第三章 LTI离散系统的响应

故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件 1 y(0) C2 0 4 1 y (1) 2C1 2C2 0 2 求得C1=1 , C2= – 1/4 。故全解为 y(k)= (k – 1/4 ) (– 2)k + 2k–2 , k≥0
Czi1=1 , Czi2= – 2
所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
1
r重等于1的特征根
a 特征根 a 特征单根
pak
a
k
p1ka k p0 a k
Pcos(βk)+Qsin(βk)
pr k r a k pr 1k r 1a k p1ka k p0 a k a r 重特征根
cos(βk)或
sin(βk)
所有特征根均不等于e±jβ
yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 方程的特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2 ， 其解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 将初始值代入 并解得
i 1 自由响应 强迫响应 i 1 零输入响应 i 1 零状态响应
Ci i Czi i Czsi i
k k i 1 i 1 i 1
n
n
n
k
Czii ——仅由系统的初始状态决定。
Ci ——由初始状态和激励决定。
3.2 单位序列响应和阶跃响应
k
f (k ) (k i) f (i)
3.2 单位序列响应和阶跃响应
( 2)单 位 阶跃 序 列 1 k 0 (k ) 0 k 0 (k )
移位单位阶跃序列 (k i ) 1 k i 0 k i
(k 2)
1

1

0
1 2 3
k
k
第三章：LTI离散系统的时域分析
Chapter3
Discrete systems
本章要点
F F
LTI离散时间系统的响应 单位序列响应和阶跃响应 卷积和
F
引言
f (k )
激励是离散
时间信号 离散系统
响应是离散
时间信号
y (k )
连续时间系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换 卷积定理 连续系统模拟
0
1 2 3 4 5
k
显然： (k ) (k ) (k ) (k 1)
(k )
i
(i) (k j)
j 0
3.2 单位序列响应和阶跃响应
3.2 单位序列响应和阶跃响应
二、单位序列响应 由单位序列δ(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或 单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。 方法一：若方程右端只有f(k)，而无移位项---经典法。 例1： 求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)。
3.1 LTI离散系统的响应
y(k ) yzi (k ) yzs (k )
零输入响应
n k
零状态响应
n k n k
y(k ) yzi (k ) yzs (k ) Ci i y p (k ) Czii i Czsi i y p (k )
Baidu Nhomakorabea
3.1 LTI离散系统的响应
2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同。
一般情况不同激励所对应的特解
激励 f ( k ) 特解
y (k )
特征根
km
pm k m pm1k m1 p1k p0 k r [ pm k m pm1k m1 p1k p0 ]
y(k )
非移变系统 If
f (k )
then
f (k i ) y (k i )
3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等 称为f(k)的移位序列。 1. 差分运算
d f (t ) f (t ) f (t t ) f (t ) f (t ) f (t t ) lim lim lim t 0 t 0 t 0 dt t t t
y (k) f (k) ∑ D 1 D 2
y (k 1) a0 y (k )
y (k )
是个公比为 a0的级数
y(k ) c(a0 )k
y(0) c(a0 )0 c
c是待定常数，有初始条件决定
3.1 LTI离散系统的响应
齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 λn + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。
初始值：y(0), y(1), y(2) , …，y(n-1)
由yzi(k)和 yzs(k)的定义可知，其初始状态分别为 yzs(–1) = yzs(–2) = … = yzs(–n) = 0 y(–1)= yzi(–1) , y(–2)= yzi(–2),…，y(–n)= yzi(–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值
3.1 LTI离散系统的响应
例3：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求全解。
解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解为 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ，P=1/4 特解 yp(k)=2k–2 , k≥0
离散信号的变化率有两种表示形式：
f (k ) f (k 1) f (k ) k (k 1) k f (k ) f (k ) f (k 1) k k (k 1)
3.1 LTI离散系统的响应 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两 个序列值的变化率。定义为 （1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 和称为差分算子，无原则区别。 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)
yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)
3.1 LTI离散系统的响应 例4：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的 零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 其初始状态 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yh(t)（自由响应） yp(t) (强迫响应)
当 1, 则自由响应是衰减变化 ，系统稳定。
1, 则自由响应是增长变化 ，系统不稳定。
3.1 LTI离散系统的响应
三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yzi (k) + yzs(k) 设激励f(k)在k=0时接入系统， 初始状态：y(–1), y(–2) , …，y(–n)
不同特征根所对应的齐次解 特征根 单实根 齐次解
y (k )


j
ck
cr 1k r 1k cr 1k r 2 k c1kk c0 k
p k [c cos k D sin k ] 或Apk cos(k )
r 重实根
1,2 a jb pe
3.1 LTI离散系统的响应 求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
1、迭代法 2、时域经典法
逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机， 缺点是不能得出通式解答。
全响应＝齐次通解 自由响应
＋
特解
强迫响应
求解过程比较麻烦， 不宜采用。 3、全响应＝零输入响应＋零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同。 零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要。 4、变换域法（Z变换法）
一、常用序列
(1)单位脉冲序列 定义： (k )
( k )
1 k 0 0 k0
移位单位脉冲序列 定义： (k i )
( k i )
1 k i 0 k i
1
1 1 2
0
k
0
1 2 i
k i
k
(k )的性质：f (k) (k i) f (i) (k i) f (i)
3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k)
例2：一阶齐次方程的解 y(k 1) a0 y(k ) 0
离散时间系统 差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换 卷积定理 离散系统模拟
3.1 LTI离散系统的响应
什么是线性非移变离散系统？ 线性系统 if then
f1 ( k )
y1 ( k ) f 2 ( k ) y 2 ( k )
c1 f1 ( k ) c2 f2 ( k ) c1 y1 ( k ) c2 y2 ( k )