计量经济学知识点整理：联立方程

联立方程模型

一、概念：

联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。

由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影

响。一般都是经济变量。每一个内生变量的值都要利用模型中的全

部方程才能决定。

外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是

模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。

外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程

：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。

结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先

决变量和随机干扰项的函数形式

完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程

行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随

机扰动项。例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数

制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的

函数关系，如税收方程。

恒等式：定义方程式和平衡方程。

简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。

参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。

二、识别

方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。

1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。

注：识别的定义是针对结构方程而言的。

模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。

如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反之不识别。

恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量

过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量

方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。 2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 （1）或者在其它方程中增加变量；

（2）或者在该不可识别方程中减少变量。

（3）必须保持经济意义的合理性。

3、识别

条件 结构式: 用B 0Γ0表示第i 个方程中未包含的变量在其他g-1个方程中对应系数

组成的矩阵，则： 不可识别：R （B 0Γ0）< g -1

可识别：R （B 0Γ0）= g -1 恰好识别：k-ki =gi-1

过度识别：k-ki >gi-1

简化式： 不可识别：R （Π2）< gi -1

可识别：R （Π2）= gi -1 恰好识别：k-ki=gi-1

过度识别：k-ki>gi-1

注：可以从数学上严格证明，简化式识别条件和结构式识别条件是等价的 B ΓN

Y X +=

例题：

判断第1个结构方程的识别状态

所以，该方程可以识别。

因为 所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。

判断第2个结构方程的识别状态

所以，该方程可以识别。

因为 所以，第2个结构方程为过度识别的结构方程。

第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。

综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。

与从定义出发识别的结论一致。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------=BΓ00

0011100100012

13201βββαααα1

111-==-g k k 1

222->=-g k k

∑∑=i

i i i

x z y z 1~β三、估计

联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法和系统估计方法。联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模型的估计方法 。

1、狭义的工具变量法 IV

解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题（才方便用OLS 估计） 工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项

相关的随机解释变量。 （1）与所替代的随机解释变量高度相关；

（2）与随机误差项不相关；

（3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。 工具变量的应用： 用OLS 估计模型，相当于用xi 去乘模型两边、对i 求和、再略去∑xi μi 项

后解出： 在大样本下成立，即OLS 估计量具有一致性。然而，如果Xi 与μi 相关，即使在大样本下，也不存在 (∑xi μi)/n →0 ，则结果在大样本下也不成立，OLS 估计量不具有一致性。

如果选择Z 为X 的工具变量，那么在上述估计过程可改为:

利用E(zi μi)=0，在大样本下可得到：

基本步骤为：

（1）选择适当的工具变量代替结构式方程左边的作为解释变量的内生变量。

（2）分别用已选定的工具变量去乘结构方程，并对T 次观察求和，得到方程个数与未知结构参数个数相同的一个线性联立方程组。

（3）求解所得到的线性方程组，求得结构参数估计值。

矩阵的参数估计量为：

∑∑=21

ˆi i

i x y x β∑∑∑+=i i i i i i z x z y z μβ1关于0β的估计，仍用X Y 10~~ββ-=完成。 Y Z X Z β''=-1)(~i

i i x y μβ+=1