3.1.1(二)实数指数幂及其运算教案学生版

3.1.1 实数指数幂及其运算(二)

【学习要求】

1.理解规定分数指数幂的意义.

2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.

3.理解有理指数幂的含义及其运算性质.

4.了解无理指数幂的意义. 【学法指导】

通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.正数的正分数指数幂:a m

n ＝ (n a)m ＝∈N ＋,且m n 为既约分数).

2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即

a -m

n

＝ (a>0,m,n ∈N ＋,且m

n 为既约分数).

3.a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s ∈Q).

4.(a r )s ＝ a rs _ (a>0,r,s ∈Q).

5.(ab)t ＝ a t b t (a>0,b>0,t ∈Q). 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 我们知道12,(12)2,(12)3,…,它们的值分别为12,14,1

8

….那么,2 ,2 ,2 ,2 ……的意义是什么呢？

这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数. 探究点一 分数指数幂

问题1 什么叫实数？

问题2 根据n 次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？ ①

5

a 10

＝5

(a 2)5＝a 2＝a 105(a>0); ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a (a>0); ③4

a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a(a>0).

问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 小结：正分数指数幂的定义为:a 1

n ＝

n

a (a>0);a m

n ＝(n a)m ＝n a m (a>0,n,m∈N ＋,且m

n 为既约分数).负分数指

数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a －

m

n ＝

(a>0,m,n∈N ＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法.

问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？

例1 求下列各式的值: 823

; 25－1

2 ; ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5 ; ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1681 －3

4.

小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质,

化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题.

1

m

n

a

1

m n

a

跟踪训练1用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):

a 3·a ; a 2·3

a 2 ;

a 3

a.

例2 计算下列各式(式中字母都是正数).

(1)(2a

23

b 12)(－6a 12b 1

3 )÷(－3a 1

6 b 56 ); (2)(m 1

4 n

－

3

8

) 8. 小结：一般地,进行指数幂运算时,可按系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行

运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.

跟踪训练2 计算下列各式: (1)(3

25－125)÷4

25; (2)

a 2a ·3a

2(a >0).

探究点二 无理指数幂

问题1 阅读教材88页的上半页,你能说出3

2

的意义吗？

问题2 无理指数幂a p

(a>0,p 是一个无理数)有何意义？ 问题3 无理指数幂a p

(a>0,p 是一个无理数)有怎样的运算性质？

小结： 一般地,当a>0,为任意实数值时,实数指数幂a α

都是有意义的.可以证明,对任意实数值α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立. 例3 化简下列各式:

小结：化简的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母,又含有负指数.

跟踪训练3 计算下列各式:

(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫214－

12－(0.01)0.5; (2)(0.000 1)

－

1

4＋272

3 －⎝ ⎛⎭⎪⎫4964－12

＋(19)－1.5

. 解：略