江苏省天一中学高考数学模拟卷(1)
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学第一次模拟测试试卷 (解析版)
2020年高考数学第一次模拟试卷一、填空题（共14个小题）1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为．3．函数的定义域为．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．14．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为．二、解答题15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题.[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为1．解：z＝＝i+1的虚部为1．故答案为：1．3．函数的定义域为[4，+∞）．．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．解：在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，基本事件总数为n＝＝10，抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数：m＝＝4，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为p＝．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．解：因为双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．解：如图所示，设圆柱的高为h，底面半径为r．由题意，128π＝πr2•h，∴S＝2πr2+2πr•h＝＝≥3．当且仅当，即当r＝4时取等号．此时h＝＝8．∴它的底面半径和高的比值为．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝﹣．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∵tan（α+β）＝＝＝﹣2；∴tanβ＝﹣．故答案为：﹣．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝﹣42．解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S9﹣（﹣8），解得S9＝﹣42．故答案为：﹣42．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为3．解：因为点A1的横坐标为1，即当x＝1时，f（x）＝sin（ω+）＝，所以ω+＝2kπ+或ω+＝2kπ+（k∈Z），又直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，所以ω+＝，故ω＝，所以：函数的关系式为f（x）＝sin（）．当x2＝3时，f（3）＝sin（）＝，即点A2的横坐标为3，（3，）为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得＝b12，∵e1＝，∴a1＝，∴b12＝a12﹣c2＝c2（），同理可得＝b22，∵e2＝，∴a2＝，∴b22＝c2﹣a22＝c2（1﹣），∴c2（﹣1）＝c2（1﹣），即，∵e2＝3e1，∴e1＝．故答案为：．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．解：作DG∥AF交BC于G；∴，∴FE＝DG；BF＝FG；①∵，∴DG＝AF；FG＝GC；②联立①②可得EF＝AF；AE＝AF；BF＝BC；∵＝（+）•＝﹣[+（﹣）]•（）＝﹣（+）•（）＝﹣[﹣﹣]＝﹣[×22﹣•﹣×22]∴＝；则＝•＝×（）•＝×（•+）＝×（×+×22）＝；故答案为：．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为3．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：314．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为{}∪[，）．解：当x≤2时，令f′（x）＝＝0，解得x＝1，所以当x≤1时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，当1≤x≤2时，f′（x）＜0，则f （x）单调递减，当x＞2时，f（x）＝＝单调递减，且f（x）∈[0，）作出函数f（x）的图象如图：（1）当a＝0时，方程整理得f2（x）＝0，只有2个根，不满足条件；（2）若a＞0，则当f（x）＜0时，方程整理得f2（x）+3af（x）+2a2＝[f（x）+2a][f（x）+a]＝0，则f（x）＝﹣2a＜0，f（x）＝﹣a＜0，此时各有1解，故当f（x）＞0时，方程整理得f2（x）﹣3af（x）+2a2＝[f（x）﹣2a][f（x）﹣a]＝0，f（x）＝2a有1解同时f（x）＝a有2解，即需2a＝1，a＝，因为f（2）＝＝＞，故此时满足题意；或f（x）＝2a有2解同时f（x）＝a有1解，则需a＝0，由（1）可知不成立；或f（x）＝2a有3解同时f（x）＝a有0解，根据图象不存在此种情况，或f（x）＝2a有0解同时f（x）＝a有3解，则，解得，故a∈[，）（3）若a＜0，显然当f（x）＞0时，f（x）＝2a和f（x）＝a均无解，当f（x）＜0时，f（x）＝﹣2a和f（x）＝﹣a无解，不符合题意．综上：a的范围是{}∪[，）故答案为{}∪[，）二、解答题：共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．解：（1）证明：D，E分别是AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，DE⊈平面AB1C1，∵AC1⫋平面AB1C1，故DE∥平面AB1C1；（2）证明：△ABC为正三角形，所以BD⊥AC，因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，故BD⊥平面AA1C1C，A1E⊂平面AA1C1C，所以BD⊥A1E，又A1E⊥AC1，DE∥AC1，所以A1E⊥DE，又BD∩DE＝D，所以A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，化简得：，目标函数z＝240x+378y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点A时，截距z最小，解方程组，得点A的坐标为（，0），又∵x∈N，y∈N，∴点A（，0）不是最优解，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝240×8+378×0＝1920，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝，又由右准线方程为x＝2，得到＝2，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝1所以，椭圆C的方程为+y2＝1（2）设B（x1，y1），而A（0，1），则M（，），∵＝，∴N（，），因为点B，N都在椭圆上，所以，解得：y1＝，x＝所以（3）由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得：1+k2＝m2联立直线l的方程与椭圆C的方程：，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝8k2＞0，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）﹣+m2＝＝＝＝λ所以k2＝，所以△OAB的面积S＝1×AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，因为S＝在[，]为单调减函数，并且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，所以△OAB的面积S的范围为19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论解：（I）∵f（x）＝2x2+alnx，∴f′（x）＝4x，由题意可得，f′（1）＝2，f（1）＝2∴4+a＝2，2+m＝2∴a＝﹣2，m＝0，（II）∵f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，2（2x﹣1）2+aln（2x﹣1）+2＞2（2x2+alnx），整理可得，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]＞0对任意x∈[2，+∞）恒成立，∴4﹣a（n4﹣ln3）＞0即a当a时，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]设g（x）＝4（x﹣1）2﹣，则g′（x）＝8（x﹣1）[（2x2﹣x）﹣]∵x≥2，∴x﹣1＞0，，∴g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）＞g（2）＝0综上可得，a（III）不可能有三个不同的实根，证明如下：令g′（x）＝f（x）+2cos x，若g（x）＝5有三个不同的实数根，则g（x）至少要有三个单调区间，则g′（x）＝0至少有两个不等实根，所以只要证明g′（x）＝0在（0，+∞）至多1个实根，g′（x）＝4x，g′′（x）＝4﹣2cos x﹣∵，∴g′′（x）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＝0至多1个根，当a≥0时，（4x﹣2sin x）′＝4﹣2cos x＞0，∴y＝4x﹣2sin x在（0，+∞）上单调递增，∴y＝4x﹣2sin x＞0，又因为a≥0时，∴＞0，g′（x）＝0g′（x）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g′（x）＝0（0，+∞）上至多一个实数根，得证20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．解：f′（x）＝3x2+2ax+b，（x∈R），（1）当b＝1时，f′（x）＝3x2+2ax+1，因为f（x）在区间（﹣1，）上单调递增所以当x∈（﹣1，）时，f′（x）＝3x2+2ax+1≥0恒成立．函数f′（x）＝3x2+2ax+1的对称轴为x＝﹣．①﹣＜﹣1，即a＞3时，f′（﹣1）≥0，即3﹣2a+1≥0，解之得a，解集为空集；②﹣1，即﹣时，f即，解之得，所以﹣③﹣，即a时，f≥0即3+a+1≥0，解之得a≥﹣，所以﹣综上所述，当﹣函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增．…（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，且函数f（x）在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∵g′（x）＝f′（x）∴函数g（x）也是在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减∵g（x0）═f（x0）﹣f（x0）＝0，∴x0是函数g（x）的一个零点．…由题意知：x1+2x0＝3x2，g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）∵x1+2x0＝3x2，∴2x0﹣2x2＝x2﹣x1＞0，∴x0＞x2∴f（x2）＜f（x0），∴g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）＜0又g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝x13+ax12+bx1﹣（x03+ax02+bx0）＝（x1﹣x0）（x12+x1x0+x02+ax1+ax0+b）＝（x1﹣x0）（x12+x1•+（）2+ax1+a•+b）＝（x1﹣x0）（3x12+2ax1+b+9x22+6ax2+3b）∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，∴3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0…∴g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝0∵函数g（x）图象连续，且在区间（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∴当x∈（﹣∞，x1）时，g（x）＜0，当x∈（x1，x0）时g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g（x）＞0，∴函数g（x）有两个零点x0和x1．…（16分）[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程是．由，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，整理的直角坐标方程为：x2+y2＝4x+4y，所以曲线C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（2）由（1）知圆C半径，利用圆心到直线的距离，所以．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．解：（1）抛物线C的焦点F坐标为，且该点在直线x+y﹣1＝0上，所以，解得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由点F在线段AB上，可设直线l1，l2的方程分别为y＝a和y＝b且a≠0，b≠0，a≠b．则，，D（﹣1，a），E（﹣1，b）∵P是DE的中点，∴直线AB的方程为，即4x﹣（a+b）y+ab＝0，又点F（1，0）在线段AB上，∴ab＝﹣4，，，由于AP，EF不重合，所以AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．【解答】角：（1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为：m＝+＝28．（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的概率分布为：X0123PX的数学期望E（X）＝＝．。
江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题(解析版)
2023届高三数学测试题数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设复数z 满足()12i 1z +=+，则z 的虚部为（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】先求出1+，再根据复数的除法运算求出z ，由虚部的定义即可求解.【详解】因为15+=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z -===-++-.所以z 的虚部为2-.故选:C.2.已知集合{Z |13}A x x =∈-<<，{|30}B x x a =-<，且(){}R 1,2A B ⋂=ð，则a 的取值范围为（）A.()0,4 B.(]0,4 C.(]0,3 D.()0,3【答案】C 【解析】【分析】先求得{0,1,2},{|}3a A B x x ==<，得到R {|}3a B x x =≥ð，结合题意得到不等式013a<≤，即可求解.【详解】由集合{Z |13}{0,1,2}A x x =∈-<<=，{|30}{|}3a B x x a x x =-<=<，可得R {|}3a B x x =≥ð，因为(){}R 1,2A B ⋂=ð，所以013a<≤，解得03a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,3.故选：C.3.直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay +-=平行，则实数=a （）A.1a = B.1a =- C.1a =或1- D.0【答案】A 【解析】【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.【详解】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay +-=平行，所以210a -=且10a --≠，解得1a =.故选：A .4.对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为1r ，21S ，21R ，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为2r ，22S ，22R ，则（）A.若12r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B.若2212r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C.若2212S S >，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D.若2212R R >，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好【答案】B 【解析】【分析】由线性相关系数r 与决定系数2R 的意义及残差平方和2S 与2R 的关系即可求解.【详解】线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故A 错误，B 正确；残差平方和2S 越小，则决定系数2R 越大，从而两个变量拟合的效果越好，残差平方和2S 越大，则决定系数2R 越小，从而两个变量拟合的效果越差，故C 、D 错误.故选：B 5.函数2()1cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可.【详解】21e ()1cos cos 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以1e e 1()cos cos ()1e e 1x x xx f x x x f x -----=⋅=⋅=-++，所以()f x 为奇函数，故排除A ，D ；当πx =时，ππ22(π)1cos π101e 1e f ⎛⎫=-=-> ⎪++⎝⎭，故排除B ；故选：C.6.在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且1b =，cos cos A a B a -=，则（）A.ππ64A << B.ππ63A <<C.ππ43A << D.ππ42A <<【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得2B A =，再根据角,,A B C 都是锐角即可求解.【详解】因为1b =，cos cos A a B a -=，所以cos cos b A a B a -=，所以由正弦定理得sin cos sin cos sin B A A B A -=，即()sin sin B A A -=，因为π02A <<，π02B <<，所以ππ22B A -<-<，所以B A A -=，即2B A =，因为π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π02π022π0π22A A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得ππ64A <<.7.如图，在平面直角坐标系中，以OA 为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E ，F 两点，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线EF 的斜率为14，则()sin αβ+=（）A.1517-B.817-C.817D.1517【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得tan 42αβ+=-，再根据二倍角的正切公式即可求出()8tan 15αβ+=，最后结合αβ+的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案.【详解】由题意得AOE α∠=，AOF β∠=，OE OF =，则直线EF 所对的倾斜角为ππ222βααβα--+-=-，π1tan 224αβ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即114tan 2αβ-=+，则tan42αβ+=-，则()22tan882tan 15151tan2αβαβαβ+-+===+--，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3π,22αβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又因为()tan 0αβ+>，3ππ,2αβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则()()()sin 8tan cos 15αβαβαβ++==+，结合()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()8sin 17αβ+=-，8.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯【答案】D 【解析】【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到91600(120%)L =⋅-，由次求出9L ，进而求出k L .【详解】设轧辊的半径为r ，由轧辊的横截面积2640000mm π可得：22640000πmm πr =，解得：800r =，所以轧辊的周长为2π2π8001600mm r =⋅=，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有91600(10.2)L =⋅-，所以916002000(mm)0.8L ==，101600L =所以()10101016000.8mm0.8k k kL L --==⨯故选：D .二、多选题：本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，错选得0分.9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b向量上的投影向量为480,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，则11010n a ⋅=+-= ，即1n a ⊥，则//l α或l ⊂α，故A 不正确；又平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，所以121010n n ⋅=-++= ，即12n n ⊥，所以αβ⊥，故B 正确；由直线m 的方向向量为()0,1,2b =- ，所以不存在实数λ使得a b λ=，故l 与m 为相交直线或异面直线，故C 正确；a 在b向量上的投影向量为()4480,1,20,,555a b b bb-⋅⎛⎫⋅==--=- ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：BC .10.若点()2,3P 在双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的一条斜率为正的渐近线的右侧，c 为半焦距，则（）A.1a bc +> B.2b ca +>C.32b a< D.2c a >【答案】ABD 【解析】【分析】点()2,3P 在一条斜率为正的渐近线的右侧可得32b a >，从而可判断选项C 、D 正误；对A 直接用分析法证明即可；对B 由b c b ca a a+=+可证得结论成立.【详解】可得双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条斜率为正的渐近线方程为:b y x a=，因为(2,3)P 在b y x a =右侧,所以23b a ⨯>，故32b a >,故C 错误；所以132e =>=,故D 正确；对A ：要证1a b c+>，即证()2222a b c a b +>=+，即证20ab >，显然成立，故A 正确；对B ：313222b c b c b a a a a +=+=++>，故B 正确；故选:ABD.11.若()54325101051f x x x x x x =-+-+-，则（）A.()f x 可以被()31x -整除B.()1f x y ++可以被()4x y +整除C.()30f 被27除的余数为6D.()29f 的个位数为6【答案】AB 【解析】【分析】根据二项式定理的展开式逆用知5()(1)f x x =-，据此可判断AB ，由5(30)(272)f =+可判断C ，由5(29)(302)f =-可判断D.【详解】()543255101051(1)f x x x x x x x =-+-+-=- ，()f x ∴可以被()31x -整除，故A 正确；5(1)()f x y x y ++=+ ，()1f x y ∴++可以被()4x y +整除，故B 正确；()5505144455555530(301)(272)C 27C 272C 272C 2f =-=+=⋅+⋅⨯++⋅⨯+⋅ =051444555C 27C 272C 272275⋅+⋅⨯++⋅⨯++ (30)f ∴被27除的余数为5，故C 错误；()55051444555529(291)(302)C 30C 30(2)C 30(2)(2)f =-=-=⋅+⋅⨯-++⋅⨯-+- 051444555C 30C 30(2)C 30(2)32=⋅+⋅⨯-++⋅⨯-- ，∴个位数为1028-=，故D 错误.故选：AB12.若存在直线与曲线()()322,f x x x g x x a a =-=-+都相切，则a 的值可以是（）A.0B.24-C.logD.π+【答案】ABC 【解析】【分析】设该直线与()f x 相切于点()3111,x x x -，求出切线方程为()2311312y x x x =--，设该直线与()g x 相切于点()2222,x x a a -+，求出切线方程为22222y x x x a a =--+，联立方程组，得到24321119312424a a x x x -+=--+，令()4329312424h x x x x =--+，讨论()h x 的单调性，从而得到最值，则可得到21a a -+≥-，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与()f x 相切于点()3111,x x x -，因为()231f x x '=-，所以()21131f x x =-'，所以该切线方程为()()()32111131y x x x x x --=--，即()2311312y x x x =--.设该直线与()g x 相切于点()2222,x x a a -+，因为()2g x x '=，所以()222g x x '=，所以该切线方程为()()222222y x a a x x x --+=-，即22222y x x x a a =--+，所以212322123122x x x x a a⎧-=⎨-=--+⎩，所以2222334321211111319312222424x a a x x x x x x ⎛⎫--+=-=-=--+ ⎪⎝⎭，令()()432329312,963424h x x x x h x x x x +=--∴'=--，所以当()1,0,13x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭ 时，()h x '<0；当()1,01,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；()h x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,1上单调递减；在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；又()15,11327h h ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以()[)1,h x ∞∈-+，所以21a a -+≥-，解得151522a -+≤≤，所以a 的取值范围为11,22⎡+⎢⎣⎦，所以A 正确；对于B ，(22150424-+--=>，所以15204<-<，所以B 正确；对于C ，因为0log <<2315log 22=<，所以C 正确；对于D ，因为eπ1522>=>，所以D 不正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设A ，B ，C ，D 是四个命题，A 是B 的必要不充分条件，A 是C 的充分不必要条件，D 是B 的充分必要条件，那么D 是C 的______条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）【答案】充分不必要【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为A 是B 的必要不充分条件，所以B A ⇒，但A ⇒B ，A 是C 的充分不必要条件，所以A C ⇒，但C ⇒A ，D 是B 的充分必要条件，所以D B ⇒，但B ⇒D ，所以D B A C ⇒⇒⇒，但C ⇒D ，故D 是C 的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14.若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且214a =，555S =，数列{}31n a -的前10项的和为______.【答案】265-【解析】【分析】由题意可得1114545552a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解方程求出1,a d ，即可求出31-n a ，再由等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1114545552a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1173a d =⎧⎨=-⎩，故()()1713320n a n n =+-⨯-=-+，所以()31=33120923n a n n --⨯-+=-+，所以数列{}31n a -的前10项的和为()101467=2652⨯--.故答案为：265-.15.设ABC 内接于椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，A 与椭圆的上顶点重合，边BC 过E 的中心O ，若AC 边上中线BD 过点()0,F c ，其中c 为椭圆E 的半焦距，则该椭圆的离心率为______.【答案】10【解析】【分析】画出草图，分析可知F 为ABC 的重心，求解即可.【详解】如图：边BC 过E 的中心O ，所以O 为BC 的中点，则AO 为边BC 上的中线，AC 边上中线BD 过点()0,F c ，所以两中线的交点为F ，即F 为ABC 的重心，所以3OF OA =，即3c b =，则229b c =，所以2229a c c -=，所以2210a c =，所以2110e =，所以1010e =.故答案为：10.16.设函数π()sin(23f x x =-在π[,]3αα+上的值域为[],M N ，则N M -的取值范围是______.【答案】1[2【解析】【分析】探讨函数()f x 的周期，按函数()f x 在π[,]3αα+上是否单调分类求解N M -的范围，再求出交集作答.【详解】函数π()sin(23f x x =-的周期πT =，而ππ(332T αα+-=<，当函数()f x 在π[,3αα+上单调时，(π|()()|ππsin(2sin 2)|cos 2|333|N M f f ααααα-=--=+=-+≤当函数()f x 在π[,3αα+上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当()f x 在π[,]3αα+上的图象关于直线π6x α=+对称时，N M -最小，此时πππ2(π,Z 632k k α+-=+∈，即ππ,Z 24k k α=+∈，因此min ππsin(2)sin 2||s |in(πsin(3ππ()|()6(||π)62N M f k f k αααα--+-==--=++11|cos πcos π|22k k =-=，所以N M -的取值范围是1[2.故答案为：1[2【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ，角A ，B ，C 所对应的边是a ，b ，c ，满足2cos 21cA a=+，且2B A ≠．（1）求证：3A C =；（2）若C 为钝角，D 为边AC 上的点，满足24cos 1ADA CD =-，求BD CD的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）(2,)+∞【解析】【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换化简即可证明；(2)根据题意确定BD 为B 的角平分线，再根据正弦定理可得323sin 4sin 12sin BD A ACD A -=-，换元法求解函数3234()12t t f t t-=-的值域即可.【小问1详解】∵(2cos 21)a A c +=，由正弦定理可得sin (2cos 21)sin A A C +=，则()2sin 4cos 1sin (2cos 1)(2cos 1)sin A A A A A C -=-+=则(sin 2sin )(2cos 1)2sin 2cos sin A A A A A A-+=-2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 2sin cos sin A A A A A A A A A A=+-=+-sin 2cos sin cos 2A A A A =+，原式可化简为sin 3sin A C =，则3A C =或3πA C +=．若3πA C +=，则3πA C A B =-=+，此时2B A =，与题意矛盾，故3A C =．【小问2详解】若24cos 12cos 21AD cA A CD a=-=+=，则BD 为B 的角平分线．则sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2πcos 2cos 2sin 22BD A A A A A A ACDA A A ++===⎛⎫- ⎪⎝⎭22322sin (12sin )2sin cos 3sin 4sin 12sin 12sin A A A A A AA A -+-=--,由于C 为钝角，则ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12sin ,22t A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭．∴3234()12DB t t f t DC t-==-．由()4222863()012t t f t t -+=>-'，因为122t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()0f t '>，可知()f t 在1,2,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭单调递增，∴1()()22f t f >=，故DBDC的取值范围为(2,)+∞．18.设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足()23202n n n t b n b -++=（t ∈R ，*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求100T .【答案】（1）2n n a =（2）3t =（3）2226【解析】【分析】（1）由已知可求出q 的值，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由已知可得2232n n tnb n -=-，根据数列{}n b 为等差数列，得到1322b b b +=，再求出t 的值即可；（3）根据题意可知{}n c 的前100项，由90个2，123910,,,,,a a a a a 构成，再利用分组求和法求解即可.【小问1详解】由题意，可得31568a a a =+，所以2468q q =+，解得24q =或22q =（舍），则2q =，又12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由()23202n n n t b n b -++=，得2232n n tnb n -=-，所以124b t =-，2164b t =-，3122b t =-，因为数列{}n b 为等差数列，所以1322b b b +=，解得3t =，所以当3t =时，2n b n =，由12n n b b +-=（常数）知此时数列{}n b 为等差数列.【小问3详解】因为12b =，所以1a 与2a 之间插入2个2，24b =，所以2a 与3a 之间插入4个2，36b =，所以3a 与4a 之间插入6个2，……则{}n c 的前100项，由90个2，123910,,,,,a a a a a 构成，所以1001210()290T a a a =++++⨯ ()10212180222612-=+=-.19.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）13125;（2）1125.【解析】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，利用二项分布的概率概率公式求(2)P X ≥即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为15，3件以下的概率为45，所以三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，则22333341113(2)(2)(3)C ()()C ()555125P X P X P X ≥==+==+=.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A ={销售0件}或B ={销售1件}，所以1()10P A =，1()5P B =，令C ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P C A =，1(|)5P C B =，所以9()()(|)()(|)100P C P A P C A P B P C B =+=.第一天营业结束后补货的情况为D ={销售3件}或E ={销售2件}，所以1()5P D =，1()2P E =，令F ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P F D =，1(|)2P F E =，所以7()()(|)()(|)20P F P D P F D P E P F E =+=.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率11()()25P P C P F =+=.20.如图，在空间几何体ABCDE 中，已知,,ABC ACD BCE 均为边长为2的等边三角形，平面ACD 和平面BCE 都与平面ABC 垂直，H 为AB 的中点．（1）证明：ED ∥平面ABC ；（2）求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【小问1详解】证明：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；【小问2详解】连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()())110,1,0,0,1,0,,,,0,,2222A C DE H ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，所以()33130,2,0,,,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2033022y y z -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，则()1,0,2m =-，所以cos ,5DH m DH m DH m ===，设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,5DH m θ==．21.在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，E 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()11,A x y ，()22,B x y 分别为曲线C 上的第一象限和第四象限的点，且121294x x y y +=，求ABO 与AFO V 面积之和的最小值.【答案】（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩（2）2【解析】【分析】（1）由题意直接求动点的轨迹方程即可；（2）当直线AB 的斜率为0时，不适合题意，所以设出直线的方程与抛物线联立利用基本不等式求解即可.【小问1详解】设动点E 的坐标为(),x y21y x +=+，化简得：24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩，故曲线C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩.【小问2详解】如图：因为点()11,A x y ，()22,B x y 分别为曲线C 上的第一象限和第四象限的点，所以当直线AB 的斜率为0时，不适合题意；当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ay t =+，由24x ay ty x =+⎧⎨=⎩得，2440y ay t --=，216160a t ∆=+>，所以121244y y a y y t +=⎧⎨=-⎩，由1240y y t =-<，得0t >，因为121294x x y y +=，所以()()121294ay t ay t y y +++=，所以()()221212914a y y at y y t ++++=，所以()()2291444a t at a t +-+⋅+=，解得：92t =或12t =-（舍去），当92t =时，直线AB 的方程为92x ay =+，直线AB 过定点902,⎛⎫⎪⎝⎭，且满足0∆>，且12418y y t =-=-，所以1211219111922244ABO AFO S S y y y y y +=⨯⨯-+=-==△△≥当且仅当1211944y y -=，即192211y =，2y =时取等号，故最小值为9222.22.已知函数()21ln x af x a x x+-=-+，a ∈R .（1）当2a =时，证明：()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立；（2）判断函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）证明不等式恒成立转化为求函数的最小值，最小值大于等于零即可求证；（2）利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.【小问1详解】当2a =时，()212ln x f x x x-=-+，所以()()222221212110x x x f x x x x x---+='=++=≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.故()()min 10f x f ==，所以()0f x ≥，即()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.【小问2详解】()21ln x af x a x x+-=-+，其定义域为：()0,∞+.()()()()222211111x x a x ax a a a f x x x x x⎡⎤----+---⎣⎦=+-=='.当1a ≤时，令()0f x '=得：1x =.若()0,1x ∈，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数.所以()()min 120f x f a ==->，所以此时()f x 没有零点；当12a <<时，令()0f x '=得：1x =，或11x a =-<.若()0,1x a ∈-，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数；若()1,1x a ∈-，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，所以()x 为增函数.所以()f x 的极大值为()()1ln 120f a a a a -=--+->，极小值为()120f a =->.此时0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞.所以此时()f x 有1个零点；当2a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 在()0,∞+单调递增.此时0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞.所以此时()f x 有1个零点；当2a >时，令()0f x '=得：1x =，或11x a =->.若()0,1x ∈，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数；若()1,1x a ∈-，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x a ∈-+∞，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数.所以()f x 的极大值为()120f a =-<，极小值为()()1ln 120f a a a a -=--+-<.此时0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有1个零点.综上所述：当1a ≤时，()f x 没有零点；当1a >时，()f x 有1个零点.【点睛】判断函数零点的个数，就是利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.。
江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤4．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，5．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ）A ．52-B ．2-C ．2D ．726．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 62- B 21C 62+ D 219．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．53210．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.112．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏高考数学模拟试卷(一)
江苏高考数学模拟试卷(一)20xx年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.设复数z满足$\frac{z+i}{i}=-3+2i$（i为虚数单位），则z的实部是______。
2.若全集$U=\{x||x|<2\}$，$A=\{x|\log_3(x^2-1)<1\}$，则$U-A=$______。
3.某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段 | [60,65) | [65,70) | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) |人数。
| 13.| 66.| 211.| 62.| 11.| 1.| 0.|若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为______分。
4.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是______。
5.运行如图所示程序框图后，输出的结果是______。
k←1while k≥-3S←S-2kk←k-1print(S)6.设m，n是两条不同的直线，$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，$S=$______。
给出下列命题：1) 若$\alpha\parallel\beta$，$m\perp\beta$，$n\parallel\alpha$，则$m\perp n$；2) 若$\alpha\parallel m$，$\beta\parallel n$，$m\subset\beta$，$n\subset\alpha$，则$S=S-2k$，输出S；3) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\parallel\beta$，则$m\parallel n$；4) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\perp\beta$，则$m\perp n$。
2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷(一)
2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷（一）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，则(A B = )A ．{2，3，5}B ．{2，3，7}C ．{2，3，5，7}D ．{2，3，4，5，6，7}2．（5分）复数3321i z i-=+的虚部为( )A ．12- B ．1-C ．52D ．123．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当(q x p p =，q 为正整数，qp是既约真分数）时1()R x p=，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）4．（5分）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( ) A ．12B ．24C ．36D ．485．（5分）已知球O 的半径为8，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为4，则此矩形的最大面积为( ) A ．96B ．48C ．32D ．246．（5分）已知向量||2AB =，||1CD =，且|2|23AB CD -=，则向量AB 和CD 的夹角为() A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．（5分）在平面直角坐标系内，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，下面四个命题中的假命题为( )A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交 8．（5分）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数H ，使得对任意的n N +∈，都有||n S H <，则称数列{}n a 为“和有界数列”．下列说法正确的是( )A ．若{}n a 是等差数列，且公差0d =，则{}n a 是“和有界数列”B ．若{}n a 是等差数列，且{}n a 是“和有界数列”，则公差0d =C ．若{}n a 是等比数列，且公比||1q <，则{}n a 是“和有界数列”D ．若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，则{}n a 的公比||1q <10．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A ．乙类水果的平均质量20.8kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99σ=11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是()A ．当102CQ <<时，S 为四边形 B ．当12CQ =时，S 不为等腰梯形C ．当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =D ．当1CQ =时，S 612．（5分）已知定义域为A 的函数()f x ，若对任意的1x ，2x A ∈，都有1212()()()f x x f x f x ++，则称函数()f x 为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有( ) A ．211()1,[,]22f x x x =+∈-B ．()x f x e =，x R ∈C ．()sin f x x =，[0x ∈，]πD ．3()log f x x =，[2x ∈，)+∞三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知复数z 在复平面内对应点是(1,2)-，i 为虚数单位，则21z z +=- ． 14．（5分）若函数()f x 是偶函数，对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=，且[1x ∈-，0]时，()f x x =-，则方程()f x lgx =的实根个数为 ．15．（5分）已知四面体ABCD 的棱都相等，G 为ABC ∆的重心，则异面直线AG 与CD 所成角的余弦值为 ．16．（5分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω．过(0，)(01)y y 作Ω的水平截面，所得截面面积S = （用y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 中，15a =且1221(2n n n a a n -=+-且*)n N ∈． （1）证明：数列1{}2n na -为等差数列； （2）求数列{1}n a -的前n 项和n S ．18．（12分）如图，郊外有一边长为200m 的菱形池塘ABCD ，塘边AB 与AD 的夹角为60︒，拟架设三条网隔BE ，BF ，EF ，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE 与BF 相互垂直，E ，F 两点分别在塘边AD 和DC 上，区域BEF 为荷花种植区域．记ABE θ∠=，荷花种植区域的面积为2Sm ．（1）求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最小值．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心． ()I 求证：MG ⊥平面ABN ；（Ⅱ）求二面角1A AB N --的正弦值．20．（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：（1）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为，圆O 、椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为P ，A ．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设点0(B x ，00)(0y y ≠且01)y ≠±为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC 分别交x 轴于点M ，N ，证明：tan tan OPM ONP ∠=∠． 22．（12分）已知函数3224()233f x x x =-+，()()xg x e ax x R =-∈． （1）若()f x 在区间[5a -，1]a -上的最大值为43，求实数a 的取值范围； （2）设3()()12h x f x x =-+，(),()()()(),()()h x h x g x F x g x h x g x ⎧=⎨>⎩，记1x ，2x ，n x ⋯为()F x 从小到大的零点，当3a e 时，讨论()F x 的零点个数及大小．2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学全真模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，则(A B = )A ．{2，3，5}B ．{2，3，7}C ．{2，3，5，7}D ．{2，3，4，5，6，7}【解答】解：{2A =，3，4，6，7}，{2B =，3，5，7}，{2AB ∴=，3，7}．故选：B ．2．（5分）复数3321i z i-=+的虚部为( )A ．12-B ．1-C ．52D ．12【解答】解：33232(32)(1)5511(1)(1)222i i i i i iz i i i i -++--=====-+++-，∴复数3321i z i -=+的虚部为12-．故选：A ．3．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当(q x p p =，q 为正整数，qp是既约真分数）时1()R x p=，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）【解答】解：设{|,,,}qA x x p q p==为正整数是既约真分数，{|0B x x ==或1x =或x 是[0，1]上的无理数}，①当a A ∈，b A ∈，则()R a b R +（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）； ②当a B ∈，b B ∈，则()R a b R +=（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）0=；③当a Ab B∈⎧⎨∈⎩或a Bb A∈⎧⎨∈⎩，则()R a b R+（a）R+（b），()R a b R⋅（a）R⋅（b）．综上，选项B一定正确．故选：B．4．（5分）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为()A．12B．24C．36D．48【解答】解：根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1、2、3、4、5、6，分析可得1、4，2、6，3、5不能分到同一组，分2步进行分析：①，将6种化工产品分成3组，其中1、4，2、6，3、5不能分到同一组，有222642333218C C CA-⨯-=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个仓库，有336A=种情况，则不同的安全存放的种数有8648⨯=种；故选：D．5．（5分）已知球O的半径为8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD 的距离为4，则此矩形的最大面积为()A．96B．48C．32D．24【解答】解：球O 的半径为8，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上， 球心O 到平面ABCD 的距离为4，∴22184432BD =-=， 83BD ∴=，故2221922AB AD BD AB AD +==⋅⋅，当且仅当AB AD =时取等号， 故当AB AD =时，矩形ABCD 的面积最大， 解得2296AB AD ==，∴此矩形的最大面积296S AB ==．故选：A ．6．（5分）已知向量||2AB =，||1CD =，且|2|23AB CD -=，则向量AB 和CD 的夹角为() A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：据条件： 2(2)AB CD -2244AB AB CD CD =-+ 444AB CD =-+12=；∴1AB CD =-；∴1cos ,2||||AB CD AB CD AB CD <>==-；∴向量,AB CD 的夹角为120︒．故选：C ．。
2020届江苏省无锡市天一中学高三下学期6月模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省无锡市天一中学高三下学期6月模拟数学试题一、填空题1．命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是______． 【答案】()1,2x ∃∈，21x ≤【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是：()1,2x ∃∈，21x ≤. 故答案为：()1,2x ∃∈，21x ≤. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，已知该数列前10项的和为10120S =，那么56a a +=______． 【答案】24；【解析】根据等差数列的前10项和以及等差数列的性质，即可得答案； 【详解】1101011010()120120242a a S a a ⋅+=⇒=⇒+=，1510624a a a a +==+，故答案为：24. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和项公式以及等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题.3．若幂函数ny mx =（m ，n R ∈）的图象经过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=______．【答案】13【解析】根据幂函数的定义及图象过点，可得,m n 的值，即可得答案； 【详解】幂函数ny mx =（m ，n R ∈），∴1m =，∴321282243n n n -=⇒=⇒=-， ∴13m n +=，故答案为：13.【点睛】本题考查根据幂函数的定义及图象过点求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 4．已知(1,2)a m =，(2,)b m =-，则“1m =”是“a b ⊥”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要；【解析】根据向量垂直的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当1m =时，()122220a b m m ⋅=⨯+⨯-=-=，即a b ⊥ 当a b ⊥时，()2122220a b m m m ⋅=⨯+⨯-=-=，解得1m =±即“1m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，涉及了向量垂直的坐标公式，属于中档题. 5．设直线是3y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是______． 【答案】3ln33-+； 【解析】设出切点坐标()00,x P x e，利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】,x x y e y e '=∴=设切点()00,x P x e则在点P 处的切线方程为()000xx y e e x x -=-整理得0000xxxy e x e x e =-+直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线003,ln 3x e x ∴==，0003ln 33x x e x e b =--+=+故答案为：3ln33-+ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.6．在ABC 中，14a =，b =60B =︒，则c =______．【答案】(71+；【解析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可知(2221142142c c =+-⨯⨯⨯即214980c c --=解得：(71c =或(71c =（舍）故答案为：(71【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥； ②若m α⊥，//n m ，则n α⊥； ③若//n α，m α⊂，则//n m ； ④若//m α，//n α，则m n ⊥； 其中真命题是______．（写出所有真命题的序号） 【答案】②；【解析】对①，n 不一定垂直α；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线,n m 可能异面；对④，,n m 可能平行. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，对①，取直线n 为1AA ，直线m 为CD ，平面α为面11A B CD ，显然n α⊥不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质，故②正确； 对③，直线,n m 可能异面，故③错误；对④，取直线,n m 分别为直线11A B 、11C D ，α为平面ABCD ，显然,n m 平行，故④错误； 故答案为：②. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 8．已知函数()25f x x x =-，数列{}n a 的通项公式为()*6n a n n n=+∈N ．当()14n f a -取得最小值时，n 的所有可能取值集合为______．【答案】{}1,6；【解析】令()25()1420.252n n g n f a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，借助导数得出5n a ≥，要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25，令26520.252n n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解出n 的值，即可得出答案. 【详解】令()225()1451420.252n n n n g n f a a a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭令6(),0h x x x x =+>，22266()1x h x x x -'=-=()0()00h x x h x x ''>⇒><⇒<<则函数()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增 由26252a =+=，36353a =+=，得数列{}n a 的最小值为5，即5n a ≥ 要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25∴令26520.252n n ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 652n n ∴+-=5n a ≥62.57n n∴+=+= 解得1n =或6即n 的所有可能取值集合为{}1,6 故答案为：{}1,6 【点睛】本题主要考查了确定数列中的最小项，属于中档题. 9．下列四个命题：①函数()sin f x x x =是偶函数；②函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是π；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到()3sin 2f x x =的图象；④函数()sin 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上是减函数． 其中是真命题的是______．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③；【解析】①利用函数奇偶性的定义判断；②将函数转化为()cos2f x x =-判断；③利用图象的变换判断；④将函数转化为()cos f x x =-判断. 【详解】①因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 是偶函数，故正确； ②因为()4422sin cos sin cos cos2f x x x x x x =-=-=-，所以()f x 最小正周期是π，故正确；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故正确；④因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,π上是增函数，故错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意的正整数n 都有11n n a a +⋅≠，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，则2012S =______．【答案】4023．【解析】再写一式，两式相减可推断出3n n a a +=，进而可知数列{}n a 是以3为周期的数列，通过11a =，22a =，求得3a ，而201236702=⨯+，故可知2012S 的答案． 【详解】依题意可知，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++， 两式相减得12121()n n n n n n a a a a a a ++-+--=-，11n n a a +≠，210n n a a +-∴-=，即3n n a a +=， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列，123123a a a a a a =++，33a ∴= 2012670(123)124023S ∴=⨯++++=故答案为：4023． 【点睛】本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性． 11．常数a ，b 和正变量x ，y 满足16a b ⋅=，212a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a =______． 【答案】64【解析】由()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以()243264a b ++=，416a b +=，又16ab =，所以8a =，2b =，64b a =． 故答案为：64 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.12．已知ABC 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是______．【答案】2-【解析】由条件可得P 在线段CM 上，然后()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设PMx =，则可得()()22PA PB PC x x +⋅=--，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】 由()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈， 得22sin cos AP AM AC θθ=+，因为22sin cos 1θθ+=，P 在线段CM 上()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设,02PM x x =≤≤，则()()2222(1)22PA PB PC x x x +⋅=--=--≥-．故答案为：2-【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.13．若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______．【答案】3【解析】由()0f x =以及题设条件得出100a ≤，利用导数得出函数()f x 的单调性以及极大值，进而确定方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上，再21000100x x-≤得出11,12,13x =，从而得出a 取值的个数. 【详解】函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上 又()32()0f x x ax x x a =-=-=,令()0f x = 0x ∴=或x a =函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上10100a a ∴≤()f x '=23x a -,令()0f x '=解得3a x =当3a x >或3a x <-时,()0f x '> 当33aax -<<时,()0f x '< 则函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭，,3a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减 ∴当3ax =-时,有极大值,32()()()3333333a a a a a f a -=--⨯-=≤1000,(10)100010100033f a <=-< 结合函数的单调性3()(0)f x x ax a =->，知方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上此时令31000x ax -=,可得21000x a x-= 此时有21000a x x =-,由于x 为大于10的整数 由上知21000100x x-≤,令11,12,13x =时,不等式成立 当14x =时,有21000614196711001414-=-> 故可得a 的值有三个 故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.14．设,a b 均大于1的自然数，函数()()()sin ,cos f x a b x g x b x =+=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=___________． 【答案】【解析】试题分析：由题设可得,即,因,且存在使得这个式子成立,所以,因为,所以,即,也即,当时,,此时不成立;当时,,,不等式成立;当时,,则,矛盾, 不等式成立.故,则,应填答案.【考点】三角变换公式、正弦函数的有界性及不等式成立的条件的综合运用． 【易错点晴】本题设置了一道以方程()()f m g m =为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在转化化归思想的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的信息,将问题等价转化为方程,即有解问题.解答时先利用构造不等式,然后再分析推证,从而获得答案.二、解答题15．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=⋅-， ∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2+=⋅A CB sin )sin(=+=∵π<<A 0，∴0sin ≠A ，∴21cos =B ， 又π<<B 0，∴3π=B ． …………………………………………………………6分（Ⅱ）A A n m 2cos sin 3+=⋅A A 2sin 21sin 3-+=817)43(sin 22+--=A ，………8分 ∵ABC ∆是锐角三角形，3π=B ，AC -=32π， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<232020πππA A ⇔26ππ<<A ，………………………………………………10分∴)1,21(sin ∈A ，∴当43sin =A 时，n m ⋅取最大值817；且2>⋅n m ， ∴]817,2(∈⋅n m ． …………………………………………………………………12分【解析】略16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BAC ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）//MN 平面11ACC A ，证明见解析.【解析】（1）根据1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AB ⊥．又90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）//MN 平面11ACC A ，取AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ，由三角形中位线得到1//,2DN AB DN AB =，从而11//,A M DN A M DN =，得到四边形1A DNM 是平行四边形，所以1//A D MN ，再由线面平行的判定定理证明.【详解】（1）因为1CC ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1CC AB ⊥． 因为90BAC ∠=︒， 所以AC AB ⊥， 且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ， 所以AB AC ⊥．（2）//MN 平面11ACC A ．证明如下：如图所示：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ． 因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =． 又11112A MA B ， 而1111//,=A B AB A B AB ， 所以11//,A M DN A M DN =． 所以四边形1A DNM 是平行四边形． 所以1//A D MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A ． 【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理以及平面几何知识，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 17．已知函数()lg(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数. (1)求函数()f x 的定义域；(2)当(1,4)a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； (3)若对任意[2,)x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围.【答案】（１）当1a >时，定义域为()0,∞+，当1a =时，定义域为()()0,11,+∞，当01a <<时，定义域为(()0,11⋃+∞；（２）lg 2a ；（３）()2,+∞． 【解析】（１）由20ax x+->对a 分两种情况：一、1a >；二、01a <<．求两种情况下定义域；（２）令()2a g x x x =+-，求导知()2ag x x x=+-在[)2,+∞上是增函数，由此得()f x 在[)2,+∞上为增函数，最小值为()2lg 2af =；（３）本题转化为21a x x+->即23a x x >-恒成立，进而转化为求2()3h x x x =-在[)2,x ∈+∞的最大值．【详解】（1）由20a x x +->,得220x x ax-+>,1a >时,220x x a -+>恒成立, 定义域为()0,∞+,1a =时, 定义域为()()0,11,+∞，01a <<时, 定义域为(()0,11⋃++∞.（2）设()2ag x x x=+-,当()1,4a ∈时， [)2,x ∈+∞,()222'10a x ag x x x -=-=>恒成立, ()2ag x x x∴=+-在[)2,+∞上是增函数, ()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上的最小值为()2lg 2a f =.（3）对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,即21ax x+->对[)2,x ∈+∞恒成立.23a x x ∴>-, 而()2239324h x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭在[)2,x ∈+∞上是减函数,()()max 2 2.2h x h a ∴==∴>, 即a 的取值范围为()2,+∞. 【考点】对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1517a a +=． （1）若{}n a 为等差数列，且856S = ①求该等差数列的公差d ；②设数列{}n b 满足3nn b a =⋅，则当n 为何值时，n b 最大？请说明理由；（2）若{}n a 还同时满足： ①{}n a 为等比数列; ②2416a a =；③对任意的正整数k 存在自然数m ，使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，试求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①1d =-；②当10n =或11n =时，n b 最大；（2）()12n n a -=-.【解析】（1）①利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d ；②求出{}n a 的通项公式，进而得到{}n b 的通项公式，利用1n n b b +-，判断{}n b 的单调性，进而得解；（2）根据等比数列的性质，并结合1517a a +=，初步确定{}n a 的通项，再根据等差数列的性质，即可求得{}n a 的通项公式. 【详解】（1）①由1517a a +=，856S =，得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩﹐解得1212a =，1d =-，该等差数列的公差1d =-. ②由①知1212a =，所以()()()1211112232n a a n n d n =+-=+-⨯=--， 则23332nnn n n a b ⎛⎫==⋅-⎝⋅⎪⎭， 1121233322n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=⋅--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21233322n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]2310n n =⨯⋅-所以1110b b =，且当10n ≤ 时，{}n b 单调递增，当11n ≥时，{}n b 单调递减， 故当10n =或11n =时，n b 最大.（2）因为{}n a 是等比数列，则241516a a a a ==， 又1517a a +=， 所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩，由15116a a =⎧⎨=⎩，得141116a a q =⎧⎨=⎩，解得1q =±， 由15161a a =⎧⎨=⎩，得141161a a q =⎧⎨=⎩，解得12q =±，从而12n na 或()12n n a -=-或11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭或11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，得22k k m S S S +=+，而公比1q ≠， 所以()()()21111112111k k m a q a q a q qqq+---=+---，即22k k m q qq +=+，从而22m kq q -=+（）当12n na 时，（）式不成立；当()12n n a -=-时，解得1m k =+；当11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭时，（）式不成立；当11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭时，（）式不成立．综上所述，满足条件的()12n n a -=-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性、等比数列的前n 项和公式、等差数列的性质及等比数列的性质，考查基本公式的应用及运算求解能力，熟记公式是本题的解题关键，属于中档题. 19．给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； ②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（2）设正三角形铁皮的边长为a ，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【答案】（1）①答案见解析；②V V >柱锥；（2）当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ． 【解析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割 ②直接求解比较大小即可 (2) 设箱底边长为x ，列出()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解 【详解】解：（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起， 可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． ②依上面剪拼方法，有V V >柱锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形， 其面积为3．现在计算它们的高： 22361323h ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭锥，13tan 3026h =︒=柱． 1336332203469424V V h h ⎛⎫-⎛⎫-=-⋅=-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭柱锥锥柱 所以V V >柱锥．（2）设箱底边长为x ，则箱高为()302a xh x a -=<<， 箱子的容积为()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<﹒ 由()213048V x ax x '=-=解得10x =（舍），223x a =，且当20,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '>；当2,3x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<， 所以函数()V x 在23x a =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值：2332121213838354V a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答：当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.20．设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式； （3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【解析】（1）设30x -<、3x <-，利用已知函数的解析式，即可求得结论； （2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[5-，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则当方程()f x m =在[3-，3]上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327()416m f ==，且要求27()16f x <对(3,)x ∈+∞恒成立，由此可得结论． 【详解】解：（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值，①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小． （i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭， 所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩． （3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327416m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立． （i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得3a <+33a <<．②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且232x =-，332x =， 所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =． ③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a+>， 由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=， 所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a a m --=>，解得5a >+综上所述，a 与m 满足的条件为2716m =且3a <94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于难题．。
八省联考江苏天一中学考前热身模拟试题(一)数学解析
2021届高三新高考统一适应性考试 江苏省天一中学考前热身模拟试题数学试题一､选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-【答案】C【解析】由已知得{05}AB x x =≤<，故选C2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】由已知得342525z i =-，z 的实部为325，虚部为425-，共轭复数为342525i +，模为不为模为15，故选C3．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（ ）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63【答案】A【解析】由已知得()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<向右平移4π个单位长度得到()sin(2)2g x x πϕ=+-，所以2=+2=2263k k πππϕπϕπ-+，(0)ϕπ<<，∴2=3πϕ，()sin(232)f x x π=+，()f x 的单调减区间是123222322k k x πππππ≤++≤+，即151212x k k ππππ-≤≤+，A 选项符合题意4．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得()f x 为奇函数，0a b +≥，a b ≥-，()()f a f b ≥-，即()()0f a f b +≥，故选C 5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C6．(本题5分)函数2()x x f x e e-=+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式可知得(()f x f x -=-为奇函数，且定义域为[]3,3-，0x >，则中()0f x >恒成立，故选C7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）ABCD ．11e e+- 【答案】A【解析】依题意，圆心为1(,0)C e e+，设P 点的坐标为(,ln )x x ，由两点间距离公式得()22222211||ln 21+ln PC x x x e x e e e e e x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦+,21()2+f x x e x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22+ln 1x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，12ln ln ()22+2()x e x x f x x e x e e x ex -⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，()0,f x x e '==，2ln ln 1ln =e x x x x ex x x ''--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知当()ln 0,,x x e x ∈递增，()ln ,,x x e x ∈+∞递减，故当=x e 时取得极大值也是最大值为0，ln 10x x e-≤，当()0,,x e ∈()0f x '≤，当(),,x e ∈+∞()0f x '≥，()0,f x x e '== ()0,,x e ∈()f x 单调递减，(),,x e ∈+∞()f x 单调递增，∴2min21()()e f x f e e+==，线段PQ 的长度的最1e e=，故选AA ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和0123456666666662=64C C C C C C C ++++++=,令=1x ，即可得到所有项的系数和为60=0，含有常数项为()3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,01234566666666,,,,,,C C C C C C C 中最大的项为36C ，第4项，，故选ABD9．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =- 【答案】BC【解析】由题意可知，7+0,+,6122k k Z ωππωπϕϕπ-==+∈，即41()32k ω=+，6πωϕ= 252212312T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，则=1k ，此时23πωϕ==，，()sin(2)3f x x π=+，∴26x ππ<< ∴242333x πππ<+<，∴()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误，由592+3=206πππ⨯，∴59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确，∴,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，min ()=()=4f x f π- 1sin()62π-=-，max ()=()=sin =1122f x f ππ，∴最大值与最小值的和为12，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到sin()3y x π=+的图象，再向左平移6π个单位，得到sin()=sin()=cos 632y x x x πππ=+++，即()cos g x x =故D 错误，BC 正确 10．(本题5分)下列结论正确的是（ ）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1). 【答案】BD【解析】A 、ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则ν是平面α的一个法向量；但=0λ时，()R λνλ∈为零向量，不是平面α的一个法向量B 、过点00(,)P x y 的直线方程为22+0(0)Ax By C A B +=+≠可得00+0Ax By C +=，即00C Ax By =--，代入直线方程得2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠，故B 正确；C 、直线l 方程为过点3(2)y k x -=+，原点到l 的距离是2，则32k d ，解得5=12k ±的方程是512260x y +-=，故C 不正确D 、设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)(2020,0)-、、 (0,4078380)，由相交弦定理得：20192020=20192020a ⨯⨯⨯，解得：=1a ，故另一个交点坐标为(0,1)，故D 正确11．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】解：∴数列{}n a 为递增数列，∴123a a a <<，又∴12n n a a n ++=，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩， ∴12123212244a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，∴101a <<，故A 正确.∴()()()22123421226102(21)2n n n S a a a a a a n n -=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=又∴{}n b 均为递增数列，∴123b b b <<，∴12(N)nn n b b n +⋅=∈∴122324b b b b =⎧⎨=⎩，∴2132b bb b >⎧⎨>⎩ ∴11b <，故B 正确.又∴()()12212213521242(21)(21)+2121n nn n n n b b T b b b b b b b b b b ---=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+=--()()))12212121nnnb b +-≥--，∴对于任意的*n N ∈，22n n S T <，故C 正确，D 错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 12．(本题5分)下列命题：∴2:,10p x R x x ∀∈++≥；∴000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；∴():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；∴:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)【答案】∴∴【解析】∴2=14010x x ∆-<++≥，为真命题，∴sin cos 2sin +24x x x π⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，不存在0x R ∈，使得00sin cos 2x x +=，为假命题，∴()1),()(1x x g x e x g x e '=+=--，当()0,()0x g x '∈-∞<，，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，即1x e x >+为真命题，∴若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若=0ab ，则=0a 为假命题13．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______. 【答案】-6480【解析】有关23ab c 的项为()()()()23231232323236532360236480C a C b C c ab c ab c ab c⋅⋅-=⋅⋅-=- 14．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【答案】22【分析】根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果.【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，因为Q 在PAD △内及边上，所以AB QA ⊥，CD QD ⊥，所以tan CD CQD DQ ∠=，tan AB BQA QA =，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD ABDQ QA=，因为2,CD AB ==，所以QD =，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：则(1,0)D -，(1,0)A ，(1,3)P ，设(,)P x y，则||DQ =||QA =QD ==22(3)8x y -+=，所以Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，如图所以，当Q 为圆22(3)8x y -+=与PA 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令1x =，解得2y =±，所以点Q到DA 的距离最大为2，也就是三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，因为122ABC S ==△以三棱锥Q ABC -的体积最大值为1233⨯=.故答案为：3.15．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___. 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【答案】0 1010【解析】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x ，111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n ， 令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增，+1()log 302=-<n n f n n n ；+1()1>02=n f ，由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=【点睛】关键点点睛：在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题15分)在ABC 中，3A π=，b =∴、条件∴这两个条件中选择一个作为已知，求（∴）B 的大小；（∴）ABC 的面积 .条件∴：222b a c =+； 条件∴：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件∴和条件∴分别解答，按第一个解答计分.【答案】（∴）4B π=（∴【分析】若选择条件∴：222b a c +=+. （∴）根据余弦定理求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.若选择条件∴：cos sin a B b A = （∴）根据正弦定理可求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.【解析】若选择条件∴：222b a c +=+.（∴）因为222b ac =+，由余弦定理222cos a c b B +-==，因为()0,B π∈，所以B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△. 若选择条件∴：cos sin a B b A=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.17．(本题12分)已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a na n +=+数列{}nb 是等比数列，并满足12b =，且11b -，4b ，51b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=；2nn b =（2）()1122n n S n +=-⋅+. 【分析】（1）由数列{}n a 的递推公式判断数列{}n na 是常数列，从而求得{}n a 的通项公式，根据11b -，4b ，51b -成等差数列，列式求数列的公比q ，再求通项公式；（2）由（1）可知 2n nn nb c n a ==⋅，利用错位相减法求和.【解析】（1）由已知11a =，()11n n na n a +=+，所以{}n na 是常数列，所以111n na a =⋅=，故1n a n= 设{}n b 的公比是q ，由已知得()()415211b b b =-+-，所以3442q q =，所以2q，故2n n b =（2）由题意可知：2n nn nb c n a ==⋅，又121n n n S c c c c -=+++，代入可得：()1211222122n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅……∴()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅……∴ ∴-∴得：()123111212222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--所以()1122n n S n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.18．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD =．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）7【分析】（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由,BE BC AB BE B ⊥⋂=，得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠= 由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -， 则()()()(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C EA (D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,140,33y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =则0,9y x ==， 所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，由（1）知EA ⊥平面ABCD，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量.设二面角F AD C --的平面角为α，由图知α为锐角，则cos 23EA n EA nα⋅===⨯⋅所以二面角F AD C --.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.19．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：： （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2N ,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.【答案】（1）(1)0.016P X =≈，() 5.442E X =；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可. （2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可. 【解析】（1）由题意知：0.0470.6x ⨯=. ∴(2,](70.620.06,70.610.03](50.54,80.63]μσμσ-+=-+=， 而11(2)()(22)0.818622P k P k P k μσμσμσμσμσμσ-≤+=-≤++-≤+=＜＜＜. 从而质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的概率为0.1814.因此12930(1)(0.8186)0.1814300.00300.18140.0163260.016P X C ==⨯≈⨯⨯=≈X 的数学期望为()300.1814 5.442E X =⨯=.（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k 与对应概率如下表所示：(14)t <<故每个包装胶带的利润50.1630.320.40.10.20.22y t t t t e e =⨯+⨯+⨯+⨯-=-+ 则()0.2 2.60.213tty e e '=-+=--， 令0y '=，得ln13t =，故当(1,ln13)t ∈时，0y '>，当(ln13,4)t ∈时，0y '<，所以当ln13 2.6t =≈时，y 取得最大值，ln13max 0.2 2.6ln13 2..6 2.6 2.6 4.16y e =-+⨯≈-+⨯=（元），由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.1610004160⨯=（万元），而4160万元5000<万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.20．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，该点坐标10(3-,0)【分析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．【解析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由32OP =，123·4PF PF =-可得2294m n +=，(,)(,)c m n c m n ----22229344m c n c =-+=-=-，即有23c =，即c =，又c e a ==，可得2a =，1b ==，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ,2)y ，由题意可得(2,0)M -，若直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即120y y >，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．联立椭圆方程2244x y +=， 化为：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，∴∴22226416(14)(1)0k m k m =-+->，化为：2214k m +>．122814km x x k ∴+=-+，21224(1)14m x x k-=+． 由2παβ+=，可得tan tan 1αβ=，∴1212·122y y x x =++， 1212()()(2)(2)kx m kx m x x ∴++=++，化为：221212(1)(2)()40k x x mk x x m -+-++-=，222224(1)8(1)(2)()401414m km k mk m k k -∴-+--+-=++， 化为22316200m km k -+=，解得2m k =，或103m k =． ∴直线AB 的方程可以表示为2y kx k =+（舍去），或103y kx k =+，则直线AB 恒过定点10(3-,0)． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．21．(本题12分)已知函数cos ()(,a xf x b a x=+b ∴R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+(i )求f (x )的解析式; (ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 【答案】（1）单调递减函数；（2）(i ) 3cos ()1xf x x=-； (ii ) 3个，理由见解析. 【分析】（1）当1,0a b ==时，求得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-，进而得到()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调性；（2）(i ) 求得函数的导数()'f x ，求得2()2af ππ-'=，得到26aππ-=-，求得a 的值，进而求得b 的值，即可求得函数的解析式； (ii ) 令()()312g x f x π=-+，求得()23(sin cos )x x x x g x -+'=，分(0,]2x π∈，3(,)22x ππ∈和3[,2]2x ππ∈三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【解析】（1）当1,0a b ==时，cos ()x f x x =，可得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-， 因为(0,)2x π∈，所以sin cos 0x x x ⋅+>,即()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,)2π上为单调递减函数.（2）(i ) 由函数cos ()a x f x b x=+，可得2(sin cos )()a x x x f x x -⋅+'=，则2()2a f ππ-'= 因为函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为62y x π=-+，所以26aππ-=-，解得3a =，当2x π=，代入切线方程为6212y ππ=-⨯+=-，可得()12f b π==-， 所以函数()f x 的解析式为3cos ()1xf x x=-. (ii ) 令()()33cos 3122x g f x x x ππ+=-=-，则()23(sin cos )x x x x g x -+'=，∴当(0,]2x π∈时，可得()0g x '<，()g x 单调递减，又由330(,022)()62g g πππππ->-=<=， 所以函数()g x 在区间(0,]2π上只有一个零点；∴当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，可得()3cos 302x x g x π-=<恒成立， 所以函数()g x 在区间3(,)22ππ上没有零点；∴当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，可得()cos 0h x x x '=>， 所以()h x 在区间3[,2]2ππ单调递增，3(2)0,()02h h ππ><，所以存在03[,2]2x ππ∈，使得()g x 在03[,)2x π上单调递增，在0(,2]x π单调递减， 又由(2)0,()02g g ππ=<，所以函数在3[,2]2ππ上有两个零点， 综上可得，方程3()12f x π=-在(0,2]π上有3个解. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
【20套精选试卷合集】江苏省天一中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,0}A =-，集合{0,1,2}B =，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．322、已知i 是虚数单位，若复数(1)z i i =-的实部为A ．1B ．-1C ．iD ．i -3、命题“2,x R x ∃∈是无理数”的否定是A ．2,x R x ∃∉不是无理数B ．2,x R x ∃∈不是无理数C ．2,x R x ∀∉不是无理数D ．2,x R x ∀∈不是无理数4、已知向量(2,1)a =-与(,3)b m =平行，则m =A ．32-B ．32C ．6-D ．6 5、某年级有1000名学生，随机编号为0001,0002,,1000，现在系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是A ．0116B ．0927C ．0834D ．0726A ．4[0,]3B ．4[2,]3-C ．[0,6]D ．[2,6]-A ．4[0,]3B ．4[2,]3-C ．[0,6]D ．[2,6]-A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 6、已知函数()21log (4),412,4x x x f x x --<⎧=⎨+≥⎩，则4(0)(log 32)f f += A ．19 B ．17 C ．15 D ．137、在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:A B C =，则cos C =A B ．13 D ．148、将双曲线22221x y a b-=的右焦点，右顶点，虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线22:4C x y -=的“黄金三角形”的面积是A 1B ．2-C ．1D ．29、已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点(1,1)ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =A ．1e e -B ．21e e -C ．12e e -D ．212e e- 10、给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的的x 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A ．82π+B ．102π+C ．62π+D ．122π+11、已知函数()cos sin (0)f x wx wx w ==>在(,)22ππ-上单调递增，则w 的取值不可能为 A ．15 B ．14 C ．12 D ．34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 2．两数1，25的等差中项为（ ） A ．1B ．13C ．5D ．5-3．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=4．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．5618-B ．55-C ．65D ．2555．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．1D ．276．直线20x y +-=与圆()()22121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =（ ） A ．22B ．32C ．3D ．27．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．12D ．348．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ） A ．12B ．22C ．23D ．89．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A 2πB ．2πC 6πD ．4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题
江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．1016000.2mm k kL -=´三、填空题13．设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的______条件.（充分不必要、必要不充分、19．佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：当2a >时，令()0f x ¢=得：1x =，或11x a =->.若()0,1x Î，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数；若()1,1x a Î-，()0f x ¢<，所以()f x 为减函数；若()1,x a Î-+¥，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数.所以()f x 的极大值为()120f a =-<，极小值为()()1ln 120f a a a a -=--+-<.此时0x ®时，()f x ®-¥，x ®+¥时，()f x ®+¥，所以()f x 有1个零点.综上所述：当1a £时，()f x 没有零点；当1a >时，()f x 有1个零点.【点睛】判断函数零点的个数，就是利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.。
2020年江苏省天一中学高三年级下学期第一次模拟考试数学测试卷 卷一答案
答案一、填空题： 1. (1,2) 2．四； 3．804．35 5． 2256．257．①④ 8.1629 9．13； 10．52- 11． 5(,2)2--12．11 13．4 14．(,2)-∞-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-， 所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分） 由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =++，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（7分） （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）17．解：（1）在直角△中，因为，所以，所以．……………………………2分 在直角△中，因为，， 所以，NFP PF =FPN θ∠=NF θ=11(1)22NAP S NA PF θ∆=⋅=MEP 1PE =π3EPM θ∠=-πtan()3ME θ=-所以． ………………………………4分 所以，． ……………………………………………………………………………………6分 （注：定义域错误扣1分） （2）因为…8分 令，由，得，所以 ． (12)分 当且仅当时，即时等号成立．………………13分此时，． 答：当的面积最小，最小值为． ……………………………………………………………………………………14分18．解：（Ⅰ），椭圆：2219+=x y ，两个焦点1(-F ，2F设，1()=+F K x y ，2()=-F K x y ，2221212=()()8=81⋅=⋅+⋅-=+--+KF KF FK F K x y x y x y y ，∵11-≤≤y ，∴的范围是（4分）（2）设,A B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则222112222299.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，x y m x y m 两式相减，得12121212()()9()()0+-++-=x x x x y y y y ，12121212()()19()()+-+=+-y y y y x x x x ，即190+⋅=OM l k k ，故19⋅=-OM l k k ；（8分）11πtan()]1223AMP S AM PE θ∆=⋅=-⨯31πtan tan()223NAP AMP S S S θθ∆∆=+=+-π[0,]3θ∈31πtan tan()223S θθ=+-3tan 2θ=+1t θ=+π[0,]3θ∈[1,4]t ∈24)233S t t ==++22=+t =tan θ=AN =min 2S =+AN =AMPN S 23m =E (,)K x y 21KF ⋅[7,1]-（3）∵直线过点(,)3m m ， ∴直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是0>k 且13≠k ． 设(,)P P P x y ，设直线:()3=-+m l y k x m （），即:3=-+m l y kx km ， 由（2）的结论可知1:9=-OM y x k ，代入椭圆方程得，2222991=+P m k x k ， （10分） 由()3=-+m y k x m 与19=-y x k ，联立得222933,9191⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭m km k m km M k k ．（12分） 若四边形为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以，即22222293949191⎛⎫-= ⎪++⎝⎭k m km m kk k ，整理得29810-+=k k解得，k ．所以当4=9±k 时，四边形为平行四边形．（16分） 19． 解：（1），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即 又∵，∴.（2分）∴，，∴函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,（4分）（2）由在有解， 令，则。
江苏省无锡市天一中学2020届高三数学第一次模拟考试试题含解析
【解析】
【分析】
设每天派出A型卡车 辆，则派出B型卡车 辆，由题意列出约束条件,作出可行域，求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解。
【详解】设每天派出A型卡车 辆，则派出B型卡车 辆，运输队所花成本为 元,
由题意可知, ，
整理得 ，
1.已知集合 ， ，则 _________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可写出答案．
【详解】 ， ，
故填
【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题．
2。复数 为虚数单位）的虚部为__________．
【答案】1
【解析】
试题分析： ，即虚部为1，故填:1。
考点:复数的代数运算
18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l： 与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N，并且 ，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1,并且 ,当 时，求△OAB的面积S的范围．
【答案】3
【解析】
【分析】
当 时， 得 ，或 ,依题意可得 ,可求得 ,继而可得答案．
【详解】因为点 的横坐标为1,即当 时, ，
所以 或 ，
又直线 与函数 的图象在 轴右侧的公共点从左到右依次为 , ，
所以 ，
故 ，
所以函数的关系式为 ．
当 时， （3） ，
即点 的横坐标为3, 为二函数的图象的第二个公共点．
目标函数 ，
如图所示,为不等式组表示的可行域，
江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析
江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．36．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．3211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 命题“，使”的否定是（ ）A ．，有B ．，有C ．，使D ．，使2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数满足：，，且.若角满足不等式，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知复数z 满足，则（ ）A．B．C．D．6. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，且，，则（ ）A ．1B．C ．1或D．7. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）A．B．C．D．8.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）．A．直线B．直线C．直线D ．直线．9. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）A．B．C．D ．数列的前项和为10. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题(1)江苏省无锡市天一中学2023届高三考前最后一模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.611. 一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A ，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为D ．甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为12. 下列说法正确的是（ ）A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为B．若，则C ．已知为锐角，，角的终边上有一点，则D．在范围内，与角终边相同的角是和13. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.14. 已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是______.15. 写出一个满足为偶函数，且在单调递增的函数________.16. 设，，均为正实数，且，求证：.17. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“双人对战”每日首局胜利积分，失败积分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积分，第二、三名积分，第四名积分，第二局第一名积分，其余名次积分，每日仅前两局得分．已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”答题（每日两局）时，第一局得分、分的概率分别为、，第二局得分的概率为．周老师每天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响．(1)求周老师每天参加答题活动总得分为分的概率；(2)求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分的分布列和期望．18.设数列的前项和为.（1）若（），，且递增，求的取值范围；（2）若，，求证：.19. 为了庆祝党的二十大的胜利召开，我校举办 “学党史” 知识测试活动，现根据测试成绩得到如图所示频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图求出的值;(2)根据频率分布直方图估算本次测试的平均成绩;(3)将（2）所得到的平均成绩四舍五入保留为整数，并根据频率分布直方图估算本次考试成绩的方差.20. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.21. 如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，．(1)设的中点为，证明垂直于轴(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值．。
2022年 天一中学高三上学期12月份调研考试数学理模拟练习word版配套精选
2021年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理科〔Ⅰ〕试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1 设全集，集合，，，，那么_____答案：，2 是虚数单位，假设复数的实部与虚部相等，那么实数的值为．答案：3 函数的定义域为_____答案：4 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，那么甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：5 对一批产品的质量〔单位：克〕进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为．答案：20216 如图是一个算法流程图，那么输出的的值为．答案：87假设抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，那么____．答案为：68 函数是定义在上的奇函数，那么的值为．答案：9 数列与均为等差数列，且，那么．答案：20210 如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，点在边上，假设，那么线段的长为．答案：11 点，，假设圆上恰有两点，，使得和的面积均为4，那么的取值范围是．答案：，12 函数，其中为自然对数的底数，假设存在实数使成立，那么实数的值为．答案：13函数，假设函数有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_____答案：14 在锐角三角形，是边上的中线，且，那么的最小值为．答案：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．〔1〕求的值；〔2〕假设以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．分析：〔1〕直接利用三角函数的定义的应用求出结果．〔2〕利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．〔1〕，．〔2〕因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，，从而．16 〔本小题总分值14分〕如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．〔1〕求证：为的中点；〔2〕求证：平面．分析：〔1〕推导出，，从而平面，进而，由此能证明为的中点．〔2〕连结，，交于点，连结，，推导出，，从而，由此能证明平面．证明：〔1〕在正三棱柱中，点在棱上，，，，，平面，，为的中点．〔2〕连结，，交于点，连结，，正三棱柱中，是矩形，是的中点，，点，分别是，的中点，，，平面，平面．平面．17 〔本小题总分值14分〕某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成〔如图．每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为〔单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体〔如图．经测算，上层半球体局部每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个局部平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为千元．〔1〕求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值分析:〔1〕由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，那么，化简得；再由，那么，所以定义域为，〔2〕，，根据导函数求出其最小值即可．解：〔1〕由题意可得，所以，因为，，所以，那么，所以定义域为，〔2〕设，，那么，令，解得，当，时，，单调递减；当，时，，单调递增，所以当时，取极小值也是最小值，且．答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．18．〔本小题总分值16分〕如图，椭圆的左、右焦点分别为，，假设椭圆经过点，离心率为，直线过点与椭圆交于，两点．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设点为△的内心〔三角形三条内角平分线的交点〕，求△与△面积的比值；〔3〕设点，，在直线上的射影依次为点，，．连结，，试问：当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？假设是，请求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．分析：〔1〕由题意知．，可得，解得即可得出椭圆的方程．〔2〕由点为△的内心，可得点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，可得．〔3〕假设直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点．下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．设直线的方程为，与椭圆方程联立化简得．设，，，，由题意，得，，那么直线的方程为．令，此时，把根与系数关系代入可得，因此点在直线上．同理可证，点在直线上．即可得出结论．解：〔1〕由题意知．因为，所以，解得，所以椭圆的方程为：．〔2〕因为点为△的内心，所以点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，那么．〔3〕假设直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点．下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．设直线的方程为，因为直线经过椭圆内的点，所以△．设，，，，那么，．由题意，得，，那么直线的方程为．令，此时，所以点在直线上．同理可证，点在直线上．所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．19 〔本小题总分值16分〕设数列，分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．〔1〕，，求数列的前项的和；〔2〕，，且数列的前三项成等比数列，假设数列唯一，求的值〔3〕数列的公差为，且，求数列，的通项公式〔用含，的式子表达〕；〔1〕解：设的公比为，那么有，即；解得；；〔2〕∵为等差数列，又∵，∴，，那么公差，那么数列的前三项成等比数列，即，，成等比，，整理得设数列的公比为，显然那么，∵数列唯一确定，∴解得：或〔舍〕即〔3〕解：①②①②，得；；③④令③④，得⑤；其中是数列的公比；⑥令⑤⑥，得；，即；解得或；假设，那么，有，矛盾；满足条件，此时；；2021本小题总分值16分〕设为实数，函数．〔1〕当时，求函数的单调区间；〔2〕设为实数，假设不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；〔3〕假设函数有两个相异的零点，求的取值范围．分析：〔1〕根据导数和函数单调性的关系即可求出，〔2〕别离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，〔3〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围．解：〔1〕当时，因为，当时，；当时，．所以函数单调减区间为，单调增区间为．〔2〕由，得，由于，所以对任意的及任意的恒成立．由于，所以，所以对任意的恒成立．设，，那么，所以函数在，上单调递减，在2，上单调递增，所以2，所以2．〔3〕由，得，其中．①假设时，那么，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；②假设时，令，得．由第〔2〕小题知，当时，，所以，所以，所以当时，函数的值域为．所以存在，使得，即①，且当时，，所以函数在上单调递增，在，上单调递减．因为函数有两个零点，，所以②．设，，那么，所以函数在上单调递增．由于，所以当时，，所以②式中的．又由①式，得．由第〔1〕小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，即，．由于，所以．因为，且函数在上单调递减，函数的图象在上不间断，所以函数在上恰有一个零点；由于，令，设，，由于时，，，所以设，即．由①式，得当时，，且，同理可得函数在，上也恰有一个零点．综上，，．2021年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理〔Ⅱ〕试题21．此题共2小题，每题10分，共计2021请在答题卡指定区域内作答，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换矩阵，的一个特征值，其对应的一个特征向量是〔1〕求矩阵；〔2〕设直线在矩阵对应的变换作用下得到了直线，求直线的方程．分析：〔1〕由即可求出，；〔2〕设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，根据，可得进而得到的方程；．解：〔1〕，，解得故；〔2〕，，设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，那么，，直线的方程为．B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数〕，求直线与曲线的交点的直角坐标．分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线的直角坐标方程为．由方程，可得，又，．曲线的普通方程为．将直线的方程代入曲线方程中，得，解得，或〔舍去〕．直线与曲线的交点的直角坐标为．第22题、第23题，每题10分，共计2021请在答题卡指定区域内作答，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，分别是，的中点．〔1〕求异面直线，所成角的余弦值；〔2〕点在线段上，．假设平面，求实数的值．分析：〔1〕建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线，所成角的余弦值；〔2〕点在线段上，．求出平面的法向量，利用平面，即可求实数的值．解：因为四棱柱为直四棱柱，所以平面．又平面，平面，所以，．在菱形中，那么是等边三角形．因为是中点，所以．因为，所以．建立空间直角坐标系．那么，0，，，1，，，2，，，0，，，0，，，，．〔1〕，2，，，，，所以异面直线，所成角的余弦值为．〔2〕设，，，由于点在线段上，且，那么，，，2，．那么，，，，，．设平面的法向量为，，．因为，0，，，，，由，得，．取，那么，那么平面的一个法向量为，2，．由于平面，那么，即，解得．23．〔本小题总分值10分〕袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏结束时局数的分布列和数学期望．分析：〔1〕根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；〔2〕由题意知随机变量的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件，那么〔A〕；〔2〕由题意随机变量的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为；那么，，，，的分布列为：．。
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2007年江苏省天一中学高考数学模拟卷（1）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设I 为全集，123S S S 、、是I 的三个非空子集，且123S S S ＝I ，则下面论断正确的是( )
（A ）123()I S S S =Φð
（B ）123()I I
S S S ⊆痧
（C ）1
2
3I I I S S S =Φ痧?
（D ）12
3()I I S S S ⊆痧
２．已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）
（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D
３．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++= （ ） （A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189
４．若1sin()63p a -=，则2cos(2)3p
a += ( )
(A)79- (B)13- (C)13
(D)79
５．设1,2,3,4,5k =，则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能是 ( )
(A) 10 (B) 40 (C) 50 (D) 80 ６． 在△ABC 中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则△ABC 是 ( ) （A ）直角三角形 （B ）等边三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰直角三角形 ７．在坐标平面上，不等式组1
3||1
y x y x ≥-⎧⎨
≤-+⎩所表示的平面区域的面积为 （ ）
（A
（B ）
32
（C
（D ）2 ８．设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2
2为椭圆”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 ９．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方
形，且
B
C A
D
E ∆∆、均为正三角形，E
F ∥AB ，EF=2，则该多面体的
体
积
为
( )
（A
（B
（C ）43 （D ）32
10．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是 （ ）
（A ）
13222=-y x （B ）12
322=-y x （C ）1422=-y x （D ）1422
=-y x 11．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4
人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( ) (A)1412C
12
4
C
84
C (B)1214C 412A
4
8A
(C)
3
3
4
8
4121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A 12．若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
(A)⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2 (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3 (D)⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-23,3
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上
.
13．已知3
3
22cos
2sin
=
+θ
θ
，那么θsin 的值为_____，θ2cos 的值为_____。
14．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m =
15．若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________。
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又
是等比数列，则)(1
N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；
（3）若()n
n S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 .
17．对于函数()f x 定义域中任意的12,x x (12x x ≠)，有如下结论：
①1212()()()f x x f x f x +=； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；
③
2
121)
()(x x x f x f -->0； ④)2(21x x f +<2)()(21x f x f + 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是
18．已知n 次多项式()n P x =n n n n a x a x a x a ++++--1110 如果在一种算法中，计算k
x 0(k=2，3，4，…，
n)的值需要k-1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：00()P x =0a ，P n+1(x )=x P n (x )+1+k a (k=0,l ，2，…，n-1)．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算 三、解答题：本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（本小题满分12分）已知向量(c o s ,s i n )m θθ=和(
)
()2sin ,cos ,,2n θθθππ=
-∈，且
82m n +=
求cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.
20．（本小题满分12分）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是
3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．求恰好摸5次停止的概率； (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1：2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2
5
，求p 的值．
21．（本小题满分14分）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且1C CD ∠＝
CB C 1∠=BCD ∠= 60。
（I ）证明：C C 1⊥BD ；
（II ）假定CD=2，C C 1=
2
3
，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角
βα--BD 的平面角的余弦值；
（III ）当1
CC CD
的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出
证明。
22．（本小题满分14分）已知函数()()R x x f x ∈+=
2
41
，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像
上的两个点，且线段2
1P P 的中点P 的横坐标为2
1
． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值；
（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()*
,1,2,,n n a f m N n m m ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭
，求数列{}n a 的前m 项的和
m S ；
（Ⅲ）若*
m N ∈时，不等式1
1
++<
m m m m S a S a 恒成立，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分14分）已知点A （3,0），B 在x 轴上，点M 在直线1x =上移动，且0MA MB =，动点C 满足3MC BC =。
（1）求C 点的轨迹D 的方程；
（2）若直线:(1)l y k x =-与曲线D 有两个不同的交点E 、F ，设P （－1,0），当EPF ∠为锐角时，求k 的取值范围。
[参考答案]
/
一、选择题： CACAC BBBAC AA
二、填空题：13、13；7
9
14、1 15、(]
[),62,-∞-+∞ 16、①②③ 17、②③ 18、232n n
+；
2n
三、解答题： 19、45
-
20、（1）
881 （2）1330
21、（1）略 （2 （3）1 22、（1）
14 （2）1412m m S =- （3）5
2
a >
23、（1）2
1(1)3y x =- （2）6
k >或6k <-。