循环小数互化与错位相减技巧
循环小数 加减法
循环小数加减法以循环小数加减法为题，我们来探讨一下这个有趣又有些复杂的数学概念。
循环小数是指小数部分出现循环的一种特殊小数形式。
它在数学中有着重要的应用，特别是在分数的转换和近似计算中，非常常见。
我们来了解一下什么是循环小数。
循环小数是指小数部分中有一段数字会不断重复出现的小数。
比如，1/3的小数形式是0.3333...，其中的3会一直重复下去。
同样地，2/7的小数形式是0.285714285714...，其中的循环节是285714，它会一直重复下去。
循环小数加法非常简单。
我们只需要将两个循环小数按照小数点对齐，然后将对应位上的数字相加即可。
如果相加后的结果大于9，我们需要进位，就像我们平常做十进制加法一样。
如果循环节的位数不同，我们可以在较短的循环节后面补0，使其位数相同。
举个例子，我们来计算一下0.3333...和0.6666...的和。
它们的循环节都是3，所以我们直接将3和6相加得到9，然后再将小数点后面的3和6相加，得到9.所以最终的结果是0.9999...循环小数减法也是类似的。
我们只需要将两个循环小数按照小数点对齐，然后将对应位上的数字相减即可。
如果相减后的结果小于0，我们需要向前一位借位，就像我们平常做十进制减法一样。
如果循环节的位数不同，我们可以在较短的循环节后面补0，使其位数相同。
举个例子，我们来计算一下0.9999...和0.3333...的差。
它们的循环节都是9，所以我们直接将9和3相减得到6，然后再将小数点后面的9和3相减，得到6.所以最终的结果是0.6666...循环小数加减法还有一些特殊的情况需要注意。
比如，循环小数与非循环小数相加减，或者两个循环节不同的循环小数相加减。
这些情况下，我们需要进行一些额外的步骤来处理。
具体的方法可以参考数学教材或者相关的数学知识。
总结一下，循环小数加减法是一种有趣又实用的数学概念。
它在分数转换和近似计算中有着重要的应用。
通过对循环小数的加减操作，我们可以更好地理解数字之间的关系，提高我们的计算能力。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)
![六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)](https://img.taocdn.com/s3/m/d0da7808d15abe23492f4d2f.png)
第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数《简便计算》完整详细
简便计算一、加减法巧算之凑整与组合思想1、++---+++---8+…+++---+++1练习1、-+-+95-194+…+5-4+3-2+12、加法金字塔，计算下面数的和：练习2、3、计算：++9+…+142431999个919999L练习3、计算：9+99+999+…+142439个99999L二、乘除法巧算之提取公因数与组合思想1、⨯-⨯+⨯-⨯+96⨯-⨯2、⨯-⨯练习2、⨯-⨯3、⨯-⨯练习3、⨯992-⨯991三、四则混合巧算之综合技巧1、⨯⨯⨯⨯⨯⨯17⨯19÷38÷51÷65÷77练习1、(11⨯10⨯9⨯…⨯3⨯2⨯1)÷(⨯⨯⨯)2、12399个9999L ⨯12399个7777L +12399个3333L ⨯12399个6666L练习2、⨯+⨯3、1444424444399个0123456791234567901234567901234567981⨯L练习3、42857⨯63四、小数计算与换元思想、循环小数互化与错位相减技巧1、+++++++++、g1+g2+g3+g4+g8+g9练习2、g1++g3+g6（结果保留三位小数）3、+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999L4、2123912391129239()()(1)()2341023410223103410+++++++++⨯-++++⨯+++L L L L练习4、+++++++++++⨯-++++++⨯++++2123456123456112345623456()()(1)()2345672345672234567345675、(-+-+-11111234599L ＋1100)⨯(-+-+-+111111234599L )- (-+-+-+111111234599L -1100)⨯(-+-+-11111234599L )练习5、--+⨯+--+-⨯-+-11111111111111(1+)(-)(1)()1113171911131711131711131719五、估算、放缩综合技巧1、求数a =10100+10101+10102+…+10110的整数部分。
小学奥数《简便计算》完整详细
简便计算一、加减法巧算之凑整与组合思想1、198919881987198619851984198319821981198019791978…++---+++---+ 987654321+++---+++练习1、199198197196195194 (54321)-+-+-++-+-+2、加法金字塔，计算下面数的和：练习2、3、计算：191991999…++++ 1999个919999 练习3、计算：999999…++++ 9个99999 二、乘除法巧算之提取公因数与组合思想⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1、200019991999199819981997199719961996199519951994⨯-⨯2、200820072006200620072008⨯-⨯练习2、200820072006200620072008⨯-⨯3、333332332333332333333332练习3、19911992199219921992199119911991⨯-⨯三、四则混合巧算之综合技巧1、235711131719÷38÷51÷65÷77⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯练习1、(11109…321)÷(22242527)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2、 99个9999 ⨯ 99个7777 + 99个3333 ⨯ 99个6666练习2、333333333333999999777777⨯+⨯3、 99个0123456791234567901234567901234567981⨯ 练习3、14285714285714285763⨯四、小数计算与换元思想、循环小数互化与错位相减技巧1、1.1 3.3 5.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19+++++++++2、0.00.10.20.30.70.8 1+ 2+ 3+ 4+ 8+9练习2、0.0.1250.0.1（结果保留三位小数） 1++ 3+63、+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-111111(1)(1(1)(1(1(1)223399994、2123912391129239()()(1()2341023410223103410+++++++++⨯-++++⨯+++ +++++++++++⨯-++++++⨯++++2123456123456112345623456()()(1)()234567234567223456734567练习4、5、(＋)() (-+-+-11111234599 1100⨯-+-+-+111111234599-)()-+-+-+111111234599L -1100⨯-+-+-11111234599练习5、--+⨯+--+-⨯-+-11111111111111(1+)(-)(1)(1113171911131711131711131719五、估算、放缩综合技巧1、求数a …的整数部分。
小学五年级分数和循环小数计算技巧
= (30 1) (40 1) (50 1) .... (90 1) = 427
② 提取公因数与构造公因数（分数、小数之间的灵活转化） 单位分数与小数之间的互化一定要熟练：
1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 ， 0.3 ， 0.25 ， 0.2 ， 0.16 ， 0.142857 ， 0.125 ， 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9
一、分数计算技巧
① 带分数与假分数之间的灵活转化：乘除法先化成假分数，除法变乘法 当题目中是多个分数做乘除法运算时， 解题的关键在于能约分的先约分， 这样可以大大简化 我们的计算。 38. 1
3 1994 3 3 1 3.6 3 8 9 3 5 1995 5 4 1995
n ＝0. d 05，其中d 0,求n. 296
n d 05 ，所以 999n 296 d 05 ， 27n 8 d 05 . 296 999
因为 27 和 8 互质，所以 d 05 一定是 27 的倍数，也就是 9 的倍数，所以 d 4 所以 n 8 405 27 120
二、循环小数
1. 循环小数与分数的互化
纯循环小数化分数： 0. a b c
abc ，即分母循环节有几位就是几个 9，分子是循环节。 999 abc a ，即分母由 9 和 0 组成，几位循环就是几个 9，几 990
混循环小数化分数： 0.a b c
位不循环就是几个 0；分子是小数部分减去不循环部分。 24. 设n为自然数，且 解： 0. d 05
如果是 28. 已知 A 0. a 13 d 是循环小数，化为最简分数后，其中分母最小的那个分数是多少？ 解：A 的循环节有 4 位，所以化为最简分数后，分母一定是 9999 的因数，但不是 9、99 和
2014暑假 五年级 精英班 第4讲 循环小数 教师版
第四讲 循环小数知识要点：一、循环小数定义一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
二、循环小数分类循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3&和0.428571&&，不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如0.2357&& 三、分数化小数把分数化成小数，有三种可能：化为有限小数、纯循环小数或混循环小数。
（1）如果一个最简分数的分母分解质因数后只含有2和5，那么这个分数会化成有限小数，比如38，1725，3140，89200等，都会化成有限小数。
（2）如果一个最简分数的分母分解质因数后既不含2，也不含5，那么这个分数会化成纯循环小数，比如511，1321，1109，342673等，都会化成纯循环小数。
（3）如果一个最简分数的分母分解质因数后既含有2或5，又含有其他质因数，那么这个分数会化成混循环小数，比如114，752，101295，119390等，都会化成混循环小数。
四、循环小数化分数（1）纯循环小数化分数以0.123&&为例 令0.123a =&&，则1000123.123a =&&， 两式相减，得123999123999a a =⇒= 该方法名为“错位相减法”。
结论：纯循环小数化分数，分子为循环节中数字所组成的数，分母形如999L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数（2）混循环小数化分数以0.1234&&为例 令0.1234a =&&，则10012.34a =&&，100001234.34a =&&，两式相减，得12341299001234129900a a -=-⇒=。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版
![六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版](https://img.taocdn.com/s3/m/2eeadb8df46527d3240ce0fa.png)
第一讲 : 分数的速算与巧算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项概括是密不行分的，本讲要修业生掌握裂项技巧及找寻通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的观点，经过等量代换讲复杂算式变为简单算式。
3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项概括法通项概括法也要借助于代数，将算式化简，但换元法不过将“形同”的算式用字母取代并参加计算，使计算过程更为简 便，而通项概括法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常有的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，那么有a b111 1a b b ()a a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) n (n1 (n 2) 1 [ n 1 1) (n 1]1) 2 (n 1)(n2)1 1 11n (n 1) (n 2) (n 3)[(n 2)(n1) (n]3 n (n 1)2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，但是只需将 x 提拿出来即可转 化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常有的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a ba b1 1 （ 2） a 2b 2 a 2b 2 a ba b a b a b b a a ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对照：裂差型运算的中心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不单有 “两两抵消” 型的，同时还有转变为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。
学而思想奥数全能版目录
第一专题：计算专题共34讲【强化篇17讲竞赛篇17讲】一、计算竞赛篇共17讲竞赛1-加减法巧算之凑整与组合思想之竞赛篇(第1讲)竞赛2-乘除法巧算之提取公因式与组合思想之竞赛篇(第2讲)竞赛3-四则混合巧算只综合技巧之竞赛篇(第3讲)竞赛4-定义新运算之速算与巧算之竞赛篇(第4讲)竞赛5-数列求和与公式技巧之竞赛篇(第5讲)竞赛6-多位计算与归纳思想之竞赛篇(第6讲)竞赛7-小数计算与换元思想之竞赛篇(第7讲)竞赛8-数表计算与代数公式应用之竞赛篇(第8讲)竞赛9-循环小数互化与错位相减技巧之竞赛篇(第9讲)竞赛10-分数(繁分数)计算综合与比例转化之竞赛篇(第10讲)竞赛11-比较与估算综合技巧之竞赛篇(第11讲)竞赛12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳之竞赛篇(第12讲)竞赛13-分数计算之换元与缩放之竞赛篇(第13讲)竞赛14-定义新运算之复杂运算与抽象运算之竞赛篇(第14讲)竞赛15-四大杯赛中的计算综合思想之竞赛篇(第15讲)竞赛16-计算综合之复杂分数裂项计算综合之复杂整数裂项之竞赛篇(第16讲) 竞赛17-计算综合之复杂公式与复杂换元计算之竞赛篇(第17讲)二、计算强化篇共17讲第一讲加减法巧算之凑整与组合思想(第18讲)第二讲乘除法巧算之提取公因式与组合思想(第19讲)第三讲四则混合巧算只综合技巧(第20讲)第四讲定义新运算之速算与巧算(第21讲)第五讲数列求和与公式技巧(第22讲)第六讲多位计算与归纳思想(第23讲)第七讲小数计算与换元思想(第24讲)第八讲数表计算与代数公式应用(第25讲)第九讲循环小数互化与错位相减技巧(第26讲)第十讲分数(繁分数)计算综合与比例转化(第27讲)第十一讲比较与估算综合技巧(第28讲)第十二讲分数计算之拆分、裂项与通项归纳(第29讲)第十三讲分数计算之换元与缩放(第30讲)第十四讲定义新运算之复杂运算与抽象运算(第31讲)第十五讲四大杯赛中的计算综合思想(第32讲)第十六讲计算综合之复杂分数裂项与整数裂项(第33讲)第十七讲计算综合之复杂公式与复杂换元计算(第34讲)第二专题数论专题计算专题共38讲【强化篇19讲竞赛篇19讲】一、数论竞赛篇第一讲奇偶数的性质与应用之竞赛篇(第35讲)第二讲有趣余数之性质与周期之竞赛篇(第36讲)第三讲整数分拆之分类与计数之竞赛篇(第37讲)第四讲整数分拆之最值与应用之竞赛篇(第38讲)第五讲数的整除之性质与求法之竞赛篇(第39讲)第六讲数的整除之代数思想与运用之竞赛篇(第40讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用之竞赛篇(第41讲)第八讲质数、合数与两大约数定理之竞赛篇(第42讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数之竞赛篇(第43讲)第十讲因数与倍数之综合应用之竞赛(第44讲)第十一讲完全平方数之竞赛篇(第45讲)第十二讲带余除法之竞赛篇(第46讲)第十三讲同余问题之竞赛篇(第47讲)第十四讲中国剩余定理之竞赛篇(第48讲)第十五讲进制与位值原理之竞赛篇(第49讲)第十六讲四大杯赛的数论综合思想之竞赛篇(第50讲)第十七讲数论综合之整除相关问题之竞赛篇(第51讲)第十八讲数论综合之余数相关问题之竞赛篇(第52讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第53讲) 二、数论强化篇第一讲奇偶数的性质与应用(第54讲)第二讲有趣余数之性质与周期(第55讲)第三讲整数分拆之分类与计数(第56讲)第四讲整数分拆之最值与应用(第57讲)第五讲数的整除之性质与求法(第58讲)第六讲数的整除之代数思想与运用(第59讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用(第60讲)第八讲质数、合数与两大约数定理(第61讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数(第62讲)第十讲因数与倍数之综合应用(第63讲)第十一讲完全平方数(第64讲)第十二讲带余除法(第65讲)第十三讲同余问题(第66讲)第十四讲中国剩余定理(第67讲)第十五讲进制与位值原理(第68讲)第十六讲四大杯赛中的数论综合思想(第69讲)第十七讲数论综合之整除相关问题(第70讲)第十八讲数论综合之余数相关问题(第71讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第72讲) 第三专题行程专题计算专题共30讲【强化篇15讲竞赛篇15讲】一、行程竞赛篇第一讲基础行程之竞赛篇(第73讲)第二讲简单相遇、追及之竞赛篇(第74讲)第三讲复杂相遇、追及之竞赛篇(第75讲)第四讲猎狗追兔之竞赛篇(第76讲)第五讲火车过桥之竞赛篇(第77讲)第六讲多次相遇之竞赛篇(第78讲)第七讲多人行程之竞赛篇(第79讲)第八讲流水行船之竞赛篇(第80讲)第九讲简单环形之竞赛篇(第81讲) 第十讲复杂环形之竞赛篇(第82讲) 第十一讲接送问题之竞赛篇(第83讲) 第十二讲间隔发车之竞赛篇(第84讲) 第十三讲电梯问题之竞赛篇(第85讲) 第十四讲变速变道之竞赛篇(第86讲) 第十五讲综合行程之竞赛篇(第87讲) 二、行程强化篇第一讲基础行程(第88讲)第二讲简单相遇、追及(第89讲)第三讲复杂相遇、追及(第90讲)第四讲猎狗追兔(第91讲)第五讲火车过桥(第92讲)第六讲多次相遇(第93讲)第七讲多次行程(第94讲)第八讲流水行船(第95讲)第九讲简单环形(第96讲)第十讲复杂环形(第97讲)第十一讲接送问题(第98讲)第十二讲间隔发车(第99讲)第十三讲电梯问题(第100讲)第十四讲变速变道(第101讲)第十五讲综合行程(第102讲)第四专题应用题专题共16讲一应用题1和差倍问题(第103讲)盈亏问题(第104讲)二应用题2还原问题(第105讲)鸡兔同笼(第106讲)三应用题3年龄问题(第107讲)周期问题(第108讲)四应用题4平均数问题(第109讲)统筹与规划问题(第110讲)五应用题5分数百分数问题(第111讲)牛吃草(第112讲)六应用题6比和比例(第113讲)工程问题(第114讲)七应用题7经济问题(第115讲)浓度问题(第116讲)八应用题8方程解复杂应用题(第117讲)应用题综合(第118讲)第五专题：几何专题计算专题共4讲【5级2讲6级2讲】一、几何专题能力进阶五级：五大模型及常用思维与方法第一讲五大模型(第119讲)第二讲常用思维与方法(第120讲)二、几何专题能力进阶六级：曲线型与立体几何第一讲曲线型(第121讲)第二讲立体几何(第122讲)。
循环小数-五年级秋季课程
数点后第 100 位数字的和是＿＿＿。 分析：分母 2009、287 都没有因子 2 和 5，因此两个分数都能化成纯循 环小数。
2002 286 286 1 = ， + =1=0.9。 2009 287 287 287
所以他们化成循环小数后每一位上的数字之和均为 9，第 100 位 上的数字和也为 9.
1
分母
学而思 李海君
学而思培优
五年级秋季班第一讲
循环小数
李海君
三． 分数转化成循环小数的判断方法： 以 2、5 为标准 1. 一个最简分数，如果分母中只含有质因数 2，或只含有质因数 5，或同时含 有质因数 2 和 5，那么它能化成有限小数。 如： =0.5， =0.375 分母 2 和 8 中只含有质因数 2. 2. 一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化 成的小数必定是纯循环小数。 如： =0. 3， =0.45 =0.494505 其中 91 只含有质因数 7 和 13 3. 一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质 因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 如： =0.16， 四． 常用的循环小数与分数的互化： 分母为 9 的： =0.1， =0.2 …… =0.8 分母为 7 的： =0.142857 =0.571428 分母为 3 的： =0.3 =0.6 1= =0.9 =0.428571 =0.857142 =0.318 其中 6 含有质因数 2 和 3，22 含有质因数 2 和 11
3 3 a= ， 900 10
4
a=
3 ×300， 10
a=90 ；
正确结果 ： 1.23×90+0.3=111
1-循环小数
铺垫：
1 3 所得的小数，从小数点后第一位起连续 1000 位数字之和是多少？
【答案】3000
2 7 所得的小数，小数点后的第 65 位数字是_________；这 65 位的数字之和为__________．
【答案】1；293 2 【分析】 0.285714 ，6 个一循环， 65 6 10 5 ，所以第 65 位是 1；和为 27 10 23 293 ． 7 【教学提示】神奇的循环小数：142857,又名走马灯数，传说它发现于埃及金字塔内，是一组神奇的数字．它 可以说明一个星期为什么有 7 天：从第一天开始每天增加自己的一倍，变成数字及相邻次序均不变的另 一个数（像走马灯一样） ，直到第七天，这几个数字全都去休息了，取而代之的是 999999．巧合的是， 《周易》之中也流行九九归一的说法，数字 9 亦被称为阳，即代表了一个物质阳气的终结，新一轮的周 期又要开始了．这种说法刚好和上述数字现象不谋而合．
【答案】0.2；0.12；0.0875；
0.5 ； 0.18 ； 0.27 0 ；
0.83 ； 0.083 ； 0.2 63
仿照例子的形式填空： 例：
A 0.12 100A 12.12 100A A 12.12 0.12 99A 12 12 4 99 33 4 0.12 33 A
• • • •
• •
4
五年级春季 第 1 讲 循环小数 （B 版）
铺垫： 请将下列各组分数化成小数： （1） （2） （3）
循环小数 加减法
循环小数加减法
在小学数学学科中，循环小数加减法是一种涉及到循环小数的加法和减法运算。
循环小数是指小数部分具有循环模式的小数，如0.3333...或0.142857142857...等。
循环小数加法的步骤如下：
1. 对两个循环小数进行对齐，使得循环部分对齐；
2. 按正常的十进制加法运算，从低位到高位依次相加，注意进位；
3. 如果相加后出现进位，则将进位的数字保留在顶部，并在下一列加上；
4. 重复以上步骤，直到没有进位，并且每个位数下的和都已计算完毕；
5. 如果出现新的循环，则将循环部分重复。
循环小数减法的步骤如下：
1. 对两个循环小数进行对齐，使得循环部分对齐；
2. 如果被减数小于减数，则将被减数与减数替换位置，并在答案前加上负号；
3. 按正常的十进制减法运算，从低位到高位依次相减，注意退位；
4. 如果相减后需要退位，则从退位的数字向低位借位，并在下一列减掉；
5. 重复以上步骤，直到没有退位，并且每个位数下的差都已计算完毕；
6. 如果出现新的循环，则将循环部分重复。
需要注意的是，循环小数的加减法运算可能会产生新的循环。
因此，在实际计算中，需要根据具体情况判断是否需要对循环部分进行重复。
第九讲 循环小数互化与错位相减技巧
循环小数互化与错位相减技巧五年级一、小数的基本知识小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化1．错位相减法与循环小数转化为分数⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。
==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
2．方法归纳⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427；【例1】在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
部编版数学五年级上册第2讲.循环小数.优秀A版
1 ___ 3
10 ___ 45
1 ___ 6
4 ___ 30
观察分母 ，有什么特点（提示： 从分母的质因数去考虑）
总结 ：
当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有_________或_________,分数可化为有限小数；
当分数为最简分数时， 分母的质因数中 只含有____________________, 分数可化为纯循环小数；0.•aa；9
••
0.a b
ab
；
99
0.0
••
ab
ab
1
ab
；
99 10 990
0.a
••
bc
abc
a
990
知识点回顾
1.计算： 7 4 99
8 5 13 13
【分析】 11 ， 1， 1 ， 3
9
3 13
2.计算： 3 3 5 10
5 7 6 12
【分析】 9 ， 17 ， 3 ， 1 10 12 10 4
当分数为最简分数时，分母的质因数中既有_________，又有_________,分数可化为混循环小数.
(学案对应：学案 1)
【分析】（1）0.75 0.875 0.4
0.36 0.3
0.53
当分数化成最简分数后，分母的质因数只有 2 或 5
（2） 0.3
0.2 0.16 0.13
当分数化成最简分数后，分母的质因数中有除 2 和 5 外的其他质因数.
【分析】 1 2 3 9 45 5
999
99
例4
计算（1） 0.30.4
（2） 0.70.07
【分析】循环小数做乘除法时，将循环小数化成分数再计算
小数的加减混合运算技巧掌握知识点总结
小数的加减混合运算技巧掌握知识点总结小数的加减混合运算是数学中常见的运算方式之一，在日常生活和工作中也经常会用到。
掌握小数的加减混合运算技巧，能够帮助我们快速准确地进行计算。
本文将总结小数的加减混合运算的知识点和技巧，以帮助读者更好地掌握这一运算方法。
一、小数的加法运算技巧小数的加法运算与整数的加法类似，但需要注意小数点的位置。
下面是小数的加法运算技巧总结：1. 对齐小数位：将参加运算的小数按小数点对齐，方便进行逐位运算。
例如：7.82 + 3.56 = 7.82+ 3.562. 从右向左逐位相加，注意进位：从小数点右边第一位开始，逐位相加，记住进位的值。
例如：7.82 + 3.56 = 0.38（有进位）+ 11.38（无进位）= 11.383. 如果是整数与小数相加，将整数转化为小数再进行运算。
例如：7 + 3.56 = 7.00+ 3.56= 10.56二、小数的减法运算技巧小数的减法运算与加法运算类似，同样需要对齐小数点。
下面是小数的减法运算技巧总结：1. 对齐小数位：将被减数与减数按小数点对齐，方便进行逐位运算。
例如：7.82 - 3.56 = 7.82- 3.562. 从右向左逐位相减，注意借位：从小数点右边第一位开始，逐位相减，记住借位的值。
例如：7.82 - 3.56 = 2.26三、小数的混合运算技巧小数的混合运算包括加法和减法结合进行的运算。
下面是小数的混合运算技巧总结：1. 按照加法和减法的规则进行运算：先进行加法，再进行减法。
例如：7.82 + 3.56 - 1.20 = (7.82 + 3.56) - 1.20 = 11.38 - 1.20 = 10.182. 注意运算符的优先级：先进行括号内的运算，再进行其他运算。
例如：7.82 - (3.56 + 1.20) = 7.82 - 4.76 = 3.06四、小数的加减混合运算在实际问题中的应用小数的加减混合运算在实际问题中应用广泛。
5年级秋季第一讲 循环小数
数点后第 100 位数字的和是＿＿＿。 分析：分母 2009、287 都没有因子 2 和 5，因此两个分数都能化成纯循 环小数。
2002 286 286 1 = ， + =1=0.9。 2009 287 287 287
所以他们化成循环小数后每一位上的数字之和均为 9，第 100 位 上的数字和也为 9.
=0.79+0.79+0.79+0.79+0.89 =0.8+0.8+0.8+0.8+0.9 =4.1
学而思
2
=0.285714 =0.714285
分母为 6 的： =0.16 其他 ： =0.09 =0.027 =0.037
学而思
3 3 a= ， 900 10
4
a=
3 ×300， 10
a=90 ；
正确结果 ： 1.23×90+0.3=111
例 5： (2008 年走美杯)
0. ABC =2.008，求三位数 ABC 的最大值是＿＿＿。 0.CAB
ABC 0. ABC ABC CAB ABC 999 ABC 分析： 999 ; 0.CAB CAB 999 999 999 CAB CAB 999
例 3：计算下列各题 （1）2.45+3.13 方法 1：先化成分数在计算 原式= 2
45 13 1 582 3 5 5.587 99 90 990
方法 2：直接相加减： 注意事项 1：两个数循环节位数相同，位数不同的要转化成相同的。 注意事项 2：循环位与循环位相加减，不循环位不不循环位相加减。
a 7
a 7
5
先看 1992 里有多少个 1、4、2、8、5、7 的循环，也就是有多少个 27。 1992÷27=73……21. 余数表明最后几个数不够一个循环，但他们的和 是 21，经验证 =0.857142的前 4 个数 8+5+7+1=21.所以 a=6 2. （2008 年第 6 届走美杯 6 年级决赛） 将循环小数 0.081与 0.200836相乘，小数点后第 2008 位是＿＿＿＿。 分析：先化成分数，0.081=
小学数学竞赛题循环小数互化与错位相减技巧
一、小数的基本知识小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化1．错位相减法与循环小数转化为分数⑴以为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②①可以得到，a =91，则=19a 。
==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
循环小数互化与错位相减技巧2．方法归纳⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427；【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
小数的减法学会小数减法的运算规则和技巧
小数的减法学会小数减法的运算规则和技巧小数的减法运算规则和技巧在数学中，减法是最基本的运算之一，而小数的减法则是对小数进行减法运算。
学会正确地进行小数减法运算，对于我们日常生活和学习中的数学问题解决具有重要的意义。
本文将介绍小数减法的运算规则和技巧，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、小数减法的运算规则小数减法的运算规则和整数减法类似，主要是通过对小数位数对齐，按位相减来完成运算。
具体步骤如下：1. 对减数和被减数的小数位数进行对齐。
如果两个小数位数不一致，可通过在较短小数末尾补0来实现对齐，使两个小数的小数位数相同。
2. 从小数部分的最末位开始，从左往右进行相应位数的减法运算。
如果被减数小于减数，可以向前一位借位，并在借位的前一位上加1。
3. 重复以上步骤，直到所有的小数位数都相减完。
举例说明：例1：计算6.7 - 3.21我们首先将小数对齐：6.70- 3.21然后从小数部分的最末位开始，相应位数进行减法运算：0减1不够借，所以需要向整数部分借位，变为9，借位后在个位上加16减2等于4个位减3等于7所以，6.7 减去 3.21 等于 3.49二、小数减法的技巧除了掌握小数减法的运算规则外，还有一些技巧可以帮助我们更快、更准确地进行小数减法的计算。
1. 简化减法运算：将小数减法问题转化为整数减法问题，即通过移动小数点使减法变为整数减法。
移动小数点的规则是，将被减数和减数都乘以相同的10的n次方（n为两个小数位数之差），使小数变为整数。
完成整数减法后，再将答案除以10的n次方，将小数点恢复到原来的位置。
这样可简化计算过程。
2. 近似值法：当计算中遇到较长的小数减法，可以将其中一个或两个小数进行近似取舍，保留少数位数进行计算。
等到得到结果后，再将小数点恢复到原来的位置，并对结果进行修约，以保留适当的精度。
3. 结合其他运算法则：与其他运算法则相结合，如小数的加、减、乘、除等，可以通过更灵活的运算方法得到较为准确的答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、小数的基本知识
小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化
1．错位相减法与循环小数转化为分数
⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19
a 。
=
=1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999
⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；
再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；
两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
2．方法归纳
⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化
=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427
；
【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)
在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元2007
年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89
【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题)
计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
【例3】(0.15+0.218)⨯0.3⨯
11
111
；(结果表示成循环小数)
【巩固】(2.234+0.98)÷11；(结果表示成循环小数)
【例4】真分数a
7
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是2100，那么a是
多少？
【巩固】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是什么？
【例5】(2009年第7届希望杯六年级2试第6题)
纯循环小数0.a b c写成最简分数时，分子分母之和为58，求这个循环小数。
【巩固】纯循环小数0.a bc d写成最简分数时，分子分母之和为200，求这个循环小数。
〖答案〗
【例 1】1.80524102007【巩固】1.80524102007【例 2】2.4
【巩固】0.736
【例 3】0.012345679【巩固】0.113
【例 4】6
【巩固】9
【例 5】0.567
【巩固】0.9801。