集合论和中国的发展

论文标题:集合论思想的演变及在当代中国的发展

论文作者姜玉声/朱焕志

论文关键词,论文来源自然辩证法研究,论文单位京,点击次数148,论文页数031-037页1995年1995月论文网/paper_143662921/

集合论自上世纪７０年代由德国数学家G.Cantor创立以来，不断促进着许多数学分科的发展，并成为全部现代数学的基础。然而，近３０年来又相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。为说明这两种集合论的产生在数学史中的意义，理清集合论思想演变的脉络，弘扬我国学者在这一发展中的创造精神，本文拟在简要回顾集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变的基础上，就可拓集合论的产生与发展加以分析、研讨集合论思想发展的规律，谈谈我们的浅见。

１集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变

长期以来，人们利用数学处理问题的主导思想通常是“枝是枝，蔓是蔓”，不允许半点儿“含混”，语言的“准确”，推理的“严格”，结论的“确定”从来天经地义。［（１）ａ］数学中的这种传统观念，把人们的思想局限在“确定性”的小天地里。所谓“确定性”，它要求概念有明确的外延，逻辑上严格地遵从形式逻辑的四条基本规律，结论只能是唯一确定的。与这种观念相适应，数学中便产生了Cantor集合论。

众所周知，集合是数学中的一个不定义概念。所谓集合，是指具有某种特定属性的对象的全体，集合中的每一个体（对象）叫做集合的元素。按Cantor的集合论，一个元素ｘ与一个集合Ａ的关系只能有属于（记作∈）和不属于（记作）两种，二者必居其一且仅居其一，即

ｘ∈Ａ或ｘＡ。如表为特征函数的形式，记集合Ａ的特征函数为Ｃ［，Ａ］（ｘ），则有在长时间里，这种集合论思想占据统治地位，可以说整个传统数学［（２）ａ］就建立在这种集合论的基础上。实践表明，Cantor的集合论在研究确定性事物的范围内显现着巨大作用，其光辉是永不磨灭的。

然而，随着社会的发展，人类的知识视野和研究领域不断扩大，需要探讨的问题加速度地增加着。于是，不确定性现象，特别是其中的模糊性现象，逐渐被人们意识。具体地说，近几十年来，学者们不断发觉，某些现象呈现出不确定性，是由于概念本身就没有明确的外延，逻辑上并不严格遵从传统的排中律，表现为客观事物在差异的中介过渡中所呈现的“亦此亦彼”性。例如，人的年轻与年老、环境的清洁与脏污及天气的晴与阴等许多对立概念之间，都没有绝对分明的界限。严格地说，这些概念都没有明确的外延。若按这些概念去确定“集合”，则相应的“集合”都没有清晰的边界，一个元素是否属于某个“集合”不是很分明的。当然，如果数学家同意把这样的“集合”仍称为集合的话，则这种集合已经不是Cantor意义下的经典集合了。一个对象对于一个这样的集合，除可以属于和不属于外，还可以有某种程度的属于或不属于，而且后者才是更一般的情形。譬如，若用年轻人这个概念构造这种集合，要问一个人是否属于这个集合，即是否年轻，则除了年轻和不年轻这两个极端情形外，还要遇到比较年轻、基本年轻等不少中间过渡的档次，且每一档次内还可细分更小的档次。这就是事物的模糊性。为了研究和处理模糊性事物，美国控制论专家L.A.Zadeh教授于１９６５年提出了Fuzzy集合论。

Fuzzy集合论的基本思想较集中地体现在下面的开创性概念中：所谓给定了论域Ｕ上的一个模糊子集Α，是指对于任意的ｕ∈Ｕ，都指定了一个数μ（ｕ）∈〔０，１〕，用它来表示ｕ对Ａ的隶属程度，叫ｕ对的隶属度。映射叫做的隶属函数。［（１）］有了这个

概念，人们便可用区间〔０，１〕上的数表征模糊子集的元素、用普通映射描述和刻划模糊子集了。这就从根本上建立了模糊性与分明性的联系，为借助分明性研究和处理事物的模糊性奠定了基础。随后给出的模糊子集的截集概念及所证明的分解定理进一步架起了普通子集与模糊子集间的桥梁，引入的扩展原理把集合间的映射扩展到了Fuzzy集合论。［（２）］一门崭新的集合理论，就从这些关键步骤起步，开始了它的发展史。

当然，一门新理论的产生，常源于相应旧理论内在矛盾的被发现，被意识。而旧理论内在矛盾被深刻意识，被重视，常须伴随社会科技实践的迫切需要。不言而喻，随着科学技术的发展，含大量模糊性概念（即无明确外延的概念）的学科迫切要求定量化、数学化的趋势，用电子计算机模拟人脑思维方法的需要，以及今日世界待研究的事物日益复杂，而复杂的东西常难于精确化，更难于用传统的数学方法处理等事实，加速暴露和使人们重视了Cantor 集合论不适于描述模糊性事物的弱点。于是，以事物模糊性的存在为客观基础，以Cantor 集合论不能描述模糊性事物的弱点为原动力，以上述实际需要为直接背景，这一崭新的Fuzzy集合论便届时产生，迅速发展，初露锋芒。不仅在理论上已伸向各数学分科，而且在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、心理学、社会学、生态学、语言学、经济管理、环境科学及医疗诊断等研究领域得到了广泛的应用。［（３）］

２可拓集合论的产生与发展

可是，仅有Cantor集合论与Fuzzy集合论还描述不了和不能借以研究现实存在着的许多事物，仍然满足不了日益广泛的科技实践的需要。

就客观现实而言，许多事物均可按某性质Ｐ一分为二，其中不具有性质Ｐ的又可分为在一定条件下可转化为具有性质Ｐ的和不能转化为具有该性质的两类。例如检验工人生产的产品，有合格品与不合格品；在一定的加工前提下，不合格品又分为可经返工以达合格的产品和返工也不能合格的废品。又如选送适于从事某项工作的人才，有符合条件入选的，有不符合条件落选的，其中落选的又分为经一定时间的培养与自身努力创造条件将来可入选的和因本人素质等原因即或长期培养也不适合从事该项工作的两类。这类例子所反映的现实正体现着辩证法关于矛盾转化和内外因关系的思想。然而，Cantor集合论与Fuzzy集合论都无法描述这类问题。实际上，尽管这两种集合论本质不同，但它们都只能描述静态的事物，而无法描述在一定条件下“非”与“是”互相转化的情形。因此，第三种集合论的问世，只是时间早晚的问题，其诞生已成为必然。

就可拓集合论创始人蔡文研究员的科技实践而言，他在创立新学科物元分析的过程中，为了找到处理矛盾问题的数学工具，建立了可拓集合的理论。这里需要解释的是：矛盾问题是指其中存在着不相容的两个部分的问题，主观愿望与客观条件相矛盾的问题是它的一个重要类型，称不相容问题；物元分析是研究解决矛盾问题的规律和方法的新兴学科，其中心是研究人们“出点子，想办法”的规律、理论和方法。［（４）］［（５）］

早在１９７６年，蔡文就开始了这项颇有意义的工作。他先是回忆起与工人师傅们共搬配电盘入电工房的情景，本来配电盘比门高进不去，这按传统数学的逻辑，属于不相容问题，是不能解决的，但他们将其放倒，即将配电盘的高度和长度来一个“变换”，便轻而易举地解决了问题。他想，一向被视为高深莫测的传统数学却不去研究这种变换，看来传统数学只适用于所遇的条件与给定的目标互不矛盾的问题。像解决配电盘进屋这类不相容问题有无规律可循，能否为其建立数学模型呢？他联想到三国时代曹冲称象的故事和两千年前阿基米德计算王冠体积的巧妙方法，理出了思路：这都是对事物的某种因素进行了变换，一个朦胧的思绪在头脑中形成！［（６）］还是吴学谋教授文章中的话使他这个朦胧的思绪清晰起来，“人们不但要发展纯粹的数理逻辑，而且有必要研究容许一定矛盾前提的逻辑。”［（７）］实际上，他寻求的解决不相容问题乃至一般的矛盾问题的规律，正是这种有“一定矛盾前提的逻辑”。蔡文发现：传统数学解决不了矛盾问题，是因为它只就事物某特征的量值关系进行研究，而