小波变换理论与方法..

n ，
T2 T3= min T1 , T2
(4)基于极大极小原理的Minimax方法 该准则采用的也是一种固定阈值，它产生一个最小均方误差的极值。 具体的阈值选取规则为：
0.3936 0.1829log 2 n n 32 T4 =
0 n 32
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。 1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： E s si2 log si2 2）P范数熵：若P≥1，在lp范数意义上定义E(s)=
si ,则：
P
E(s)= 3)对数能量熵 E(si)=
s
i
P
i
s
P P
2 log s i ，0log(0)=0,则有 i
2 log s i i
E(s)= 4)阈值熵：
1 E(s)= 0
si si
式中，ɛ是阈值，且ɛ >0.
阈值选择准则
(1)基于无偏似然估计原理的Rigrsure规则；
W为一向量，其元素为小波系数的平方，并按由小到大的顺序排列， W=[w1,w2,…,wn]，且w1≤w2≤…≤wn，再设一向量R，其元素为： ri=[ n-2i-(n-i)w+
2.2.2多尺度分解
对信号的高频分量不再分解，而将信号的低频部分继续分解.实际中， 分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要，例如 长度为N的信号，最多能分成log2N层。在实际中，可以选择合适的 分解层数。下图为三层多尺度分解树结构，原始信号S的多尺度分 解为：S=cA3+Cd3+cD2+Cd1
给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)
（1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的
若周期信号 f (t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。



* f t ? m , n t dt
当a0=2，b0=1时，离散小波变换称为二进离散小波变换，这样便于分析 ，并且适合于在计算机上进行高效的运算。
2.2.1 一阶滤波：近似与细节
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低 频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分 量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只 起一个修饰的作用，如 声音。
sin(2 10 t ) sin(2 25 t ) X2 sin(2 50 t ) sin(2 100 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000
1.3 短时傅里叶变换
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条 件：
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。 正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
21.9542 1.0398
阈值量化函数 SNR RMSE
硬阈值法 13.9391 1.5524
软阈值法 28.7143 0.7416
系统性干扰信号探测
阈值准则 SNR RMSE
噪声消除和系统干扰处理 43.4135 0.3556
小波包阈值消噪 28.7143 0.7416
加噪信号数学模型为f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信号，n(t)是随机白噪声， 满足E[n(t)]=0和D[n(t)]=σ2。设Ψ(t)为小波函数，n(t)的小波包变换为
Wn(j,t)=n(t)·Ψj(t)= n t Ψ j t u du
R
n(t)的小波包系数的期望和方差分别为： E(|Wn(j,t)|2)=0 D(|Wn(j,t)|2)=
阈值量化函数的选取
阈值量化是应用所估计的阈值T，对小波系数进行的处理。目前， 阈值量化函数主要采用两种方法。 一种是硬阈值法，当小波系数大于该阈值时，保留原值，否则置 零，其公式为：
yi yi 0

yi T yi T
另一种是软阈值法，当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数 幅值的方向作一个收缩δ，否则置零，其公式为：
将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后 重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
连续小波变换实例
2.2 离散小波变换
在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以
m m 取： a a0 , b nbo a0
， m,n为整数，a0为大于1的常数，b0为大于0
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
一 傅里叶变换
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发表的研究热传导理 论的“热的力学分析”,提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数 之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式
短时傅里叶变换示意图
cos(440 t ) x(t ) cos(660 t ) cos(524 t )
傅 里 叶 变 换 图
t 0.5 0.5 t 1 t 0.5
短 时 傅 里 叶 变 换 图
小波变换由法国科学家MORLET于1980年在进行 地震数据分析时提出，是强有力的时频分析(处 理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发 展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处 理、图像处理、模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号 各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号 分类是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波系数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
傅里叶级数表达式：
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]

2 T1为 f (t )的周期。 基波角频率 1 ， T1
直流分量：
n 1
2 t0 T1 余弦分量的幅度： an f (t ) cos(n1t )dt t T1 0 2 t0 T1 正弦分量的幅度： bn f (t )sin(n1t )dt T1 t0
Ψ t
j
2
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。 小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
sgn yi yi δ yi 0

yi T yi T
式中，sgn（）为符号函数。
阈值准则
heursure
sqtwolog
rigrsure
mininmax
SNR rmse
11.0062 1.7976
28.7143 0.7416
11.0062 1.7976
的常数，a和b的选取与小波ψ (t)的具体形式有关。离散小波函数表示
为：
m t nb0 a0 1 m m,n t a 0 t nb0 m m m a a0 a0 0
1
相应的离散小波变换可以表示为：
W f m, n f , m,n
小波运算的基本步骤： 选择一个小波函数，并将这个小波与要 分析的信号起始点对齐； 计算在这一时刻要分析的信号与小波函 数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C 越大，就意味着此刻信号与所选择的小波 函数波形越相近，如图所示。
将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2 100 t ) sin(2 50 t ) X2 sin(2 25 t ) sin(2 10 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000

2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良 好局部性质的小波函数ψ (t)的内积：
W f (a, b) f , a ,b
1 * t b f (t) ( )dt a a

式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复 数共轭，ψ a,b(t)称为小波基函数。
1 a0 T1

t0 T1
t0
f (t )dt
1.1 连续傅里叶变换 对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
F ( )


e it f (t )dt
其中
1 L ( R) { f ( X ) |

|
f (t ) | dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
1 f (t ) 2



eit F ( )d
1.2 离散傅里叶变换 对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,…, FN-1,若
| 满足 n 0
N 1
f (t ) |
，则称
X (k ) F ( f n )
f
k 0
N 1
n
e
i
2 k n N
(k 0,1,...N 1)
。
2.2.3小波包分解 小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又可 以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个 N层分解来说， 有N+1个分解信号的途径。而小波包分析的 细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生 2N个不同的途径。
三 小波变换的一些应用
3.1小波包去噪
为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形 变突发位置等，1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor 变换，也称加窗傅里叶变换。 Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t ) 1/4et /2 作为窗口函 数，然后用 g (t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
2
G f (, ) f (t ) g (t )eit dt f (t ),g ,t (t )
R
it g (t )eit ，窗口函数g(t)起着时 其中 g ,t (t ) g (t )e 限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
为序列{fn}离散傅里叶变换，称
fn 1 N
KLeabharlann Baidu0

N 1
X (k )e
k n i 2N
(k 0,1,..., N 1)
为序列{fn}逆离散傅里叶变换
X (t ) cos(2 10 t ) cos(2 25 t ) cos(2 50 t ) cos(2 100 t )
w ]/n
k k 1
i
(i=1,2,….,n)
以R元素中的最小值rb为风险值，由rb的下标变量b求出对应的wb，则 阈值T1为： T1=
σ wb
（2）通用阈值T1(sqtwolog准则)
T2=
σ 2 log n
（3）启发式的stein无偏风险阈值T3（Heursure）准则 3 Σn 设∑为n个小波系数的平方和，令η= ，μ= log 2 n 2 n 则