高中数学必修五,等差数列题型精讲精练

第七章 数列

第一节 等差数列

题型73、等差数列基本运算

❖ 知识点摘要：

➢ 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ➢ 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ➢ 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

➢ 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．

若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ➢ 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2.

➢ 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ❖ 典型例题精讲精练：

1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10

3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340

5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30

题型74、等差数列判定与证明

❖ 知识点摘要：

➢ 定义法：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．（证明最常用，判定也常用） ➢ 通项公式法：（常用来判定） ➢ 等差中项法：

➢ 前n 项和公式法：（常用来判定） ❖ 典型例题精讲精练：

1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

.

(1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

【答案：】（2）所以a n

＝⎩⎨⎧

1

2

，n ＝1，－

1

2n (n －1)，n ≥2.

2. (2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )B

A ．13

B ．49

C ．35

D ．63

3. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数

列．

题型75、等差数列性质及结论的应用

❖ 知识点摘要：

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和，则：

➢ 等间距抽取：⋯++m k m k k a a a 2，，仍是等差数列，公差为m d (k ，m ∈N *)． ➢ 等长度截取：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . ➢ 算数平均值：若{a n }是等差数列，则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，公差为2d 。 ➢ 若项数为偶数2n ，则：

)()(1212++=+=n n n n a a n a a n S ，n na S =奇，1+=n na S 偶， nd S S =-奇偶，

1

+=n n a a

S S 偶奇。 ➢ 若项数为奇数2n －1，则：

n n a n S )12(12-=-，n na S =奇，n a n S )1(-=偶， n a S S =-偶奇，

1

-=

n n

S S 偶奇。 ➢ 若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 和T n ，则：1

21

2--=m m m m T S b a 。 ❖ 典型例题精讲精练：

1. 已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则)2

22(log 10

212a a

a

⋅⋯⋅⋅＝( )B

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2＋log 25

2. (2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9

T 9

＝( )A

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )B

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

4. 在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )B A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13

5. (2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的前11项和为

( )D

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66