第三章刚体的运动(大学物理)

J r dm
2
2 mR sin d
2 0 2 3

2 mR 2 3
例题 9 求：质量为 m 半径为 R 的匀质球体绕 过球心轴的转动惯量 解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合 m 2 3 m 2 dm 4 r dr r dr 3 3 4 R R 3 2 2 R M J dJ r dm 3
2
对刚体（质点系）： F 外i ri F内i ri (mi ri )
J z mi ri 2 令：
i
d M z Jz Jz --刚体定轴转动的微分方程 dt
三、转动惯量 1.刚体对z轴的转动惯量
z
若质量离散分布:
J z mi ri
i 2
yi
xi x ri mi y
i i j i
i
i
M外
dL dt
--刚体的角动量定理
M外z J z β ①微分形式：
②积分形式： M dt L2 L1 J 2ω2 J1ω1
t1

t2
应用转动定律的基本方法和步骤：
dL M外 J dt
1.分析物体受力，确定外力矩； 2.列出转动定律和牛顿定律方程；
2m R 4 2 2 3 r dr mR 5 R 0
3-3 角动量 角动量守恒定律
一、角动量（动量矩） L
·r O
m

p
1.质点m对惯性系中的固 定点O 的角动量为：
L r p r (mv )
大小：L rp sin rmv sin
方向： 决定的平面（右螺旋） r，（ p v）
①对O点：rom T 0
rom mg lsin （mg）
锥摆
O
T l
m
O
合力矩不为零，角动量变化。
v mg
（ mg） 0 ②对O点： rom T rom
rom mg rom T
合力矩为零，角动量大小、方向都不变。
2.刚体定轴转动的角动量定理
若质量连续分布:
J z r dm
2
*转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即:与刚体 的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 反映刚体转动惯性的量度。
z
②平行轴定理：
J Jc md
2
C x
ri mi
d
y
③垂直轴定理：（薄片适用）
Jz Jx J y
例题3 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量（轴与圆环平面垂直并通过圆心）。
M r F m
Or
·
0
M r F
M rF sin r0F
M
F
r0 r sin 称力臂 其中：
F

O
·
r


或： M 2.力偶矩
r F
例题2 物体在力场F (3t 2 4t )i (12t 6) j 中运动， 已知质量m=1kg，t=0时刻质点位于原点，且速度 为0。求:t=2s时该质点所受的对原点的力矩。
3.一般运动可分解为两种刚体的基本运动：
随基点O（可任选）的平动； 绕通过基点O 的瞬时轴的定点转动。
三、定轴转动的刚体特点
1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动； 2.各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆 心即为转心。
3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。

转向

四、角速度矢量
F 解： a (3t 2 4t )i (12t 6) j m
v [(3t 2 4t )i (12t 6) j ]dt (t 3 2t 2 )i (6t 2 6t ) j
0
t
1 4 2 3 r [(t 2t )i (6t 6t ) j ]dt ( t t )i (2t 3 3t 2 ) j 0 4 3
例题10 物体在力场 F (3t 2 4t )i (12t 6) j 中运 动，已知质量m=1kg，t=0时刻质点位于原点，且 速度为0。求:t=2s时该质点对原点的角动量。
F a (3t 2 4t )i (12t 6) j 解： m
v [(3t 2 4t )i (12t 6) j ]dt (t 3 2t 2 )i (6t 2 6t ) j
M (2m1m2 m1 ) g 2 T1 M m1 m2 2
M (2m1m2 m2 ) g 2 T2 M m1 m2 2
例题14 图示物体质量分别为mA 和mB ，圆柱形 滑轮质量为mc ，半径为R，不计桌面和轮轴摩擦 力。求：⑴两物体的加速度和绳的张力； ⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2a
T2 m2 g
M T1 T
m1
1
a
m1 g
对定滑轮
1 rT1 rT2 Mr 2 2 且有 a r
(m1 m2 ) g 可得 M (m1 m2 )r 2
(m1 m2 ) g a M m1 m2 2
z ω , Fi vi dL d Li） 整个刚体 dt d（ ri Δ mi t i
刚体 定轴
dLi 对质点i M i dt
dLi dt i （M i 外 M i内）
i
由于：M外 M i外 ri Fi
M内 Mi内 (ri f ij ) 0
例题11 如图所示的坐标系中，t=0时刻将质量为 m的质点由a处静止释放，让它自由下落，求任 意时刻t，该质点对原点O的力矩及其角动量。
b O a x
y
b O a
解：任意时刻t
x
M r F ( xi yj ) mgj mgxk mgbk
Lrp ( xi yj ) (vx i v y j ) v y xk mgtbk
60 2 1 1 ( k )rad s (2 k )rad s 解： 60
v r 2 k (3i 4 j 5k )m s (8 i 6 j )m s
1 1
3-2 刚体定轴转动的转动定律与转动惯量 一、力矩
1.力对定点O 的力矩
L 2 L 2
m 1 x dx mL2 L 12
2
L 2 J A J c m( ) 2
例题5 质量为m的矩形均匀薄板,长为a宽为b, 求它对通过板的几何中心并与板面垂直的z 轴的 转动惯量。 y
a
z b
x
y
解：薄板位于xOy面内。
x
a z b y
Jx Jy
a 2 a 2
第三章 刚体的定轴转动
3-1 刚体的基本运动 一、刚体 F
t
A B C
t + t 才 感受到力
在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因 而可以瞬时传递力。
即：质元间保持不变，称“不变质点系” 。刚体 是个理想化的模型。
二、刚体的运动形式 1.平动 *刚体上所有质元都 沿平行路径运动,各 个时刻的相对位置都 彼此固定。
1.角速度矢量 的规定： 大小
d dt
ω
v
r
刚体
P r
方向：沿瞬时轴，与转向成 右螺旋关系。 2.线速度与角速度的关系：
× 基点O 瞬时轴
v r
r
例题1 一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动 沿z轴正方向）。设某时刻刚体上一点P的位 （ 置矢量为r 3i 4 j 5k ，则该时刻P点速度。
dr r
R
m 2 R
dm 2 rdr
dJ r dm σ 2πr dr
2 3
J dJ
R
0
1 1 4 σ 2πr dr σπR mR 2 2 2
3
例题7 求:内半径为R1 外半径为R2 质量为m的匀 质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量
o
m dm 2 rdr 2 2 ( R2 R1 )
t 3 2 2
4 M r F [( )i 4 j ] [4i 18 j ] 40k 3
以上物理量的单位皆为相应的国际单位。
z

r
mi
二、转动定律
对质元i
vi
dvi F外i F内i mi dt F 外i F内i mi a mi ri
mA
mC
mB
N
mA mA g
T1
T1
FC
解：分别对物体和滑轮进 行受力分析，如图
物体A
mc g
T2
T2
mB mB g
T1 mAa
物体 B
mB g T2 mB a
对定滑轮C
1 RT2 RT1 MR 2 2
又 a R
可得 a
T1
mB 1 mA mB mC 2
v y mg
2.刚体对固定转动的角动量：

对质元i
Li ri pi ri (mi vi )
o
转动平面
r
·
p
对刚体（质点系）
L Li ri (mi vi )
i i
L mi ri2 ( mi ri 2 )
i i
J z
二、角动量定理 1.单个质点的角动量定理:
O
R dm
解： J R 2 dm R 2 dm mR 2
例题4 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。
A L A L/2 C L/2 B x B x
m 解：取如图坐标 dm dx L L 1 2 2 m JA x dx mL 0 L 3
JC
0
t
1 4 2 3 r [(t 2t )i (6t 6t ) j ]dt ( t t )i (2t 3 3t 2 ) j 0 4 3
t 3 2 2
4 L r p [( )i 4 j ] 12 j 16k 3
以上物理量的单位皆为相应的国际单位。
3.列出线量和角量之间的关系式；
4.求解联立方程。
例题13 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M 的定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的 物体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴 的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮 转动的角加速度和绳的张力。
M
m2
m1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

T2
a
m2
解：分别对物体和滑轮进行 受力分析，如图 对 m1 对 m2
A B A
B
C
C
A
B
C
*可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。
*平动是刚体的基本运动形式之一。
2.转动
*转动也是刚体的基本运动形 式之一，可分为定轴转动和 定点转动。
①定轴转动：运动中各质元均 做圆周运动，且各圆心都在同 一条固定的直线（转轴）上。
②定点转动：运动中刚体上只 有一点固定不动，整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，其角动量可以随不同的 固定点而改变。 L0 lmv 锥摆 O L0 rom mv 方向变化
l m
v
O
Lo ' ro ' m mv
Lo ' lmv sin 方向竖直向上,不变
o
R2
R1
m 2 J r 2 rdr 2 2 ( R2 R1 ) R1
R2
r
1 m( R22 R12 ) 2
例题8 求：质量为 m半径为R的匀质薄球壳绕过 中心轴的转动惯量
解:在球面取一圆环带，半径 r R sin m dm 2 rRd 2 4 R
R sin d
m 1 2 y bdy ma ab 12
2
b 2 b 2
m 1 x adx mb2 ab 12
2
a
x
由垂直轴定理可得
1 J z J x J y m( a 2 b 2 ) 12
b
例题6 求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯 量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
R
解：取半径为r宽为dr的薄圆环； 圆盘的质量面密度为
Lrp
两边对时间求导：
dr dp dL d (r p) p r r F dt dt dt dt
①微分形式：
dL M dt
或：dL Mdt
②积分形式：

t2 t1
t2
t1
M dt L2 L1
其中： Mdt 称冲量矩 —力矩对时间的积累作用
例题12 锥摆的角动量