集合论和中国的发展

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集合论思想的演变及在当代中国的发展

集合论思想的演变及在当代中国的发展

集合论思想的演变及在当代中国的发展
姜玉声;朱焕志
【期刊名称】《自然辩证法研究》
【年(卷),期】1995(11)6
【摘要】集合论思想的演变及在当代中国的发展姜玉声,朱焕志集合论自上世纪70年代由德国数学家G.Can-tor创立以来,不断促进着许多数学分科的发展,并成为全部现代数学的基础。

然而,近30年来又相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。

为说明这两种集合论的产生在...
【总页数】7页(P31-37)
【关键词】集合论思想;演变;发展;中国;集合论
【作者】姜玉声;朱焕志
【作者单位】吉林化工学校
【正文语种】中文
【中图分类】O144
【相关文献】
1.数学无穷思想的发展历程——康托尔的集合论边 [J], 杨丹丹
2.论当代中国发展科学技术战略思想的演变 [J], 毛媛媛;李朋升
3.三次思想解放与当代中国发展观的演变 [J], 黎玉琴
4.当代中国学校体育思想的发展与演变 [J], 张细谦
5.研究中国社会主义经济思想发展的一部好书─—评《从马克思到邓小平─—当代中国经济理论的演变》 [J], 马涛
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《中国数学史简介》课件

《中国数学史简介》课件

当代数学家的贡献
总结词
国际领先、创新发展
详细描述
当代中国数学家在许多领域的研究已经达到国际领先 水平,如陈景润在解析数论领域的“陈氏定理”,该 成果被国际数学界称为“陈景润定理”。此外,中国 数学家在几何、拓扑学、概率论等领域也取得了重要 的研究成果,如吴文俊在几何定理机器证明方面的贡 献,为中国数学在国际舞台上赢得了声誉。这些当代 数学家的创新发展为中国数学的未来发展奠定了坚实 的基础。
05
中国数学史的意义与影响
Chapter
对世界数学史的影响
推动世界数学发展
01
中国数学史为世界数学史贡献了独特的数学思想和成就,促进
了全球数学的发展和进步。
丰富世界数学文化
02
中国数学史的发展过程中,形成了具有中国特色的数学文化,
为世界数学文化增添了多样性。
启发其他文明数学进步
03
中国数学史上的重要思想和成就可以为其他文明所借鉴,促进
《中国数学史简介》ppt课件
目录
• 中国数学史的起源 • 古代数学的主要成就 • 近现代数学的发展 • 中国数学家的杰出贡献 • 中国数学史的意义与影响
01
中国数学史的起源
Chapter
起源时期
起源时期概述
从远古时代到先秦时期,中国数 学逐渐萌芽,经历了从简单的计 数到初步的数学体系的发展过程
《九章算术》
是中国古代第一部数学专著,是 《算经十书》中最重要的一种, 成于公元一世纪左右。
南北朝的数学家与数学著作
祖冲之
南北朝时期杰出的数学家、科学家。他的主要成就 有《大明历》、圆周率、水碓磨、指南车等。
《张丘建算经》
这是南北朝时期的一部重要数学著作,主要介绍了 代数和几何的基本概念,为后来的数学发展奠定了 基础。

集合论的发展

集合论的发展

集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支,研究集合的性质、关系和操作。

它起源于19世纪末的数学基础危机中,由德国数学家乔治·康托尔创立。

本文将详细介绍集合论的发展历程,包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。

2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人,他首次提出了集合的概念,并研究了无穷集合的性质。

他首先定义了集合的基本概念,即由一些确定的对象组成的整体。

康托尔还引入了集合的基数概念,用来比较集合的大小。

他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大,从而引发了数学界的震动。

3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性,数学家们开始努力将集合论公理化。

在20世纪初,数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统,但后来发现存在悖论,即罗素悖论。

这一悖论揭示了集合论的一些困难,迫使数学家们重新审视集合论的基础。

在此基础上,数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法,他通过限制集合的构造方式,避免了悖论的产生。

他的公理化系统成为了后来集合论的基础。

此后,数学家们不断完善集合论的公理系统,确立了集合论的严密性和可靠性。

4. 集合论的扩展随着集合论的发展,数学家们开始研究更为复杂的集合结构。

例如,康托尔研究了连续统假设,即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。

此外,数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。

5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用,同时也渗透到其他学科领域。

在数学中,集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。

在计算机科学中,集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。

在物理学、经济学和社会科学中,集合论被用于建立数学模型和分析问题。

6. 结论集合论作为数学的基础分支,经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。

通过严密的公理化系统,集合论的基础得以确立。

随着集合论的发展,它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。

数 学 史 上 的 三 次 危 机

数 学 史 上 的 三 次 危 机
60年代后期,中国的数学研究基本停止,教育瘫痪、人员丧失、对外交流中断,后经多方努力状况略有改变。1970年《数学学报》恢复出版,并创刊《数学的实践与认识》。1973年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。
形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念,并往往以图画来表示,而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方,中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。
墨经》中对一系列的几何概念,有抽象概括,作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中,除勾股定理外,还提出了若干一般原理以解决多种问题。例如求任意多边形面积的出入相补原理;求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理);5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理;还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后,中国在几何学方面的建树不多。
刘徽在他注解的《九章算术》中,还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分,但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中,刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长,成为后世求圆周率的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念,但在实质上,那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法,这不仅在应用上不可缺,也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区,则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。

中国古代几何的基础

中国古代几何的基础

中国古代几何的基础
中国古代几何是指我国古代数学家们所研究的几何知识,始于战国时期。

据史料可以看出,战国时期已经存在关于求圆周率、解析三角形问题、定理证明以及绘制地图等几何知识的
记载,尽管具体的表述不多,却都已经把我们带回了一些证明初期的古代几何。

中国古代几何的影响非常深远,其间涉及的内容涉及到面积的计算、曲线的绘制、投点法
等等。

其中,中国古代集中很多精神力量去探求立体问题中的形状及相应微积分问题、蔡
勒公式地想到了球面积的公式、《九章算法》中引入了集合论;而华佗乔梁共同推动了几
何图形在临床应用中的发展。

可以说,中国古代几何对我们后世发展影响巨大。

此外,也可以从中国古代几何中观察到这个国家生机勃勃的科学思想,比如《九章算术》
及《精算师传》,极大地推动了宋辽时期的算术教育,具有很多实用的有效方法,为我们
后世提供了宝贵的思维模式、方法及如何解决问题的一扇窗口。

总而言之,中国古代几何在古代数学史上占有一席之地,影响巨大,其中所涉及的问题涵
盖了求面积、曲线绘制等多种领域,不仅影响深远,而且还促进了我国及世界数学的发展。

世界数学发展史

世界数学发展史

第一节数学发展的主要阶段2009—10-12 10:05:28 来源:中外数学网浏览:7次乔治·萨顿曾说过:“科学史是人类认识自然的经验的历史回顾.”数学史是数学发展历史的回顾,它研究数学产生发展的历史过程,探求其发展的规律。

研究数学史,可以通过历史留下的丰富材料,了解数学何时兴旺发达,何时停滞衰退,从中总结经验教训,以利于数学更进一步的发展。

关于数学发展史的分期,一般来说,可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行,也就是分成四个本质不同的发展时期,每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志,这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡.这里我们主要介绍世界数学史的发展。

一、数学的萌芽时期这一时期大体上从远古到公元前六世纪.根据目前考古学的成果,可以追溯到几十万年以前.这一时期可以分为两段,一是史前时期,从几十万年前到公元前大约五千年;二是从公元前五千年到公元前六世纪.数学萌芽时期的特点,是人类在长期的生产实践中,逐步形成了数的概念,并初步掌握了数的运算方法,积累了一些数学知识.由于土地丈量和天文观测的需要,几何知识初步兴起,但是这些知识是片断和零碎的,缺乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明.这个时期的数学还未形成演绎的科学.这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度.从很久以前的年代起,我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了.在漫长的萌芽时期中,数学迈出了十分重要的一步,形成了最初的数学概念,如自然数、分数;最简单的几何图形,如正方形、矩形、三角形、圆形等.一些简单的数学计算知识也开始产生了,如数的符号、记数方法、计算方法等等.中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念,就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的.总之,这一时期是最初的数学知识积累时期,是数学发展过程中的渐变阶段.二、初等数学时期从公元前六世纪到公元十七世纪初,是数学发展的第二个时期,通常称为常量数学或初等数学时期.这一时期也可以分成两段,一是初等数学的开创时代,二是初等数学的交流和发展时代.1.初等数学的开创时代.这一时代主要是希腊数学.从泰勒斯(Thales,公元前636—前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚,前后延续千余年之久,一般把它划分为以下几个阶段:(1)爱奥尼亚阶段(公元前600—前480年);(2)雅典阶段(公元前480—前330年);(3)希腊化阶段(公元前330—前200年);(4)罗马阶段(公元前200—公元600年).爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572-前497)学派和巧辩学派.在这个阶段上数学取得了极为重要的成就,其中有:开始了命题的逻辑证明,发现了不可通约量,提出了几何作图的三大难题——三等分任意角、倍立方和化圆为方,并且试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题.所有这些成就,对数学后来的发展产生了深远的影响.雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato,公元前427—前347)学派、亚里斯多德(Aristotle,公元前384-前322)的吕园学派、埃利亚学派和原子学派.他们在数学上取得的成果,十分令人赞叹,如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用;亚里斯多德建立了形式逻辑,并且把它作为证明的工具.所有这些成就把数学向前推进了一大步.上述两个阶段称为古典时期.这一时期的数学发展,在希腊化阶段上开花结果,取得了极其辉煌的成就,产生了三个名垂青史的大数学家欧几里得、阿基米德(Archimeds,公元前287—前212)和阿波罗尼(Apollonius,约公元前262—前190).欧几里得的《几何原本》第一次把几何学建立为演绎体系,从而成为数学史乃至思想史上一部划时代的著作.阿基米德善于将抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来.他根据力学原理去探求几何图形的面积和体积,第一个播下了积分学的种子.阿波罗尼综合前人的成果,写出了有创见的《圆锥曲线》一书,它成为后来所有研究这一问题的基础和出发点.这三大数学家的丰功伟绩,把希腊数学推向光辉的顶点.随着罗马成为地中海一带的统治者,希腊数学也就转入到罗马阶段.在这个阶段也出现了许多有成就的数学家,其中特别值得一提的是托勒密(C·Ptolemy,公元90-168)结合天文学对三角学的研究、尼可马修斯(Nichomachus,公元100年左右)的《算术入门》和丢番图(Diophantus,约246-330)的《算术》.后两本著作把数学研究从形转向数,在希腊数学中独树一帜.尤其是《算术》一书,它对后来数学发展的影响,仅次于《几何原本》.总之,这一时代的特点是:数学已经开始发展成为一门独立科学,建立了真正意义上的数学理论;数学的两个分支——算术和几何,已经作为演绎系统建立起来;数学发生了非常明显的变化,即从经验形态上升为理论形态.特别要指出的是,关于数学研究的对象,当时已经比较明确地提了出来.古希腊数学家亚里斯多德在《形而上学》第十三篇第三章中说,数学的东西(例如点、线)是感性事物的抽象.他的这个思想直到现在仍然值得我们赞赏,因为它明确地、清楚地揭示出数学研究的特点,这就是把物体、现象、生活的一个方面抽象化.2.初等数学的交流和发展时代.从公元六世纪到十七世纪初,是初等数学在各个地区之间交流,并且取得了重大进展的时期.在亚洲地区,有中国数学、印度数学和日本数学.我国在数学上取得的成就将在后面专门叙述.印度数学的特点是受婆罗门教的影响很大,此外,它还受到中国、希腊和近东数学的影响,特别是中国的影响.印度数学的成就主要在算术和代数方面,最为人称道的是位值制记数法,现行的“阿拉伯数码”源于印度.七世纪以后,建立了以巴格达为中心的阿拉伯数学.它主要受希腊数学和印度数学的影响.这一时期产生了阿尔·花拉子模(AL-Khowarizmi,780—850)等一大批数学家,为世界数学宝库增添了光彩.代数是阿拉伯数学中最先进的部分,“代数”这个名词出自花拉子模的著作,它的研究对象被规定为方程论;几何从属于代数,不重视证明;三角学是他们的最大贡献,他们引入正切、余切、正割、余割等三角函数,制作精密的三角函数表,发现平面三角与球面三角若干重要的公式,使三角学脱离天文学独立出来.中世纪欧洲的数学家们基本上是引进,学习中国、印度、希腊和阿拉伯的数学,其中著名的数学家有意大利的斐波那契(L·Fibonacci,约1170-1250)、法国的奥雷斯姆(N·Oresme,约1323—1382)等.到了十五、十六世纪,意大利的数学家帕西奥里(L·Pacioli,1445—1509)、塔塔利亚(N·Tartaglia,1500—1557)等人在代数方程论方面作了一系列突破性的工作,并使用了虚数,欧洲人终于取得了超过前人的成就.法国的韦达(F·Vieta,1540—1603)改进了符号,使代数学大为改观.苏格兰的纳皮尔(J.Napi-er,1550—1617)发明了对数,使计算方法向前推进了一大步.这个时期的特点是初等数学的主体部分(算术、代数与几何)已全部形成,并且发展成熟了.例如在算术方面,除了继承原有的计算技术之外,还发明了对数,代数也有很大的发展,韦达建立了符号代数.在三角学方面,雷琼蒙塔努斯(J·Regiomontanus,1436—1476)著了《三角全书》,其中包括平面三角和球面三角.在几何方面,透视法满足了绘画的需要,投影法满足了绘制地图的需要,等等.3.中国在这一时期对数学的贡献.我们伟大的祖国是世界上公认的四大文明古国之一,有悠久的历史和灿烂的文化.上下五千年的中国文化丰富多采、为世界文明作出了不朽的贡献.中国数学的发展和成就,在世界数学史上占有非常重要的地位.在世界数学的宝库里,中国古代数学是影响深远、风格独特的体系.在初等数学时期,我国在数学领域取得了许多伟大成就,出现了许多闻名世界的数学家,如刘徽(公元三世纪)、祖冲之(429—500)、王孝通(公元六世纪—七世纪)、李冶(1192—1279)、秦九韶(1202-1261)、朱世杰(十三、四世纪)等人.出现了许多专门的数学著作,特别是《九章算术》的完成,标志着我国的初等数学已形成了体系.这部书不但在中国数学史上而且在世界数学史上都占有重要的地位,一直受到中外数学史家的重视.我国传统数学在线性方程组、同余式理论、有理数开方、开立方、高次方程数值解法、高阶等差级数以及圆周率计算等方面,都长期居世界领先地位.例如,1802年,一个意大利科学协会为了改进高次方程的解法,曾颁发一枚金质奖章,这枚奖章为意大利数学家鲁菲尼(P·Ruffini,1765-1822)所获得,1819年英国数学家霍纳(G·Horner,1786—1837)完全独立地发展了一个相同的方法.不过他们谁也不知道,早在十三世纪,秦九韶就已经发展了古代解数值高次方程的方法,他的方法与1819年霍纳重新发现的方法实质上是相同的.我国十一世纪杰出的数学家贾宪是最早得出关于二项式展开式的系数规律的(贾宪三角形),在欧洲称之为“巴斯卡”(B·Pascal,1623—1662)三角形,而巴斯卡是在十七世纪才得出这一结果的.由刘徽在公元三世纪根据《九章算术》推导的羡除公式,欧洲人却误认为是勒让德(A·M·Legendre,1752—1833)首创的.祖冲之把圆周率π计算到范围为 3.1415926<π<3.1415927,以及密率,保持世界记录千年以上。

世界数学成就概述

世界数学成就概述

世界数学成就概述世界数学成就概述如下:1. 算术方面:算术十书是中国古代十部著名的数学著作,其中包括《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《五经算经》《缉古算经》《缀术》《五曹算经》《孙子算经》,标志着中国古代数学成就的高峰。

2. 代数方面:代数是数学的一个重要分支,主要研究方程的解法及其相关问题。

在中国,代数方面的成就有《九章算术》中的代数部分,其中包含了当时世界上最先进的应用数学。

3. 几何方面:几何学在中国古代也有很深的探究。

比如,《周髀算经》中包含了勾股定理的特例,三国时期刘徽提出了计算圆周率的方法——割圆术,南北朝时期祖冲之精确地计算出圆周率的小数点后7位,这是世界数学史上的重要里程碑。

4. 概率论方面:中国北宋时期的贾宪提出了二项式定理,这是世界上最早的二项式定理,比欧洲早了近一千年。

5. 微积分方面:中国元朝时期的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中提出了“无穷大”“无穷小”等概念,以及一系列重要的微积分公式和定理,这是世界数学史上的重要贡献。

6. 解析几何方面:中国明朝时期的数学家程大位在《算法统宗》中提出了“点动成线、线动成面、面动成体”的思想,这与现代解析几何的基本思想相一致。

7. 复变函数方面:中国著名数学家熊庆来在20世纪30年代初引进了无穷级数,并发展出了“无穷级数求和法”,这是复变函数理论中的重要概念之一。

8. 集合论方面:中国著名数学家陈省身在20世纪40年代初引进了“流形”的概念,并发展出了“流形上的几何学”,这是现代数学中的重要分支之一。

综上所述,世界数学成就在不同的历史时期和不同的地域有着不同的贡献和发展。

中国古代数学成就斐然,但也需要我们更加深入地研究和理解。

数的发展简史

数的发展简史

数的发展简史
引言概述:
数的概念是人类文明发展过程中最基本的数学概念之一。

从古至今,数的概念和应用经历了漫长而复杂的发展过程。

本文将从数的起源开始,通过五个大点来阐述数的发展简史。

正文内容:
1. 数的起源
1.1 早期人类的计数方法
1.2 数的符号化和计算工具的发展
1.3 埃及和巴比伦数学的贡献
2. 古代数学的发展
2.1 古希腊数学的兴起
2.2 古印度数学的发展
2.3 中国古代数学的独特性
2.4 阿拉伯数学的传播与发展
3. 中世纪数学的突破
3.1 十进制计数法的引入
3.2 代数学的兴起
3.3 几何学的发展
4. 近代数学的革新
4.1 微积分的发展
4.2 概率论的浮现
4.3 线性代数的发展
5. 现代数学的发展
5.1 集合论的建立
5.2 数论的研究
5.3 应用数学的发展
5.4 计算机科学与数学的结合
总结:
数的发展经历了漫长而复杂的历史过程。

从早期人类的计数方法开始,到数的符号化和计算工具的发展,再到古代数学的兴起和中世纪数学的突破,数学在近代和现代经历了微积分、概率论、线性代数等多个领域的革新。

现代数学的发展包括集合论、数论、应用数学以及与计算机科学的结合。

数的发展简史展示了人类对于数学的不断探索和创新,为我们提供了丰富的数学知识和应用领域。

数学的发展将继续为人类社会的进步做出贡献。

中国古代数学与西方数学有什么不同?

中国古代数学与西方数学有什么不同?

中国古代数学与西方数学有什么不同?中国古代对于世界的认识是循环闭合的体系,千变万化的现象背后存在着某种联系,它们相互依赖;而西方对于世界的认识是基于直链单向的因果,从一般的抽象化的概念与产生的衍生来解释特殊的现象。

这两种思考导致了根本性的区别,那就是中国古代注重对于事物的理解,利用一个现象去解释另一个现象,发掘内在关联;而西方更注重于逻辑,建立一般理论将所有的现象统一于理论之下。

进而我们能理解,为何西方可以诞生近代公理化,高度抽象化的数学体系,而中国数学则不成体系,以原始形态呈现在数学家面前。

基于以上理解,我们不难理解,虽然中西方数学的起源非常类似,都是基于对于生活实践中遇到的问题进行归纳和理性的处理,然而中国数学的发展一直在延续前人的研究传统,即以直观现象或实例为基础,并加以运用。

需要指出的是,西方近现代数学发展(从16世纪开始),与西方现代科学发展的传统,并非是直接继承从古希腊时期开始,由几何原本奠定下的公理化研究方法。

事实上当我们考察无论是近代数学还是物理学的发展之初,都基于对经验事实的依赖和大胆的猜测与想象。

从这一点上,中西方差异在于,西方率先使用一般的,抽象的方式来解释特殊问题,坚信世界所有的现象可以被统一在数中。

不仅如此,他们善于从复杂的现象中归纳出“优美的性质”,并且坚信优美,简单的理论是世界的终极解释。

所以16世纪初,数学与科学的蓬勃发展中,无不透露出对于这种朴素哲学观的贯彻。

比如开普勒,早期的天文学,数学的探索者,在其重要著作《世界的和谐》中指出,将天文学与音乐完美结合在一起的可能性,并且被看作是世界的和谐。

而这种朴素认识论正是西方近现代科学的开端。

第二个重要问题是数学体系的建立和推演。

必须承认的一点是,在体系的建立和推演上,中西方数学早早地分道扬镳。

以《九章算术》为例,从内容上,中国古代数学问题的核心在于对实际问题的解释和再利用,故而卷分类以“方田”,“粟米”,“衰分”“少广”,“商功”等等实际生活场景进行分类。

数学史话:数学史话(1)概述

数学史话:数学史话(1)概述

1、概述数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

简单地说,就是研究数和形的科学。

由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数。

在中国,最迟在商代,即已出现用十进制数字表示大数的方法;至秦汉之际,即已出现完满的十进位制。

在不晚于公元一世纪的《九章算术》中,已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则,并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法,还引入了负数概念。

刘徽在他注解的《九章算术》中,还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分,但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。

在这本著作中,刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长,成为后世求圆周率的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念,但在实质上,那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法,这不仅在应用上不可缺,也为数学初期教育所不可少。

至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区,则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。

早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。

古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。

16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。

在近代,数的概念更进一步抽象化,并依据数的不同运算规律,对一般的数系统进行了独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。

在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。

发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。

与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。

在中国以外,九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。

集合论的诞生与发展

集合论的诞生与发展

集合论的诞生与发展集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔(1845-1918)创立起来的。

但是,它萌发、孕育的历史却源远流长,至少可以追溯到两千多年前。

(一)早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。

集合作为数学中最原始的概念之一,通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。

例如美国国会图书馆的全部藏书,自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。

集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。

早在集合论创立之前两千多年,数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题,古希腊的学者最先注意并考察了它们。

公元前5世纪,埃利亚学派的芝诺(约公元前490-前430),一共提出45个悖论,其中关于运动的四个悖论:二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名,前三个悖论都与无穷直接有关。

芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念,但问题的实质却与无穷集合有关。

在数理哲学中,有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注,一种是无穷过程,称为潜在无穷,一种是无穷整体,称为实在无穷。

希腊哲学家亚里士多德(前384-前322)最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别,这种思想在当今仍有重要意义。

他认为只存在潜在无穷,如地球的年龄是潜在无穷,但任意时刻都不是实在无穷。

他承认正整数是潜在无穷的,因为任何正整数加上1总能得到一个新数。

对他来说,无穷集合是不存在的。

哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内,如同下了一道禁令,谁敢冒天下之大不韪,以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。

公元5世纪,拜占庭的普罗克拉斯(410-485)是欧几里德《几何原本》的著名评述者。

他在研究直径分圆问题时,注意到圆的一根直径分圆成两个半圆,由于直径有无穷多,所以必须有两倍无穷多的半圆。

为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题,他指出:任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆,而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆,也就是说,无穷只能是一种观念,而不是一个数,不能参与运算。

1.1 集合论发展史

1.1 集合论发展史

1961年,89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘 禁了7天。他反对越南战争,和萨特一起于1967年5月成 立了一个 “罗素法庭”,揭露美国的战争罪行。
1959年,罗素发表了《西方智慧》后, 开始了《罗素自传》的创作,并在 1967年95岁高龄之际完成了一生最优 秀的著作之一《罗素自传》。 1970年2月2日去世,一生曾四次结婚, 三次离婚。
2.
若SS,则S是不以自身为元素的集合,则根据S的
定义,有SS,与假设矛盾。

“一个理发师宣称,他不给自己刮脸的人刮脸,但
给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问:“理发师
先生,您自己的脸谁刮?”
伯特兰· 罗素(1872-1970) 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、 散文作家、社会活动家
3 罗素生平
剖析康托尔集合论中的许多证明便知,几乎他所证明的 一切定理均能从如下三个公理得出: 外延公理 – 任意两个集合相等,当且仅当它们中的各个元素 都是相同的。 抽象公理 – 任给一个性质,都有一个满足该性质的对象所组 成的集合。 选择公理 – 每个集合都有一个选择函数。 Note:毛病出在抽象公理上. 1903年, Russel发现 “由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合” 会导出矛盾来, 这就是著名的罗素悖论.
集合论创始人 康托尔 德国数学家 (Georg Cantor 1845-1918)
1845年3月3日 出生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。 1856年 与父母一起迁到德国的法兰克福。 1863年 进入柏林大学,转到纯粹的数学。 1866年 获得博士学位。 1874年 在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论 的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文 章的发表标志着集合论的诞生。

数学史复习资料

数学史复习资料

数学史复习资料1. 世界上第一个把π计算到3.1415926<π<3.1415927 的数学家是(祖冲之)。

2. 亚力山大晚期一位重要的数学家是(帕波斯),他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作。

3.古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼兹在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论,其著作《圆锥曲线》代表了希腊演绎几何的最高成就。

4.我国的数学教育有悠久的历史,(隋唐)代开始在国子寺里设立“算学”,唐至五代代则在科举考试中开设了数学科目,叫“明算科”。

5.《几何基础》的作者是(希尔伯特),该书所提出的公理系统包括(五)组公理。

6.用“分割法”建立实数理论的数学家是(戴德金),该理论建立于(19)世纪。

7.费马大定理证明的最后一步是英国数学家(怀尔斯)于1994 年完成的,他因此于1996 年获得了(沃尔夫)奖。

8.“幂势既同,则积不容异”是我国古代数学家(刘徽)首先明确提出的,这一原理在西方文献中被称作(卡瓦列利)原理。

9.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是(印度),而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是(中国)。

10.古希腊的三大著名几何问题是化圆为方、倍立方和三等分角。

11.我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(朱世杰),《海岛算经》的作者是__刘徽__。

12.就微分学与积分学的起源而言(积分学早于微分学)13.在现存的中国古代数学著作中,《周髀算经》是最早的一部。

卷上叙述的关于荣方与陈子的对话,包含了勾股定理的一般形式。

14.希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则,即:相容性、完备性、独立性。

15.二项式展开式的系数图表,在中学课本中称其为_杨辉_三角,而数学史学者常常称它为贾宪三角。

16.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法,并用__几何___方法对这一解法给出了证明。

17.被称为“现代分析之父”的数学家是(柯西),被称为“数学之王”的数学家是(高斯)。

集合论的发展

集合论的发展

集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支,它研究集合的性质、运算和关系。

自从19世纪末集合论的基本概念被提出以来,经历了多个阶段的发展和完善。

本文将详细介绍集合论的发展历程,包括其起源、基本概念的提出、公理化建立以及后续的发展和应用。

二、起源集合论的起源可以追溯到19世纪末的欧洲,当时数学家们开始思考集合的性质和运算规律。

在这个时期,集合的概念还不够明确和严格,各种对集合的定义和解释存在争议。

然而,这个时期的数学家们为后来集合论的发展奠定了基础。

三、基本概念的提出20世纪初,数学家们开始提出集合论的基本概念,为集合论的建立奠定了基础。

其中最重要的概念是集合、元素和包含关系。

集合是由一些确定的对象组成的整体,这些对象称为集合的元素。

集合之间的包含关系是集合论的核心概念,它描述了一个集合是否包含另一个集合的所有元素。

四、公理化建立20世纪初到中期,数学家们开始试图通过公理化的方式建立集合论的基础。

公理化是一种严格的逻辑推理方法,通过一组基本公理和推理规则来推导出集合论的定理。

在这个过程中,数学家们提出了一系列公理系统,如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统,用于描述集合的性质和运算规律。

五、后续的发展和应用集合论的公理化建立为后续的发展和应用打下了坚实的基础。

在20世纪中后期,集合论得到了广泛的应用,不仅在数学领域发挥着重要作用,还在计算机科学、物理学、统计学等其他学科中得到了应用。

例如,集合论在数据库的设计和查询中起到了关键作用,它提供了一种有效的数据组织和检索方式。

六、结论集合论作为数学的一个重要分支,经过多个阶段的发展和完善,已经成为现代数学的基石之一。

通过对集合的性质、运算和关系的研究,集合论为数学家们提供了一种严谨的推理方法和工具,为其他学科的发展和应用提供了理论基础。

集合论的发展历程不仅反映了数学思想的演进,也为我们理解和应用数学提供了重要的参考。

集合论的发展

集合论的发展

集合论的发展引言概述:集合论是数学中的一个重要分支,它研究的是集合的性质、关系和操作。

自从集合论的提出以来,它在数学和其他学科中都发挥了重要作用。

本文将从集合论的发展历程、基本概念、公理系统、应用领域和未来发展等五个方面进行详细阐述。

一、集合论的发展1.1 集合论的起源- 集合论最早起源于古希腊数学,例如毕达哥拉斯学派的数学思想中就包含了集合的概念。

- 17世纪,随着数学的发展,集合论逐渐成为一门独立的学科。

1.2 集合论的奠基人- 19世纪末,德国数学家乔治·康托尔(Georg Cantor)被公认为集合论的奠基人。

- 康托尔通过引入无穷集合和不可数集合的概念,推动了集合论的发展。

1.3 集合论的重要里程碑- 康托尔提出了集合的基数概念,引入了集合的比较和运算。

- 康托尔的对角线论证证明了实数集合是不可数的。

- 集合论的公理化建立了集合论的基础,确立了集合论的严密性。

二、集合论的基本概念2.1 集合的定义- 集合是由确定的元素构成的整体,元素之间没有顺序和重复。

- 集合可以用罗马字母大写字母表示,例如A、B、C。

2.2 集合的运算- 并集:将两个或者多个集合中的所有元素合并在一起。

- 交集:两个集合中共同拥有的元素组成的集合。

- 差集:从一个集合中去除另一个集合中的元素。

2.3 集合的关系- 包含关系:一个集合的所有元素都属于另一个集合。

- 相等关系:两个集合的元素彻底相同。

三、集合论的公理系统3.1 朴素集合论- 朴素集合论是集合论的一种直观描述,没有明确的公理系统。

- 朴素集合论存在悖论,例如罗素悖论,导致了集合论的公理化。

3.2 公理化集合论- 公理化集合论通过引入公理系统,解决了朴素集合论的悖论问题。

- 公理系统包括包含公理、相等公理、分离公理等。

3.3 集合论的公理化建立了集合论的严密性和一致性。

- 公理化集合论为集合论提供了一个严密的基础。

- 集合论的公理系统可以通过逻辑推理来证明集合论的定理。

集合论的发展历程

集合论的发展历程

集合论的发展历程集合论发展历程:古典集合论:说到古典集合论,我们不得不先介绍一下其背后贡献最大的数学家——康托尔(为数学而“疯”的数学家),他是古典集合论的创始人,完善了古典集合论的大部分基础理论,对于集合论的产生,占有举足轻重的地位。

康托尔于1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡,从小对数学有着浓厚的乐趣,1863年进入柏林大学,之后取得哈勒大学的教授职位,从此一直从事着集合论的创立工作。

黎曼于1854年在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出函数的三角级数表示的唯一性问题,1870年,康托尔受邀海涅解决这一问题,他在1871-1872年间,逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷的情况,认识到了无穷集合的重要性,这是集合论产生的一个直接原因。

1873年,康托尔在于戴金德的来信中,宣布证明了实数集是不可数的,这一年被称为集合论的诞生年。

1874年,康托尔在论文中断言:所有实代数数的集合是可数的,所有实数的集合是不可数的,因此非代数数的超越数是存在的,而且远远多于代数数。

康托尔的证明引起了许多数学家的反驳。

但是康托尔冒着被称为“神经病”的称号,依然坚持着自己对于集合论的研究。

1878年,康托尔提出一一对应的概念,作为判断两个集合对等的充要条件。

所谓以一一对应,可以理解为:两个集合的元素通过映射,可以建立满射关系,一一对应包含了集合元素基数(也称势,即元素个数)相等,这是研究无穷集合的一个重要概念。

用阿列夫0代表自然数集的势,用c代表实数集的势,运用一一对应比较各种无穷集合的大小,其中,无穷集合与有限集合最大的区别在于:无穷集合可以与其子集建立一一对应关系,例如整数与偶数建立一一对应关系,两者的势是相等的。

1883年,康托尔证明了康托尔定理:任何集合的势都小于其幂集(由集合的子集组成的集合)的势,揭示了无穷有无穷多个层次。

并且提出了著名的“连续统假设”:可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势。

集合论的发展

集合论的发展

集合论的发展1. 引言集合论是数学中的一个重要分支,研究集合的性质、关系和操作。

自从它的诞生以来,经历了多次重要的发展和突破。

本文将详细介绍集合论的发展历程,从早期的基础概念到现代的应用领域。

2. 早期的基础概念集合论的起源可以追溯到19世纪,当时数学家们开始研究集合的性质和关系。

在这个阶段,集合被定义为一组具有共同特征的对象的集合。

早期的集合论主要关注集合的基本运算,如并集、交集和补集等。

这些基础概念为后来的发展奠定了基础。

3. 康托尔的贡献19世纪末,德国数学家康托尔对集合论做出了重要贡献。

他提出了集合的基数概念,并发展了基数的比较和运算规则。

康托尔还研究了无穷集合的性质,提出了著名的康托尔对等原理,即两个集合之间存在一一对应关系当且仅当它们的基数相等。

这一理论为后来的集合论发展提供了重要的思想基础。

4. 集合论的公理化20世纪初,数学家们开始对集合论进行公理化。

这一过程旨在通过一组公理来确立集合论的基础,以避免悖论和矛盾的出现。

在此过程中,数学家们提出了一些基本的公理,如空集公理、配对公理和并集公理等。

这些公理为集合论的发展提供了严谨的逻辑基础。

5. 集合论的扩展随着时间的推移,集合论逐渐扩展到更广泛的领域。

在20世纪中叶,集合论开始与其他数学分支相结合,如拓扑学、代数学和数理逻辑等。

这些交叉学科的出现使得集合论的应用范围更加广泛,也促进了集合论的进一步发展。

6. 集合论的应用现代集合论已经成为数学中不可或缺的一部分,并在许多领域中得到应用。

例如,在计算机科学中,集合论被广泛用于数据库查询、数据结构和算法设计等方面。

在人工智能领域,集合论被用于模糊集合和模糊逻辑的建模和推理。

此外,集合论还在统计学、经济学和物理学等学科中发挥着重要作用。

7. 现代集合论的挑战尽管集合论已经取得了巨大的发展,但仍然存在一些挑战和未解决的问题。

其中一个重要的问题是连续统假设问题,即康托尔提出的集合的基数问题。

此外,集合论的公理化和其它分支的关系也是一个研究的热点。

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论文标题:集合论思想的演变及在当代中国的发展论文作者姜玉声/朱焕志论文关键词,论文来源自然辩证法研究,论文单位京,点击次数148,论文页数031-037页1995年1995月论文网/paper_143662921/集合论自上世纪70年代由德国数学家G.Cantor创立以来,不断促进着许多数学分科的发展,并成为全部现代数学的基础。

然而,近30年来又相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。

为说明这两种集合论的产生在数学史中的意义,理清集合论思想演变的脉络,弘扬我国学者在这一发展中的创造精神,本文拟在简要回顾集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变的基础上,就可拓集合论的产生与发展加以分析、研讨集合论思想发展的规律,谈谈我们的浅见。

1集合论思想从Cantor到Fuzzy的演变长期以来,人们利用数学处理问题的主导思想通常是“枝是枝,蔓是蔓”,不允许半点儿“含混”,语言的“准确”,推理的“严格”,结论的“确定”从来天经地义。

[(1)a]数学中的这种传统观念,把人们的思想局限在“确定性”的小天地里。

所谓“确定性”,它要求概念有明确的外延,逻辑上严格地遵从形式逻辑的四条基本规律,结论只能是唯一确定的。

与这种观念相适应,数学中便产生了Cantor集合论。

众所周知,集合是数学中的一个不定义概念。

所谓集合,是指具有某种特定属性的对象的全体,集合中的每一个体(对象)叫做集合的元素。

按Cantor的集合论,一个元素x与一个集合A的关系只能有属于(记作∈)和不属于(记作)两种,二者必居其一且仅居其一,即x∈A或xA。

如表为特征函数的形式,记集合A的特征函数为C[,A](x),则有在长时间里,这种集合论思想占据统治地位,可以说整个传统数学[(2)a]就建立在这种集合论的基础上。

实践表明,Cantor的集合论在研究确定性事物的范围内显现着巨大作用,其光辉是永不磨灭的。

然而,随着社会的发展,人类的知识视野和研究领域不断扩大,需要探讨的问题加速度地增加着。

于是,不确定性现象,特别是其中的模糊性现象,逐渐被人们意识。

具体地说,近几十年来,学者们不断发觉,某些现象呈现出不确定性,是由于概念本身就没有明确的外延,逻辑上并不严格遵从传统的排中律,表现为客观事物在差异的中介过渡中所呈现的“亦此亦彼”性。

例如,人的年轻与年老、环境的清洁与脏污及天气的晴与阴等许多对立概念之间,都没有绝对分明的界限。

严格地说,这些概念都没有明确的外延。

若按这些概念去确定“集合”,则相应的“集合”都没有清晰的边界,一个元素是否属于某个“集合”不是很分明的。

当然,如果数学家同意把这样的“集合”仍称为集合的话,则这种集合已经不是Cantor意义下的经典集合了。

一个对象对于一个这样的集合,除可以属于和不属于外,还可以有某种程度的属于或不属于,而且后者才是更一般的情形。

譬如,若用年轻人这个概念构造这种集合,要问一个人是否属于这个集合,即是否年轻,则除了年轻和不年轻这两个极端情形外,还要遇到比较年轻、基本年轻等不少中间过渡的档次,且每一档次内还可细分更小的档次。

这就是事物的模糊性。

为了研究和处理模糊性事物,美国控制论专家L.A.Zadeh教授于1965年提出了Fuzzy集合论。

Fuzzy集合论的基本思想较集中地体现在下面的开创性概念中:所谓给定了论域U上的一个模糊子集Α,是指对于任意的u∈U,都指定了一个数μ(u)∈〔0,1〕,用它来表示u对A的隶属程度,叫u对的隶属度。

映射叫做的隶属函数。

[(1)]有了这个概念,人们便可用区间〔0,1〕上的数表征模糊子集的元素、用普通映射描述和刻划模糊子集了。

这就从根本上建立了模糊性与分明性的联系,为借助分明性研究和处理事物的模糊性奠定了基础。

随后给出的模糊子集的截集概念及所证明的分解定理进一步架起了普通子集与模糊子集间的桥梁,引入的扩展原理把集合间的映射扩展到了Fuzzy集合论。

[(2)]一门崭新的集合理论,就从这些关键步骤起步,开始了它的发展史。

当然,一门新理论的产生,常源于相应旧理论内在矛盾的被发现,被意识。

而旧理论内在矛盾被深刻意识,被重视,常须伴随社会科技实践的迫切需要。

不言而喻,随着科学技术的发展,含大量模糊性概念(即无明确外延的概念)的学科迫切要求定量化、数学化的趋势,用电子计算机模拟人脑思维方法的需要,以及今日世界待研究的事物日益复杂,而复杂的东西常难于精确化,更难于用传统的数学方法处理等事实,加速暴露和使人们重视了Cantor 集合论不适于描述模糊性事物的弱点。

于是,以事物模糊性的存在为客观基础,以Cantor 集合论不能描述模糊性事物的弱点为原动力,以上述实际需要为直接背景,这一崭新的Fuzzy集合论便届时产生,迅速发展,初露锋芒。

不仅在理论上已伸向各数学分科,而且在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、心理学、社会学、生态学、语言学、经济管理、环境科学及医疗诊断等研究领域得到了广泛的应用。

[(3)]2可拓集合论的产生与发展可是,仅有Cantor集合论与Fuzzy集合论还描述不了和不能借以研究现实存在着的许多事物,仍然满足不了日益广泛的科技实践的需要。

就客观现实而言,许多事物均可按某性质P一分为二,其中不具有性质P的又可分为在一定条件下可转化为具有性质P的和不能转化为具有该性质的两类。

例如检验工人生产的产品,有合格品与不合格品;在一定的加工前提下,不合格品又分为可经返工以达合格的产品和返工也不能合格的废品。

又如选送适于从事某项工作的人才,有符合条件入选的,有不符合条件落选的,其中落选的又分为经一定时间的培养与自身努力创造条件将来可入选的和因本人素质等原因即或长期培养也不适合从事该项工作的两类。

这类例子所反映的现实正体现着辩证法关于矛盾转化和内外因关系的思想。

然而,Cantor集合论与Fuzzy集合论都无法描述这类问题。

实际上,尽管这两种集合论本质不同,但它们都只能描述静态的事物,而无法描述在一定条件下“非”与“是”互相转化的情形。

因此,第三种集合论的问世,只是时间早晚的问题,其诞生已成为必然。

就可拓集合论创始人蔡文研究员的科技实践而言,他在创立新学科物元分析的过程中,为了找到处理矛盾问题的数学工具,建立了可拓集合的理论。

这里需要解释的是:矛盾问题是指其中存在着不相容的两个部分的问题,主观愿望与客观条件相矛盾的问题是它的一个重要类型,称不相容问题;物元分析是研究解决矛盾问题的规律和方法的新兴学科,其中心是研究人们“出点子,想办法”的规律、理论和方法。

[(4)][(5)]早在1976年,蔡文就开始了这项颇有意义的工作。

他先是回忆起与工人师傅们共搬配电盘入电工房的情景,本来配电盘比门高进不去,这按传统数学的逻辑,属于不相容问题,是不能解决的,但他们将其放倒,即将配电盘的高度和长度来一个“变换”,便轻而易举地解决了问题。

他想,一向被视为高深莫测的传统数学却不去研究这种变换,看来传统数学只适用于所遇的条件与给定的目标互不矛盾的问题。

像解决配电盘进屋这类不相容问题有无规律可循,能否为其建立数学模型呢?他联想到三国时代曹冲称象的故事和两千年前阿基米德计算王冠体积的巧妙方法,理出了思路:这都是对事物的某种因素进行了变换,一个朦胧的思绪在头脑中形成![(6)]还是吴学谋教授文章中的话使他这个朦胧的思绪清晰起来,“人们不但要发展纯粹的数理逻辑,而且有必要研究容许一定矛盾前提的逻辑。

”[(7)]实际上,他寻求的解决不相容问题乃至一般的矛盾问题的规律,正是这种有“一定矛盾前提的逻辑”。

蔡文发现:传统数学解决不了矛盾问题,是因为它只就事物某特征的量值关系进行研究,而不同时考虑事物本身及其特征两个要素。

于是他引入(事物,特征,量值)这个有序三元组,作为描述事物的基本元,称为物元。

他指出:任何问题都可利用物元来描述;解决矛盾问题的关键,就在于对物元进行变换。

为给物元变换建立数学模型,必须有适应这种思想的集合理论。

如前所述,Cantor集合论和Fuzzy集合论都无法描述“非”与“是”互相转化的情形。

面对以往的数学宝库中并无现成工具,蔡文只好在这里开拓,创造新的数学工具,以解决所论问题。

这个新数学工具就是可拓集合论。

[(8)]可拓集合论的基本思想充分体现在下面的开创性概念中:所谓在某限制下给定了论域u上的一个可拓集合,是指对于任意的u∈U,都规定了一个实数K(u)∈(-∞,+∞),用它表示u对的关系,叫u对的关联度。

映射K:u→(-∞,+∞)u→K(u)叫做的关联函数。

这里,K(u)≥0表示u属于普通子集X,称X={u|K(u)≥0,u∈U}[(1)b]为的经典域;-|≤K(u)<0表示u∈X,但在所论限制下,u能变为y∈X,称={u|-1≤K(u)<0,u∈U}为的可拓域;K(u)<-1表示u∈X,且在所论限制下不能变为y∈X,称={u|K(u)<-1,u∈U}为的非域。

[(9)][(2)b]例如,若车床加工某轴的规格是直径d=50±0.01(毫米),则检验的标准是:凡符合条件49.99≤d≤50.01的为合格品,这样的轴属经典域。

凡不符合上列条件的为不合格品,其中d>50.01的轴为可经返工变为合格的产品,这样的轴属可拓域;d<49.99的轴为废品,这样的轴属非域。

这样一来,人们便可利用可拓集合,讨论在一定条件(外因)下,对象集(即论域)内不属于经典子集(即经典域),而根据其内因能转化到该子集内的元素(即可拓域内的元素),用关联函数值的大小表征元素对集合的依赖程度及元素间的层次关系。

特别地,当可拓集合的元素是物元时,便构成了物元可拓集。

物元可拓集的每个元素都有自己的内部结构,都是一事物既包含量的方面,又体现质的方面,并将两者有机结合的统一体,且其内部结构并非一成不变,内部结构的变化则导至元素在集合中的“地位”改变。

于是,物元可拓集便能较合理地描述自然现象和社会现象中各种事物的内在情形、彼此关系及它们的变化。

[(11)]明显地,这就充分体现了辩证法关于矛盾转化及内外因关系的思想,给出了便于描述“非”与“是”互相转化的集合理论,也为人们解决矛盾问题提供了数学工具。

一门当代最新的集合理论,就从这里开始,建立了自己的概念、关系、运算及变换,展开了它的前程。

蔡文这一研究方向的开创性论文《可拓集合和不相容问题》[(12)]在1983年发表于《科学探索学报》。

这篇论文的发表宣告了可拓集合论的诞生,标志着新学科物元分析从孕育阶段进入了初创阶段。

[(13)]该文发表以后,有中国模糊数学学会副理事长汪培庄教授、国家科委总工程师传凯教授、中国船舶工业总公司第709研究所研究员吴学谋教授、辽宁师范大学校长方嘉琳教授等14位专家陆续写出书面鉴定,肯定了这项研究。

不少专家认为,该文提出了一门新学科,很有发展前途。

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