x的切线的条数是3条.故选:A.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程,考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数,是中档题.二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)13.(4分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是[0,1] .【分析】建立空间直角坐标系,求出有关点的坐标可得、、、的坐标,再由=1﹣λ∈[0,1],可得的取值范围.【解答】解:以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴,以所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、D1(0,0,1).∴=(0,1,0)、(﹣1,﹣1,1).∵点P在线段BD1上运动,∴=λ•=(﹣λ,﹣λ,λ),且0≤λ≤1.∴=+=+=(﹣λ,1﹣λ,λ),∴=1﹣λ∈[0,1],故答案为[0,1].【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量的数量积公式,属于中档题.14.(4分)的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2的系数为160 .【分析】由的展开式中各项系数之和为729,知3n=729,解得n=6.再由(2x+)6的通项公式为T r+1==,能求出该展开式中x2的系数.【解答】解:∵的展开式中各项系数之和为729,令x=1,得3n=729,解得n=6.∵(2x+)6的通项公式为T r+1==,由6﹣=2,得r=3.∴该展开式中x2的系数为=8×=160.故答案为:160.【点评】本题考查二项式系数的性质的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.15.(4分)已知复数z=x+yi,且|z﹣2|=,则的最大值为.【分析】由题意求出x,y的关系,利用的几何意义点与原点连线的斜率,求出它的最大值.【解答】解:,即(x﹣2)2+y2=3就是以(2,0)为圆心以为半径的圆,的几何意义点与原点连线的斜率,易得的最大值是:故答案为:.【点评】本题考查复数的基本概念,复数求模,简单线性规划,考查计算能力,是中档题.16.(4分)已知实数x,y满足x﹣=﹣y,则x+y的最大值为 4 .【分析】先对等式进行变形化简,然后利用进行求出x+y的范围,即可求出所求.【解答】解:∵,∴x+y=+≤2则(x+y)2≤2(x+y+4)解得:﹣2≤x+y≤4∴x+y的最大值为4故答案为:4【点评】本题主要考查了基本不等式的应用,以及最值的求解等有关知识,可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力.三、解答题(本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求ξ的分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.【分析】(Ⅰ)由题意知,ξ的可能取值为0,10,20,30,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ;(Ⅱ)由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”,B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”,可知A、B互斥.利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.【解答】解:由题意知,ξ的可能取值为0,10,20,30,由于乙队中3人答对的概率分别为,,,P(ξ=0)=(1﹣)×(1﹣)×(1﹣)=,P(ξ=10)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×==,P(ξ=20)=××(1﹣)+(1﹣)××+×(1﹣)×==,P(ξ=30)=××=,∴ξ的分布列为:ξ0 10 20 30P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=.(Ⅱ)由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”,B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”,可知A、B互斥.又P(A)==,P(B)=××=,则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)==.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用,确定随机变量,及其概率.18.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.【分析】(1)首先,对于曲线C:根据极坐标与直角坐标变换公式,方程ρsin2θ=2acosθ(a >0),两边同乘以ρ,化成直角坐标方程,对于直线l:消去参数t即可得到普通方程;(2)首先,联立方程组,消去y整理,然后,设点M,N分别对应参数t1,t2,从而,得到|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|,然胡,结合一元二次方程根与系数的关系,建立含有a的关系式,求解a的取值.【解答】解:(1)∵,方程ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以ρ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0.(2)联立方程组,消去y并整理,得t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0 (*)△=8a(4+a)>0.设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|.由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2﹣5(4+a)=0,得a=1,或a=﹣4.∵a>0,∴a=1.【点评】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,参数方程和普通方程的互化,直线与曲线的位置关系等知识,属于中档题.19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.【分析】(Ⅰ)由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD,进一步得到AB⊥PD,再由PD⊥PA,由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB;(Ⅱ)取AD中点为O,连接CO,PO,由已知可得CO⊥AD,PO⊥AD.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),进一步求出向量的坐标,再求出平面PCD的法向量,设PB与平面PCD的夹角为θ,由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),由可得M(0,1﹣λ,λ),,由BM∥平面PCD,可得,由此列式求得当时,M点即为所求.【解答】(Ⅰ)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,且AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,且PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB;(Ⅱ)解:取AD中点为O,连接CO,PO,∵CD=AC=,∴CO⊥AD,又∵PA=PD,∴PO⊥AD.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),则,,设为平面PCD的法向量,则由,得,则.设PB与平面PCD的夹角为θ,则=;(Ⅲ)解:假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),,则有,可得M(0,1﹣λ,λ),∴,∵BM∥平面PCD,为平面PCD的法向量,∴,即,解得.综上,存在点M,即当时,M点即为所求.【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了直线与平面所成的角,训练了存在性问题的求解方法,建系利用空间向量求解降低了问题的难度,属中档题.20.(12分)已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,然后对a分类分析导函数的符号,由导函数的符号确定原函数的单调性;(Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)﹣f′(x),令g(x)=x﹣lnx,h(x)=.则F(x)=f (x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),利用导数分别求g(x)与h(x)的最小值得到F(x)>恒成立.由此可得f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=a(x﹣lnx)+,得f′(x)=a(1﹣)+==(x>0).若a≤0,则ax2﹣2<0恒成立,∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当a>0,若0<a<2,当x∈(0,1)和(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(1,)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;若a=2,f′(x)≥0恒成立,f(x)在(0,+∞)上为增函数;若a>2,当x∈(0,)和(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;(Ⅱ)解:∵a=1,令F(x)=f(x)﹣f′(x)=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+.令g(x)=x﹣lnx,h(x)=.则F(x)=f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),由,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取等号;又,设φ(x)=﹣3x2﹣2x+6,则φ(x)在[1,2]上单调递减,且φ(1)=1,φ(2)=﹣10,∴在[1,2]上存在x0,使得x∈(1,x0)时φ(x0)>0,x∈(x0,2)时,φ(x0)<0,∴函数h(x)在(1,x0)上单调递增;在(x0,2)上单调递减,由于h(1)=1,h(2)=,因此h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2取等号,∴f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x)>g(1)+h(2)=,∴F(x)>恒成立.即f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题.。

四川省绵阳中学高三上学期入学考试(数学理)

四川省绵阳中学高三上学期入学考试(数学理)

四川省绵阳中学高三上学期入学考试(数学理)第Ⅰ卷(选择题,共48分)一、选择题(本大题共12小题,第小题4分,共计12分)1. 复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A .-3-4iB .-3+4iC .3-4iD .3+4i2. 设f (x )为可导函数,且满足0(1)(12)lim12x f f x x→-+=,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( ) A .2B .-2C .1D .-13. 集合P ={x ∈Z |0≤x <3},M ={ x ∈R |x 2≤9},则P ∩M =( )A .{1,2}B .{0,1,2}C .{x | 0≤x <3}D .{x | 0≤x ≤3}4. 2112lim 11x x x →⎛⎫+⎪--⎝⎭等于( )A .12B .-2C .-12D .05. 已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x,当x <4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)等于( )A .124B .112C .18D .386. 函数f (x )=()()x a x b x c---在点x =1和x =2处的极限值都为0,而在点x =-2处不连续,则x · f (x )<0的解集是( ) A .(-2,0)∪(1,2) B .(-2,2)C .(-∞,-2)∪(1,2)D .(-2,0)∪(2,+∞)7. 设函数f (x )=x 3-22x -2x +5,若对任意x ∈[-1,2],都有f (x )>m ,则实数m 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(-1,+∞)C .(1,2)D .(-∞,72) 8. 已知(2x +1)n的展开式中,二项式系数和为a ,各项系数和为b ,则32323lim 2n a b a b →+∞-+等于( )A .12B .32-C .-3D .39. 数列1,112+,1123++, (1123)+++…+,…的前n 项的和为( ) A .221n n + B .21n n + C .21n n ++ D .21nn +10. 设随机变量ξ~N (u ,σ2),且二次方程x 2+4x +ξ=0无实根的概率为12,则u 的值是( )A .8B .6C .4D .211. 若f (x )=-12x 2+bln (x +2)在(-1,+∞)上为减函数,则b 的取值范围是( ) A .[-1,+∞)B .(-1,+∞)C .(-∞,-1)D .(-∞,-1]12. 若对可导函数f (x ),g (x ),当x ∈[0,1]时,恒有()()()()f x g x f x g x ''<,已知α、β是一个锐角三角形的两个内角,且α≠β,记F (x )=()()f xg x (g (x ) ≠0),则下列不等式正确的是( ) A .F (sin α)<F (sin β) B .F (cos α)> F (sin β) C .F (cos α)> F (cos β)D .F (cos α)< F (cos β)第Ⅱ卷(非选择题,共72分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共计16分)13. 已知函数f (x )= 2644(2)42(2)x x x x ax +⎧-<⎪--⎨⎪≥⎩在点x =2处连续,则f ()=14. 随机变量ξ的分布列如右表:其中a 、b 、c 成等差数列,若E ξ=13,则D ξ的值是15. 已知函数f (x )= cos sin 4f x x π⎛⎫'+⎪⎝⎭,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 16. 已知函数x(21)72(1)()(1)a x a x f x ax -+-<⎧=⎨≥⎩,在(-∞,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 三、解答题:(本大题共5小题,共计56分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)。

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)组成,共4页;答题卡共6页.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ,{}04N x x =≤≤,则M N ⋂=()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ,根据集合的交集运算,即可得答案.【详解】解2450x x --≤,得:15x -≤≤,所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ,{}04N x x =≤≤,所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选:B.2.在复平面内,复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式,然后再进行判断即可.【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-,所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-,在第四象限.故选D .【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式,然后再根据复数的几何意义进行判断,属于基础题.3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若53a a =59,则95S S 等于()A.1 B.-1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S =19159()25()2a a a a ++=5395a a =1.故选:A.4.已知向量a,b不共线,向量3c a b =+,2d a kb =+,且c d ∥,则k =()A.-3 B.3C.-6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=,从而得到23a kb a b λλ+=+ ,得到方程,求出k 的值.【详解】设d c λ=,则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ,故2,36k λλ===.故选:D5.南山中学某学习小组有5名男同学,4名女同学,现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛,则选出的3名同学中男女生均有的概率是()A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数,依题意选出的3名同学中男女生均有,分为两种情况:①1名男同学,2名女同学;②2名男同学,1名女同学,计算出所有可能情况,再根据古典概型的概率公式计算可得;【详解】解:从有5名男同学,4名女同学,现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛,则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯;依题意选出的3名同学中男女生均有,分为两种情况:①1名男同学,2名女同学,有1254C C 30=(种);②2名男同学,1名女同学,215440C C =(种);故概率为30405846P +==故选:B【点睛】本题考查简单的组合问题,古典概型的概率问题,属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=,1cos sin 2αβ+=,则()sin αβ-=()A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加,结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式,即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=,()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=,两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=,得()59sin 72αβ-=,故选:C7.在2022年某省普通高中学业水平考试(合格考)中,对全省所有考生的数学成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀,则下列说法中不正确的是()A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%,则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人,则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分,由不合格率为4%求得合格线,利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数,从而判断各选项.【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上,设其为x ,则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-,解得71.67x ≈,A 错;要全省的合格考通过率达到96%,设合格分数线为y ,则4010.96100.1y --=,44y =,B 正确;由频率分布直方图优秀的频率为0.1,因此人数为10000.1100⨯=,C 正确;由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确.故选:A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ,则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点,求出k 的范围,再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+,即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点,则圆心到直线距离3d =≤,故5≥解得43k ≥或43k ≤-,由几何概型的概率公式,得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选:A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π,且3x π=时,函数()f x 取最小值,若函数()f x 在[]0,a 上单调递减,则a 的最大值是()A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω,再由最小值求得ϕ函数解析式,然后由单调性可得a 的范围,从而得最大值.【详解】由题意22πωπ==,cos(2)13πϕ⨯+=-,22,Z 3k k πϕππ+=+∈,又2πϕ<,∴3πϕ=,()cos(2)3f x x π=+,[0,]x a ∈时,2[,2]333x a πππ+∈+,又()f x 在[0,]a 上单调递减,所以23a ππ+≤,3a π≤,即03a π<≤,a 的最大值是3π.故选:D .10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点,过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线,垂足为M ,则点M 的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆上一点,过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线,垂足为M ,延长2F M 交1F 延长线于Q ,可证得2PQ PF =,且M 是2PF 的中点,由此可求得OM 的长度是定值,即可求点M 的轨迹的几何特征.【详解】解:由题意,P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆上一点,过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线,垂足为M ,延长2F M 交1F P 延长线于Q ,得2PQ PF =,由椭圆的定义知122PF PF a +=,故有112PF PQ QF a +==,连接OM ,知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=,即点M 到原点的距离是定值,由此知点M 的轨迹是圆故选:A .【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹,着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识,属于中档题.11.已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-,其中a 、b ∈R ,e 为自然对数的底数,若()10f =,()f x '是()f x 的导函数,函数()f x '在区间()0,1内有两个零点,则a 的取值范围是()A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+,作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点,数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-,则()21e 10f a b =-+-=,可得21e b a =+-,所以,()()222e 1e1xf x ax a x =-++--,则()222e21e xf x ax a '=-++-,由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+,因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点,所以,函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点,作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象,如图所示:若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e,则2e1a =+,若直线221e y ax a =--+经过点()0,2,则2e 3a =-,结合图形可知,实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选:A .第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10,则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______.【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数,然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ,则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -,由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ,从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为:40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项,则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项,令x 的指数为0,求出n 的值,令1x =,可得展开式中各项系数的和.【详解】解:2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项,∴4402n --=,12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =,可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为:1.【点睛】本题考查展开式的特殊项,正确运用二项展开式是关键,属于基础题.15.在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为___.【答案】45π【解析】【详解】由题意,圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等,所以面积最小时,圆心在原点到直线的垂线中点上,则d =r =,45S π=.点睛:本题考查直线和圆的位置关系.本题中,由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆,则半径就是圆心C 到原点的距离,所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等,得到解答情况.16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线24y cx =于点P ,O 为坐标原点,若1()2OE OF OP =+,则双曲线的离心率为_________.【答案】152【解析】【详解】试题分析:因为,,OF c OE a OE EF ==⊥,所以EF b =,因为1()2OE OF OP =+,所以E为PF 的中点,2PF b =,又因为O 为FF '的中点,所以//PF EO ',所以2PF a '=,因为抛物线的方程为24y cx =,所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ,即抛物线和双曲线的右焦点相同,过F 点作x 的垂线l ,过P 点作PD l ⊥,则l 为抛物线的准线,所以2PD PF a '==,所以点P 的横坐标为2a c -,设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中,222PD DF PF +=,即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-,解得12e =.考点:双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用,同时考查了双曲线的定义及性质,着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用,属于中档试题,本题的解答中,根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同,得出点P 的横坐标为2a c -,再根据在Rt PDF ∆中,得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】(1)12n n a -=(2)212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】(1)根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .(2)根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意,21n n S a =-,当1n =时,11121,1a a a =-=,当2n ≥时,1121n n S a --=-,所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12n n a -=,1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由(1)得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数,所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售,为了合理定价,现将该水果按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x (元)789111213销量y (kg )120118112110108104(1)已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程;(2)若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析,求销量恰在区间[110,118]内的单价种数ξ的分布列和期望.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑,a y bx =-$$.【答案】(1) 2.5137y x =-+;(2)见解析【解析】【分析】(1)由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ,则可求得线性回归方程;(2)求出ξ的所有可能取值为0,1,2,3,求出概率,可得分布列与期望.【详解】解:(1)()1789111213106x =+++++=,()11201181121101081046y =+++++=112.ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-,()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=.∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+;(2)6种单价中销售量在[110,118]内的单价种数有3种.∴销量恰在区间[110,118]内的单价种数ξ的取值为0,1,2,3,P (ξ=0)=0336120C C =,P (ξ=1)=123336920C C C ⋅=,P (ξ=2)=213336920C C C ⋅=,P (ξ=3)=3336120C C =.∴ξ的分布列为:ξ0123P120920920120期望为E (ξ)=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查离散型随机变量的期望,考查计算能力,求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法:(1)理解离散型随机变量ξ的意义,写出ξ的所有可能取值;(2)求ξ取每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)根据均值的定义求E()ξ19.记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.(1)求证:π2B A =+;(2)求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2))【解析】【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =,结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.(2)根据π2B A =+及cos sin A B =,结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,先求出角A 的范围,然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=,由正弦定理得,2222sin b c a bc B +-=,由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==,所以cos sin A B =,又cos sin()2A A π=-,所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<,0πB <<,所以π2A B -=或ππ2A B -+=,所以π2A B +=或π2B A =+,又π2C ≠,所以ππ2A B C +=-≠,所以π2B A =+,得证.【小问2详解】由(1)知π2B A =+,所以ππ22C A B A =--=-,又cos sin A B =,所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭,因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩,所以π04A <<,所以2cos 12A <<,因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增,所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点,并与x 轴交于点P ,直线AC 与BD 交于点Q.(1)当2CD =时,求直线l 的方程;(2)当P 点异于,A B 两点时,证明:OP OQ ⋅为定值.【答案】(1)1y =+;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先由题意求出椭圆方程,直线l 不与两坐标轴垂直,设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±,然后将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去y ,利用根与系数的关系,再由弦长公式列方程可求出k 的值,从而可得直线方程;(2)表示直线AC ,BD 的方程,联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-,而1P x k =-,则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】(1)由题意,椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直,故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±,设()()1122,,,C x y D x y ,由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=,判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++,①故12322CD x x =-=,解得k =即直线l 的方程为1y =+.(2)证明:直线AC 的斜率为111AC y k x =+,故其方程为()1111y y x x =++,直线BD 的斜率为221BD y k x =-,故其方程为()2211y y x x =--,由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由(1)知12222kx x k =--+,故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-.易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ,所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈.(1)若0a ≤,求()f x 在()0,∞+上的单调区间;(2)若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点,求a 的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为()0,3,单调递增区间为()3,+∞(2)3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--,再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果;(2)对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--,令()e xg x ax =-,将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点,再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值,进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--,又因为0a ≤,0x >,则e 0x ax ->,所以,当()0,3x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;当()3,x ∈+∞时,()0f x ¢>,函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3,单调递增区间为()3,+∞.【小问2详解】由(1)知,当0a ≤,函数()f x 在()0,3上单调递减,此时()f x 在()0,3上不存在极值点,不符合题意,所以0a >,设()e xg x ax =-,[0,)x ∈+∞,所以()e xg x a '=-,当01a <≤时,当()0,3x ∈时,()e 0xg x a '=->,所以()g x 在()0,3上单调递增,所以当()0,3x ∈时,()()010g x g >=>,所以当()0,3x ∈时,()0f x '<,所以()f x 在()0,3上单调递减,故()f x 在()0,3上不存在极值点,不符合题意;当1a >时,令()0g x '<,解得0ln x a <<,令()0g x '>,解得ln x a >,所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减,在()ln ,a ∞+上单调递增,所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-,若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点,则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩,即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<.综上,a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭.选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数),222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点(异于极点),点()2,0P ,求PAB 的面积.【答案】(1)224x y -=;22(2)4x y -+=(2【解析】【分析】(1)利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程,利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程;(2)分别求得12,C C 的极坐标方程,联立射线,从而得到A ρ,B ρ,进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数),则22212x t t=++,22212y t t =+-,两式相减,得1C 的普通方程为:224x y -=;曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),所以2C 的普通方程为:()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+,即24cos 2ρθ=,联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得A ρ=,所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭,而2C 的普通方程()2224x y -+=,可化为224x y x +=,所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=,联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得B ρ=,所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭,又点()2,0P ,所以2OP =,则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= .[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+,其中00m n >>,.(1)若函数()h x 的图像关于直线1x =对称,且()()23f x h x x =+-,求不等式()2f x >的解集.(2)若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2,求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】(1)()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭;(2)11m n+的最小值为2,相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =,对x 分三种情况讨论,分别去掉绝对值符号,然后求解不等式组,再求并集即可得结果;()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=,可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称,1m ∴=,()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-,①当x 1≤时,()321432x x x x =-+-=->,解得2x 3<,②当31x 2<<时,()f x 32x x 12x 2=-+-=->,此时不等式无解,②当3x 2≥时,()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->,解得x 2>,综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ .()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ,又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2,2m n ∴+=,()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当1m n ==时取等号,故11m n+的最小值为2,其相应的1m n ==.【点睛】绝对值不等式的常见解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;。

四川省绵阳市高三上学期数学开学考试试卷

四川省绵阳市高三上学期数学开学考试试卷

四川省绵阳市高三上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在 (共14题;共14分)1. (1分)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A B中元素的个数为________ 。

2. (1分) (2017高二下·沈阳期末) 复数z满足,则z的虚部是________.3. (1分) (2018高三下·鄂伦春模拟) 若向量与向量共线,则 ________.4. (1分) (2018高二下·黄陵期末) 随机变量X的分布列是X123P0.40.20.4则EX,DX分别是________5. (1分) (2017高二下·溧水期末) 根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,输出的S值为________.6. (1分) (2017高三上·徐州期中) 双曲线的离心率是________.7. (1分) (2018高二上·张家口月考) 书架上有2本不同的语文书,1本数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是语文书的概率为________.8. (1分) (2017高一上·焦作期末) 如图所示,已知G,G1分别是棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的下底面和上地面的中心,点P在线段GG1上运动,点Q在下底面ABCD内运动,且始终保持PQ=2,则线段PQ的中点M 运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为________.9. (1分)过点(,0)引直线l与曲线y= 相交于A,B两点,则直线l斜率的取值范围是________.10. (1分)把函数的图象向右平移个单位,所得到的图象的函数解析式为________11. (1分) (2017高一下·张家口期末) 已知等比数列{an}的首项为32,公比为﹣,则等比数列{an}的前5项和为________.12. (1分) (2019高一下·滁州月考) 已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为________ .13. (1分)(2017·太原模拟) 已知向量,满足 =(4,﹣3),| |=3,若向量,的夹角为,则|2 +3 |=________.14. (1分) (2016高一上·镇海期末) 函数f(x)=3sin(πx)﹣,x∈[﹣3,5]的所有零点之和为________.二、解答题 (共6题;共45分)15. (5分)(2020·潍坊模拟) 现在给出三个条件:①a=2;②B;③c b.试从中选出两个条件,补充在下面的问题中,使其能够确定△ABC,并以此为依据,求△ABC的面积.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足,求△ABC的面积(选出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答记分)16. (5分)如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F 为CE的中点,(1)求证:AE∥平面BDF;(2)求证:平面BDF⊥平面ACE;(3)2AE=EB,在线段AE上找一点P,使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为,求AP的长.17. (10分) (2016高一下·随州期末) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn= ,求{bn}的前n项和Tn.18. (5分)过点(0,4),斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A、B,且弦|AB|的长度为4.(1)求p的值;(2)求证:OA⊥OB(O为原点).19. (10分) (2016高一上·宁德期中) 某市出租车的计价标准是4km以内10元(含4km),超过4km且不超过18km的部分1.5元/km,超出18km的部分2元/km.(1)如果不计等待时间的费用,建立车费y元与行车里程x km的函数关系式;(2)如果某人乘车行驶了30km,他要付多少车费?20. (10分)已知函数f(x)= cos(2x+ ),g(x)=1+ .(1)设x0是y=f(x)图象最高点的横坐标,求g(2x0)的值;(2)令h(x)=f(x﹣)+g(x﹣),若方程h(x)+k=0在[0, ]只有一个解,求实数k的取值范围.参考答案一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在 (共14题;共14分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题;共45分)15-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三上学期入学考试理科数学试题

四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三上学期入学考试理科数学试题


1 2
a
1 b 3
1

;② a 2 b3
;③ log1 a log1 b ;
2
3
④ loga
1 2
logb
1 3
,则其中正确的结
论个数是( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
11.已知 a 5 且 ae5 5ea , b 4 且 be4 4eb , c 3 且 ce3 3ec ,则( )
2
(1)求证: BE AF ;
(2)在直线 BC 上是否存在点 M ,使二面角 E MD A 的大小为 6 ?若存在,求出 CM 的 长;若不存在,请说明理由.
试卷第 3页,共 4页
21.已知函数 f (x) ln x 1 ax2 (a 1)x ,( a R ). 2
(1)若 a 1,讨论函数 y f x 的单调性;
条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既
不充分又不必要”)
14.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村干部,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案

种(用数字作答).
x2 1, x 1
15.若函数
f
x
a
1 x 3
,
x
的值域是 a,
1
,则 a
的取值范围是
.
试卷第 2页,共 4页
(2)若关于
x
的方程
f
x
1 ax 2 2
有两个不同实根
x 1

x
2
,求实数 a
的取值范围,并证明
x1 x2 e2 .
22.在平面直角坐标系
xOy
中,直线

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)

四川省绵阳市高三上学期开学数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共11题;共22分)1. (2分) (2017高二下·台州期末) 设a,b,c为三个不同的实数,记集合A= ,B= ,若集合A,B中元素个数都只有一个,则b+c=()A . 1B . 0C . ﹣1D . ﹣22. (2分) (2016高一上·邹平期中) 函数y= 的定义域是()A . (1,2]B . (1,2)C . (2,+∞)D . (﹣∞,2)3. (2分) (2016高一下·甘谷期中) 已知向量 =(2cosφ,2sinφ),φ∈(90°,180°), =(1,1),则向量与的夹角为()A . φB . 45°+φC . 135°﹣φD . φ﹣45°4. (2分) (2016高一下·岳阳期末) 已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2 , a4 , a8成等比数列,则 =()A . 2B . 3C . 5D . 75. (2分) (2017高一上·嘉峪关期末) 直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分,且与直线x+2y=0平行,直线l 的方程为()A . 2x﹣y=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x+2y﹣3=0D . x+2y﹣5=06. (2分) (2016高三上·晋江期中) 使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]至少出现2次最大值,则ω的最小值为()A .B .C . πD .7. (2分) (2017高一上·伊春月考) 已知函数,若,则实数等于()A .B .C . 2D . 48. (2分) (2016高二上·大名期中) 设数列{an}是首项为1的等比数列,若是等差数列,则的值等于()A . 2012B . 2013C . 3018D . 30199. (2分) (2018高二上·嘉兴月考) 如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A .B .C .D .10. (2分)下列集合恰有2个元素的集合是()A . {x2﹣x=0}B . {x|y=x2﹣x}C . {y|y2﹣y=0}D . {y|y=x2﹣x}11. (2分)已知函数是R上的偶函数,对于都有成立,且,当,且时,都有.则给出下列命题:①;②函数图象的一条对称轴为;③函数在[﹣9,﹣6]上为减函数;④方程在[﹣9,9]上有4个根;其中正确的命题个数为()A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题: (共4题;共5分)12. (1分)(2018·临川模拟) 设 P点在圆上移动,点满足条件,则的最大值是________.13. (1分)的值为________14. (1分) (2018高二上·江苏月考) 过椭圆的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C分别交于点A , B ,是坐标原点,则 ________.15. (2分) (2019高一下·余姚月考) 在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则cosC=________;当BC=1时,则△ABC的面积等于________.三、解答题: (共6题;共55分)16. (10分)已知a>0,函数,且﹣5≤f(x)≤3.(1)求常数a,b的值;(2)设且lgg(x)>0,求g(x)的单调递增区间.17. (10分) (2017高一上·南昌月考) 已知,,, .(1)求与的值;(2)求的值.18. (10分) (2016高三上·泰兴期中) 设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n∈N* ,存在k∈N* ,使得an+k2=an•an+2k成立,则称数列{an}为“Jk型”数列.(1)若数列{an}是“J2型”数列,且a2=8,a8=1,求a2n;(2)若数列{an}既是“J3型”数列,又是“J4型”数列,证明:数列{an}是等比数列.19. (5分)某企业生产A、B两种产品,现有资源如下:煤360吨,水300吨,电200千瓦.每生产1吨A 产品需消耗煤9吨,水3吨,电4千瓦,利润7万元;每生产1吨B产品需消耗煤4吨,水10吨,电5千瓦,利润12万元.(Ⅰ)根据题目信息填写下表:每吨产品煤(吨)水(吨)电(千瓦)AB(Ⅱ)设分别生产A、B两种产品x吨、y吨,总产值为z万元,请列出x、y满足的不等式组及目标函数.(Ⅲ)试问该企业利用现有资源,生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?20. (10分)(2019·鞍山模拟) 已知椭圆的方程为,离心率,且短轴长为4.(1)求椭圆的方程;(2)已知,,若直线l与圆相切,且交椭圆E于C、D两点,记的面积为,记的面积为,求的最大值.21. (10分)(2016·温岭模拟) 定义在(0,+∞)上的函数f(x)=a(x+ )﹣|x﹣ |(a∈R).(1)当a= 时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥ x对任意的x>0恒成立,求a的取值范围.参考答案一、选择题: (共11题;共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题: (共4题;共5分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题: (共6题;共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。

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高三数学(理)入学考试试题一、选这题(共50分) 1.已则( ) A 、 B 、C 、D 、2. 函数的定义域是( ) A . B .C .D .3.“或是假命题”是“非为真命题”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.函数的值域是[ ] A. B.C. D.5、设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,则( )A .B .4C .D .2 6、已知函数,其中,则( )A .2B .4C .6D .77、若函数(,为常数),若则( ). 9. 5. 3.-58.已知函数,则下列判断中正确的是( )A .奇函数,在R 上为增函数B .偶函数,在R 上为增函数C .奇函数,在R 上为减函数D .偶函数,在R 上为减函数 9.函数与的图像如下图:则函数的图像可能是( )y=f(x)oyxy=g(x)oyxoyx10. 函数的定义域为,若存在闭区间[m,n] D,使得函数满足:①在[m,n]上是单调函数;②在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有()①;②;③;④A.①②③④ B.①②④ C .①③④ D .①③二填空题(共25分)11.函数f(x)=2x+b,点P(5,2)在函数f(x)的反函数f-1(x)的图象上,则b=________.12.函数的单调递增区间为:_______13.设是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,,=_____.14.曲线y=13x3+x在点⎝⎛⎭⎪⎫1,43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________15.已知函数f(x)满足f(x+1)=,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有四个零点,则实数k的取值范围是________.三解答题(共75分)16.已知集合,,.(1)求,;(2)若,求a的取值范围.17.已知函数在定义域上为增函数,且满足(1)求的值 (2)解不等式18.(本小题满分12分)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.19. (本小题满分12分)在数列{a n}中,a1=1,3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2).(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)数列求数列的前n项和.20..已知向量=(,),=(1,),且=,其中、、分别为的三边、、所对的角.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,且,求边的长.21. 已知f(x)=ln x+x2-bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)当b=-1时,设g(x)=f(x)-2x2,求证函数g(x)只有一个零点.班级:姓名:一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11: 12、 13、14、 15、三、解答题16、(本小题满分12分)已知集合,,.(1)求,;(2)若,求a的取值范围.17、(本小题满分12分)已知函数在定义域上为增函数,且满足(1)求的值 (2)解不等式18、(本小题满分12分)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.19、(本小题满分12分)在数列{a n}中,a1=1,3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2).(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)数列求数列的前n项和.20、(本小题满分13分)已知向量=(,),=(1,),且=,其中、、分别为的三边、、所对的角.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,且,求边的长.21. (本小题满分14分)已知f(x)=ln x+x2-bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)当b=-1时,设g(x)=f(x)-2x2,求证函数g(x)只有一个零点.丰谷高中2014届高三9月入学考试答案(理科)一选择题:1——5 BDACB 6-----10 DAAAC9. 由函数f(x),g(x)的图像可知,f(x),g(x)分别是偶函数,奇函数,则f(x)g(x)是奇函数,可排除B ,又∵函数的定义域是函数与的定义域的交集,图像不经过坐标原点,故可以排除C 、D ,故选A10 ① f (x )=x 2(x ≥0),存在“倍值区间”[0,2];②f (x )=e x(x ∈R ),构建函数g (x )=e x-2x ,∴g ′(x )=e x-2, ∴函数在(-∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增, ∴函数在x=ln2处取得极小值,且为最小值.∵g (ln2)=2-2ln2>0,∴g (x )>0恒成立,∴e x-2x=0无解,故函数不存在“倍值区间”; ③倍值区间为[0,1];④,等价于:存在两个不等的根,故存在“倍值区间” 二填空题:11::1 12: (-1,1) 131415 (0,14]15:∵f (x +1)=1fx,∴f (x +2)=f (x ),∴f (x )是周期为2的周期函数, 当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1], ∴f (-x )=-x ,又f (x )为偶函数,∴f (x )=-x , 当x ∈[1,2]时,x -2∈[-1,0],∴f (x -2)=-x +2, ∴f (x )=-x +2, 同理当x ∈[2,3]时,f (x )=x -2,∴在区间[-1,3]上f (x )的解析式为 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -1≤x<0x 0≤x<1-x +2 1≤x<2x -2 2≤x ≤3,∵g (x )在[-1,3]内有四个零点,∴f (x )与y =kx +k 的图象在[-1,3]内有四个交点,∵y =kx +k 过定点A (-1,0),又B (3,1),k AB =14,∴0<k ≤14.三解答题:16、解:(1),因为,所以 (6)(2)由(1)知,①当=时,满足,此时,得; (8)②当≠时,要,则解得. 由①②得,. (12)17、(1) (4)(2)而函数f(x)是定义在上为增函数即原不等式的解集为 (12)18、解:由≤2,得-2≤x≤10.“¬p”:A={x|x>10或x<-2} (3)由x2-2x+1-m2≤0 得1-m≤x≤1+m(m>0) (6)∴“¬q”:B={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.∵¬p是¬q的充分而不必要条件,∴A B.结合数轴有解得0<m≤3 (12)19、(1)因为3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2),整数,得1an -1an-1=3(n≥2), (3)所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是以1为首项,3为公差的等差数列. (5)(2)由(1)可得1an =1+3(n -1)=3n -2,所以a n =13n -2. (7) (9)= (12)20解: (Ⅰ)=+…2在中,,所以,又=所以 (4)所以,即. …………………6 (Ⅱ)因为, 由正弦定理得. (8),得. (10)由余弦定理得解得 . (13)21.(1)∵f (x )在(0,+∞)上递增,∴f ′(x )=1x +2x -b ≥0,对x ∈(0,+∞)恒成立, (2)即b ≤1x+2x 对x ∈(0,+∞)恒成立,∴只需b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2x min (x >0),…………………………………………………..4 ∵x >0,∴1x +2x ≥22,当且仅当x =22时取“=”,11 / 11 ∴b ≤2 2 ∴b 的取值范围为(-∞,22]. (6)(2)当b =-1时,g (x )=f (x )-2x 2=ln x -x 2+x ,其定义域是(0,+∞),∴g ′(x )=1x-2x +1 =-2x2-x -1x =-x -12x +1x,……………………………………………..9 令g ′(x )=0,即-2x +1x -1x =0, ∵x >0,∴x =1,当0<x <1时,g ′(x )>0;当x >1时,g ′(x )<0,∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,……….12 ∴当x ≠1时,g (x )<g (1),即g (x )<0,当x =1时,g (x )=0.∴函数g (x )只有一个零点. (14)。

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