3.1.1(二)实数指数幂及其运算教案学生版
高中数学人教B版必修一3.1.1《实数指数幂及其运算》word教案
由此类推：一般地，如果存在实数x,使得 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算。
的 次方根用符号 表示．
式子 叫做根式，这里 叫做根指数（， 叫做被开方数．
正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为 ，－ （ >0，n为偶数）
巩固知识点
3分钟
8分钟
18分钟
14分钟
回忆整数指数幂的定义并板书
1.整数指数幂的定义
2.练习：计算下列各式
， ， ， ， ，
问题1：
在初中我们学过平方根、立方根的概念，它是如何定义的？它有何性质？学生回忆
(1)如果一个数的平方等于a，即 ，那么数x叫做a的平方根，
(2)如果一个数的立方等于a，即 ，那么数x叫做a的立方根；
(3)正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）正数和负数的立方根都只有一个，零的立方根是零。
问题2:以下式子： ， ， ， .中 与9，2与8，-2与-8， 与16，3与243，-3与-243是什么关系？
叫9的平方根，2叫8的立方根，-2叫-8的立方根.
类比： 叫16的四次方根，3叫243五次方根，-3叫-243的五次方根。
作业训练
１．以下说法正确的是（ ）
Ａ．正数的ｎ次方根是正数 Ｂ．负数的ｎ次方根是负数
Ｃ．０的ｎ次方根是０ Ｄ．ａ的ｎ次方根是
２．已知 下列各式总能成立的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
３． 化简为．
４．若 ＝－ ，则．
５．若 ，则ｎ的取值范围是．
6．化简下列各式：（１）
3.1.1实数指数幂及其运算学案
一、学习目标：(1) 复习整数指数幂概念及运算 （2）理解分数指数幂和根式的概念； （3）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （4）掌握分数指数幂的运算性质； （5）培养学生观察分析、抽象等的能力.二、学习重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 学习难点；分数指数幂及根式概念的理解三、本节知识：知识呈现层次： 正整数指数幂----整数幂----分数指数幂---有理数指数幂 1．初中复习：(1)整数指数幂概念： n a a _____,a ____n ____.(n Z )∈叫做的叫做幂的，叫做幂的 (2)正整数指数幂规定：(1)=≠0a __(a 0)， (2)-=≠∈n a ____(a 0,n N*) 整数指数幂的运算性质：⋅=∈m n a a ____(m,n Z ) 同底数幂相乘除，底数不变指数相加减 =∈m n (a )____(m,n Z )=∈n (ab )____(n Z )2. 根式和分数指数幂：(1)如果存在实数x,n *x a,(a R,n 1,n N ),=∈>∈使得则x 叫做a 的________ n ，称作开方运算.n ._____，叫做_____(2)对开方运算的认识：⎧⎪⎨⎪⎩n a n a n a n 为奇数, 的次方根有___个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为_____⎧⎪⎨⎪⎩n a n a n a n 为___数, 的次方根只有一个,为负数:为___数, 的次方根不存在.(3)根式的性质：①n ___,(n 1,n N*)=>∈且 ②a, n |a| n ⎧⎨⎩当为___数时，当为___数时 (4)正分数指数幂定义：名词解释：【既约分数:也就是不能再约分的分数。
】 ①a 0)> ②m *m___a 0,n,m N ,)n==>∈且为既约分数 (5)负分数指数幂定义：m-*nma _____,(a 0,m,n N ,)n=>∈且为既约分数+⋅=∈m n m na a a(m,n___)同底数幂相乘除，底数不变指数相加减=∈m n mn(a)a(m,n___)=⋅∈n n n(a b)a b(n__)四、练习与提高1，根式、分式指数幂的概念与性质的简单应用：___=(2)16的4次方根为____ (3)273____-的次方根为(4)27-的4次方根_____. _____=(6))=_____ (7)_____=(8))=______(9)_____=2.求值化简：（1（2）（3(4)(1)≤a(5)(6) +-+++-1111222211112222a b a b(7)a b a b-÷-+41332233a8a b(1)4b a(8)化简五、收获与体会一、学习目标：(1) 复习整数指数幂概念及运算 （2）理解分数指数幂和根式的概念； （3）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （4）掌握分数指数幂的运算性质； （5）培养学生观察分析、抽象等的能力.二、学习重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 学习难点；分数指数幂及根式概念的理解三、本节知识：知识呈现层次： 正整数指数幂----整数幂----分数指数幂---有理数指数幂 1．初中复习：(1)整数指数幂概念： n a a n ,a n .(n Z )∈叫做的次幂叫做幂的底数，叫做幂的指数 (2)正整数指数幂规定：(1)=≠0a 1(a 0)， (2)-=≠∈nn1a(a 0,n N*)a 整数指数幂的运算性质：+⋅=∈m n m na a a (m ,n Z ) 同底数幂相乘除，底数不变指数相加减 =∈m n mn (a )a (m,n Z )=⋅∈n n n(a b )a b (n Z )2. 根式和分数指数幂：(1)如果存在实数x,n *x a,(a R,n 1,n N ),=∈>∈使得则x 叫做a 的n 次方根. n n 次方，称作开方运算.n .叫做根指数(2)对开方运算的认识：⎧⎪⎨±⎪⎩n a n a n a n 为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.(3)根式的性质：①n a,(n 1,n N*)=>∈且 ②a, n |a| n ⎧⎨⎩当为奇数时，当为偶数时 (4)正分数指数幂定义：名词解释：【既约分数:也就是不能再约分的分数。
教学设计2： 实数指数幂及其运算（二）
§3.1.1 实数指数幂及其运算（二）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学过程： 提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1025a a===②842a a===③1234a a===1025a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a==>12(0)b b==>54(0)c c==>*(0,,1)mna a n N n=>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)mna a m n N=>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a=⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q=>∈（3）()(0,0,)r r ra b a b Q b r Q⋅=>>∈若a＞0，P是一个无理数，则(0,)pa a p>是一个无理数该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.的不足近似值，的.所以，的方向逼近时，的过剩似值从大于时，(如课本图所示)所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)pa a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈例1求值:①832;②2521-③(21)－5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，21写成2－1，8116写成(32)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5－1=51; ③(21)－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32;④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)－3=827.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式. a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a >0).活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a ·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(－6a 21b 31)÷(－3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m 841⨯n883⨯-=m 2n －3=32nm.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(n m =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4求值或化简. (1)3224ab ba -(a >0，b >0);(2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a >0，b >0);(3)246347625---+-.活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5，7，6拆成(3)2+(2)2，22+(3)2，22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律. 解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a －2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)246347625---+-=222)22()32()23(---+- =3－2+2－3－2+2 =0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用. 例5化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a －3)(a 3－a －3)÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］.活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x32)3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2－(a －3)2］÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a +a －1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和立方差公式却一般不易观察到，a 23=(a 21)3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·a 21a 21-=m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力. 知能训练课本P 59习题2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1－2321-)－1 B.(1－2321-)－1 C.1－2321- D.21(1－2321-) 分析:根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1－2321-)=1－2161-，所以原式的分子分母同乘以(1－2321-)，依次类推，所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1－2321-)－1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1－2+(22710)32-－3π0+9－0.5+490.5×2－4.解：原式=(925)21+100+(6427)32－3+4921×161=53+100+169－3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a ≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a ≥1).本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习.4.设a >0，x =21(a n 1－a n 1-)，则(x +2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看，应先化简，然后再求值，这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2，再算出2x 1+，将x =21(a n 1－a n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x +2x 1+)n=［21(a n 1－a n1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1－a n1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a .答案：a 课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α（a >0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r +s (a >0，r ，s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0，r ，s ∈R ). ③(a ·b )r =a r b r (a >0，b >0，r ∈R ). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.。
实数指数幂及其运算教案
3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③am a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12.2．根式如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当na 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】已知＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：|a ＋1|，∴|a ＋1|＝－a －1＝－(a ＋1)．∴a ＋1≤0，即a ≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：；.解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2)＝－2＋(2＋2)＝－2.(2)＝(1＋1)＝辨误区 根式运算应注意的问题利用na n 的性质求值运算时，要注意n 的奇偶性．特别地，当n 为偶数时，要注意a 的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义 正分数指数幂可定义为：①1na＝na (a ＞0)；②m na ＝(na )m＝na m⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=m nm na a-⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数. 提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数． 感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．m na 与na m 表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但要注意在像14()a -＝4－a中的a ，则需要a ≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β；②(a α)β＝a αβ；(3)(ab )α＝a αb α(其中a ＞0，b ＞0，α，β∈Q )．析规律 有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b +⋅-＝a －b (a ＞0，b ＞0)；111122222()2a b a b a b ±=+±(a ＞0，b ＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯---⎪-⎝⎭. (2)333443444=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)2. 解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a aa a a --⋅4．无理指数幂 (1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即： ①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+⋅解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅. (2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a 化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)1012234122254--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式：(1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x y xyx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xyx y x y x y x yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.显然，从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.由于3311332222=()()a a a a----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a aa a a a--------++⋅--＝a＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律 平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．【例6－2】已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，的值． 分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab 和a ＋b 的形式．又a ，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab +⎧⎨⎩∵a ＞b ＞0，>又∵221=105⎛.。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够运用运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备：实数指数幂的相关知识，运算法则的案例，教学PPT等。
2. 学生准备：预习实数指数幂的相关知识，准备好笔记本。
五、教学过程1. 导入新课教师通过复习实数的基本概念，引导学生进入实数指数幂的学习。
2. 知识讲解（1）实数指数幂的概念教师讲解实数指数幂的定义，引导学生理解指数幂的意义。
（2）有理数指数幂的运算性质教师讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生掌握运算规律。
（3）实数指数幂的运算法则教师讲解实数指数幂的运算法则，引导学生掌握运算法则。
3. 案例分析教师展示实数指数幂的运算案例，引导学生运用运算法则解决问题。
4. 课堂练习教师布置课堂练习题，学生独立完成，教师进行讲解和辅导。
5. 总结与拓展教师对本节课的知识进行总结，引导学生思考实数指数幂在实际问题中的应用。
6. 课后作业教师布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思教师在课后对教学情况进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和课堂练习，评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
八、教学时间本节课计划用2课时完成。
九、教学资源1. 教学PPT2. 实数指数幂的案例分析资料3. 课堂练习题十、教学拓展引导学生学习实数指数幂在实际问题中的应用，如科学计算、经济学等领域。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习实数的乘方概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
2011高一数学学案：3.1.1《实数指数幂及其运算》(第二课时)(新人教B版必修一)
3.1.1实数指数幂及其运算（2）【学习目标要求】要求学生理解分数指数幂的概念和性质，根式和分数指数幂的互化，实数指数幂的概念和性质，并会进行相关运算。
【知识再现】1 ① 当n =；② 当n a ⎧==⎨⎩（要注意分清n 是偶数还是奇数)2 整数数指数幂的性质（1） ，（2） ，（3） 。
（4） 。
3 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
4规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
5 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）（3） 。
【概念探究】阅读教材86页88页例题1以前，思考并完成以下问题1分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用 之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2 为什么有理指数幂可以扩展到无理指数幂？例题例1 化简：332b a a b ba练习：（1例2：已知：22121=+-a a 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .练习：已知12,9x y xy +==，且x y <，求11221122x yx y -+的值。
【课堂检测】1 下列运算正确的是（ ）A 2332()()a a -=-B 235()a a -=-C 235()a a -=D 236()a a -=- 2 下列说法正确的是（ ）A -2是16的四次方根B 正数的n 次方根有两个C a 的nD a =3 下列各式成立的是（ ） A 7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B= C34()x y =+ D=4. （1）4325)12525(÷-（22a＞0）5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷，(0)b≠6. 0=，求x y。
教学设计3： 实数指数幂及其运算
3.1.1实数指数幂及其运算（一）学习目标1．知识与技能目标理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中。
2．过程与方法目标通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习。
3．情感态度与价值观目标通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力。
（二）重点难点教学重点：根式的概念、性质教学难点：根式的概念（三）教学内容安排1复习回顾：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质。
现在，我们一起来看屏幕。
规定：a 0=1（a≠0）n n aa 1=-（a≠0,n +N ∈） 这儿我们为什么都要求a≠0？（引导学生分析清楚）另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念。
我们来看，若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
这样，我们可以给出n 次方根的定义。
2讲授新课：1.n 次方根的定义：若x n =a(n>1且n ∈N*)，则x 叫做a 的n 次方根。
n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢？正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数。
这样，再由n 次方根的定义我们便可得到n 次方根的性质。
2.根式运算性质：①a a n n =）（（n>1,且n +N ∈）,||,a n a n ⎧=⎨⎩当为奇数时；当为偶数时关于性质的推导，我们一起来看：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题。
3.例题讲解： 解：)(||)()4(3|3|)3()3(10|10|)10()2(881244233b a b a b a b a >-=-=--=-=-=-=--=πππ）（－）（根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。
2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。
四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。
实数指数幂及其运算教学设计
第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.1.1 实数指数幂及其运算 第1课时本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算 整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理指数幂性质进行化简、求值. 教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解. (2)有理指数幂性质的灵活应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 实数指数幂及其运算(1)导入新课即时聊天工具qq 的强大传播功能 新知探究一、正整数指数幂（复习）：1．()na n N +∈的意义： n na a aa =⋅2．()na n N +∈的运算：（1）m n m na a a+⋅= （2）()m n m na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅3.负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 练习1想一想=08 =-08）（ =-≠0）时，（b a b a =-310=--621）（ =-32）（x =-323）（r x =0001.0二、根式：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得nx a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根；求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
数学人教B版1教案：3.1.1 实数指数幂及其运算含解析
示范教案错误!教学分析在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．（3)运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点：（1)分数指数幂及根式概念的理解．（2）实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1。
碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路2。
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。
例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。
第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。
例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。
第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。
例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。
例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。
例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。
讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。
实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。
六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。
七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。
例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。
实数指数幂及其运算运算教案
3.1.1实数指数幂及其运算知识与技能: (1）掌握根式的概念；(2）规定分数指数幂的意义；(3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； (4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； (5）了解无理数指数幂的意义过程与方法: 通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．情感态度与价值观: 通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质． 一、引入课题有典故引入课题，了解指数指数概念提出背景，体会引入指数的必要性； 二、研探新知 （一）整数指数幂1、整整指数幂：n a 叫做a 的n 次幂，n →幂指数，a →幂底数，n 是正整数→正整数指数幂规定：a a =12、正整数指数幂的运算法则：（1）n m n m a a a +=⋅ （2）()mn nma a =（3）)0,(≠>=-a n m a aa n m n m 且 （4）()m m mb a ab ⋅=3、零指数幂和负整数指数幂 规定：（1）)0(0≠=a a a （2）),0(1+-∈≠=N n a a a nn 例：96页A-1二组：（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b=，则25m n -= .（2）已知21na=，*()n N ∈，则33n nnna a a a---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为（二）分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果存在实数x,使得）（+N ∈>∈=n n R a a x n ,1,，那么x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算。
a 的n 次方根用符号n a 表示．（1）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为n a ， －n a （a >0，n 为偶数）（2）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （3）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．都表示为n a （n 为奇数）．（4）正数a 的正n 次方根，叫a 的n 次算数方根 2、根式的概念及性质：（1n 叫做根指数。
实数指数幂及其运算教案
实数指数幂及其运算一、教学目标： 知识与技能：（1）规定0指数幂和负数指数幂（2）掌握根式的概念与性质，熟练地将根式与分数指数幂之间的转化 （3）理解有理数指数幂的含义及其运算法则 过程与方法：通过指数范围的扩大，使学生理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力。
情感态度与价值观：通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质。
二、教学重点与难点教学重点：分数指数幂及根式的性质，实数指数幂的化简、求值 教学难点：实数指数幂的灵活应用 三、教学资源与教学手段 多媒体教室；学生自主思考，合作探究，教师加以引导。
四、教学过程模块一：首先，我们复习一下初中学过的正整数指数幂的概念及运算法则： a a a ⋅=2 a a a a ⋅⋅=3 a a a a n ⋅⋅⋅=定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
法则：（1）nm nma a a +=⋅ （3） )0,(≠>=-a n m a aa nm n m（2） mnn m aa =)( （4）mmmb a ab =)(如果我们取消上述公式（3）中n m >的限制，令n m =或n m <比如：103333===-a a a a 2253531aa a a a ===--所以我们规定：)0(10≠=a a ),0(1+-∈≠=N n a aa n n 练一练：180= 1)8(0=- )(1)(0b a b a ≠=- 001.01011033==-64)21(6=-- 3381)2(xx =- 64223)(x r r x =- 4100001.0-= 12222--=c b a c b a模块二：在初中我们还学过平方根和立方根的概念。
如果a x =2，则x 叫做a 的平方根。
0>a 时，a x =或a x -=；0=a 时，00==x ；0<a 时，无实根。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案第一章：实数指数幂的概念与性质1.1 实数指数幂的定义解释实数指数幂的概念，如a^n 表示a 乘以自身n 次。
强调正实数指数幂表示正数的乘方，负实数指数幂表示分数的概念。
1.2 实数指数幂的性质介绍实数指数幂的基本性质，如a^n a^m = a^(n+m)，(a^n)^m = a^(nm)，以及a^n / a^m = a^(n-m)。
解释零指数幂和无穷大指数幂的性质，如a^0 = 1 和a^∞= ∞。
第二章：实数指数幂的运算规则2.1 同底数幂的乘法讲解同底数幂相乘的规则，即a^n a^m = a^(n+m)。
提供多个例子进行解释和练习。
2.2 同底数幂的除法解释同底数幂相除的规则，即a^n / a^m = a^(n-m)。
提供多个例子进行解释和练习。
第三章：幂的乘方与积的乘方3.1 幂的乘方介绍幂的乘方规则，即(a^n)^m = a^(nm)。
提供多个例子进行解释和练习。
3.2 积的乘方解释积的乘方规则，即(ab)^n = a^n b^n。
第四章：实数指数幂的指数函数4.1 指数函数的定义解释指数函数的概念，如f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
强调指数函数的图像和性质，如当a > 1 时，函数是增函数；当0 < a < 1 时，函数是减函数。
4.2 指数函数的性质介绍指数函数的性质，如f(x) = a^x 的导数为f'(x) = a^x ln(a)。
提供多个例子进行解释和练习。
第五章：实数指数幂的应用5.1 指数幂在科学计算中的应用解释指数幂在科学计算中的应用，如放射性衰变、人口增长等。
提供实际例子进行解释和练习。
5.2 指数幂在代数表达式求值中的应用讲解如何使用指数幂的性质和运算法则来求解代数表达式。
提供多个例子进行解释和练习。
第六章：对数与指数幂的关系6.1 对数与指数幂的定义解释对数的概念，如log_a(b) 表示以a 为底数，b 的对数。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
2. 利用案例分析法，分析实数指数幂在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，分享学习心得。
五、教学步骤：1. 引入实数指数幂的概念，讲解实数指数幂的定义与性质。
2. 讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生进行实际例子的计算。
3. 分析实数指数幂在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 对本节课的内容进行复习，布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂讲解的准确性，学生的理解程度。
2. 学生作业的完成情况，对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
3. 学生小组讨论的活跃程度，对实际问题分析的能力。
七、教学资源：1. 教材《数学》2. 教案3. PPT4. 习题八、教学时间：1课时（45分钟）九、课后作业：1. 复习实数指数幂及运算法则，整理课堂笔记。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 思考实数指数幂在实际问题中的应用，准备课堂分享。
十、板书设计：实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
3.1.1(二)实数指数幂及其运算教案
1 / 23.1.1 实数指数幂及其运算(二)【学习要求】1.理解规定分数指数幂的意义.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.3.理解有理指数幂的含义及其运算性质.4.了解无理指数幂的意义. 【学法指导】通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.正数的正分数指数幂:amn∈N ＋,且m n为既约分数).2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即a -mn＝ (a>0,m,n ∈N ＋,且mn 为既约分数).3.a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s ∈Q).4.(a r )s ＝ a rs _ (a>0,r,s ∈Q).5.(ab)t ＝ a t b t (a>0,b>0,t ∈Q). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们知道12,(12)2,(12)3,…,它们的值分别为12,14,18….那么,2 ,2 ,2 ,2 ……的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数. 探究点一 分数指数幂问题1 什么叫实数？ 答： 有理数,无理数统称实数.问题2 根据n 次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？ ①5a 10＝5(a 2)5＝a 2＝a 105(a>0); ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a (a>0); ③4a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a(a>0).答： 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂形式.问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？答：可以.例如3a 2＝a 23(a>0),b ＝b 12(b>0),4c 5＝c 54(c>0),即一般式有nam＝a mn (a>0,m,n ∈N ＋,且mn为既约分数).小结：正分数指数幂的定义为:a 1n ＝na (a>0);a mn ＝(n a)m ＝n a m (a>0,n,m∈N ＋,且mn 为既约分数).负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a －mn ＝(a>0,m,n∈N ＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法.问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？答：由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理1mna1m na2 / 2指数幂,即:(1)a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s∈Q) (2)(a r )s ＝a rs (a>0,r,s∈Q) (3)(a·b)r ＝a r b r (a>0,b>0,r∈Q)例1 求下列各式的值: 823 ; 25－12 ; ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5 ; ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34.解：略小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质,化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题. 跟踪训练1用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):a 3·a ; a 2·3a 2;a 3a. 解：略例2 计算下列各式(式中字母都是正数). (1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13 )÷(－3a 16 b 56 ); (2)(m 14 n－38) 8. 解：略 小结：一般地,进行指数幂运算时,可按系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.跟踪训练2 计算下列各式: (1)(325－125)÷425; (2)a 2a ·3a 2(a >0). 解：略探究点二 无理指数幂问题1 阅读教材88页的上半页,你能说出32的意义吗？答：当2不足近似值从小于2的方向逼近时, 32的近似值从小于32的方向逼近32;当2的过剩近似值从大于2的方向逼近 2时, 32的近似值从大于32的方向逼近32,所以32是一个确定的实数.问题2 无理指数幂a p (a>0,p 是一个无理数)有何意义？答：无理指数幂a p(a>0,p 是一个无理数)是一个确定的实数,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小的.问题3 无理指数幂a p(a>0,p 是一个无理数)有怎样的运算性质？ 答： 有理指数幂的性质同样适用于无理指数幂.小结： 一般地,当a>0,为任意实数值时,实数指数幂a α都是有意义的.可以证明,对任意实数值α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立. 例3 化简下列各式:小结：化简的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母,又含有负指数.跟踪训练3 计算下列各式:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5; (2)(0.000 1)－14＋2723 －⎝ ⎛⎭⎪⎫4964－12＋(19)－1.5. 解：略。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、探究、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的灵活运用；（2）解决实际问题。
三、教学准备1. 教具准备：（1）黑板；（2）粉笔；（3）多媒体教学设备。
2. 学具准备：（1）练习本；（2）计算器。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：幂的定义、运算法则；（2）提出问题：实数指数幂是什么？它有哪些运算法则？2. 自主探究（1）学生自主探究实数指数幂的定义；（2）学生分组讨论实数指数幂的运算法则；（3）各组汇报讨论成果。
3. 课堂讲解（1）讲解实数指数幂的定义；（2）讲解实数指数幂的运算法则；（3）举例说明实数指数幂的运算法则的应用。
4. 巩固练习（1）学生自主完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂的运算法则的运用。
五、课后作业1. 完成练习册相关题目；2. 运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
六、教学拓展1. 对比实数指数幂与整数指数幂的差异；2. 探讨实数指数幂在实际问题中的应用，如放射性衰变、人口增长等。
七、实践操作1. 学生分组，利用计算器验证实数指数幂的运算法则；2. 每组选取一个实际问题，运用实数指数幂及运算法则求解，并分享解题过程。
八、课堂互动1. 教师提问，学生回答；2. 学生互相提问，共同解答；3. 教师点评互动过程，解答疑问。
九、总结反思1. 学生总结本节课所学内容；2. 学生分享自己在实践操作中的收获；3. 教师点评学生表现，总结实数指数幂及运算法则的重要性和实际应用。
探究式导学案2：3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1.1 实数指数幂及其运算【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x 是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x 是减函数．由y ＝2x 和y ＝(12)x 的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x 和y ＝(13)x 的图象中得到充分的体现．解读指数函数图象的应用 一、比较大小例1 若a <0，则2a ，(12)a,0.2a 的大小顺序是________．二、求解方程根的问题例2 确定方程2x ＝－x 2＋2的根的个数．三、求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m ＝(na )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．二、忽视分数指数幂的意义致错分析 例5 下列化简与计算中，正确的个数是( ) (1)(a 3)2＝a 9；(2)a^23·a ^32＝a (a >0)；(3)a ^610＝a ^35；(4)6(－8)2＝(－8) ^26＝(－8) ^13＝－2；(5)32×6(－3)2＝32×3－3＝3－6＝－36. A ．0B ．1C ．2D ．3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因． 三、忽视隐含条件致错例6 化简：(1－x )[(x －1)－2(－x ) ^12]^12.学指数函数应当心 一、指数函数概念出错例7 已知指数函数y ＝a x 的底数a 满足方程a 2＋a －6＝0，求该指数函数． 二、指数函数值域出错例8 求函数y ＝2^1x －1的定义域和值域．三、指数函数图象出错例9 根据函数y ＝|2x －1|的图象，判断当实数m 为何值时，方程|2x －1|＝m 无解？有一解？有两解？数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________.3．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( ) A ．a >0，b <1 B ．0<a <1，b <0 C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <05．(全国高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1 x ≤0，x ^12 x >0.若f (x 0)<1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 7．(重庆高考)若x >0，则(2x ^14＋3^32)(2x ^14－3^32)－4x －12(x －x ^12)＝________.参考答案例1.解析 分别作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a >(12)a >2a .答案 0.2a >(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．例2.解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示． 由图可以发现，二者仅有两个交点， 所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．例3.解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2，即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．例4.错解 f (a ＋1a)＝(a ＋1a)2－4＝(a －1a )2＝a －1a.剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，na n ＝a ； (2)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，na n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1，所以1a －a ≥0，从而(a ＋1a)2－4＝(a －1a )2＝|a －1a |＝1a－a .例5.剖析 忽视运算性质致错： (1)应为(a 3)2＝a 6，比如，(23)2＝82≠29； (2)应为a ^23·a ^32＝a ^32＋32＝a^136.忽视字母的取值范围致错：(3)应为a ^610＝|a ^35|，比如(－2) ^610应是一个正数，而(－2) ^35却是一个负数．在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然6(－8)2应是一个正数，这里(－8) ^26≠(－8) ^13；(5)显然6(－3)2≠3－3. 故答案为A.教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．例6.错解 (1－x )[(x －1)－2(－x ) ^12]^12＝(1－x )(x －1)－1(－x ) ^14＝－(－x ) ^14.剖析 题目中含有(－x ) ^12，要注意考虑－x ≥0这个前提条件，即x ≤0.正解 由(－x ) ^12可知－x ≥0，即x ≤0，所以(1－x )[(x －1)－2(－x ) ^12]^12＝(1－x )(1－x )－1(－x ) ^14＝(－x ) ^14.点评 在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础例7.错解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.所以该指数函数为y ＝2x 或y ＝(－3)x .剖析 在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a 的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用．正解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.由于指数函数y ＝a x 的底数a 满足a >0且a ≠1，故取a ＝2.所以该指数函数为y ＝2x .点评 指数函数定义中的底数a 满足a >0且a ≠1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意．例8.错解 要使函数y ＝2^1x －1有意义，则x －1≠0，即x ≠1.所以函数y ＝2^1x －1的定义域为{x |x ≠1}．因为x ≠1，即1x －1≠0，所以2^1x －1≠1.所以函数y ＝2^1x －1的值域为{y |y ≠1}．剖析 在解题过程中忽视了指数函数的值域{y |y >0}这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y ≠1是不全面的．正解 要使函数有意义，则x －1≠0，即x ≠1. 所以函数y ＝2^1x －1的定义域为{x |x ≠1}．因为x ≠1，即1x －1≠0，所以2^1x －1≠1.又2^1x －1>0，所以函数y ＝2^1x －1的值域为{y |y >0，且y ≠1}．点评 指数函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的值域只能是R ＋的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论．例9.错解 由方程|2x －1|＝m 可得2x ＝1±m ，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x ＝1±m ≤0， 即m ≤－1或m ≥1时， 方程|2x －1|＝m 无解；当2x ＝1±m >0，即－1<m <1时，方程|2x －1|＝m 有一解； 不存在实数m 使方程|2x －1|＝m 有两解．剖析 不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x －1|＝m 的解的个数转化为求两个函数y ＝|2x －1|与y ＝m 的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解 函数y ＝|2x －1|的图象可由指数函数y ＝2x 的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图象是与x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知： 当m <0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x －1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x －1|＝m 有一解； 当0<m <1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x －1|＝m 有两解．点评 由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.1.解析 由题意知f (1)＝21＝2. ∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0. ①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 答案 A2.解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123.解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4.解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5.解析 当x ≤0时，2－x 0－1<1，得⎝⎛⎭⎫12x 0<2，即x 0>－1，当x >0时，12x 0<1，得x 0<1.答案 A6.解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x . 又∵f (x )＋g (x )＝e x，∴g (x )＝e x －e －x2.答案 D 7.答案 －23。
(教学案)3.1.1实数指数幂及其运算Word版含解析
3.1.1实数指数幂及其运算〔教学设计〕【教学设计理念：】新课标、高中数学课程标准中的数学学科核心素养1、新课程理念——“倡导开放互动的教学方式和合作探究性的学习方式〞2、高中数学课程标准中的数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．本节课的设计思想：是尊重学生的思维，让学生的思维得到最大限度的肯定和优化，创立积极的课堂互动环境，关注开展学生数学素养。
【内容分析：】?指数与指数幂的运算?是根本初等函数的起始课，它除了需要对本章节的内容进行一个简单的介绍外，还需要通过实际的例子感受学习指数函数、对数函数、幂函数这三类重要且常用的根本初等函数的必要性。
本节课的主要内容是：通过实际问题引出分数指数幂，说明扩张指数取值范围的必要性，并由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念。
在本节课的根底上，后面的课时还将进一步探究分数指数幂及其运算性质，最后通过有理数指数幂逼近无理数指数幂，将指数范围扩充到实数。
由此可见，本节课有承上启下的作用，既联系了初中已学的数的平方、开方、二次根式的概念以及整数指数幂及运算法那么，同时为后面学习分数指数幂的进一步扩充及指数函数打下根底。
【学情分析：】学生在学习第一章?集合与函数?后，对研究函数的方法，有了初步的认知，知道函数的研究共性，如研究函数的三要素、函数的图像、函数的性质，以及函数的应用等等，加上初中对一次函数、二次函数、反比例函数等函数有了一定的学习根底，因此，要进一步引导学生用函数的共性去学习根本初等函数，这样，学生的学习方向会进一步明确，知识的生成也变得自然，便于学生的理解掌握。
函数是高中数学的难点内容，学生在学习过程中难免会出现困难，通过课堂中的新旧知识互动、师生互动、生生互动，加强学生在探究问题的能力和合作交流的意识，可以增强学生的数学自信.【教学目标：】1、通过具体的情境了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2、通过对平方根、立方根及其运算性质的推广，理解n次方根和n次根式的概念，通过类比、辨析，培养学生自主探究意识，感受分类讨论的思想；3、理解根式和分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象的能力【教学重点：】根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质.突破策略：类比整数指数幂等学生已学的知识，在学生的最近开展区域延伸.【教学难点：】根式及分数指数幂概念的理解.突破策略：通过实际具体例子，帮助学生理解.【教学工具：】多媒体课件PPT.新知问题：什么叫实数？正整数指数幂及运算性质可以推广吗？教学环节教学内容设计意图互动方式二、自主探索获得新知〔二〕根式1、平方根假设2x a=，那么x叫做a的平方根. (a±)如：4的平方根为2±.注：非负数才有平方根，正数的平方根有两个.2、立方根假设3x a=，那么x叫做a的立方根. (3a)如：8的平方根为. 8-的立方根为.注：任意实数都有立方根，每个数的立方根只有一个.3. n次方根定义：假设*(1,)nx a n n N=>∈且，那么x叫做a的n次方根.负数没有偶数方根.式子n a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.例1.求以下各式的值.33(8);（1）-2(2)(10);-44(3)(3);π-2(4)()().a b a b->提出问题：n nn na a a=探究：一定成立吗？等于什么？性质：()(n na naa n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时为偶数时）例如，16的四次方根为，416=，44(2)-=.学生独立思考，教师请学生解答并说明理由，进一步理解n次方根的意义和性质。
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3.1.1 实数指数幂及其运算(二)
【学习要求】
1.理解规定分数指数幂的意义.
2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
3.理解有理指数幂的含义及其运算性质.
4.了解无理指数幂的意义. 【学法指导】
通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.正数的正分数指数幂:a m
n ＝ (n a)m ＝∈N ＋,且m n 为既约分数).
2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即
a -m
n
＝ (a>0,m,n ∈N ＋,且m
n 为既约分数).
3.a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s ∈Q).
4.(a r )s ＝ a rs _ (a>0,r,s ∈Q).
5.(ab)t ＝ a t b t (a>0,b>0,t ∈Q). 研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 我们知道12,(12)2,(12)3,…,它们的值分别为12,14,1
8
….那么,2 ,2 ,2 ,2 ……的意义是什么呢？
这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数. 探究点一 分数指数幂
问题1 什么叫实数？
问题2 根据n 次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？ ①
5
a 10
＝5
(a 2)5＝a 2＝a 105(a>0); ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a (a>0); ③4
a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a(a>0).
问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 小结：正分数指数幂的定义为:a 1
n ＝
n
a (a>0);a m
n ＝(n a)m ＝n a m (a>0,n,m∈N ＋,且m
n 为既约分数).负分数指
数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a －
m
n ＝
(a>0,m,n∈N ＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法.
问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？
例1 求下列各式的值: 823
; 25－1
2 ; ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5 ; ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1681 －3
4.
小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质,
化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题.
1
m
n
a
1
m n
a
跟踪训练1用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):
a 3·a ; a 2·3
a 2 ;
a 3
a.
例2 计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)(2a
23
b 12)(－6a 12b 1
3 )÷(－3a 1
6 b 56 ); (2)(m 1
4 n
－
3
8
) 8. 小结：一般地,进行指数幂运算时,可按系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行
运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.
跟踪训练2 计算下列各式: (1)(3
25－125)÷4
25; (2)
a 2a ·3a
2(a >0).
探究点二 无理指数幂
问题1 阅读教材88页的上半页,你能说出3
2
的意义吗？
问题2 无理指数幂a p
(a>0,p 是一个无理数)有何意义？ 问题3 无理指数幂a p
(a>0,p 是一个无理数)有怎样的运算性质？
小结： 一般地,当a>0,为任意实数值时,实数指数幂a α
都是有意义的.可以证明,对任意实数值α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立. 例3 化简下列各式:
小结：化简的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母,又含有负指数.
跟踪训练3 计算下列各式:
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫214－
12－(0.01)0.5; (2)(0.000 1)
－
1
4＋272
3 －⎝ ⎛⎭⎪⎫4964－12
＋(19)－1.5
. 解：略。