高中数学 数列 版块三 等比数列 等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式

与求和.学生版

【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和

n S =_______．

【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．

【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

63

3S S =，则96=S

S （ ）

A ．2

B ．

7

3

C ．83

D ．3

【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有

连续四项在集合{}5323193782--，

，，，中，则6=q ．

【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若

105S S ＝3132

，则105a a 等于 ．

【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1

2

q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，

则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．

【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1

(1)()3

N n n S a n *=-∈．

⑴求1a ，2a ，3a 的值；

典例分析

⑵求n a 的通项公式及10S ．

【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=

试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .

【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则

222

12n a a a +++=L ________．

【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ．

【例11】 在等比数列{}n a 中，423a =

，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2

n n a

b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++ (314)

log b +等于（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，

则222

12n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1

413

n -

【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值.

【例15】 在等比数列{}n a 中，423a =

，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2

n n a

b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和

126n S =，求n 和公比q ．

【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．

【例18】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21

()03

n n x c x -+=的两根，

且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .

【例19】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11

()2

n n --，求它的前n 项和．

【例20】 已知：数列{}n a 满足21123333,3

n n n

a a a a a -+++++=∈N L .

⑴求数列{}n a 的通项；

⑵设,n n n

b a =求数列{}n b 的前n 项和n S

【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．

【例22】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．

【例23】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++L (10)x x ≠≠且

【例24】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．

⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．

【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令

lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，

⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；

⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．

【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设

()n a f n =，()

*n ∈N ．

⑴ 求n T ；

⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．

【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．

⑴求q 的取值范围；

⑵设213

2

n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．

【例28】 设

{}

n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明

0.50.52

0.51log log log 2

n n n S S S +++>

【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．

⑴证明：

2

1lg lg lg 2

n n n S S S +++<；

⑵是否存在常数0C >使得()()

()21lg lg lg 2

n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明

你的结论．