计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式
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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
72第二节 牛顿—柯特斯公式
j 0 2k
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
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例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
第3章 数值积分和数值微分
数值分析
插值型求积公式的代数精度
若形如 ab f ( x)dx n的A求k f积( x公k 式) 至少有n k 0
次代数精度，则
b
n
a l k ( x)dx
A j l k ( x j ) Ak
j 0
因为
l k (x j ) δkj
1 0
k j k j
故此时求积公式是插值型的。
定理：形如
A0 f (x0 )
解：令f (x) 1, x，得方程组： 解之得
x0
1 (a b) 2
A0
x0
A0
(b
b
2
a a2
)
/
2
于是得求积公式为 b f (x)dx (b a) f (b a )
a
2
数值分析
用代数精度来构造求积公式
例3：给定形如
1 0
f
(x)dx
A0
f
(0)
A1
f
Ai
b
a li ( x)dx
b a
n
i0, ik
x xi dx xk xi
h
n
0
n
i0, ik
ti ki
dt
(b
a
)C
(n k
)
数值分析
§4.2 牛顿—柯特斯公式
其
中C
(n k
)为
柯
特
斯(Cotes)系
数
C (n) k
(1)nk n k!(n k)!
n
0 t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
1 (1)nk
nn
( (t i))dt, (k 0, , n)
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
73第三节 复合求积公式
1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
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2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
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在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
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对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
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3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
牛顿-柯特斯公式
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
4.2 牛顿-科特斯公式
§4.2 牛顿-科特斯公式
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
a
f ( x )dx
b
a
Ln ( x )dx
b n
k 0
k
b
a
l k ( x )dx f ( x k )
dx
注意到： Ak
b
a
l k ( x )dx
x
a j0 jk
x xj xj
b a j0 jk
n
n n n t j a th a jh 1 n n d ( a th) hdt h (t j )dt 0 0 a kh a jh j 0 k j j 0 k j j 0 jk jk jk
n n k 0 k 0
有求积公式 Ak f ( xk ) Ak f k 成立，则称积分公式是稳定的.
定理：若求积公式中系数 Ak 0(k 0,1,..., n)，
则此求积公式是稳定的。 证明：对于任给定的 0,
记：In(f)= Ak f ( xk )
k 0
6) 积分公式的收敛性和稳定性
定义： 在求积公式中，若 lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
n h 0 k 0 a n b
其中h= max{xi xi 1}, 则称求积公式是收敛的。
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
a
f ( x )dx
b
a
Ln ( x )dx
b n
k 0
k
b
a
l k ( x )dx f ( x k )
dx
注意到： Ak
b
a
l k ( x )dx
x
a j0 jk
x xj xj
b a j0 jk
n
n n n t j a th a jh 1 n n d ( a th) hdt h (t j )dt 0 0 a kh a jh j 0 k j j 0 k j j 0 jk jk jk
n n k 0 k 0
有求积公式 Ak f ( xk ) Ak f k 成立，则称积分公式是稳定的.
定理：若求积公式中系数 Ak 0(k 0,1,..., n)，
则此求积公式是稳定的。 证明：对于任给定的 0,
记：In(f)= Ak f ( xk )
k 0
6) 积分公式的收敛性和稳定性
定义： 在求积公式中，若 lim Ak f ( xk ) f ( x)dx,
n h 0 k 0 a n b
其中h= max{xi xi 1}, 则称求积公式是收敛的。
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
数值计算方法 代数精度 - 代数精度
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵
1
x0
x02
x0n
1 1
x1
xn
x12
xn2
x1n xnn
是范得蒙德矩阵,当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,故 Ak 有唯一解。
典型例题
例2
试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f
(1)
20
f
(3)
结构分析
2 .如 果 参 数 x k 和 Ak均 未 知 ， 则 方 程 组 为 非线 性 的
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1x1
An xn
b2
2
a2
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
非线性方程组求解很困难
定理
n+1个节点的求积公式
1
2
左右相等
典型例题
当 f ( x )分 别 为 常 数x 2或 x 3时 ,
2 f ( x) x2 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x2 1
3
1
2
1 f ( x) x3 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x3 0
n
Ak
x
m k
k0
1 m 1
bm1 a m1
b x mdx
a
构 造 求 积 公 式, 原 则 上 是 确 定 参 数x k和 Ak的 代 数 问 题.
结构分析
A0 A1 An b a
1.如
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式
教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。
据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。
这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。
以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。
但对很多实际问题，上述公式却无能为力。
这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。
2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。
因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。
第2章0102机械求积,牛-柯公式
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, 证 令 f ( x ) 1, x, x ,
2
, n 有唯一解即可。
使求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 ,x ，
n
b a
n
k 0
确成立，即
A0 A1 An b a A0 x0 A1 x1 An xn 1 (b 2 a 2 ) 2 1 n n n A x A x A x (b n 1 a n 1 ) 0 0 1 1 n n n 1
b
牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
本章的问题： 计算定积分 f ( x )dx 似值。
a
b
的近
但是:
①有些定积分的被积函数的原函数不能用初等
函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用。如 b 1 sin x b x2 2 e d x , d x , sin x dx 等； a 0 x a
b a b a
b
a
f ( x)dx P ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
f ( x)dx P ( x)dx ,将 P( x) f ( xk )lk ( x)代入，有
b a
n
k 0
f ( x)dx P ( x )dx
a
n b
梯形公式 I
b
f ( x)dx (b a )
梯形公式具有一次代数精度。
例：确定求积公式
1
1
1 f ( x)dx [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度 . 3
证明此时 Ak , k 0,1, 证 令 f ( x ) 1, x, x ,
2
, n 有唯一解即可。
使求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 ,x ，
n
b a
n
k 0
确成立，即
A0 A1 An b a A0 x0 A1 x1 An xn 1 (b 2 a 2 ) 2 1 n n n A x A x A x (b n 1 a n 1 ) 0 0 1 1 n n n 1
b
牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
本章的问题： 计算定积分 f ( x )dx 似值。
a
b
的近
但是:
①有些定积分的被积函数的原函数不能用初等
函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用。如 b 1 sin x b x2 2 e d x , d x , sin x dx 等； a 0 x a
b a b a
b
a
f ( x)dx P ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
f ( x)dx P ( x)dx ,将 P( x) f ( xk )lk ( x)代入，有
b a
n
k 0
f ( x)dx P ( x )dx
a
n b
梯形公式 I
b
f ( x)dx (b a )
梯形公式具有一次代数精度。
例：确定求积公式
1
1
1 f ( x)dx [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度 . 3
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k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
定义：在插值求积公式
b
b
a
f(x)dx
中,当所取节点
生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度， 它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。
复合求积公式
(2) 用辛卜生公式
0.5
0.75
1
1]
1
0.5
1 0.5 xdx [ 0.5 4 (0.5 1)/2 6 1 [0.70711 4 0.86603 1] 12
0.43093403 0.43093
误差
(1 0.5)5 (4) (1 0.5) 5 15 1 R 2 (f) f (η ) 2880 16 η 3 η 2880
C1
( 1)0 1 1!0!
1 0 tdt 2
1
似曾 相识
当n=2时，由
C
(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
( (t
0 i0 i k
n
n
i))dt
( 1)2 2 1 C0 (t 1)(t 2)dt 0 2 0!2! 6 C1 C2 ( 1)1 2 1!1! 2 0 t(t 2)dt 3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式 定义：在插值求积公式
b
a
f(x)dx
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
中,当所取节点
n
a x0 x1 xn b 是等距
)， Ak
n
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
P(x)
k 0
k! h (1)
k
n k
(n k)! h
n k
(1)nk k! (n k)! hn
a=x0 x1 x2
xi
xk
xn=b
作变量替换
x a th
a
并注意
b n
xi a ih
得：
Ak
l ( x ) dx k
a
b
i 0 i k
x xi dx x k x i
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
k=0,…,n
n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特 斯公式. Home
牛顿-柯特斯求积公式例题
例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式
计算定积分
1
0.5
xdx 的近似值 .
0.5 1
(1) 用梯形公式计算
C(n) k
则
n n ( 1)n k ( (t i))dt, k 0,1,..., n nk! (n k)! 0 i 0 i k
Ak (b a)C ， k 0,1,..., n
(n) k
代入插值求积公式(4.1)有
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k )
( (t i))hnhdt
i0 i k n
( 1)n k k! (n k)! hn
n
0
n n ( 1)n k (b a) ( (t i))dt nk! (n k)! 0 i 0 i k
ba 注：最后一步用到：h n
引进记号(柯特斯系数)
1 R 2 (f) 90
b 2
a (4) (b a)5 (4) f (η ) 2880 f (η ) η ( a,b)
5
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； b-a<2时，误差较小
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
31 C 7f(1) 32f(1.5) 12f(2) 32f(2.5) 7f(3) 90 1 35 125 62 7 32 12 9 32 7 9 45 8 8 3
知其误差为 R ( f) 0
62 该定积分的准确值 I ，此例说明，对于同一 3 个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜
2
积分的准确值为
1
0. 5
2 x dx x 3
3 2
|
1 0. 5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 精度
柯特斯公式
辛卜生公式
0.43096
梯形公式
0.426777
0.43093
例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分
3 2 (x 2x 7x 5)dx 3
k 0
A
n
k
1 (b a) 1 b a
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的
常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(n) k
( 1) nk! (n k)!
n k
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
例如，当n=1时
C0
1 1 1 (t 1)dt 1 0!1! 0 2
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b
a
1 ab f(x)dx (b a)f(a) 4f( ) f(b) 6 2
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连 续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
1 [4.94975 25.29822 10.39223 180 29.93326 7] 0.43096
8 R 4 (f) 945
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
11
7
15 7 9 2 (6) f (x) ( )( )x 16 2 2
k 0 (n) k
n
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n 1 2 3 4 5 Ck 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
1 0.5
(1 0.5)5 15 1 0.55 15 1 0.52 15 | R 2 (f) | 3 3 2880 16 η η 2880 16 0.5 0.5 2880 16 0.25 15 1 0.0001151 2880 16 0.707
| R 2(f) | 0.0001151
1 15 7 9 5 8 16 2 2 2 2
7 7
7
8 945
1 15 7 9 1 8 945 1 8 1 1 2 2 945 2 8 2 4 8 4 2 2 0.0000026 2097152 524288
时称为牛顿-柯特斯公式：
n a
a x0 x1 xn b 是等距
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
f(x)dx (b a) C(n) ) k a kh k f(x k ，x
k 0
C(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
7
8 1 15 7 9 2 R 4 (f) ( )( )( )η ，η (0.5,1) 945 8 16 2 2
8 | R 4 (f) | 945 1 15 7 9 8 16 2 2 2
7
7 11 2
11
8 945
计算方法 (Numerical Analysis)
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
定义：在插值求积公式
b
b
a
f(x)dx
中,当所取节点
生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度， 它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。
复合求积公式
(2) 用辛卜生公式
0.5
0.75
1
1]
1
0.5
1 0.5 xdx [ 0.5 4 (0.5 1)/2 6 1 [0.70711 4 0.86603 1] 12
0.43093403 0.43093
误差
(1 0.5)5 (4) (1 0.5) 5 15 1 R 2 (f) f (η ) 2880 16 η 3 η 2880
C1
( 1)0 1 1!0!
1 0 tdt 2
1
似曾 相识
当n=2时，由
C
(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
( (t
0 i0 i k
n
n
i))dt
( 1)2 2 1 C0 (t 1)(t 2)dt 0 2 0!2! 6 C1 C2 ( 1)1 2 1!1! 2 0 t(t 2)dt 3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式 定义：在插值求积公式
b
a
f(x)dx
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
中,当所取节点
n
a x0 x1 xn b 是等距
)， Ak
n
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
P(x)
k 0
k! h (1)
k
n k
(n k)! h
n k
(1)nk k! (n k)! hn
a=x0 x1 x2
xi
xk
xn=b
作变量替换
x a th
a
并注意
b n
xi a ih
得：
Ak
l ( x ) dx k
a
b
i 0 i k
x xi dx x k x i
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
k=0,…,n
n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特 斯公式. Home
牛顿-柯特斯求积公式例题
例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式
计算定积分
1
0.5
xdx 的近似值 .
0.5 1
(1) 用梯形公式计算
C(n) k
则
n n ( 1)n k ( (t i))dt, k 0,1,..., n nk! (n k)! 0 i 0 i k
Ak (b a)C ， k 0,1,..., n
(n) k
代入插值求积公式(4.1)有
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k )
( (t i))hnhdt
i0 i k n
( 1)n k k! (n k)! hn
n
0
n n ( 1)n k (b a) ( (t i))dt nk! (n k)! 0 i 0 i k
ba 注：最后一步用到：h n
引进记号(柯特斯系数)
1 R 2 (f) 90
b 2
a (4) (b a)5 (4) f (η ) 2880 f (η ) η ( a,b)
5
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； b-a<2时，误差较小
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
31 C 7f(1) 32f(1.5) 12f(2) 32f(2.5) 7f(3) 90 1 35 125 62 7 32 12 9 32 7 9 45 8 8 3
知其误差为 R ( f) 0
62 该定积分的准确值 I ，此例说明，对于同一 3 个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜
2
积分的准确值为
1
0. 5
2 x dx x 3
3 2
|
1 0. 5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 精度
柯特斯公式
辛卜生公式
0.43096
梯形公式
0.426777
0.43093
例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分
3 2 (x 2x 7x 5)dx 3
k 0
A
n
k
1 (b a) 1 b a
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的
常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(n) k
( 1) nk! (n k)!
n k
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
例如，当n=1时
C0
1 1 1 (t 1)dt 1 0!1! 0 2
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b
a
1 ab f(x)dx (b a)f(a) 4f( ) f(b) 6 2
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连 续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
1 [4.94975 25.29822 10.39223 180 29.93326 7] 0.43096
8 R 4 (f) 945
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
11
7
15 7 9 2 (6) f (x) ( )( )x 16 2 2
k 0 (n) k
n
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n 1 2 3 4 5 Ck 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
1 0.5
(1 0.5)5 15 1 0.55 15 1 0.52 15 | R 2 (f) | 3 3 2880 16 η η 2880 16 0.5 0.5 2880 16 0.25 15 1 0.0001151 2880 16 0.707
| R 2(f) | 0.0001151
1 15 7 9 5 8 16 2 2 2 2
7 7
7
8 945
1 15 7 9 1 8 945 1 8 1 1 2 2 945 2 8 2 4 8 4 2 2 0.0000026 2097152 524288
时称为牛顿-柯特斯公式：
n a
a x0 x1 xn b 是等距
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
f(x)dx (b a) C(n) ) k a kh k f(x k ，x
k 0
C(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
7
8 1 15 7 9 2 R 4 (f) ( )( )( )η ，η (0.5,1) 945 8 16 2 2
8 | R 4 (f) | 945 1 15 7 9 8 16 2 2 2
7
7 11 2
11
8 945
计算方法 (Numerical Analysis)