2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年重庆,理1】已知集合{}1,2,3A =,{}2,3B =,则( )(A )A B = (B )A B =∅ (C )A B (D )B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠,且,故选D .(2)【2015年重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =,则6a =( )(A )1- (B )0 (C )1 (D )6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =,故选B . (3)【2015年重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(C ︒)数据的茎叶图如右,则这组数据的中位数是( ) (A )19(B )20 (C )21.5 (D )23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32. 中位数是20+20202=,故选B .(4)【2015年重庆,理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-,故选B .(5)【2015年重庆,理5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A )13π+ (B )23π+ (C )123π+ (D )223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的,其体积为两部分体积之和:211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭,故选A . (6)【2015年重庆,理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =,且()()32a b a b -⊥+,则a 与b 的夹角为( ) (A )4π (B )2π (C )34π (D )π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=,结合22||||3a b =,可得2||3a b b =,2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=,故选A .(7)【2015年重庆,理7】执行如图所示的程序框图,若输入k 的值为8,则判断框图可填入的条件是( )(A )34s ≤ (B )56s ≤ (C )1112s ≤ (D )1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是,是,114+24k s ⇒==,是,1116++246k s ⇒==,是11118+++2468k s ⇒==,否,判断框内应该填11111++=24612s ≤,故选C .(8)【2015年重庆,理8】已知直线l :()10x ay a R +-=∈是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴,过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB =( )(A )2 (B) (C )6 (D)【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=,其圆心坐标为2,1C (),半径2r =.由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线,它过圆心2,1C (),所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知,6AB ==,故选C .(9)【2015年重庆,理9】若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα--=( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗,3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得:3cos()103sin()5παπα-=-,故选C . (10)【2015年重庆,理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点,过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a )(A )()()1,00,1- (B )()(),11,-∞-+∞ (C )()()0,2 (D )((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得:22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=.在Rt ABD ∆中,由射影定理有:22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-.即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-,由题意得:22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<.而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-,故选A .二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)【2015年重庆,理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= . 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=.22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=. (12)【2015年重庆,理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是 (用数字作答).【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=.故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =. (13)【2015年重庆,理13】在ABC ∆中,0120B =,2AB =,P ABC -的角平分线3AD =,则AC = . 【答案】6【解析】由正弦定理可得:2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠, 30C ∴∠=,再由正弦定理可得:6sin sin AC ABAC B C=⇒=.考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. (14)【2015年重庆,理14】如图,圆O 的弦,AB CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若6PA =,9AE =,3PC =,:2:1CE ED =,则BE = . 【答案】2【解析】由切割线定理可得:21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==.再由相交弦定理可得:2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=.(15)【2015年重庆,理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<.则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+.222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=.由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及. 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π(). (16)【2015年重庆,理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5,则实数a = __.【答案】4或-6【解析】分情况讨论:(1)当1a ≤-时,利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知:()f x 在a 处取得最小值5,所以|1|56a a +=⇒=-;(2)当1a >时,利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知:()f x 在a 处取得最小值5,|1|54a a +=⇒=,综上,可得实数a =6-或4.三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (17)【2015年重庆,理17】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同, 从中任意选取3个.(Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率;(Ⅱ)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解:(Ⅰ)令A 表示事件“三种粽子各取到一个”,则()11123531014C C C P A C ==. (Ⅱ)X 所有可能取值为0,1,2,且()383107015C P X C ===,()12283107115C C P X C ===, ()21283101215C C P X C ===.故分布列见表:且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=(个). (18)【2015年重庆,理18】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.解:(Ⅰ)由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭,故()f x 的最小正周期 T π=,最大值为23-. (Ⅱ)由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤,从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时,()f x 单调递增;当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时,()f x 单调递减.因此,()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.(19)【2015年重庆,理19】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)如图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面ABC ,3PC =,2ACB π∠=,,D E 分别为线段,AB BC 上的点,且2CD DE ==,22CE EB ==.(Ⅰ)证明:DE ⊥平面PCD ;(Ⅱ)求二面角A PD C --的余弦值.解:(Ⅰ)因PC ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,故PC DE ⊥.又2CD DE ==,2CE =,故CDE ∆为等腰直角三角形,且CD DE ⊥.因PC CD C =,PC ⊂平面PCD ,CD ⊂平面PCD , 所以DE ⊥平面PCD .(Ⅱ)如图,取CE 的中点F ,连DF .由(Ⅰ)知CDE ∆为等腰直角三角形,故DF CE ⊥,1DF CF FE ===.又2ACB π∠=,故//DF AC ,因此23DF FB AC CB ==,从而32AC =.以C 为原点,,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ,3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,2,0E ,()1,1,0D ,()0,0,3P ,故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()1,1,3DP =--,()1,1,0DE =-.设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量,则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩,取11y =得()12,1,1n =.由(Ⅰ)知DE ⊥平面PCD ,故DE 即为平面PCD 的法向量.因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅,故所求二面角A PD C --的余弦值为3. (20)【2015年重庆,理20】(本小题满分12分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问5分)设函数()()23xx axf x a R e +=∈.(Ⅰ)若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(Ⅱ)若()f x 在[)3,+∞上为减函数,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==,因()f x 在0x =处取得极值,故()00f '=,得0a =.因此()23x f x x e -=,()()263x f x x x e -'=-.从而()31f e =,()31f e'=,所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=.z yxF PEDC BA(Ⅱ)由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立,故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立.显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减,故()()max 932g x g ==-,所以92a ≥-,即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (21)【2015年重庆,理21】(本题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点,且 1PQ PF ⊥. (Ⅰ)若1||22PF =+,2||22PF =-,求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若1||||PF PQ =,求椭圆的离心率e .解:(Ⅰ)由题122||||4a PF PF =+=,故2a =.又222124||||12c PF PF =+=,故23c =,因此2221b a c =-=,从而椭圆方程为2214x y +=.(Ⅱ)连1F Q ,由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+,故()1||222F P a =-,从而21||2||F P a F P =-()221a =-,因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-,所以()2296263e =-=-,得63e =-.(22)【2015年重庆,理22】(本题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)在数列{}n a 中,13a =,()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈.(Ⅰ)若0λ=,2μ=-,求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若()0001,2k N k k λ+=∈≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++. 解:(Ⅰ)由0λ=,2μ=-得212n n n a a a +=.因130a =>,故0n a >,得12n n a a +=.因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列,从而132n n a -=⋅.(Ⅱ)由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因130a =>,故1230n a a a =>>>>>.因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭, 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑,因此001212k k a a a a +>>>>>,从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑. 综上可知010011223121k a k k ++<<+++.。

2015年高考理科数学(新课标全国卷1)(含解析)

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数学试卷 第1页(共21页)数学试卷 第2页(共21页)数学试卷 第3页(共21页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学(理科)使用地区:河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足1+z1z-=i ,则|z|= ( )A .1BCD .2 2.sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=( )A.BC .12-D .123.设命题:p n ∃∈Ν,22n n >,则⌝p 为( )A .2nn n ∀∈N 2,> B .2nn n ∃∈N 2,≤ C .2n n n ∀∈N 2,≤D .=2n n n ∃∈N 2,4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A .0.648B .0.432C .0.36D .0.3125.已知00()M x y ,是双曲线2212 xC y -=:上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <,则0y 的取值范围是( )A.( B.( C.( D.( 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛 7.设D 为ABC △所在平面内一点,=3BC CD ,则( )A .1433AD AB AC =-+B .1433AD AB AC =-C .4133AD AB AC =+D .4133AD AB AC =-8.函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示,则f x ()的单调递减区间为( )A .13π,π+44k k k -∈Z (),B .132π,2π+44k k k -∈Z (),C .13,+44k k k -∈Z (),D .132,2+44k k k -∈Z (),9.执行如图所示的程序框图,如果输入的0.01t =,则输出 的n =( )A .5B .6C .7D .810.25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为( )A .10B .20C .30D .6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r =( )A .1B .2C .4D .812.设函数()()21x f x e x ax a =--+,其中a<1,若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <,则a 的取值范围是( )A .3[)21,e -B .43[,)23e -C .3[,)234e D .3[,)21e--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共21页)数学试卷 第5页(共21页) 数学试卷 第6页(共21页)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若函数()=(ln f x x x 为偶函数,则a =________.14.一个圆经过椭圆22=1164x y +的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.15.若x ,y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16.在平面四边形ABCD 中,==75=A B C ∠∠∠︒,=2BC ,则AB 的取值范围是________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >,2n n n +2=4+3a a S .(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n n n+11=b a a ,求数列{}n b 的前n 项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC . (Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ωω=8i i=1ω∑(Ⅰ)根据散点图判断,y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x ,y 的关系为z=0.2y -x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i )年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii )年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据11()u v ,,22(,)u v ,…,(,)n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线24C y x :=与直线)0(l y kx a a >:=+交于M ,N 两点.(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数31()4f x x ax =++,()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线;(Ⅱ)用min{,}m n 表示m ,n 中的最小值,设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >,讨论()h x 零点的个数.请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是O 的直径,AC 是O 的切线,BC 交O 于点E . (Ⅰ)若D 为AC 的中点,证明:DE 是O 的切线; (Ⅱ)若OA ,求∠ACB 的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C :x =-2,圆2C :(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN △的面积.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -+-(),0a >. (Ⅰ)当=1a 时,求不等式1f x >()的解集;(Ⅱ)若f x ()的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.1sin20cos10cos20sin10sin302+==,故选10<数学试卷第7页(共21页)数学试卷第8页(共21页)数学试卷第9页(共21页)数学试卷 第10页(共21页)数学试卷 第11页(共21页)数学试卷 第12页(共21页)2exy,AB 的取值范围是(62,62)-+.11111111=235572123n b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=AC FG G=,⊥平面AFC⊂平面AEC3数学试卷第13页(共21页)数学试卷第14页(共21页)数学试卷第15页(共21页)数学试卷 第16页(共21页)数学试卷 第17页(共21页)数学试卷 第18页(共21页)60(Ⅰ)连接AE 90, 90,90,∴DE 是圆1AE =,CE BE ,212x -,解得∴60ACB ∠=.90,可得1sin45=2.数学试卷 第19页(共21页) 数学试卷 第20页(共21页) 数学试卷 第21页(共21页)(Ⅱ)化简函数()f x 的解析式,求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积;再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,从而求得a 的取值范围.【考点】含绝对值不等式解法,分段函数,一元二次不等式解法.。

2015年高考理科数学四川卷(含详细答案)

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数学试卷 第1页(共27页)数学试卷 第2页(共27页)数学试卷 第3页(共27页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理科)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<,集合{|13}B x x =<<,则A B = ( )A .{|13}x x -<<B .{|11}x x -<<C .{|12}x x <<D .{|23}x x <<2.设i 是虚数单位,则复数32i i-= ( )A .-iB .-3iC .iD .3i3.执行如图所示的程序框图,输出S 的值为( )A.BC .12- D .124.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 ( )A .πcos(2)2y x =+ B .πsin(2)2y x =+ C .sin 2cos2y x x =+D .sin cos y x x =+5.过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则||AB =( )AB. C .6D.6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A .144个B .120个C .96个D .72个7.设四边形ABCD 为平行四边形,||=6AB ,||=4AD .若点M ,N 满足=3BM MC ,DN =2NC ,则AM NM =( )A .20B .15C .9D .68.设a ,b 都是不等于1的正数,则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件9.如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --(≥,≥)在区间1[,2]2上单调递减,那么mn 的最大值为( )A .16B .18C .25D .81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. 11.在5(21)x -的展开式中,含2x 的项的系数是_________(用数字填写答案). 12.sin15+sin75的值是_________.13.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:℃)满足函数关系y =e kx b +(e 2.718=…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14.如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M 在线段PQ 上,E ,F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,则c o s θ 的最大值为_________.15.已知函数()2x f x =,2()g x x ax =+(其中a ∈R ).对于不相等的实数1x ,2x ,设1212()()f x f x m x x -=-,1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题:(1)对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有0m >;(2)对于任意的a 及任意不相等的实数1x ,2x ,都有0n >; (3)对于任意的a ,存在不相等的实数1x ,2x ,使得m n =;(4)对于任意的a ,存在不相等的实数1x ,2x ,使得m n =-. 其中的真命题有_________(写出所有真命题的序号). 2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共27页)数学试卷 第5页(共27页)数学试卷 第6页(共27页)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记数列1{}n a 的前n 项和为n T ,求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17.(本小题满分12分)某市A ,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队. (Ⅰ)求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率;(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC 的中点为M ,GH 的中点为N .(Ⅰ)请将字母F ,G ,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (Ⅱ)证明:直线MN ∥平面BDH ; (Ⅲ)求二面角A EG M --的余弦值.19.(本小题满分12分)如图A ,B ,C ,D 为平面四边形ABCD 的四个内角.(Ⅰ)证明:1cos tan 2sin A AA-=;(Ⅱ)若180A C +=,6AB =,3BC =,4CD =,5AD =,求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20.(本小题满分13分)如图,椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中是否存在与点P 不同的定点Q ,使得||||||||QA PA QB PB =恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,其中0a >. (Ⅰ)设()g x 是()f x 的导函数,讨论()g x 的单调性;(Ⅱ)证明:存在(0,1)a ∈,使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立,且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页(共27页)数学试卷 第8页(共27页)满足3BM MC =,2DN NC =,∴根据图形可得:33AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,∴NM AM AN =-,∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-,22239216AM AB AB AD AD =++, 22233342AM AN AB AD AB AD =++,||6AB =,||4AD =,∴221312316AM NM AB AD =-=-故选;C【提示】根据图形得出33AM AB BC AB AD =+=+,22AN AD DC AD AB =+=+,数学试卷 第10页(共27页)数学试卷 第11页(共27页) 2()AMNM AM AM AN AM AM AN =-=-,结合向量结合向量的数量积求解即可.2120x y +-≤⎩2180y x +-≤⎩8y <⎩k k数学试卷 第13页(共27页) 数学试卷 第14页(共27页)M 在线段PQ 上,设(0,,2)M y ∴(1,,2)EM y =-,(2,1,0)AF =,55EM AF y =;2445)y ++,设2445)y t +=+,整理得:5,三直线为从而可求出向量EM ,AF 的坐标,由,EM AF 得到的最大值,从而求出的最大值.1212n++=1000>.方法二:以D为坐标原点,轴建立空间坐标系如图:2AD=,则M,则(2,GE=-,(1,0,2)MG=-的法向量为(x,y,z)n= 0n GEn MG⎧=⎪⎨=⎪⎩,即,得(2,2,1)n=在正方体中,DO AEGC⊥平面,则(1,1,0)n DO==是平面2cos,3||||92m nm nm n+==⨯A EG M--的余弦值为数学试卷第16页(共27页)数学试卷第17页(共27页)222cos sinA A=180D=︒-cosAB AD A,cosBC CD C,22cos2cosAB AD A BC CD BC CD C=+-,2222222653432(AB AD BC CD)2(6534)7AD BC CD--+--==+⨯+÷.22107A=,连结AC2222(AB CD)2(6AB BC AD CDBC ADF+--=+⨯61019.2222D22sin sin3210610A B数学试卷第19页(共27页)数学试卷第20页(共27页)数学试卷第22页(共27页)数学试卷第23页(共27页)数学试卷第25页(共27页)数学试卷第26页(共27页)数学试卷第27页(共27页)。

2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .(2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B . (3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D . 以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立; ②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要(6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >,当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006 【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中, 因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE . (1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. (1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1.51.5小时,获利 1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,(2②8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。

2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)

2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学(理科)使用地区:河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足1+z1z-=i ,则|z|=( ) A .1B .2C .3D .2 2.sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=( )A .32-B .32C .12-D .123.设命题:p n ∃∈Ν,22n n >,则⌝p 为( )A .2n n n ∀∈N 2,>B .2n n n ∃∈N 2,≤C .2n n n ∀∈N 2,≤D .=2n n n ∃∈N 2,4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A .0.648B .0.432C .0.36D .0.3125.已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=:上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <,则0y 的取值范围是( )A .33()33-, B .33()66-, C .2222()33-, D .2323()33-, 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛 7.设D 为ABC △所在平面内一点,=3BC CD ,则( )A .1433AD AB AC =-+ B .1433AD AB AC =- C .4133AD AB AC =+ D .4133AD AB AC =-8.函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示,则f x ()的单调递减区间为( )A .13π,π+44k k k -∈Z (),B .132π,2π+44k k k -∈Z (),C .13,+44k k k -∈Z (),D .132,2+44k k k -∈Z (),9.执行如图所示的程序框图,如果输入的0.01t =,则输出 的n =( )A .5B .6C .7D .810.25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为( )A .10B .20C .30D .6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r =( )A .1B .2C .4D .812.设函数()()21x f x e x ax a =--+,其中a<1,若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <,则a 的取值范围是( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A .3[)21,e-B .43[,)23e -C .3[,)234e D .3[,)21e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若函数2()=()ln f x x a x x ++为偶函数,则a =________. 14.一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.15.若x ,y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16.在平面四边形ABCD 中,==75=A B C ∠∠∠︒,=2BC ,则AB 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >,2n n n +2=4+3a a S .(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n n n+11=b a a ,求数列{}n b 的前n 项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC . (Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ,ω=188i i=1ω∑(Ⅰ)根据散点图判断,y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x ,y 的关系为z=0.2y -x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i )年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii )年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据11()u v ,,22(,)u v ,…,(,)n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线24C y x :=与直线)0(l y kx a a >:=+交于M ,N 两点.(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数31()4f x x ax =++,()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线;(Ⅱ)用min{,}m n 表示m ,n 中的最小值,设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >,讨论()h x 零点的个数.请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是O 的直径,AC 是O 的切线,BC 交O 于点E . (Ⅰ)若D 为AC 的中点,证明:DE 是O 的切线; (Ⅱ)若OA =3CE ,求∠ACB 的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C :x =-2,圆2C :(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN △的面积.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -+-(),0a >. (Ⅰ)当=1a 时,求不等式1f x >()的解集;(Ⅱ)若f x ()的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学(理科)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-,得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-,故1z =,故选C . 【提示】先化简复数,再求模即可. 【考点】复数的运算. 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==,故选D . 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可. 【考点】三角函数的运算. 3.【答案】C【解析】命题的否定是:22n n n ∀∈≤N ,.【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【考点】命题. 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得,该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.【考点】概率. 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ,,220012x y -=,所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<,解得0y <<,故选A . 【提示】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定0y 的取值范围. 【考点】双曲线. 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ,则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B . 【考点】圆锥体积.【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可. 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +,然后结合已知表示为AC AC ,的形式.【考点】向量运算. 8.【答案】D【解析】由五点作图知,1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==,所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ,故选D .【提示】由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ,可得()f x 的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得()f x 的减区间. 【考点】三角函数运算. 9.【答案】C【解析】执行第1次,0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=,是,循环,执行第2次, 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=,是,循环,执行第3次,0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=,是,循环,执行第4次,0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=,是,循环,执行第5次,0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=,是,循环,执行第6次,0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=,是,循环,执行第7次,0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=, 7,0.00781250.01n S t ==>=,否,输出7,n =故选C .【提示】由题意依次计算,当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论. 【考点】程序框图. 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中,2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ,其余因式取y ,故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C .【提示】利用展开式的通项进行分析,即可得出结论. 【考点】二项式展开式. 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球和半个圆柱的组合体,圆柱和球的半径都是r ,圆柱的高为2r ,其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+,解得r=2,故选B .【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 【考点】空间几何体的表面积. 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()e (21)xg'x x =+,所以当12x <-时,'()0g x <,当12x >-,()0,g'x >所以当12x =-时,12min [()]2e g x -=-.当0x =时(0)1g =-,(1)e 0g =>,直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ,故(0)1a g ->=-,且1(1)3e g a a --=-≥--,解得312ea ≤<,故选D .【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-,问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方,由导数可得函数的极值,数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--,解关于a 的不等式组可得.【考点】带参函数.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数,所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==,解得 1.a =【提示】由题意可得,()()f x f x -=,代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性.14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ,则半径为4a -,则222(4)2,a a -=+解得32a =±, 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭.【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程. 【考点】圆的标准方程. 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点(1,3)与原点连线的斜率最大,故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定y x的最大值.【考点】线性规划问题.16.【答案】【解析】如下图所示:延长BACD ,交于点E ,则可知在△ADE 中,105DAE ∠=︒,45ADE ∠=︒,30,E ∠=︒∴设12AD x =,2AE x =,4DE x =,CD m =,2BC =,sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<,而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是.【提示】如图所示,延长BACD ,交于点,设12AD x =,2AE x =,4DE x =,CD m =m +=AB 的取值范围. 【考点】平面几何问题. 三.解答题17.【答案】(Ⅰ)21n + (Ⅱ)11646n -+ 【解析】(Ⅰ)当1n =时,211112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3,当2n ≥时,221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ,即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,所以数列{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列,所以n a =21n +; (Ⅱ)由(1)知,1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭,所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+. 【提示】(Ⅰ)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{}n a 的通项公式:(Ⅱ)求出11n n n b a a +=,利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和.【考点】数列前n 项和与第n 项的关系,等差数列定义与通项公式. 18.【答案】(Ⅰ)答案见解析 【解析】(Ⅰ)连接BD ,设,BDAC G =连接EG FG EF ,,,在菱形ABCD 中,不妨设1GB =,由∠ABC=120°,可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ,AB BC =,可知AE EC =, 又∵AE EC ⊥,∴EG EG AC =⊥,在Rt EBG △中,可得BE,故DF =在Rt FDG △中,可得FG =在直角梯形BDEF 中,由2BD =,BE,2DF =,可得2EF =, ∴222EG FG EF +=, ∴EG FG ⊥, ∵ACFG G =,∴EG ⊥平面AFC , ∵EG ⊂平面AEC , ∴平面AFC ⊥平面AEC .(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB 为单位长度,建立空间直角坐标系G xyz -,由(Ⅰ)可得0,A (,(E,2F ⎛- ⎝⎭,C ,∴AE =,1,CF ⎛=- ⎝⎭.故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-,所以直线AE 与CF .【提示】(Ⅰ)连接BD ,设BD AC G =,连接EG EF FG ,,,运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ,再由面面垂直的判定定理,即可得到.(Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以GB GC ,为x 轴,y 轴,GB 为单位长度,建立空间直角坐标系G xyz -,求得AE F C ,,,的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.【考点】空间垂直判定与性质,异面直线所成角的计算.19.【答案】(Ⅰ)答案见解析 (Ⅱ)答案见解析 (Ⅲ)(i )66.32 (ii )46.24【解析】(Ⅰ)由散点图可以判断,y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程,由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ,y ∴关于x 的回归方程为y (Ⅲ)(i )由(Ⅱ)知,当49x =时,年销量y的预报值576.6y =, 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-(ii )根据(Ⅱ)的结果知,年利润z 的预报值20.12z x =x +--,∴13.66.8,2=即46.24x =,z 取得最大值,故宣传费用为46.24千元时,年利润的预保值最大.【提示】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出.(Ⅱ)先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程,根据公式求出w ,问题得以解决.(Ⅲ)(Ⅰ)年宣传费49x =时,代入到回归方程,计算即可. (ii )求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.【考点】线性回归方程求法,利用回归方程进行预报预测. 20.【答案】0y a --=0y a ++=(Ⅱ)答案见解析【解析】(Ⅰ)由题设可得)Ma ,()N a -,或()M a-,)N a .∵12yx '=,故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=,故24x y =在x =-处的导数值为,C 在()a -处的切线方程为y a x -=+,0y a ++=0y a --=0y a ++=. (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设(0,)P b 为符合题意得点,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线PM PN ,的斜率分别为12k k ,.将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+. 当b a =-时,有12k k + =0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故OPM OPN ∠=∠,所以(0,)P a -符合题意.【提示】(Ⅰ)求出C在)a 处的切线方程,故24x y =在x =-即可求出方程.(Ⅱ)存在符合条件的点(0,)P b ,11(,)M x y,22(,)N x y ,直线PM PN ,的斜率分别为12k k ,直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=,利用根与系数的关系,斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明. 【考点】抛物线的切线,直线与抛物线位置关系. 21.【答案】(Ⅰ)34a =- (Ⅱ)答案见解析【解析】(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=,即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得013,24x a ==-,因此,当34a =-时,x 轴是曲线()y f x =的切线. (Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<, ∴()h x 在(1,)+∞无零点. 当1x =时,若54a ≥-,则5(1)04f a =+≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故1x =是()h x 的零点;若54a <-,则5(1)04f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥,则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点,故()f x 在(0,1)单调,而1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<,则()f x在⎛ ⎝单调递减,在⎫⎪⎪⎭单调递增,故当x =()f x取的最小值,最小值为14f =.①若0f >,即304x -<<,()f x 在(0,1)无零点.②若0f =,即34a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;③若0f <,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当5344a -<<-时, ()f x 在(0,1)有两个零点;当534a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.综上,当34a >-或54a <-时,()h x 有一个零点;当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点;当5344a -<<-时,()h x 有三个零点.【提示】(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=解出即可. (Ⅱ)对x 分类讨论:当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,即可得出零点的个数.当1x =时,对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出.【考点】利用导数研究曲线的切线,分段函数的零点. 22.【答案】(Ⅰ)答案见解析 (Ⅱ)60ACB ∠=【解析】(Ⅰ)连接AE ,由已知得,AE BC AC AB ⊥⊥,,在Rt AEC △中,由已知得DE DC =,∴DEC DCE ∠=∠,连接OE ,OBE OEB ∠=∠, ∵90ACB ABC ∠+∠=, ∴90DEC OEB ∠+∠=,∴90OED ∠=,∴DE 是圆O 的切线.(Ⅱ)设1CE AE x ==,,由已知得AB =,BE =,由射影定理可得,2AE CE BE =,∴2x =x = ∴60ACB ∠=.【提示】(Ⅰ)连接AE 和OE ,由三角形和圆的知识易得90OED ∠=,可得DE 是O 的切线.(Ⅱ)设1CE AE x ==,,由射影定理可得关于x的方程2x =,解方程可得x 值,可得所求角度.【考点】圆的切线判定与性质,圆周角定理,直角三角形射影定理. 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==, ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(Ⅱ)将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=,解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-,因为2C 的半径为1,则2C MN △的面积111sin 45=22⨯.【提示】(Ⅰ)由条件根据cos sin x y ρθρθ==,求得12C C ,的极坐标方程.(Ⅱ)把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,求得12ρρ,的值,从而求出2C MN △的面积.【考点】直角坐标方程与极坐标互化,直线与圆的位置关系.24.【答案】(Ⅰ)22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(Ⅱ)(2)+∞,【解析】(Ⅰ)当1a =时,不等式()1f x >化为1211x x +-->,等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩,解得223x <<,∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(Ⅱ)由题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩,所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭,(21,0)B a +,(,+1)C a a ,所以ABC △的面积为22(1)3a +, 由题设得22(1)63a +>,解得2a >,所以a 的取值范围为(2)+∞,. 【提示】(Ⅰ)当1a =时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数()f x 的解析式,求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积;再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,从而求得a 的取值范围.【考点】含绝对值不等式解法,分段函数,一元二次不等式解法.。

2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)

2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)

数学试卷 第1页(共42页)数学试卷 第2页(共42页)数学试卷 第3页(共42页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2430{|}A x x x =-+<,24{|}B x x =<<,则AB = ( )A .1,3()B .1,4()C .2,3()D .2,4()2.若复数z 满足z1i-=i ,其中i 为虚数单位,则z=( )A .1i -B .1i +C .1i --D .1i -+3.要得到函数πsin(4)3y x =-的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( )A .向左平移π12个单位B .向右平移π12个单位C .向左平移π3个单位D .向右平移π3个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=︒,则BD CD =( )A .232a -B .234a -C .234aD .232a5.不等式|||52|1x x ---<的解集是 ( )A .(,4)-∞B .(,1)-∞C .(1,4)D .(1,5)6.已知x ,y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4,则a =( )A .3B .2C .2-D .3-7.在梯形ABCD 中,π2ABC ∠=,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A .2π3B .4π3C .5π3D .2π8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,23),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=,(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%9.一条光线从点(2-,3-)射出,经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A .53-或35-B .32-或23-C .54-或45-D .43-或34-10.设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩<≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是( )A .2[,1]3B .[0,1]C .2[,)3+∞D .[1,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.观察下列各式:001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4;;;;……照此规律,当n ∈*N 时,012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12.若“∀x ∈[0,4π],tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为_______. 13.执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为_______.14.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b +=_______.15.平面直角坐标系xOy 中,双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=:()的渐近线与抛物线222C x py =:0p >()交于点O ,A ,B .若OAB △的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页(共42页)数学试卷 第5页(共42页) 数学试卷 第6页(共42页)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.(Ⅰ)求f x ()的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC △中,角A ,B ,C ,的对边分别为a ,b ,c .若2f A()=0,a =1,求ABC △面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD ∥平面FGH ;(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF =DE ,∠BAC =45︒,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.18.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得1-分;若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,左、右焦点分别是1F ,2F ,以点1F 为圆心,以3为半径的圆与以点2F 为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆2222144 x y E a b +=:,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP 的值;(ii )求ABQ △面积的最大值.21.(本小题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a ∈R . (Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若0x ∀>,()0f x ≥成立,求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页(共42页) 数学试卷 第11页(共42页)数学试卷 第12页(共42页)最大值24a =,2a =,满足1a >,答案选B .5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.利用OAB的垂心为数学试卷第16页(共42页)数学试卷第17页(共42页)数学试卷第18页(共42页)∥平面.故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页(共42页) 数学试卷 第23页(共42页)数学试卷 第24页(共42页)21+1+29 / 14数学试卷第28页(共42页)数学试卷第29页(共42页)数学试卷第30页(共42页)11 / 14数学试卷第34页(共42页)数学试卷第35页(共42页)数学试卷第36页(共42页)13 / 14数学试卷第40页(共42页)数学试卷第41页(共42页)数学试卷第42页(共42页)。

2015年全国高考天津理科数学试题及答案

2015年全国高考天津理科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项:·1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分 参考公式:如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立, P(A ∪B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A) P(B). 柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.第Ⅰ卷注意事项:本卷共8小题,每小题5分,共40分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合{}2,3,5,6A = ,集合{}1,3,4,6,7B = ,则集合 A ∩C u B=(A ){}2,5 (B ){}3,6 (C ){}2,5,6 (D ){}2,3,5,6,8(2)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为(A )3(B )4(C )18(D )40(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为(A )10-(B )6(C )14(D )18(4)设x R ∈ ,则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)如图,在圆O 中,,M N 是弦AB 的三等分点,弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ,则线段NE 的长为(A )83(B )3 (C )103(D )52(6)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ,且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上,则双曲线的方程为(A )2212128x y -= (B )2212821x y -= (C )22134x y -= (D )22143x y -= (7)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为(A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a <<(8)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈ ,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是(A )7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(D )7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷注意事项:1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题,共计110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)i 是虚数单位,若复数()()12i a i -+ 是纯虚数,则实数a 的值为 . (10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .(11)曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .(12)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中,2x 的系数为 .(13)在ABC ∆ 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为 ,12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .(14)在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==,则A E A F 的最小值为 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭,R x ∈ (I)求()f x 最小正周期;(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. (本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率;(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分13分) 如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==,AD CD ==且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证: MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值;(III)设E 为棱11A B 上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13,求线段1E A 的长18. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数,且q 1,,且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式; (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈,求数列n {b }的前n 项和.19. (本小题满分14分)已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c (,0),离心率为3,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c,.(I)求直线FM 的斜率; (II)求椭圆的方程;(III)设动点P 在椭圆上,若直线FPOP (O 为原点)的斜率的取值范围.20. (本小题满分14分)已知函数()n ,nf x x x x R =-∈,其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性;(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤;(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ,,求证: 21|-|21ax x n<+-.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2015年山东,理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<,则A B =( )(A)()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,4 (2)【2015年山东,理2】若复数z 满足i 1iz=-,其中i 是虚数单位,则z =( ) (A )1i - (B )1i + (C)1i -- (D )1i -+(3)【2015年山东,理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象,只需将函数sin 4y x =的图像( )(A )向左平移12π个单位(B )向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位(D )向右平移3π个单位 (4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=,则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) (A )232a - (B)234a - (C)234a (D )232a(5)【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是( )(A )(,4)-∞ (B )(,1)-∞ (C)(1,4) (D )(1,5)(6)【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =( )(A )3 (B )2 (C )-2 (D )—3 (7)【2015年山东,理7】在梯形ABCD 中,2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(A)23π (B )43π (C )53π (D )2π(8)【2015年山东,理8】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布2(0,3)N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)(A)4.56% (B )13.59% (C )27.18% (D )31.74%(9)【2015年山东,理9】一条光线从点(2,3)--射出,经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为( )(A)53-或35- (B )32-或23- (C )54-或45- (D)43-或34-(10)【2015年山东,理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是( )(A )2[,1]3 (B )[0,1] (C )2[,)3+∞ (D )[1,)+∞第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 (11)【2015年山东,理11】观察下列各式:0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律,当*n ∈N 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++= .(12)【2015年山东,理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题,则实数m 的最小值为 .(13)【2015年山东,理13】执行右边的程序框图,输出的T 的值为 .(14)【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += .(15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 .三、解答题:本大题共6题,共75分.(16)【2015年山东,理16】(本小题满分12分)设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅰ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()0,12Af a ==,求ABC ∆面积.(17)【2015年山东,理17】(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;(Ⅰ)若CF ⊥平面ABC ,,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小.(18)【2015年山东,理18】(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233nn S =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅰ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .(19)【2015年山东,理19】(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数"(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得—1分;若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数";(Ⅰ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .(20)【2015年山东,理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)设椭圆2222:144x y E a b+=,P 为椭圆C 上的任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求||||OQ OP 的值;(ii)求ABQ ∆面积最大值.(21)【2015年山东,理21】(本题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈.(Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若0x ∀>,()0f x ≥成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2015年山东,理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<,则A B =( )(A )()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<,(2,3)A B =,故选C .(2)【2015年山东,理2】若复数z 满足i 1iz=-,其中i 是虚数单位,则z =( ) (A)1i - (B )1i + (C)1i -- (D )1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+,1i z =-,故选A .(3)【2015年山东,理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象,只需将函数sin 4y x =的图像( )(A )向左平移12π个单位(B )向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位(D )向右平移3π个单位 【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位,故选B .(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=,则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) (A )232a - (B )234a - (C )234a (D)232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=,2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=,故选D .(5)【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是( )(A )(,4)-∞ (B)(,1)-∞ (C )(1,4) (D )(1,5) 【答案】A【解析】当1x <时,1(5)42x x ---=-<成立;当15x ≤<时,1(5)262x x x ---=-<,解得4x <,则14x ≤<;当5x ≥时,1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <,故选A . (6)【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =( )(A )3 (B)2 (C )-2 (D )-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+,借助图形可知:当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0,不符合题意;当01a ≤-<,即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<≤;当10a -<-≤,即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <≤;当1a -<-,即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==,满足1a >,故选B . (7)【2015年山东,理7】在梯形ABCD 中,2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(A )23π (B)43π (C )53π (D )2π 【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=,故选C .(8)【2015年山东,理8】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布2(0,3)N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)(A )4.56% (B)13.59% (C )27.18% (D )31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=,故选D .(9)【2015年山东,理9】一条光线从点(2,3)--射出,经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为( )(A )53-或35- (B )32-或23- (C )54-或45- (D )43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-,设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=,则22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++,解得43k =-或34-,故选D . (10)【2015年山东,理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是( )(A )2[,1]3 (B )[0,1] (C )2[,)3+∞ (D )[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥,则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩,解得23a ≥,故选C .第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分(11)【2015年山东,理11】观察下列各式:010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律,当*n ∈N 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++= .【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= (12)【2015年山东,理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤"是真命题,则实数m 的最小值为 .【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题,则tan 14m π≥=,于是实数m 的最小值为1.(13)【2015年山东,理13】执行右边的程序框图,输出的T 的值为 .【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰.(14)【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += .【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩,无解;当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩,解得12,2b a =-=,则13222a b +=-=-.(15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 . 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±,则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ,则22222AFpb pa a k pb b a-==,即2254b a =,2222294c a b a a +==,32c e a ==. 三、解答题:本大题共6题,共75分.(16)【2015年山东,理16】(本小题满分12分)设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅰ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()0,12Af a ==,求ABC ∆面积.解:(Ⅰ)由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-,由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈; 由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈,则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈.(Ⅰ)在锐角ABC ∆中,11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1a =,由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-,当且仅当b c =时等号成立,即12323bc ≤=+-,11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+.(17)【2015年山东,理17】(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;(Ⅰ)若CF ⊥平面ABC ,,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小.解:(Ⅰ)证明:连接DG ,DC ,设DC 与GF 交于点T ,在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =,则2AC DF =, 而G 是AC 的中点,DF AC ,则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点,DG FC . 又在BDC ∆,是BC 的中点,则TH DB ,又BD ⊄平面FGH ,TH ⊂平面FGH ,故//BD 平面FGH .(Ⅰ)由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,AB BC ⊥,45BAC ∠=,则GB AC ⊥,于是,,GB GA GC 两两垂直,以点G 为坐标原点,,,GA GB GC 所在的直线,分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====,22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---, 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =,设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =,则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22222202220x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩, 取21x =,则221,2y z ==,2(1,1,2)n =,1211cos ,2112n n <>==++,故平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60.(18)【2015年山东,理18】(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233nn S =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅰ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .解:(Ⅰ)由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=,11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥,而11133a -=≠,则13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩.(Ⅰ)由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩,可得3111log 3113n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++,2234111123213333333n n n n n T ---=++++++,22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n n n n n n nn n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 113211243n n n T -+=-⋅ (19)【2015年山东,理19】(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数"(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅰ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 解:(Ⅰ)125,135,145,235,245,345;(Ⅰ)X 的所有取值为—1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-=====0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=.(20)【2015年山东,理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)设椭圆2222:144x y E a b+=,P 为椭圆C 上的任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP的值;(ii )求ABQ ∆面积最大值.解:(Ⅰ)由椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>可知c e a ==,而222a b c =+则2,a b c ==, 左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F:22()9,xy +=圆2F :22()1,x y += 由两圆相交可得24<<,即12<,交点在椭圆C 上,则224134b b +=⋅,整理得424510b b -+=,解得21b =,214b =(舍去), 故21b =,24a =,椭圆C 的方程为2214x y +=.(Ⅰ)(i )椭圆E 的方程为221164x y +=,设点00(,)P xy ,满足220014x y +=,射线000:(0)y PO y x xx x =<, 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --,于是||2||OQ OP ==. (ii )点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍:d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得224()16xkx m ++=,整理得222(14)84160k x kmx m +++-=.2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->,||AB = 211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+,当且仅当22||82m m k ==+等号成立.而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ,则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解,即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解,其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥,即2214k m +≥,则上述2282m k =+不成立,等号不成立,设(0,1]t =,则S ∆==(0,1]为增函数,于是当2214k m +=时max S ∆=故ABQ ∆面积最大值为12.(21)【2015年山东,理21】(本题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈.(Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若0x ∀>,()0f x ≥成立,求a 的取值范围.解:(Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+∞,21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++,设2()21g x ax ax a =++-, 当0a =时,1()1,()01g x f x x '==>+,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点. 当0a >时,228(1)98a a a a a ∆=--=-, 若809a <≤时0∆≤,()0,()0g x f x '≥≥,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点. 若89a >时0∆>,设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ,且12x x <, 且1212x x +=-,而(1)10g -=>,则12114x x -<<-<,所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调 递增;当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减;当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增.因此此时函数()f x 有两个极值点;当0a <时0∆>,但(1)10g -=>,121x x <-<,所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増;当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减,所以函数只有一个极值点.综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点;当0a <时()f x 有一个极值点;当89a >时,()f x 的有两个 极值点.(Ⅰ)由(Ⅰ)可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增,而(0)0f =, 则当(0,)x ∈+∞时,()0f x >,符合题意; 当819a <≤时,2(0)0,0g x ≥≤,()f x 在(0,)+∞单调递增,而(0)0f =, 则当(0,)x ∈+∞时,()0f x >,符合题意;当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减,而(0)0f =,则当2(0,)x x ∈时,()0f x <,不符合题意;当0a <时,设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++, ()h x 在(0,)+∞单调递增,因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<,于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-,当11x a>-时2(1)0ax a x +-<, 此时()0f x <,不符合题意.综上所述,a 的取值范围是01a ≤≤.另解:(Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+∞ 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++,当0a =时,1()01f x x '=>+,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点. 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-,当0a ≠时,根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数.若(98)0a a ∆=-≤,即809a <≤时,()0g x ≥,()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数,无极值点. 若(98)0a a ∆=->,即89a >或0a <,而当0a <时(1)0g -≥ 此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根,此时函数()f x 只有一个极值点; 当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根,此时函数()f x 有两个极值点; 综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0;当0a <时()f x 的极值点个数为1;当89a >时, ()f x 的极值点个数为2. (Ⅰ)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,0x ∀>,都有()0f x ≥成立,即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时,ln 20≥恒成立;当1x >时,20x x ->,2ln(1)0x a x x++≥-; 当01x <<时,20x x -<,2ln(1)0x a x x++≤-;由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立. 故当1x >时,,2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞,则只需0a ≥; 当01x <<时,2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---,则需10a -+≤,即1a ≤.综上可知对于0x ∀>,都有 ()0f x ≥成立,只需01a ≤≤即可,故所求a 的取值范围是01a ≤≤.另解:(Ⅰ)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,(0)0f =,要使0x ∀>,都有()0f x ≥成立,只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可,于是只需0x ∀>,1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立, 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-,令210x t -=>,2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+, 则0a ≥;当12x =时12()023f '=>;当102x <<,1(1)(21)a x x ≤-+-, 令21(1,0)x t -=∈-,2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增, 则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+,则1a ≤,于是01a ≤≤. 又当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减,而(0)0f =,则当2(0,)x x ∈时,()0f x <,不符合题意;当0a <时,设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++, ()h x 在(0,)+∞单调递增,因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<,于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-,当11x a>-时2(1)0ax a x +-<,此时()0f x <,不符合题意. 综上所述,a 的取值范围是01a ≤≤.【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可确定所求.。

2015年高考理科数学全国卷(新课标II卷)含答案

2015年高考理科数学全国卷(新课标II卷)含答案

1 2
3 . 2
y
B D
1 2 3 4
O
–1 –2 –3 –4
x
C
15. (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a __________.
4
【答案】 3 【解析】 试题分析:由已知得 (1 x) 1 4 x 6 x 4 x x ,故 (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项分别
x A O B
【答案】B 【解析】
考点:函数的图象和性质. 11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离 心率为( ) A. 5 【答案】D 【解析】 B. 2 C. 3 D. 2
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) ,如图所示, AB BM ,ABM 1200 ,过点 M 2 a b 作 MN x 轴,垂足为 N ,在 RtBMN 中, BN a , MN 3a ,故点 M 的坐标为 M (2a, 3a ) ,
4 2 3 4
4
为 4ax , 4ax3 , x , 6 x 3 , x 5 ,其系数之和为 4a 4a 1+6+1=32 ,解得 a 3 . 考点:二项式定理. 16.设 S n 是数列 an 的前 n 项和,且 a1 1 , an1 Sn Sn1 ,则 Sn ________. 【答案】 【解析】 试题分析:由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ,两边同时除以 Sn 1 Sn ,得 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列,则
1 1 2 1 R R R3 36 , 故 R 6 , 则 球 O 的 表 面 积 为 3 2 6

2015年全国高考数学试卷理科含答案

2015年全国高考数学试卷理科含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设复数Z 满足=则=-Z ZZ,i 11+ (A)1 (B ) (C) (D )2 (2)=-010sin 160cos 10cos 20sin (A )23-(B )23 (C )21- (D ) 21 (3)设命题为则P n N n P n⌝>∈∃,2,:2(A )n n N n 2,2>∈∀ (B )n n N n 2,2≤∈∃ (C )n n N n 2,2≤∈∀ (D )nn N n 2,2=∈∃ (4)投篮测试中,每人投3次,至少2次命中才能通过测试,已知某同学每次投篮命中的概率为0.6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为(A)0。

648 (B)0。

432 (C)0。

36 (D)0.312(5)已知),(00y x M 是双曲线C :1222=-y x 上的一点,的是双曲线C F F 21,两个焦点,若021<⋅MF MF ,则的取值范围是 (A ))33,33(-(B ))63,63(- (C))322,322(- (D ))332,332(- (6)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?",其意为:“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的的体积和米堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出米堆的米约为(A )14斛 (B)22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为所在平面内一点ABC ∆,CD BC 3=,则(A )AC AB AD 3431+-= (B )AC AB AD 3431-= (C )AC AB AD 3134+= (D)AC AB AD 3134-=(8)函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示,则)(x f 的单调减区间为(A )Z k k k ∈+-,43,41)(ππ (B )Z k k k ∈+-,432,412)(ππ(C )Z k k k ∈+-,43,41)((D)Z k k k ∈+-,432,412)((9)执行右边的程序框图,如果输入的t=0。

2015年高考理科数学试题(江西卷)

2015年高考理科数学试题(江西卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科数学)第1卷一、 选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 若复z=(x-1)-(x-1)i 为纯虚数,则实数x 的值为A.-1B.0C.1D.-1或12.函数y =的定义域为A .(-4,-1) B. (-4 , 1) C. (-1, 1) D. (-1, 1]3. 已知全集U=A B 中有m 个元素,(U C A )(U C B )中有n 个元素。

若A B 非空,则A B 的元素个数为A .mn B. m+n C. n-m D. m-n4.若函数()f x =(1+)cos, 0≤x <2π,则()f x 的最大值为A .1 B. 2 C. D.+2 5. 设函数()f x = ()g x + 2x ,曲线y=()g x 在点(1,(1)g )处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处切线的斜率为A .4 B. - 14 C. 2 D. - 126.过椭圆2222x y a b+=1(a >b >0)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若∠1F P 2F =060,则椭圆的离心率为A .2 B. 3 C. 12 D. 137 (1+a+b )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243,不含y 的项的系数绝对值的和为为32,则a ,b ,n 的只可能为A a=2 b=-1 n=5B a=-2 b=-1 n=6C a=-1 b=2 n=6D a=1 b=2 n=58 数列{ n a } 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则为 A 470 B 490 C 495 D 5109 如图,正四面体ABCD 的顶点111A B C 分别在两两垂直的 三条射线,x y O O ,z O 上,则在下列命题中,错误的为 A O ABC -正三棱柱B 直线//OB 平面ACDC 直线AD 与OB 所成的角是045D 二面角D OB A --为04510为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机状如一张卡片,集齐3种卡片可兑换,先购买该食品5袋,能获奖的概率为A 3181B 381C 4881D 508111一个平面封面区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周律”下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右一次记为1234,,,,r r r r 则下列关系正确的为A .1r >4r >3r B. 3r >1r >2r C. 4r >2r >3r D. 4r >3r > 1r12.设函数()f x 2ax bx c ++(a <0)的定义域为D ,若所有点(s,f(t)),(s,t ∈D)构成一个正方形区域,则a 的则值为A .-2 B. -4 C. -8 D. 不能确定第II 卷填空题,本大题4小题,每小题4分,共16分,请把答案填在答题卡上。

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.(2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.(3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件.故选A .(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.(9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD BC ︒==,所以1006CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.)(15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.(16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB =.【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t 得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.(19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=.所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑, 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+, 解得2λ=. 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,2DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ②将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。

2015年高考理科数学全国卷2及答案

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数学试卷 第1页(共21页)数学试卷 第2页(共21页)数学试卷 第3页(共21页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学(理科)使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则AB =( )A .{1,0}A =-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{0,1,2} 2.若a 为实数,且(2i)(2i)4i a a +-=-,则a =( )A .1-B .0C .1D .23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{}n a 满足13a =,135a a a ++=21,则357a a a ++=( )A .21B .42C .63D .845.设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩<≥则2(2)(log 12)f f -+=( )A .3B .6C .9D .126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B .17C .16D .157.过三点(1,3)A ,(4,2)B ,(1,7)C -的圆交y 轴于M ,N 两点,则||MN =( )A .26B .8C .46D .108.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a =( )A .0B .2C .4D .149.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°, C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π10.如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图象大致为( )ABCD11.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A .5B .2C .3D .2 12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围( )A .(,1)(0,1)-∞-B .(1,0)(1,)-+∞C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共21页)数学试卷 第5页(共21页)数学试卷 第6页(共21页)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=________.14.若x ,y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =________. 16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD △面积是ADC △面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC∠∠;(Ⅱ)若1AD =,22DC =,求BD 和AC 的长. 18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11D C 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>:,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数2()mx f x e x mx =+-.(Ⅰ)证明:()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增;(Ⅱ)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12()()1f x f x e --≤,求m 的取值范围.请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点. (Ⅰ)证明:EF BC ∥;(Ⅱ)若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0πα≤<.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,3:23cos C ρθ=. (Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标;(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求||AB 最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且a b c d +=+,证明: (Ⅰ)若ab cd >,则a b c d +>+; (Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.数学试卷 第7页(共21页)数学试卷 第8页(共21页)数学试卷 第9页(共21页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<,故,}10{AB -=,故选A .【提示】解一元二次不等式,求出集合B ,然后进行交集的运算即可. 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根. 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-,所以40a =,244a -=-,解得0a =,故选B .【提示】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之. 【考点】复数的四则运算. 3.【答案】D【解析】解:A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A 正确;B .2004~2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D 错误. 故选:D【提示】A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A 正确;B .从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D 错误. 【考点】柱形图信息的获得. 4.【答案】B51AB CB k =-,所以径为5,所以面积为:4π144πS R ==,选C .。

2015年全国高考理科数学试题及答案

2015年全国高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)理科数学注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=()(A){--1,0}(B){0,1}(C){-1,0,1}(D){,0,,1,2}(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。

以下结论不正确的是( )(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著(B ) 2007年我国治理二氧化硫排放显现(C ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(4)等比数列{a n }满足a 1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )(A )21 (B )42 (C )63 (D )84(5)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )(A )3 (B )6 (C )9 (D )12(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(A )81 (B )71 (C )61 (D )51 (7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则MN =(A )26 (B )8 (C )46 (D )10(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

2015年高考理科数学湖北卷(含答案解析)

2015年高考理科数学湖北卷(含答案解析)

数学试卷 第1页(共24页)数学试卷 第2页(共24页)数学试卷 第3页(共24页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为( )A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石3.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A .122B .112C .102D .924.设211(,)X N μσ~,222(,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++22(a +222312231)()n n n a a a a a a a a -++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77B .49C .45D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是( )A .3B .4C .5D .6 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11~14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准方程为___________;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=;③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号). -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共24页)数学试卷 第5页(共24页)数学试卷 第6页(共24页)(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果记分) 15.(选修4—1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=___________. 16.(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l与C 相交于A ,B 两点,则||AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,DE DF BD BE . (Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.数学试卷 第7页(共24页)数学试卷 第8页(共24页)数学试卷 第9页(共24页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】60760433i i i i +===-,它的共轭复数为i . 【提示】直接利用复数的单位的幂运算求解即可. 【考点】虚数单位i 及其性质 2.【答案】B【解析】由题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石. 【提示】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论. 【考点】随机抽样,样本估计总体的实际应用 3.【答案】D【解析】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得37nnC C =,可得3710n =+=,10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=.【提示】直接利用二项式定理求出n ,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可. 【考点】二项式定理,二项式系数的性质 4.【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤.【提示】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 5.【答案】A【解析】由12,,,,3n a a a n ⋯∈≥R ,运用柯西不等式,可得:222222212-1231223-1()()()n n n n a a a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+,若12,,,na a a ⋯成等比数列,即有32121n n a a a a a a -==⋯=,则22222212-1231223-1()()()nnn n a a a aaa a a a a a a ++⋯+++⋯+=++⋯+,即由p 推得q ,但由q 推不到p ,比如1230n a a a a ===⋯==,则12,,,n a a a ⋯不成等比数列,故p 是q 的充分不必要条件.【提示】运用柯西不等式,可得22222212-1231223-1()()()nn nn a a a aaa a a a a a a++⋯+++⋯+≥++⋯+,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到. 【考点】等比数列的性质 6.【答案】B【解析】由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,令()f x x =,2a =,则()()()g x f x f a x x=-=-,sgn[()]sgn()g x x =-,所以A 不正确,B 正确,sgn[()]sgn()f x x =,C 不正确;D 正确;对于D ,令()1f x x =+,2a =, 则()()()g x f x f ax x=-=-,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x >⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩;1,0sgn[()]sgn()0,01,0x g x x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x ->-⎧⎪-=+==-⎨⎪<-⎩;所以D 不正确;故选B .【提示】直接利用特殊法,设出函数()f x ,以及a 的值,判断选项即可.【考点】函数与方程的综合运用 7.【答案】B【解析】分别作出事件对应的图象如图(阴影部分).P 1:10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,(0,1)A ,(1,1)B ,(1,0)C ,则阴影部分的面积11111711122288S =⨯-⨯⨯=-=,211113112122243S =⨯-⨯⨯⨯=-=, 31111121ln 212222S dx x =⨯+=+⎰,231S S S ∴<<,即231p p p <<.【提示】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可. 【考点】几何概型 8.【答案】D【解析】由题意,双曲线C 1:222c a b =+,1ce a =;双曲线C 2:222()()c a m b m '=+++,2e =,222222122()(2)()b b m abm bm am e e a a a m +++∴-=-+,∴当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >.【提示】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【考点】双曲线的简单性质 9.【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有5个元素,即图中圆中的整点,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,中有5525⨯=个元素,即图中正方形ABCD 中的整点,12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个.数学试卷 第10页(共24页)数学试卷 第11页(共24页)数学试卷 第12页(共24页)【提示】分别求出集合A 与集合B 的解集,将其在坐标系中标出,即可求. 【考点】集合中元素个数的最值 10.【答案】B【解析】若[]1t =,则[1,2)t ∈,若2[]2t =,则t ∈(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若3[]3t =,则t ∈,若4[]4t =,则t ∈,若5[]5t =,则t ∈,1.732≈1.587≈1.4951.431 1.495≈<; 通过上述可以发现,当4t =时,可以找到实数t使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,但当5t =时,无法找到实数t 使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,∴正整数n 的最大值4.【提示】由新定义可得t 的范围,验证可得最大的正整数n 为4. 【考点】进行简单的演绎推理第Ⅱ卷二、填空题 (一)必考题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥uu r uu u r ,得0O A A B =u u r u uur g ,即()0O A O B O A -=uu r uu u r uu r g ,3OA =uu rQ ,2||9OA AB OA ∴==u u r u u u r u u r g .【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量数量积的运算 12.【答案】2【解析】函数()f x 的定义域为{|1}x x >-.22π()4cos cos 2sin |ln(1)|2sin 2cos 1|ln(1)|sin 2|ln(1)|222x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,分别画出函数sin 2y x =,|ln(1)|y x =+的图象,由函数的图象可知,交点个数为2,所以函数的零点有2个.【提示】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【考点】根的存在性及根的个数判断 13.【答案】【解析】设此山高h (m ),则BC =,在ABC △中,30BAC ∠=,105CBA ∠=,45BCA ∠=,600AB =,根据正弦定理得600sin 30sin 45=,解得h =m ). 【提示】设此山高h (m ),在BCD △中,利用仰角的正切表示出BC ,进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】解三角形的实际应用 14.【答案】(1)22(1)(2x y -+= (2)①②③【解析】解:(1)Q 圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,∴圆心的横坐标1x =,取AB 的中点E ,||2AB =Q ,||1BE ∴=,则||BC=,即圆的半径||rBC ==∴圆心C ,则圆的标准方程为22(1)(2x y -+=.(2)Q 圆心C,E ∴,又||2AB =Q,且E 为AB 中点,1)A ∴,1)B ,Q M 、N 在圆O :221x y +=上,∴可设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ, ||NA ∴=====||NB====||1||NA NB∴===, 同理可得||1||MA MB =,||||||||NA MA NB MB ∴=,①成立; ||||1)2||||NB NA NA NB-==,②正确; ||||1)||||NB MA NA MB +==,③正确.【提示】(1)取AB 的中点E ,通过圆C 与x 轴相切于点T ,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ,计算出||||MA MB 、||||NA NB、||||NB NA 的值即可. 【考点】命题的真假判断与应用,圆与圆的位置关系及其判定 (二)选考题 15.【答案】12数学试卷 第13页(共24页)数学试卷 第14页(共24页)数学试卷 第15页(共24页)【解析】由切割线定理可知2PA PB PC =g ,又3BC PB =,可得2PA PB =,在PAB △与PAC △中,P P ∠=∠,PAB PCA ∠=∠(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得PAB PCA△∽△, 122AB PB PB AC PA PB ∴===.【提示】利用切割线定理推出2PA PB =,利用相似三角形求出比值即可. 【考点】与圆有关的比例线段 16.【答案】【解析】由(sin 3cos )0ρθθ-=,得30y x -=,由C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),两式平方作差得224x y -=-.联立2234y x x y =⎧⎨-=-⎩,得212x =,即2x =±,22A ⎛∴ ⎝⎭,,22B ⎛-- ⎝⎭,||AB ∴==.【提示】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化为普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式可得答案. 【考点】简单曲线的极坐标方程,双曲线的参数方程 三、解答题 17.【答案】(Ⅰ)π127π12 13π12π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(Ⅱ)π6【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,数据补全如下表:且函数表达式为()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z ,令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z , 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称, 令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【提示】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,从而可补全数据,解得函数表达式为π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(Ⅱ)由(Ⅰ)及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z ,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z ,由0θ>可得解.【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换18.【答案】(Ⅰ)21n a n =-,12n n b -=或1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g (Ⅱ)12362n n n T -+=-【解析】(Ⅰ)设1a a =,由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩,解得12a d =⎧⎨=⎩,或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,当12a d =⎧⎨=⎩时,21n a n =-,12n nb -=; 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时,1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g .(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知21n a n =-,12n n b -=,1212n n n n a n c b --∴==, 23411111113579(21)22222n n T n -∴=++++++-g g g g L g ,234111*********(23)(21)2222222n n n T n n -∴=+++++-+-g g g g L g g 23421111111232(21)322222222n n n n n T n -+=++++++--=-L g 12362n n n T -+∴=-.【提示】(Ⅰ)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知1212nn n c --=,写出n T 、12n T 的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【考点】数列的求和 19.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)DC BC =【解析】解法一:(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC ⊥平面PCD , 而DE ⊂平面PDC ,所以BC DE ⊥.又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥, 而PC CB C =I ,所以DE ⊥平面PBC ,而PB ⊂平面PBC ,所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF .数学试卷 第16页(共24页)数学试卷 第17页(共24页) 数学试卷 第18页(共24页)由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠. (Ⅱ)如图,在面BPC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则D G 是平面DEF 与平面ACBD 的交线.由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥, 而PD PB P =I ,所以DG ⊥平面PBD , 所以DG DF ⊥,DG DB ⊥.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD =在Rt PDB △中,由DF PB ⊥,得π3DPF FDB ∠=∠=,则πtan tan 3BDDPF PD=∠===解得λ=1DC BC λ=, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0)D ,(0,0,1)P ,(,1,0)B λ,(0,1,0)C ,(,1,1)PB λ=-uu r,点E 是PC 的中点,所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuur ,于是0PB DE =uu r uuu rg ,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而ED EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF , 因(0,1,1)PC =-uu u r ,0DE PC =uuu r uu u rg ,则DE PC ⊥,所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠.(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则运用向量的数量积求解得出π1cos 32==,解得λ=12DC BC λ==, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =【提示】解法一:(Ⅰ)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF ,即可判断DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,确定直角;(Ⅱ)根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线,利用直线平面的垂直判断出DG DF ⊥,DG DB ⊥,根据平面角的定义得出BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可;(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量,根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【考点】用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定 20.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)0.973【解析】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为Z ,则有2 1.51.512200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①,如图1,目标函数为10001200Z x y =+.当12W =时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0,0)A ,(2.4,4.8)B ,(6,0)C ,将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当 2.4x =, 4.8y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z Z ==⨯+⨯=; 当15W =时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(7.5,0)C , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当3x =,6y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z Z ==⨯+⨯=; 当18W =时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(6,4)C ,(9,0)D , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当6x =,4y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z Z ==⨯+⨯=.因此,()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.数学试卷 第19页(共24页)数学试卷 第20页(共24页)数学试卷 第21页(共24页)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7P P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为311(1)0.973P P =--=.【提示】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为z ,列出可行域,目标函数,通过当12W =时,当15W =时,当18W =时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z 的分布列,求出期望即可;(Ⅱ)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可. 【考点】简单线性规划的应用,离散型随机变量的期望与方差21.【答案】(Ⅰ)221164x y += (Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)设(,0)(||2)D t t ≤,00(,)N x y ,(,)M x y ,由题意得2MD DN =uuu r uuu r,且||||1DN ON ==uuu r uuu r ,00(,)2(,)t x y x t y ∴--=-,且22002200()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,即00222t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩,且0(2)0t t x -=, 由于当点D 不动时,点N 也不动,∴t 不恒等于0,于是02t x =,故04x x =,02yy =-, 代入2201x y +=,得方程221164x y +=.(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率k 不存在时,直线l 为:4x =或4x =-,都有14482OPQ S =⨯⨯=△, (2)直线l 的斜率k 存在时,直线l 为:12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭,由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=, 直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,2222644(14)(416)0k m k m ∴∆=-+-=,即22164m k =+①. 由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩,可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,同理得2,1212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 原点O 到直线PQ的距离d =和|||P Q PQ x x -, 可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ==-=+=-+-△②. 将①代入②得222224181441OPQm k S k k +==--△, 当214k >时,22241288184141OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△, 当2104k ≤<时,22222414128881414114OPQ k k S k k k ⎛⎫++⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭△, 2104k ≤<时,20141k ∴<-≤,22214k ≥-, 2281814OPQS k ⎛⎫∴=-+≥ ⎪-⎝⎭△,当且仅当0k =时取等号,0k ∴=时,OPQ S △的最小值为8.综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,三角形OPQ 的面积存在最小值为8. 【提示】(Ⅰ)根据条件求出a ,b 即可求椭圆C 的方程;(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程22.【答案】(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-, 当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增, 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减,故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<,令1x n =,得111e n n +<,即11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①(Ⅱ)1111111121b a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭g ;222121212121221(21)32b b b b a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ;32331233121231231331(31)43b b b b b b a a a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ; 由此推测:1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ② 下面用数学归纳法证明②,(1)当1n =时,2==左边右边,②成立.(2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+L L , 当1n k =+时,1111(1)11k k k b k a k +++⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭,由归纳假设可得111211211211211(1)(1)1(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++⎛⎫==+++=+ ⎪+⎝⎭L L g L L∴当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(Ⅲ)证明:由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得数学试卷 第22页(共24页) 数学试卷 第23页(共24页) 数学试卷 第24页(共24页)111131212311212312()()()()nn n n T c c c c a a a a a a a a a =++++=++++11113121231212312112112()()()()2341122334(1)nn n b b b b b b b b bb b b b b b b b b n n n ++++++=++++≤+++++⨯⨯⨯+L L L L1211111111223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯⨯++⎣⎦⎣⎦L L L g 1212111111121112n n b b b b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121212111111e e e 12nn n a a a a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L即e n n T S <.【提示】(Ⅰ)求出()f x 的定义域,利用导数求其最大值,得到1e x x +<,取1x n=即可得到答案;(Ⅱ)由11()nn n b n a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ,变形求得11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测1212(1)n nnb b b n a a a =+,然后利用数学归纳法证明;(Ⅲ)由n c 的定义、1212(1)n n n b b b n a a a =+、算术-几何平均不等式、n b 的定义及11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,利用放缩法证得e n n T S <. 【考点】数列与不等式的综合。

2015年高考理科数学全国卷1-答案

2015年高考理科数学全国卷1-答案

所以21200000(3,)(3,)MF MF x y x y x =-----=【考点】双曲线.
【解析】由题知
1114
()
3
AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+
【提示】将向量AD利用向量的三角形法则首先表示为AC CD
+,然后结合已知表示为AC AC
,的形式.【考点】向量运算.
2e
x
y
sin151⎫︒=⎪⎪⎭
22m x +-
1
,BD AC G =连接3GC =.
,可知AE 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为||GB 为单位长度,,由(Ⅰ)可得0,3,0)A (-2⎪⎭
∴(1,AE =,1,CF ⎛=- cos ,||||
AE CF AE CF AE CF <>=
=-
3
BD AC G =,连接,再由面面垂直的判定定理,即可得到为坐标原点,分别以GB GC ,的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.的线性回归方程,由于1
8
1
(=
(i
i i w d ==-∑∑∴56368==c y dw --y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y 的回归方程为=100.6+68y 49=时,年销量的预报值=100.6+6849576.6y =的预报值=576.60.2z ⨯)根据(Ⅱ)的结果知,年利润的预报值=0.2(100.6+68z ,z 取得最大值,故宣传费用为(Ⅰ)根据散点图,即可判断出.
∴60
∠=.
ACB
是O的切线.
,解方程可得x值,可得所求角度.
11 / 11。

2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【年,理1,5分】i 为虚数单位,607i的共轭复数....为( )(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( )(A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .(3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式)(A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .以及计算能力.(4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,222(,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键(5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( )(A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立;②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 (6)【2015年,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < (C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】【解析】依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .(9)【2015年,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( ) (A )77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即 25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .复的元素.(10)【2015年,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上...........答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题) (11)【2015年,理11,5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ,||3OA =u u u r ,则OA OB ⋅=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ,3OA =u u u r ,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(12)【2015年,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点, 所以函数()f x 由2个零点.(13)【2015年,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处D 在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶 在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m .(14)【2015年,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =Q ,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M Q ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+, ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.) (15)【PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______. 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. (16)【2015年,理16,5分】(选修4-4O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 础的计算题.三、解答题:共6题,共75(17)【2015年,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解析式; (2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表:x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律(18)【2015年,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. (19)【2015年,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =I ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC BC C =I ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC ,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P =I ,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ, (,1,1)PB λ=-u u u r ,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =u u u r ,于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =I ,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r , 解得2λ=. 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.W 12 15 18 P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个(1)求Z 的分布列和均值;解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200z y x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0.3 0.5 0.2 因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.问题解决问题的能力.(21)【2015年,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN D 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值; 解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =u u u u r u u u r,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += (2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m mQ k k -++. 由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(((解:(1①(2②(3运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。

2015年高考数学试卷真题附详细解析

2015年高考数学试卷真题附详细解析

2015年高考数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(真题卷)数学(理科)1.(5分)(2015•真题)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A .[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2.(5分)(2015•真题)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A .8cm3B.12cm3C.D.3.(5分)(2015•真题)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则()A .a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>04.(5分)(2015•真题)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∂n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∂n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n05.(5分)(2015•真题)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A .B.C.D.6.(5分)(2015•真题)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数()命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立7.(5分)(2015•真题)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有()A .f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|8.(5分)(2015•真题)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则()A .∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)(2015•真题)双曲线=1的焦距是,渐近线方程是.10.(6分)(2015•真题)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))=,f(x)的最小值是.11.(6分)(2015•真题)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.12.(4分)(2015•真题)若a=log43,则2a+2﹣a=.13.(4分)(2015•真题)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.14.(4分)(2015•真题)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是.15.(6分)(2015•真题)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,,则x0=,y0=,|=.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(14分)(2015•真题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.17.(15分)(2015•真题)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.18.(15分)(2015•真题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.19.(15分)(2015•真题)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).20.(15分)(2015•真题)已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2(n∈N*)(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{a n2}的前n项和为S n,证明(n∈N*).高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(真题卷)数学(理科)1.(5分)考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.解答:解:由P中不等式变形得:x(x﹣2)≥0,解得:x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),∴∁R P=(0,2),∵Q=(1,2],∴(∁R P)∩Q=(1,2),故选:C.点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.(5分)考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.解答:解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,所求几何体的体积为:23+×2×2×2=.故选:C.点评:本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.3.(5分)考点:等差数列与等比数列的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号.解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:.∵d≠0,∴,∴,=<0.故选:B.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.4.(5分)考点:命题的否定.专题:简易逻辑.分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:∂n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:D.点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(5分)考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答:解:如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1,过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M,由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1,|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,则===,故选:A点评:本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6.(5分)考点:复合命题的真假.专题:集合;简易逻辑.分析:命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可,③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.解答:解:命题①:对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>card(A∩B),故“d(A,B)>0”成立,若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立,命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C),∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card (A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)]≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.7.(5分)考点:函数解析式的求解及常用方法.专题:函数的性质及应用.分析:利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:A.取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0;取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1;∴f(0)=0,和1,不符合函数的定义;∴不存在函数f(x),对任意x∈R都有f(sin2x)=sinx;B.取x=0,则f(0)=0;取x=π,则f(0)=π2+π;∴f(0)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;C.取x=1,则f(2)=2,取x=﹣1,则f(2)=0;这样f(2)有两个值,不符合函数的定义;∴该选项错误;D.令|x+1|=t,t≥0,则f(t2﹣1)=t;令t2﹣1=x,则t=;∴;即存在函数f(x)=,对任意x∈R,都有f(x2+2x)=|x+1|;∴该选项正确.故选:D.点评:本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.8.(5分)考点:二面角的平面角及求法.专题:创新题型;空间角.分析:解:画出图形,分AC=BC,AC≠BC两种情况讨论即可.解答:解:①当AC=BC时,∠A′DB=α;②当AC≠BC时,如图,点A′投影在AE上,α=∠A′OE,连结AA′,易得∠ADA′<∠AOA′,∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α综上所述,∠A′DB≥α,故选:B.点评:本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(6分)双曲线的简单性质.考点:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.专题:确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程.分析:解解:双曲线=1中,a=,b=1,c=,答:∴焦距是2c=2,渐近线方程是y=±x.故答案为:2;y=±x.本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.点评:10.(6分)函数的值.考点:计算题;函数的性质及应用.专题:分根据已知函数可先求f(﹣3)=1,然后代入可求f(f(﹣3));由于x≥1时,f(x)=,析:当x<1时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围,即可求解解答:解:∵f(x)=,∴f(﹣3)=lg10=1,则f(f(﹣3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)=,即最小值,当x<1时,x2+1≥1,(x)=lg(x2+1)≥0最小值0,故f(x)的最小值是.故答案为:0;.本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.点评:11.(6分)两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.考点:专三角函数的求值.题:分由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x﹣)+,易得最小正周期,解不等析:式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间.解答:解:化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=(1﹣cos2x)+sin2x+1=sin(2x﹣)+,∴原函数的最小正周期为T==π,由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+,∴函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z)故答案为:π;[kπ+,kπ+](k∈Z)点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.12.(4分)考点:对数的运算性质.专题:函数的性质及应用.分析:直接把a代入2a+2﹣a,然后利用对数的运算性质得答案.解答:解:∵a=log43,可知4a=3,即2a=,所以2a+2﹣a=+=.故答案为:.点评:本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.13.(4分)考点:异面直线及其所成的角.专题:空间角.分析:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形,求解即可.解答:解:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,∵AN=2,∴ME==EN,MC=2,又∵EN⊥NC,∴EC==,∴cos∠EMC===.故答案为:.点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.14.(4分)考点:函数的最值及其几何意义.专题:不等式的解法及应用;直线与圆.分析:根据所给x,y的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.解答:解:由x2+y2≤1,可得6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,在直线的上方(含直线),即有2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2,此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3;在直线的下方(含直线),即有2x+y﹣2≤0,即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2),此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y,利用线性规划可得在A(,)处取得最小值3.综上可得,当x=,y=时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3.故答案为:3.点本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.评:15.(6分)空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算.考点:专创新题型;空间向量及应用.题:分由题意和数量积的运算可得<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),析:由已知可解=(,,t),可得|﹣(|2=(x+)2+(y﹣2)2+t2,由题意可得当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,由模长公式可得|.解解:∵•=||||cos<•>=cos<•>=,答:∴<•>=,不妨设=(,,0),=(1,0,0),=(m,n,t),则由题意可知=m+n=2,=m=,解得m=,n=,∴=(,,t),∵﹣()=(﹣x﹣y,,t),∴|﹣(|2=(﹣x﹣y)2+()2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=(x+)2+(y﹣2)2+t2,由题意当x=x0=1,y=y0=2时,(x+)2+(y﹣2)2+t2取最小值1,此时t2=1,故|==2故答案为:1;2;2点本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.评:三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(14分)余弦定理.考点:解三角形.专题:分(1)由余弦定理可得:,已知b2﹣a2=c2.可得,a=.利析:用余弦定理可得cosC.可得sinC=,即可得出tanC=.(2)由=×=3,可得c,即可得出b.解解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:,∴b2﹣a2=bc﹣c2,答:又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b=c.可得,∴a2=b2﹣=,即a=.∴cosC===.∵C∈(0,π),∴sinC==.∴tanC==2.(2)∵=×=3,解得c=2.∴=3.点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.解答:(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.则BC=AC=2,A1O==,易知A1(0,0,),B(,0,0),C(﹣,0,0),A(0,,0),D(0,﹣,),B1(,﹣,),=(0,﹣,0),=(﹣,﹣,),=(﹣,0,0),=(﹣2,0,0),=(0,0,),∵•=0,∴A1D⊥OA1,又∵•=0,∴A1D⊥BC,又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面A1BC;(2)解:设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(,0,1),设平面B1BD的法向量为=(x,y,z),由,得,取z=1,得=(0,,1),∴cos<,>===,又∵该二面角为钝角,∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣.点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.18.(15分)考点:二次函数在闭区间上的最值.专题:函数的性质及应用.分析:(1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由a的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明;(2)讨论a=b=0以及分析M(a,b)≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1,进一步求出|a|+|b|的求值.解答:解:(1)由已知可得f(1)=1+a+b,f(﹣1)=1﹣a+b,对称轴为x=﹣,因为|a|≥2,所以或≥1,所以函数f(x)在[﹣1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1),|f(﹣1)|}=max{|1+a+b|,|1﹣a+b|},所以M(a,b)≥(|1+a+b|+|1﹣a+b|)≥|(1+a+b)﹣(1﹣a+b)|≥|2a|≥2;(2)当a=b=0时,|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0,所以0为最小值,符合题意;又对任意x∈[﹣1,1].有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1,易知|a|+|b|=max{|a﹣b|,|a+b|}=3,在b=﹣1,a=2时符合题意,所以|a|+|b|的最大值为3.点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值,以及利用三角不等式变形.19.(15分)考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).可得△>0,设线段AB的中点P(x0,y0),利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+,可得,代入△>0,即可解出.(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得S△OAB=,再利用均值不等式即可得出.解答:解:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=﹣my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,△=4m2n2﹣4(m2+2)(n2﹣2)=8(m2﹣n2+2)>0,设线段AB的中点P(x0,y0),则.x0=﹣m×+n=,由于点P在直线y=mx+上,∴=+,∴,代入△>0,可得3m4+4m2﹣4>0,解得m2,∴或m.(2)直线AB与x轴交点纵坐标为n,∴S△OAB==|n|•=,由均值不等式可得:n2(m2﹣n2+2)=,∴S△AOB=,当且仅当n2=m2﹣n2+2,即2n2=m2+2,又∵,解得m=,当且仅当m=时,S△AOB取得最大值为.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.(15分)考点:数列的求和;数列与不等式的综合.专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)通过题意易得0<a n≤(n∈N*),利用a n﹣a n+1=可得≥1,利用==≤2,即得结论;(2)通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1,利用数学归纳法可证明≥a n≥(n≥2),从而≥≥,化简即得结论.解答:证明:(1)由题意可知:0<a n≤(n∈N*),又∵a2=a1﹣=,∴==2,又∵a n﹣a n+1=,∴a n>a n+1,∴≥1,∴==≤2,∴1≤≤2(n∈N*);(2)由已知,=a n﹣a n+1,=a n﹣1﹣a n,…,=a1﹣a2,累加,得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1,易知当n=1时,要证式子显然成立;当n≥2时,=.下面证明:≥a n≥(n≥2).易知当n=2时成立,假设当n=k时也成立,则a k+1=﹣+,由二次函数单调性知:a n+1≥﹣+=≥,a n+1≤﹣+=≤,∴≤≤,即当n=k+1时仍然成立,故对n≥2,均有≥a n≥,∴=≥≥=,即(n∈N*).点评:本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.。

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试题类型:A 2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。

(1)设复数z满足1+z
1z
-
=i,则|z|=
(A)1 (B2(C3(D)2 (2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
(A)
3
2
-(B)
3
2
(C)
1
2
-(D)
1
2
(3)设命题P:∃n∈N,2n>2n,则⌝P为
(A)∀n∈N, 2n>2n(B)∃ n∈N, 2n≤2n
(C)∀n∈N, 2n≤2n(D)∃ n∈N, 2n=2n
(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知00(,)M x y 是双曲线2
2:12
x C y -=上的一点,12,F F 是C 上的两个焦点,若120MF MF <u u u u r u u u u r g ,则0y 的取值范围是
(A )(-33,33) (B )(-36,36
) (C )(223-,223
) (D )(233-,233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
(7)设D 为V ABC 所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r ,则
(A )1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r (B) 1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r (C )4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r (D) 4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r (8)函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为
(A)13(,),44k k k Z ππ-
+∈ (B) 13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A )5 (B )6 (C )7 (D )8
(10)25()x x y ++的展开式中,52
x y 的系数为
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为16 + 20π,则r =
(A )1 (B )2
(C )4 (D )8 12.设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的
取值范围是( ) A.3[,1)2e -
B. 33[,)24e -
C. 33[,)24e
D. 3[,1)2e
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)若函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数,则a =
(14)一个圆经过椭圆22
1164
x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 。

(15)若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
则y x 的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
Sn 为数列{an}的前n 项和.已知an>0,
(Ⅰ)求{an}的通项公式:
(Ⅱ)设 ,求数列}的前n 项和 (18)如图,,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF
,AE ⊥EC 。

(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z
(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x1和年销售量y1(i=1,2,···,
8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

x r y u r w u r 11x +∑(x 1-x r )2 11x +∑(w 1-w u r )2 11x +∑(x 1-x r )(y-y u r )
11x +∑(w 1-w u r )
(y-y u r ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中w 1 x 1, ,w u r =181
11x w +∑
(1) 根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方
程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。

根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i ) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii ) 年宣传费x 为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u 1 v 1),(u 2 v 2)…….. (u n v n ),其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=2
4
x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点, (Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当K 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由。

(21)(本小题满分12分)
已知函数f (x )=31,()ln 4
x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;
(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{()min (),()
(0)h x f x g x x => ,讨论h
(x )零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。

注意:只能做所选定的题目。

如果多做,则按
所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(22)(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的Q 切线,BC 交☉O 于E
(I ) 若D 为AC 的中点,证明:DE 是O 的切线;
(II ) 若OA=
CE ,求∠ACB 的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系O χγ中。

直线1C :χ=-2,圆2C :()()22
121χγ-+-=,以坐标原点为极点, χ轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(I ) 求1C ,2C 的极坐标方程;
(II ) 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=
∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面

(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围。

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