一般数项级数的敛散性及其判别汇编

⇒ S2n 单调上升；又 S2n = u1 − (u2 − u3 ) − " − (u2n−2 − u2n−1 ) − u2n ≤ u1 ，即数列
{ S2n } 有界。由单调有界原理，数列{ S2n } 收敛。
设 S2n → S , (n → ∞) 。 S2n+1 = S2n + u2n+1 → S , (n → ∞) 。
∞
数 ∑ un 收敛。 n=1
∞
判定任意项级数 ∑un 的敛散性的方法如下： n=1
∞
∞
∞
⑴ 首先考察 ∑ un 是否收敛，若收敛，则 ∑un 收敛，其次若 ∑ un 不收
n=1
n=1
n=1
∞
敛，再用其它方法考察 ∑un 的敛散性； n=1
∞
⑵ 因 ∑ un 为正项级数，其敛散性可以用正项级数的判敛法判定； n=1
相同，并有 | rn | ≤ un+1 。
证1
S2(n+1) = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + " + (u2n−1 − u2n ) + (u2n+1 − u2n+2 )
≥ (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + " + (u2n−1 − u2n ) = S2n ，
∞
⇒
∑ lim
n→∞
S
n
=
S
，即级数
(−1) n+1 un
n=1
收敛。
1232
∞
∞
∑ ∑ 由证明数列 { S2n } 有界性可见， 0 ≤ ( −1 )n+1un ≤ u1 。余和 (−1)k+1uk 亦为
n=1
k =n+1
Leibniz 型级数， ⇒ 余和 rn 与 un+1 项同号，且估计式为
lim
m→∞
S
2
m−1
=
lim
m→∞
S
2
m
=
S
。
∞
∑ 故数列{Sn }收敛，即级数 (−1)n+1un 收敛。其它如前证。 n=1
∑ 例3.1 判别级数 ∞ ( −1)n xn (x > 0) 的敛散性。
n=1
n
∑ 解 0 < x ≤ 1 时，由 Leibniz 判别法， ⇒ ∞ ( −1)n xn 收敛；
n=1
n=1
∑ ∑ ( ) ∞
例如，正项级数
(− )1 n−1 = ∞
1
p级数，p = 2 > 1 收敛，而 Leibniz 级数
n2
n=1
n2
n=1
∑∞ (− )1 n−1 条件收敛。说明 收敛 ⇒/ 绝对收敛。
n=1 n 2 绝对收敛与收敛的关系
1233
∞
∞
∑ 定理 3.2 (绝对收敛与收敛的关系)
| ，从而 n
>
N
时，{| un
|} 单调增加，
∞
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∑ 因此 lim n→∞
| un
|≠
0
，必有
lim
n→∞
un
≠
0 ；根据级数收敛的必要条件
n=1
un
发散。
∑ 例3.2 判定级数 ∞ sin nα 的敛散性。
2n
n=1
∑ ∑ 解
∞
先考察
sin nα 的敛散性，由于 sin nα
≤
1
∞
，而等比级数
1是
2n
n=1
2n
2n
2n
n=1
∑ ∑ ∞
收敛的，所以
sin nα
∞
是收敛的，因此级数
sin nα 是收敛的，且为绝对收敛。
2n
n=1
2n
n=1
∑ 例3.3 证明级数 ∞ (−1)n−1 2n −1 为条件收敛。
证2
∞
∑ rn =
(−1) k+1 uk ≤ un+1 。
k =n+1
如前已证
{ } S2m−1 是 递 减 的 ， {S2m } 是 递 增 的 。 又
0 < S2m−1 − S2m = u2m → 0 (m → ∞) ，从而 {[S2m , S2m−1 ]} 是一个闭区间套，故由
Cantor 闭区间套定理知，存在唯一的一个数 S，使
§3 一般数项级数的敛散性及其判别
3.1 交错级数 1 交错级数 定义 3.1(交错级数) 各项正负交错的数项级数
∞
∑ (−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − u4 + " + (−1)n−1 un + " ，
n=1
或
∞
∑ (−1)n un = − u1 + u2 − u3 + u4 + " + (−1)n un + "
n=1
n
∑ x > 1时， 通项 →/ 0 ， ∞ ( −1)n xn 发散。
n=1
n
3.2 绝对收敛级数及其性质
1 绝对收敛和条件收敛
∞
∞
∞
定义 3.2 若正项级数 ∑ un 收敛，则称级数 ∑ un 绝对收敛；若级数 ∑ un 收
n=1
n=1
n=1
∞
∞
敛，而正项级数 ∑ un 却发散，则称 ∑ un 条件收敛。
|
发散，则 ∀ε
>
0
，
∃N
，当
n
>
N
时，
1234
| | un+1 | − ρ |< ε ，即 ρ − ε < | un+1 | < ρ + ε ；由于 ρ > 1 ，可以取适当的 ε ，使得
| un |
| un |
ρ
−ε
> 1，即 | un+1 | | un |
>
ρ
−ε
> 1 ，或 | un+1
|>| un
n=1
称为交错级数，其中 un >0 (n =1, 2,") 。
∞
∑ 若交错级数 (−1)n+1un 满足 n=1
(1) un ≥ un+1 (n = 1,2,") ；
(2)
lim
n→∞
u
n
=
0，
∞
∑ 则称此级数 (−1)n+1un 为 Leibniz 型级数。 n=1 2 交错级数的 Leibniz 定理 定理 3.1(Leibniz 判别法) Leibniz 型级数必收敛，且余和的符号与余和首项
∞
∞
∞
⑶ 一般如果 ∑| un | 发散，推不出级数 ∑un 一定发散；但是如果 ∑| un | 的
n=1
n=1
n=1
∞
∞
发散性是用根值法或比值法确定的，此时可以由 ∑| un | 发散推出 ∑un 发散；例
n=1
n=1
∑ 如，因为
lim
n→∞
| un+1 | | un |
=
ρ
>1
，所以
∞
|
n=1
un
un < +∞ ， ⇒
∑un 收敛。
n=1
n=1
∞
证 1 已 知 正 项 级 数 ∑ un 收 敛 ， 根 据 级 数 的 Cauchy 收 敛 准 则 ， n=1
∀ε > 0, ∃N ∈ N + , ∀n > N , ∀p ∈ N + ，有 un+1 + un+2 + … un+ p < ε 。从而，有
un+1 + un+2 + … un+ p ≤ un+1 + un+2 + … un+ p < ε 。
∞
即级数 ∑un 收敛。 n=1
∞
∑ 证 2 注意到 un = ( u n + un ) − un ，因为 0 ≤ un + un ≤ 2 un ，而级数 un n =1
∞
∑ 收敛，由比较判别法知，级数 ( un + un ) 收敛，再由收敛级数的线性性知，级 n=1