(完整版)勾股定理知识点梳理

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勾股定理知识点总结大全

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

(完整版)勾股定理笔记要点

勾股定理基础知识汇总一、已经学过的有关直角三角形中的边角关系BA1．两锐角之间的关系：90oA B ∠+∠=2.边与高的关系： ab ch =3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即222a b c +=三、勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

四、勾股数组1.如果三个正整数,,a b c 满足关系222a b c +=，那么,,a b c 叫做勾股数。

2.勾股数的性质如果,,a b c 是勾股数，k 为正整数，那么,,ka kb kc 也是勾股数思考：勾股数的定义中有何限制？3.常用勾股数：3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；4.勾股数的几种表达方式22(1).21,22,221n n n n n ++++（毕达哥拉斯）22(2)1,2,1n n n -+（柏拉图） 2222(3),2,m n mn m n -+（丢番图）请探究上述三个表达式，思考下列问题（1）你能从勾股数3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？（2）柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？五、勾股定理应用（1）学习过勾股定理之后三角形的特殊关系①如果30oA ∠=，那么::2a b c =②如果45o A ∠=，那么::a b c = ③如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a+ b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形④如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a 1，b 1，1h的长为边的三条线段能组成直角三角形（2）藤绕树问题的解法我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是尺．（3）长方体盒子对角线的长度公式H G F EDCBA（4）蚂蚁最短路径问题公式AD EFGHab cADEFGHbcABCDEFG Hab cc baH GF E DC B A六、典型例题例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若正方形EFGH 的边长为2，则S 1+S 2+S 3= ．【答案】122.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线．试证明90ACE ∠=；（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．4.「问题情境」勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．「定理表述」请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）「尝试证明」以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a b 、为底，以a b +为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分）「知识拓展」利用图2中的直角梯形，我们可以证明2a bc+< BC a b =+，AD = ．又在直角梯形ABCD 中有BC AD（填大小关系），即．2a bc+∴<．（3分）（图1）（图2）A BC Dcb aa ab b ccE a b b a 图1 abc c A E D C B b a图25.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC 为___________三角形．(4分)(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分) (3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分) 7.阅读材料：例：()22134x x+-+并求它的最小值．解：()()()222 222 1340132x x x x+-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点()0P x，是x轴上一点，()2201x-+P与点()01A，的距离，()2232x-+可以看成点P与点()32B，的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB+的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA PA=′，因此，求PA PB+的最小值，只需求PA PB+′的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA PB+′的最小值为线段A B′的长度．为此，构造直角三角形A CB′，因为=3=3A C CB'，，所以32A B=′，即原式的最小值为32根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式()()221129x x-+-+的值可以看成平面直角坐标系中点()0P x，与点()11A，、点B___________的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式22491237x x x+-+的最小值为_____________．。

物理勾股定理知识点总结

物理勾股定理知识点总结一、勾股定理的概念勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理广泛应用于物理学中的各个领域，如力学、光学、电磁学等。

它不仅是物理学的基础知识，也是解决实际问题的重要工具。

在直角三角形ABC中，若角C为90度，则有a²+b²=c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。

这是勾股定理的基本表达形式。

二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并给出了一种几何证明。

这种证明方法是通过构造一个正方形，利用三角形的相似性和面积相等来证明。

在直角三角形ABC中，作a和b为直角边的正方形，其边长分别为a和b。

然后再构造一个以c为边长的正方形。

根据相似三角形的性质和面积相等，可以得出a²+b²=c²。

2. 代数证明：勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。

则可以利用勾股定理进行代数运算。

首先，将直角三角形的两直角边分别表示为a 和b，根据毕达哥拉斯定理，得：a²+b²=c²然后，对两边取平方根，得：c=√(a²+b²)因此，可以通过代数方法证明勾股定理的成立。

三、物理学中勾股定理的应用1. 力学：在力学中，勾股定理常常用于解决叠加物体受力的问题。

例如，一个物体受到两个力的作用，可以利用勾股定理计算合成力的大小和方向。

另外，勾股定理也可用于解决斜面上物体滑动的问题。

2. 光学：在光学中，勾股定理常常用于计算光的反射和折射。

例如，当光线入射到一个介质边界上时，可以通过勾股定理计算入射角和折射角之间的关系。

另外，勾股定理也可以用于计算物体在镜子中的像的位置和大小。

3. 电磁学：在电磁学中，勾股定理常常用于计算电场和磁场的合成和分解。

例如，两个电荷之间的相互作用力可以通过勾股定理计算合成力的大小和方向。

勾股定理知识点

勾股定理知识点归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bc c baE D CBA理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

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勾股定理全章知识点总结大全一•基础知识点：1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b2= c2)要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1 )已知直角三角形的两边求第三边(在ABC中，C 90，贝廿 c V a2~b , b 7c2~a2, a 7c2~b2)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3 )利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2 =a2+b2,则厶ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ AB（是以/C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ AB（为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

--WORD 格式--专业资料--可编辑---Bb C5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙, 面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和口^为 S 4 1ab c22ab c 22大正方形面积为S (a b)2a 22ab b 2所以 a 2b 2c 2方法三：S弟形？a b) (a b),S 梯形 2S ADE S ABE 2 ?ab，化间得^证6:勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4 £ab (b a)2 c2，化简可证.baabbaDbA a数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 : 5,12,13 : 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1（n 2,n为正整数）；2n 1,2n2 2n,2 n2 2n 1 （n ^为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m n 为正整数）二、规律方法指导1 •勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cb aHG F EDCBA a bccbaED CBA bacbac cabcab③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理全章知识点总结

勾股定理【知识脉络】【基础知识】Ⅰ. 勾股定理(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方式：若是直角三角形的两直角边别离为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.(2)勾股定理的证明勾股定理的证明方式很多，常见的是拼图的方式用拼图的方式验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积可不能改变;②依照同一种图形的面积不同的表示方式，列出等式，推导出勾股定理.常见方式如下：方式一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方式二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 因此222a b c +=方式三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证(3)勾股定理的适用范围勾股定理揭露了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点。

(4)勾股定理的应用:①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+， c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法一方法二方法三方法二b =，a ；②明白直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定明白得决一些实际问题Ⅱ. 勾股定理的逆定理(1)内容：若是三角形三边长a ，b ，c 知足222a b c +=，那么那个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是不是是直角三角形的一种重要方式，它通过“数转化为形”来确信三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不能够为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 知足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，可是b 为斜边(2)勾股数①能够组成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15；9,40,41；等Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30° D C B A A D B CⅣ. 互逆命题的概念若是一个命题的题设和结论别离是另一个命题的结论和题设，如此的两个命题叫做互逆命题.若是把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.。

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第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点:1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中,90∠=︒，则c，Cb，a）(2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意：（1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。

（定理中a,b，c及222+=只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三a b c角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b,c为三边的三角形是直角三a c b角形,但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中,a ，b ，c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12，15；8,15，17；9，40,41；12,16，20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的.2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目.3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

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勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

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第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

勾股定理全章知识点总结大全

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一．基础知识点： 1：勾股定理
直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中，C 90 ，则 c a2 b2 ，
所以 a2 b2 c2
方法三：
S梯形
1 2
(a
b) (a
b)
，
S梯形
2SADE
SABE
2
1 2
ab
1 2
c2
，化简得证
6：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中，a ，
b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
Hale Waihona Puke ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；
2．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。 A 四边形 ABCD 的面积。例 2：已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 B
求： D
C
练习：在 ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

勾股定理知识点归纳

勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。

这就是勾股定理。

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。

大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。

2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。

通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。

3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。

三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。

2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。

3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。

比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。

（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。

（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。

四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。

五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。

梳理勾股定理知识点总结

梳理勾股定理知识点总结1. 勾股定理的表述勾股定理可以表述为：直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方。

用公式来表示就是：a² + b² = c²。

其中a和b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。

2. 勾股定理的证明勾股定理可以通过几何法和代数法来证明。

几何法的证明是比较直观的，通过构造图形和运用几何学知识来证明；而代数法则是通过数学运算来证明。

无论采用哪种方法，都需要一定的推理和逻辑来证明。

几何法证明使用了平行线、相似三角形、内角和等于180度等几何性质，通过构造图形将直角三角形的三条边与角联系在一起，最终推导出勾股定理。

代数法证明则是通过数学公式和运算来证明，通过代数运算将三角形的边的关系进行运算转化最终得出结论。

3. 勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用，它是数学中一个基本的几何定理，对于理解三角形的性质和关系非常重要。

勾股定理可以用来解决直角三角形中的各种问题，如求三角形的边长、求三角形的面积、判断三角形的类型等等。

在实际生活中，勾股定理也被广泛应用在建筑工程、地理测量、导航系统等领域，如勾股定理可以用来计算建筑物的高度、测量地理距离、制作地图、定位导航等。

4. 勾股定理的推论勾股定理还有一些重要的推论，例如：(1) 如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。

(2) 当三角形的三条边的长度是一个勾股数的倍数时，这个三角形是直角三角形。

(3) 如果一个整数是两个数的平方和，那么这个数可以表示成两个整数的平方和。

(4) 勾股定理可以用来解决勾股数的问题，如寻找勾股数、判断某个数是否为勾股数等。

5. 勾股定理的拓展勾股定理不仅仅局限于直角三角形，它还可以拓展到其他类型的三角形或者其他几何图形中。

例如在锐角三角形或者钝角三角形中，可以通过勾股定理来判断三角形的性质或者进行计算。

此外，勾股定理也可以拓展到立体几何中，如计算棱锥、棱台等的体积和表面积。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是初中数学中一个重要的几何定理。

它是描述直角三角形边长关系的定理，可以用来计算直角三角形的边长和判断是否为直角三角形。

下面将对勾股定理的定义、性质和应用进行总结。

一、定义：勾股定理可以用如下数学表达式进行定义：在一个直角三角形中，直角边（即与直角相邻的两条边）的平方和等于斜边的平方。

具体表达为：a² + b² = c²，其中a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边。

二、性质：1. 勾股定理适用范围广泛，不仅适用于直角三角形，也适用于一些非直角三角形的特殊情况，如钝角三角形。

2. 勾股定理在平面坐标系中也适用，可以用来求两点之间的距离。

3. 勾股定理的逆定理也成立，即若在一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。

三、应用：1. 判断直角三角形：根据勾股定理，当a² + b² = c²成立时，可判定为直角三角形。

2. 计算缺失边长：已知直角三角形的两个边长，可利用勾股定理求解第三边长。

例如，已知a = 3，b = 4，求解c。

根据勾股定理，可得c = √(3² + 4²) = 5。

3. 解决实际问题：勾股定理不仅仅是一种抽象的数学定理，还广泛应用于实际问题的解决。

例如，在建筑设计中，可以利用勾股定理计算房间对角线的长度；在测量领域，可以利用勾股定理测量两点之间的距离等。

总结：勾股定理是直角三角形中的重要数学定理，具有重要的应用价值。

它不仅可以判断直角三角形，还可以计算三角形的边长和解决与距离有关的实际问题。

掌握勾股定理的定义、性质和应用，对于初中数学的学习和实际应用都具有重要意义。

通过以上对勾股定理的知识点总结，相信能够对这一定理有更加深入的理解。

在解决三角形相关问题时，勾股定理将成为你的得力工具。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c=，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b2＝c2）要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c，Cb,a)（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2〈a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a,b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的,如若三a b c角形三边长a，b,c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三a c b角形，但是b为斜边）3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一:，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10;5,12,13；7,24,25；9，12，15；8，15，17；9,40,41；12，16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）;2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ,n 为正整数）二、规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。