计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式
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( (t i))hnhdt
i0 i k n
( 1)n k k! (n k)! hn
n
0
n n ( 1)n k (b a) ( (t i))dt nk! (n k)! 0 i 0 i k
ba 注：最后一步用到：h n
引进记号(柯特斯系数)
l (x)f(x
k
k
b
a
lk (x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b
a
lk (x)dx
a i0 i k
b
x xi dx xk xi
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
a i0 i k
b
n
x xi dx xk xi
ba 将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h n
1 15 7 9 5 8 16 2 2 2 2
7 7
7
8 945
1 15 7 9 1 8 945 1 8 1 1 2 2 945 2 8 2 4 8 4 2 2 0.0000026 2097152 524288
1 [4.94975 25.29822 10.39223 180 29.93326 7] 0.43096
8 R 4 (f) 945
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
11
7
15 7 9 2 (6) f (x) ( )( )x 16 2 2
时称为牛顿-柯特斯公式：
n a
a x0 x1 xn b 是等距
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
f(x)dx (b a) C(n) ) k a kh k f(x k ，x
k 0
C(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
k 0 (n) k
n
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n 1 2 3 4 5 Ck 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
31 C 7f(1) 32f(1.5) 12f(2) 32f(2.5) 7f(3) 90 1 35 125 62 7 32 12 9 32 7 9 45 8 8 3
知其误差为 R ( f) 0
62 该定积分的准确值 I ，此例说明，对于同一 3 个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜
a=x0 x1 x2 求积节点为：
xi
xk
xn=b
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk xi (k i)h
可以推出：
… (x x )(x x ) … (xk xn ) (xk x0 ) k k 1 k k 1
(kh)(k 1)h (1h)(1h) (k n)h
2
积分的准确值为
1
0. 5
2 x dx x 3
3 2
|
1 0. 5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 精度
柯特斯公式
辛卜生公式
0.43096
梯形公式
0.426777
0.43093
例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分
3 2 (x 2x 7x 5)dx 3
(3) 用柯特斯公式计算(n=4, 4等份，5个节点)，系数为
7 32 12 32 7 , , , , 90 90 90 90 90
0.5
0.625 0.75 0.875
1
1
0.5
xdx 0.5 32 0.625 12 0.75
1 0.5 [7 90 32
0.875 7 1 ]
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
C1
( 1)0 1 1!0!
1 0 tdt 2
1
似曾 相识
当n=2时，由
C
(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
( (t
0 i0 i k
n
n
i))dt
( 1)2 2 1 C0 (t 1)(t 2)dt 0 2 0!2! 6 C1 C2 ( 1)1 2 1!1! 2 0 t(t 2)dt 3
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算 法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
1 R 2 (f) 90
b 2
a (4) (b a)5 (4) f (η ) 2880 f (η ) η ( a,b)
5
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； b-a<2时，误差较小
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
k=0,…,n
n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特 斯公式. Home
牛顿-柯特斯求积公式例题
例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式
计算定积分
1
0.5
xdx 的近似值 .
0.5 1
(1) 用梯形公式计算
C(n) k
则
n n ( 1)n k ( (t i))dt, k 0,1,..., n nk! (n k)! 0 i 0 i k
Ak (b a)C ， k 0,1,..., n
(n) k
代入插值求积公式(4.1)有
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k )
k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
定义：在插值求积公式
b
b
a
f(x)dx
中,当所取节点
1
0.5
1 0.5 xdx [f(0.5) f(1)] 2 0.25 [0.70711 1] 0.426777
(1 0.5)3 | R 1(f) || f (η ) | 12 1 1 1 2 | ( ) | 0.0073656 8 12 4 η η 192
1 0.5
(1 0.5)5 15 1 0.55 15 1 0.52 15 | R 2 (f) | 3 3 2880 16 η η 2880 16 0.5 0.5 2880 16 0.25 15 1 0.0001151 2880 16 0.707
| R 2(f) | 0.0001151
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
k 0
A
n
k
1 (b a) 1 b a
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的
常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(n) k
( 1) nk! (n k)!
n k
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
例如，当n=1时
C0
1 1 1 (t 1)dt 1 0!1! 0 2
b
a
1 f(x)dx (b a)f(a) f(b) 2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
(b a) R 1 (f) f (η ) 12
3
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大； b-a<1时，误差较小
的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)
解: 辛卜生公式
1
1
2
3
31 62 S f(1) 4f2 f(3) 6 3
由于f(x)是3阶多项式，所以 f (4) (x) 0
辛卜生公式余项
(b a)5 (4) R(f) f (η ) 0 2880
解:柯特斯公式
k! h (1)
k
n k
(n k)! h
n k
(1)nk k! (n k)! hn
a=x0 x1 x2
xi
xk
xn=b
作变量替换
x a th
a
并注意
b n
xi a ih
得：
Ak
l ( x ) dx k
a
b
i 0 i k
x xi dx x k x i
(2) 用辛卜生公式
0.5
0.75
1
1]
1
0.5
1 0.5 xdx [ 0.5 4 (0.5 1)/2 6 1 [0.70711 4 0.86603 1] 12
0.43093403 0.43093
误差
(1 0.5)5 (4) (1 0.5) 5 15 1 R 2 (f) f (η ) 2880 16 η 3 η 2880
7
8 1 15 7 9 2 R 4 (f) ( )( )( )η ，η (0.5,1) 945 8 16 2 2
8 | R 4 (f) | 945 1 15 7 9 8 16 2 2 2
7Βιβλιοθήκη Baidu
7 11 2
11
8 945
2
似曾 相识
( 1)0 2 2!0!
1 0 t(t 1)dt 6
2
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用 的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
4.2 牛顿—柯特斯求积公式 定义：在插值求积公式
b
a
f(x)dx
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
中,当所取节点
n
a x0 x1 xn b 是等距
)， Ak
n
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
P(x)
k 0
生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度， 它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。
复合求积公式
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b
a
1 ab f(x)dx (b a)f(a) 4f( ) f(b) 6 2
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连 续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
i0 i k n
( 1)n k k! (n k)! hn
n
0
n n ( 1)n k (b a) ( (t i))dt nk! (n k)! 0 i 0 i k
ba 注：最后一步用到：h n
引进记号(柯特斯系数)
l (x)f(x
k
k
b
a
lk (x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b
a
lk (x)dx
a i0 i k
b
x xi dx xk xi
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
a i0 i k
b
n
x xi dx xk xi
ba 将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h n
1 15 7 9 5 8 16 2 2 2 2
7 7
7
8 945
1 15 7 9 1 8 945 1 8 1 1 2 2 945 2 8 2 4 8 4 2 2 0.0000026 2097152 524288
1 [4.94975 25.29822 10.39223 180 29.93326 7] 0.43096
8 R 4 (f) 945
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
11
7
15 7 9 2 (6) f (x) ( )( )x 16 2 2
时称为牛顿-柯特斯公式：
n a
a x0 x1 xn b 是等距
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
f(x)dx (b a) C(n) ) k a kh k f(x k ，x
k 0
C(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
k 0 (n) k
n
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定
n 1 2 3 4 5 Ck 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
31 C 7f(1) 32f(1.5) 12f(2) 32f(2.5) 7f(3) 90 1 35 125 62 7 32 12 9 32 7 9 45 8 8 3
知其误差为 R ( f) 0
62 该定积分的准确值 I ，此例说明，对于同一 3 个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜
a=x0 x1 x2 求积节点为：
xi
xk
xn=b
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk xi (k i)h
可以推出：
… (x x )(x x ) … (xk xn ) (xk x0 ) k k 1 k k 1
(kh)(k 1)h (1h)(1h) (k n)h
2
积分的准确值为
1
0. 5
2 x dx x 3
3 2
|
1 0. 5
0.43096441
可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 精度
柯特斯公式
辛卜生公式
0.43096
梯形公式
0.426777
0.43093
例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分
3 2 (x 2x 7x 5)dx 3
(3) 用柯特斯公式计算(n=4, 4等份，5个节点)，系数为
7 32 12 32 7 , , , , 90 90 90 90 90
0.5
0.625 0.75 0.875
1
1
0.5
xdx 0.5 32 0.625 12 0.75
1 0.5 [7 90 32
0.875 7 1 ]
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
C1
( 1)0 1 1!0!
1 0 tdt 2
1
似曾 相识
当n=2时，由
C
(n) k
( 1)n k nk! (n k)!
( (t
0 i0 i k
n
n
i))dt
( 1)2 2 1 C0 (t 1)(t 2)dt 0 2 0!2! 6 C1 C2 ( 1)1 2 1!1! 2 0 t(t 2)dt 3
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算 法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
1 R 2 (f) 90
b 2
a (4) (b a)5 (4) f (η ) 2880 f (η ) η ( a,b)
5
定理证明从略。
当b-a>2时，误差较大； b-a<2时，误差较小
(3) 柯特斯公式（是插值型求积公式）
当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
k=0,…,n
n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特 斯公式. Home
牛顿-柯特斯求积公式例题
例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式
计算定积分
1
0.5
xdx 的近似值 .
0.5 1
(1) 用梯形公式计算
C(n) k
则
n n ( 1)n k ( (t i))dt, k 0,1,..., n nk! (n k)! 0 i 0 i k
Ak (b a)C ， k 0,1,..., n
(n) k
代入插值求积公式(4.1)有
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k )
k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
定义：在插值求积公式
b
b
a
f(x)dx
中,当所取节点
1
0.5
1 0.5 xdx [f(0.5) f(1)] 2 0.25 [0.70711 1] 0.426777
(1 0.5)3 | R 1(f) || f (η ) | 12 1 1 1 2 | ( ) | 0.0073656 8 12 4 η η 192
1 0.5
(1 0.5)5 15 1 0.55 15 1 0.52 15 | R 2 (f) | 3 3 2880 16 η η 2880 16 0.5 0.5 2880 16 0.25 15 1 0.0001151 2880 16 0.707
| R 2(f) | 0.0001151
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
k 0
A
n
k
1 (b a) 1 b a
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的
常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
C(n) k
( 1) nk! (n k)!
n k
( (t i))dt
0 i0 i k
n
n
例如，当n=1时
C0
1 1 1 (t 1)dt 1 0!1! 0 2
b
a
1 f(x)dx (b a)f(a) f(b) 2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
(b a) R 1 (f) f (η ) 12
3
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大； b-a<1时，误差较小
的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)
解: 辛卜生公式
1
1
2
3
31 62 S f(1) 4f2 f(3) 6 3
由于f(x)是3阶多项式，所以 f (4) (x) 0
辛卜生公式余项
(b a)5 (4) R(f) f (η ) 0 2880
解:柯特斯公式
k! h (1)
k
n k
(n k)! h
n k
(1)nk k! (n k)! hn
a=x0 x1 x2
xi
xk
xn=b
作变量替换
x a th
a
并注意
b n
xi a ih
得：
Ak
l ( x ) dx k
a
b
i 0 i k
x xi dx x k x i
(2) 用辛卜生公式
0.5
0.75
1
1]
1
0.5
1 0.5 xdx [ 0.5 4 (0.5 1)/2 6 1 [0.70711 4 0.86603 1] 12
0.43093403 0.43093
误差
(1 0.5)5 (4) (1 0.5) 5 15 1 R 2 (f) f (η ) 2880 16 η 3 η 2880
7
8 1 15 7 9 2 R 4 (f) ( )( )( )η ，η (0.5,1) 945 8 16 2 2
8 | R 4 (f) | 945 1 15 7 9 8 16 2 2 2
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7 11 2
11
8 945
2
似曾 相识
( 1)0 2 2!0!
1 0 t(t 1)dt 6
2
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用 的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
4.2 牛顿—柯特斯求积公式 定义：在插值求积公式
b
a
f(x)dx
b
a
P(x)dx Ak f(x k )
k 0
n
中,当所取节点
n
a x0 x1 xn b 是等距
)， Ak
n
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
P(x)
k 0
生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度， 它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。
复合求积公式
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式
b
a
1 ab f(x)dx (b a)f(a) 4f( ) f(b) 6 2
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连 续的四阶导数，则Simpson公式的误差为